exercícios equação da reta (1)

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<p>Exercícios – Equação da Reta</p><p>1) Dados dois pontos A(1, 2) e B(4, 6), encontrar a equação vetorial da reta que passa por estes pontos.</p><p>2) Dado um ponto C(2, −1, 4) na reta e o vetor de direção da reta �⃗⃗� = (𝟒, 𝟓,−𝟐), encontre a equação</p><p>vetorial da reta.</p><p>3) Encontre a equação vetorial da reta que passa pelos dois pontos P(-1, 3, 2) e Q(3, 7, -1). Dê sua forma</p><p>paramétrica.</p><p>4) Encontre a equação vetorial da reta que passa pelos dois pontos A(1, 2, -1) e B(1, 1, 2) e determine se</p><p>o ponto P(1, 3, 1) está na reta.</p><p>5) A partir dos pontos A(-2,3) e B(4,5), determine as equações vetorial, reduzida, paramétrica, simétrica</p><p>e geral da reta formada por eles.</p><p>6) Determine a equação simétrica da reta com coeficiente angular igual a - 4/5, e que passa pelo ponto</p><p>P (2, -5).</p><p>7) Encontre a equação da reta s, perpendicular à reta t: 2x + 3y – 4 =0, sabendo que ela passa pelo ponto</p><p>P(3,4) (Dica: em retas perpendiculares o produto de seus coeficientes angulares será -1)</p><p>8) A equação da reta passando pela origem e paralela à reta determinada pelos pontos A(2; 3) e B(1; -4) é:</p><p>(em retas paralelas verifica-se a igualdade entre seus coeficientes angulares)</p><p>a) y = x b) y = 3x – 4 c) x = 7y d) y = 7x</p><p>9) Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 6y – 3 = 0 sejam paralelas.</p><p>a) 1 b) 2 c) -4 d)- 6 e)4</p><p>10) Considere as retas t: x = 4 – y e s: x = 2 + y. Logo, a intersecção entre r e s no plano cartesiano é o par</p><p>ordenado:</p><p>11) Com relação às retas e equações lineares, analise as afirmações:</p><p>I. Uma equação que representa a reta da figura I é 𝒚 − 𝟏 =</p><p>𝟓</p><p>𝟔</p><p>(𝒙 + 𝟐).</p><p>II. O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (-10, 1) e (0, -4) é -0,5.</p><p>III. A equação reduzida da reta que passa pelos pontos (4, -8) e (8, 5) é 𝒚 = 𝟏𝟑𝒙−</p><p>𝟐𝟏</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>a) I, apenas. b) I e II, apenas.</p><p>c) II e III, apenas. d) I, II e III.</p><p>12) No plano cartesiano, sejam r e s retas paralelas tais que P=(−2,1) é o ponto de r mais próximo da</p><p>origem e M um ponto de s, sendo M o centro do quadrado ABCD, com A=(1,−3) e C=(5,5).</p><p>Assim, é correto afirmar que uma equação da reta s é:</p><p>a) 2x−y−5=0</p><p>b) 2x−y+1=0.</p><p>c) 2x+y−1=0.</p><p>d) x−2y−1=0.</p><p>e) x+2y−5=0</p><p>13) Determine o coeficiente angular 𝑚 e da reta 𝑟 de equação 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0</p><p>14) Sejam as retas: 𝑟: 𝑦 = 2𝑥 + 7 𝑠: 𝑦 = 2𝑥 – 5 𝑡: 6𝑥 − 3𝑦 + 21 = 0 𝑢: 6𝑥 + 2𝑦 = 0</p><p>Descreva a posição relativa entre:</p><p>a) 𝑟 e 𝑠</p><p>b) 𝑟 e 𝑡</p><p>c) 𝑠 e u</p><p>15) Para que valor de 𝑘 as retas 𝑟: 𝑦 = 2𝑥/3 + 5 e 𝑠: 𝑘𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0 são paralelas?</p><p>16) Obtenha a equação reduzida da reta 𝑟 que passa pelo ponto 𝑃 e é paralela à reta 𝑠 nos seguintes casos:</p><p>a) 𝑃 = (−1,4) e 𝑠: 𝑦 = −5𝑥 + 2</p><p>b) 𝑃 = (5,0) e 𝑠: 6𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0</p><p>17) Considere o gráfico:</p><p>a) Obtenha uma equação da reta 𝑟.</p><p>b) Obtenha uma equação da reta 𝑠 que passa por 𝑃 e é</p><p>perpendicular a 𝑟.</p><p>c) Determine o ponto 𝐴 de interseção de r com a reta 𝑠 obtida no</p><p>item b.</p><p>18) Determine o valor de k para que a reta r: kx – y – 8 = 0 seja perpendicular à reta s: 3x + 2y – 3 = 0.</p><p>19) A reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento AB com A=(0,3) e B=(5,0) tem qual</p><p>coeficiente angular?</p><p>a) 3/5</p><p>b) 2/5</p><p>c) 3/2</p><p>d) 1</p><p>20) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que passa pelos pontos A(1, 5) e B(4, 14)</p><p>é:</p><p>a) 4</p><p>b) –5</p><p>c) 3</p><p>d) 2</p><p>e) 5</p><p>GABARITO</p><p>1) Primeiro vamos encontrar o vetor formado por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ : �⃗⃗� = 𝑩 − 𝑨 = (𝟒,𝟔) − (𝟏,𝟐) = (𝟑, 𝟒)</p><p>Agora usando os pontos A ou B como referência, vamos montar a equação para achar um ponto P</p><p>𝑷(𝑿𝑷, 𝒀𝑷) = 𝑨(𝟏,𝟐) + 𝒕(𝟑,𝟒)</p><p>2) É só encaixar os dados na equação: 𝑷(𝑿𝑷, 𝒀𝑷, 𝒁𝑷) = (𝟐,−𝟏, 𝟒) + 𝒕(𝟒,𝟓, −𝟐)</p><p>3) Achando o vetor formado por 𝑃𝑄:̅̅ ̅̅ ̅ 𝐐(𝟑,𝟕, −𝟏) − 𝐏(−𝟏,𝟑, 𝟐) = 𝐝(𝟒,𝟒, −𝟑)</p><p>Um ponto M qualquer da reta será dado por: 𝑴(𝑿𝑴, 𝒀𝑴, 𝒁𝑴) = 𝑸(𝟑, 𝟕,−𝟏) + 𝒕(𝟒,𝟒,−𝟑)</p><p>Na forma paramétrica: {</p><p>𝑿𝑴 = 𝟑 + 𝟒𝒕</p><p>𝒀𝑴 = 𝟕 + 𝟒𝒕</p><p>𝒁𝑴 = −𝟏 − 𝟑𝒕</p><p>4) Achando o vetor formado por 𝐴𝐵:̅̅ ̅̅ ̅ 𝑩(𝟏, 𝟏, 𝟐) − 𝑨(𝟏, 𝟐,−𝟏) = (𝟎,−𝟏, 𝟑)</p><p>Um ponto P qualquer da reta será dado por: 𝑷(𝑿𝑷, 𝒀𝑷, 𝒁𝑷) = 𝑨(𝟏,𝟐, −𝟏) + 𝒕(𝟎,−𝟏,𝟑)</p><p>Para que o ponto P(1,3,1) exista, a relação a seguir deve ser verdadeira:</p><p>{</p><p>𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝒕</p><p>𝟑 = 𝟐 − 𝟏𝒕</p><p>𝟏 = −𝟏 + 𝟑𝒕</p><p>Nas equações encontramos 𝒕 = −𝟏 𝒆 𝒕 = 𝟐/𝟑, não sendo compatíveis e P não pertencendo à reta.</p><p>5) A(-2,3) e B(4,5)</p><p>VETORIAL: 𝑑 = 𝐵 − 𝐴 = (6,2) 𝑷(𝑿,𝒀) = (−𝟐,𝟑) + 𝒕(𝟔, 𝟐)</p><p>PARAMÉTRICA: {</p><p>𝑿 = −𝟐 + 𝟔𝒕</p><p>𝒀 = 𝟑 + 𝟐𝒕</p><p>SIMÉTRICA:</p><p>𝑿−𝟒</p><p>𝟔</p><p>=</p><p>𝒀−𝟓</p><p>𝟐</p><p>REDUZIDA: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏</p><p>{</p><p>3 = −2𝑎 + 𝑏</p><p>5 = 4𝑎 + 𝑏</p><p>a=1/3 e b=11/3</p><p>𝒚 =</p><p>𝒙 + 𝟏𝟏</p><p>𝟑</p><p>GERAL: |</p><p>𝑋 𝑌 1</p><p>−2 3 1</p><p>4 5 1</p><p>| = 0 ∴ 3𝑋 + 4𝑌 − 10 − 12 + 2𝑌 − 5𝑋 = 0 ∴ 6𝑌 − 2𝑋 − 22 = 0</p><p>𝑿 − 𝟑𝒀 + 𝟏𝟏 = 𝟎</p><p>6) Y = ax + b a = -4/5</p><p>𝑷(𝟐,−𝟓) ≫ −5 = −</p><p>4</p><p>5</p><p>∙ 2 + 𝑏 ∴ 𝑏 = −</p><p>17</p><p>5</p><p>𝒚 =</p><p>−𝟒𝒙−𝟏𝟕</p><p>𝟓</p><p>7) O primeiro a se fazer é transformar a equação para sua forma reduzida para usar o coeficiente angular</p><p>2x + 3y – 4 =0 𝑦 =</p><p>−2𝑥+4</p><p>3</p><p>Sendo o coeficiente de 𝑥 = −2/3</p><p>Agora para descobrir o coeficiente de x da nova equação, aplicamos a relação −2/3 ∙ 𝑎 = −1 ∴ 𝑎 = 3/2</p><p>Temos então: 𝑦 =</p><p>3𝑥</p><p>2</p><p>+ 𝑏</p><p>Para achar o B usamos o ponto P(3,4)</p><p>4 = 3 ∙</p><p>3</p><p>2</p><p>+ 𝑏 ∴ 𝒃 = −</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝑦 =</p><p>3𝑥</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>2y – 3x -1 = 0</p><p>8) D</p><p>Achando a equação da reta de pontos (2,3) e (1,-4) y = 7x – 11</p><p>Em retas paralelas, seus coeficientes angulares será o mesmo, como a reta passa pela origem, seu termo</p><p>independente será 0: y = 7x</p><p>9) E</p><p>Os coeficientes de A e B devem seguir a mesma proporção em retas paralelas. (equação geral)</p><p>10) Igualando as duas equações, achamos (3,1</p><p>11) B</p><p>12) Foto anexada no drive</p>