Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
P4 - Probabilidade e Estatística – 2011.1 Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. Professores: Reinaldo Castro Souza & Roxana Jimenez Contreras Problema 1 (2.0 pts) 1.1- (0,4 pt) Seja “X”uma v.a. contínua com E(X)=8 e DP(X)=2, onde DP(X) é o desvio padrão de X. Se Y=3X-6, quem é E(Y) e DP(Y). SOLUÇÃO . E(Y) = E(3X-6) = 3E(X) – E(6) = 24 – 6 E(y) = 18 DP(Y) = Var(Y) = Var(3X-6) = 9(Var(X))-Var(6) = 36 DP(Y) = = 6 1.2- (0,4 pt) Seja Z uma variável normal com media “0” e variância “1”, identifique qual é a natureza da variável V = Z2. SOLUÇÃO 1.3- (0,4 pt) Pelo que você aprendeu no curso, como você difere “probabilidade e “estatística”? SOLUÇÃO Probabilidade- A densidade (ou função de probabilidade) era inteiramente conhecida. Em Estatística, teremos uma amostra aleatória de uma distribuição com certos parâmetros desconhecidos, e procuraremos descobrir alguma coisa sobre estes parâmetros (Inferência dos dados) 1.4- (0,4 pts) Defina com suas palavras os modelos discretos: Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson. SOLUÇÃO DISTRIBUIUÇÃO BINOMIAL – É uma variável aleatória discreta que modela um experimento que mede a quantidade de sucesso nas “n” repetições de uma Bernoulli . DISTRIBUIUÇÃO GEOMÉTRICA – É uma variável aleatória discreta que modela número de repetições de um experimento de Bernoulli até atingir o 1º sucesso. DISTRIBUIUÇÃO BINOMIAL NEGATIVA – É uma variável aleatória discreta que modela número de repetições de um experimento de Bernoulli até obter o r-esimo sucesso. DISTRIBUIUÇÃO POISSON – É uma variável aleatória discreta que modela número de ocorrência de um evento raro. 1.5- (0,4 pt) Seja X uma variável aleatória com distribuição 2 17 . Ache “a” e ”b” na tabela qui-quadrado, tais que: Pr [a<X<b] = 95% Pr [ X<a] = 2,5% g= grau de liberdade=17 SOLUÇÃO Pela tabela“χ2”,g= n-1=17 a= ? e b=? 0,025 (1-α)= 0,95 975,0 a= 7,56 b=30,2 - Intervalo de confiança [1-α] = 0,95 Problema 2 (1,5 pts) Realiza-se 15 testes independentes de Bernoulli, e são observados 12 sucessos, e não é conhecido. a) (1,0 pt) Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste modelo, mostrar todos os passos da solução. SOLUÇÃO X ~ Bernoulli (θ) Obtenção da função de verossimilhança “ ” L( ) = f(x1, x2,...xn) = n i xx 1 1 .)1( Obtenção do Log-verossimilhança l θ ) = lo θ )] = log n i xx 1 1 .)1( = log n i i n i xnx 111 )1.( = log).( 1 n i ix + n log )1( - )1log().( 1 n i ix Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “θ” 1ª derivada - 11 11 n x i n i i x n x l - .)1(),( x1 xixf .... 3, 2, 1, 0,= x onde .)Pr()( 1 xx pqxXxf Iguala a zero - 0 l 0 11 11 n x i n i i x n x l oxnxx n i i n i i n x i 111 n i ixn 1 Substituir MV ^ então XMV ^ b) (0,5 pt) Encontre a estimativa do parâmetro, “p ”. SOLUÇÃO 8,0 15 12^ XMV Problema 3(2,0 pts) Em um laboratório há três gaiolas. Na gaiola I há dois coelhos marrons e três brancos, a gaiola II tem 4 coelhos marrom e dois brancos e gaiola III contém 5 coelhos marrons e 5 brancos. Seleciona-se aleatoriamente uma gaiola e aleatoriamente retira-se um coelho para fora. I- Qual é a probabilidade do coelho escolhido ser marrom? II- Dado que o coelho escolhido é marrom, qual a probabilidade dele pertencer a gaiolas I, II, III? SOLUÇÃO Gaiolas – “G” Coelhos Marrom – “CM” ( IG )- Gaiola I – 1/3 = Pr( 1G ) ( IIG )- Gaiola II – 1/3 = Pr( IIG ) ( IIIG )- Gaiola III – 1/3 = Pr( IIIG ) - Coelhos marrom na Gaiola I – = 2/5 - Coelhos marrom na Gaiola II - = 4/6 - Coelhos marrom na Gaiola III - = 5/10 Pede-se: I- Qual é a probabilidade do coelho escolhido ser marrom? Sendo “CM” o evento “ Coelho marrom” Então: CM = IM GC IIM GC IIIM GC Pr(CM )= IM GCPr IIM GCPr IIIM GC Pr Pr(CM) = x Pr( IG ) + x Pr( IIG ) + x Pr( IIIG ) IM GC |Pr IIIM GC |Pr IIM GC |Pr IIM GC |Pr IIIM GC |Pr IM GC |Pr Pr(CM) = 3 1 10 5 3 1 6 4 3 1 5 2 xxx (Pr(CM) = 0,5222 II- Dado que o coelho escolhido é marrom, qual a probabilidade dele pertencer a gaiolas I, II, III? Dado Coelho marrom, prob.está GI = : = Dado Coelho marrom, prob.está GII = Dado Coelho marrom, prob.está GIII : k j jjM iiM k j jjM Mi M Mi Mi GGC GGC GGC CG RC CG CG 11 Pr|Pr Pr|Pr Pr|Pr Pr Pr Pr |Pr M IMIM MI C GxGC CG Pr PrPr |Pr %92,31|Pr MIII CG %53,25 5222,0 3 1 5 2 x %55.42|Pr MII CG Problema 4(2.5 pts) Sejam e v.a.'s contínuas com densidade conjunta: yyxkyxf 3 2 .),( 2 , onde 0≤x≤1 e 0≤y≤3 Pede-se: a) (0.5 pt) Encontre o valor de “k” que torne f(x,y) uma densidade. b) (0.5 pt) Encontre a densidade marginal de . c) (0.5 pt) Encontre a densidade marginal de . d) (0.5 pt) Encontre a densidade condicional de dado =x. f) (0.5 pt) Encontre a média condicional de Y, dado X=x. SOLUÇÃO a) Encontre a constante “k” que faz desta expressão uma densidade. SOLUÇÃO 1.).,(),( 3 0 1 0 dydxyxfyxf y y x x 1. 3 2 .. 3 0 1 0 2 dydx y yxk y y x x 1. 3 2 3 . 3 0 1 0 3 dy xx yk y y 1 3 2 3 1 .. 3 0 dyyk y y 1 2 . 3 0 2 y k 1 2 9 k 9 2 k yyxyxf 3 2 . 9 2 ),( 2 b) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . SOLUÇÃO dyyxfxf y y .),()( 3 0 , onde 3y0 e 1 x < 0 3y0 e 1 x < 0 onde, 3 2 .),( 2 y yxkyxf dyyyxxf . 3 2 . 9 2 )( 3 0 2 3 0 2 2 23 2 9 2 )( y xxf 3 2 )( 2 xxf c) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . SOLUÇÃO dxyxfyf x x .),()( 1 0 , onde 3y0 e 1 x < 0 dxyyxyf x x . 3 2 . 9 2 )( 1 0 2 1 0 3 3 2 . 3 . 9 2 )( xx yyf 9 .2 )( y yf d) (0.5 pt) Encontre a densidade condicional de dado =x. SOLUÇÃO )( ),( )( xf yxf xXYf , onde ]1,( ]1,0( xyx 3 2 3 2 . 9 2 )( 2 2 x yyx xXYf 3 2.3 3 .2..3 . 9 2 )( 2 2. x yyx y xXYf yxXYf . 9 2 )( f) (0.5 pt) Encontre a média condicional de Y, dado X=x. b) (0.7 pt) Ache a Variância condicional de dado . SOLUÇÃO 22 xXYExXYExXYVAR dyxyfyxXYE ).(. 3 0 dyyyxXYE . 9 .2 . 3 0 dyyxXYE . 9 .2 3 0 2 3 0 3 39 2 y xXYE 2 xXYE dyxyfyxXYE ).(. 3 0 22 dyyyxXYE . 9 .2 . 3 0 22 dyyxXYE . 9 .2 3 0 3 2 3 0 4 2 49 2 y xXYE 2 92 xXYE 22 xXYExXYExXYVAR 22 2 9 xXYVAR 2 1 xXYVAR Problema 5 ( 2.0 pts) 5.1) (0.75 pt) - Em uma certa loja de um shopping, verificou-se que o gasto médio mensal de 24 clientes foi de R$ 600, com um desvio padrão conhecido igual a R$ 250. Encontre intervalo de confiança 92% e 95% para o gasto médio desta população. SOLUÇÃO O intervalo de confiança ao nível de significância de 92%, , para a “σ”. X = 600 σ = 250 n=24 IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Conhecido - Caso I - TABELA “Z” - Intervalo de Confiança [1-α] = 92% Tabela “z” - 75,12/1 z (1-α)=0,92 04,0 2 75,121 z [ 510,70 ; 689,30 ] n zX n zX n zXIC 2/12/12/1 ; 24 250 75,1600; 24 250 75,160021 n zXIC n zXIC 2/1 SOLUÇÃO O intervalo de confiança ao nível de significância de 95%, , para a “σ”. X = 600 σ = 250 n=24 IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Conhecido - Caso I - TABELA “Z” - Intervalo de Confiança [1-α] = 95% Tabela “z” - 96,12/1 z (1-α)=0,95 025,0 2 96,121 z [ 499,88 ; 700,02 ] n zX n zX n zXIC 2/12/12/1 ; 24 250 96,1600; 24 250 96,160021 n zXIC n zXIC 2/1 5.2- (1.0 pt) Neste mesmo shopping, queremos saber se os gastos médios das duas lojas com o mesmo perfil, podem ser considerados estatisticamente idênticos. Tomou-se uma amostra de 12 clientes da loja “A” e de 14 clientes da loja “B”, obteve as seguintes estimativas: A = R$700,00 , SA = R$15,00 B = R$800,00 , SB = R$13,00 Encontre o Intervalo de confiança para a diferença das médias das duas lojas (μA – μB) ao nível de significância de 99%. O que você conclui? Os gastos médios nas duas lojas podem ser considerados estatisticamente iguais? SOLUÇÃO Loja “A”: n=12 A = 700 SA= 15 Loja “B”: n=14 B = 800 SB= 13 Intervalo de confiança para a diferença das médias: g = n + m – 2 = 24 tabela “T” - Intervalo de Confiança [1-α] = 99% Tabela “T” - 797,22/1;2 mnt (1-α)=0,99 005,0 2 797,22/1,24 t 2 )1()1(11 22 2 1 mn SnSm mn R RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ; [ -115,356 ; -84,644] Não, O Zero não está contido no Intervalo de Confiança , portando as médias de sua alturas não podem ser consideradas iguais ao nível de significância de 99%. BOA SORTE!!! 24 13131511 . 14 1 12 1 22 xx R 2 S.1S.1 . 11 2 B 2 A mn mn mn R 49,5R RtYXRtYXRtYXIC tmntmnt 2;22;22 ; IC 49,5797,280070021 xRtYXIC FORMULÁRIO PARA PROVA TEOREMA DE BAYES: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) Função de probabilidade: Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) Função de probabilidade: Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) Função de probabilidade: Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) Função de probabilidade: Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) Função de probabilidade: Distribuição Exponencial - X ~ Exp λ) 1)Pr()( 1 xx ppxXxf )1( )!(! ! )1(Pr)( xnxxnx pp xnx n pp x n xXxf .)Pr()( 1 pqxXxf x .. 1 1 )Pr()( rxr qp r x xXxf ! )Pr()( x e xXxf x k j jj ii k j jj ii i BBA BBA BBA AB A AB AB 11 Pr|Pr Pr|Pr Pr|Pr Pr Pr Pr |Pr Função de probabilidade: Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) Função de probabilidade: Se X ~ N(μ,σ2) )1,0(~ N X Z Intervalos de Confiança - onde a e b são tirados da tabela qui- quadrado com (n-1) graus de liberdade 0 e 0 onde .exp.)( xxxf R 0 onde . 2 1 )( 22 2 2 2 eexf x n zX n zX n zXIC 2/12/12/1 ; n s tX n s tX n s tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; )ˆ1(ˆ ˆ , )ˆ1(ˆ ˆ )ˆ1(ˆ ˆ 2/12/12/1 n pp zp n pp zp n pp zpIC RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ; 2 )1()1(11 22 2 1 mn SnSm mn R aaSnbSn 1]/)1(/)1Pr[( 222 Tabelas
Compartilhar