Variáveis Aleatórias Discretas

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Introdução a Probabilidade e Estatistica 
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Discretas
Definição
Sejam E um experimento e S o espaço associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada elemento s  S um número real X(s) é denominado variável aleatória. Veja a ilustração.
S	X	R
Variável aleatória
Exemplo: E: lançamento de duas moedas;
X: nº de caras obtidas nas duas moedas;	K = cara	C = Coroa S = { (c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}
Onde:
X = 0 → corresponde ao evento (c, c) com probabilidade 1/ 4
X = 1 → corresponde ao evento (k, c), (c, k) com probabilidade 2/4 X = 2 → corresponde ao evento (k, k) com probabilidade 1/4
	X
	0
	1
	2
	P(X)
	1/4
	2/4
	1/4
 (
10
)
Observações Importantes
1. Observe que, apesar da infelicidade da terminologia “variável aleatória” é uma função cujo domínio é S e contradomínio R.
2. Nas aplicações, é conveniente trabalhar com números e não com eventos daí, o uso da variável aleatória.
3. Se S é numérico, então X(s) = s.
4. Uma variável aleatória X será discreta se o número de valores possível de X (seu contradomínio) for finito ou infinito numerável. Caso seu contradomínio seja um intervalo ou uma coleção de intervalos, ela será uma variável continua.
Função de Probabilidades
Seja X uma variável aleatória discreta.
A probabilidade de que a variável aleatória X assuma um particular valor x, é a função de probabilidade de x que se representa por P(X = x) ou simplesmente P(x). (  P( Xi ) 1). A função P(X = x) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória.
Exemplo1: E: lançamento de duas moedas.
 (
x
0
1
2
P(x)
1/4
2/4
1/4
)X: nº de caras obtidas. Tabela
Exemplo2: Lança-se um dado.
X = Variável aleatório pontos de um dado
	X
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	P(X)
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
	1/6
Y = X + X → v. a. Soma dos pontos de dois dados
	X
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	P(X)
	1/36
	2/36
	3/36
	4/36
	5/36
	6/36
	5/36
	4/36
	3/36
	2/36
	1/36
Exemplo: Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas. 3 bolas são retiradas com reposição. Seja x o número de bolas brancas.
P(X = 0) = PPP P(X = 1) = BPP * 3 P(X = 2) = BBP * 3 P(X = 3) = BBB * 3
	X
	0
	1
	2
	3
	P(X)
	0.216
	0.432
	0.288
	0.061
Exemplo 3: Uma urna contém duas bolas brancas e três vermelhas. Suponha que são sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposição. Definamos a v. a. X: número de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações.
Exemplo 4: considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, sem reposição, e defina a v. a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
Exemplo 5. Repita o exemplo4, mas considerando extrações com reposição.
Valor Médio de uma Variável Aleatória
Dada a v. a. X discreta, assumindo os valores x1, x2,.	,xn, chamamos valor médio ou
esperança matemática de X ao valor
n
E( X )   xiP( X i1
n
 x i )   xi pi
i1
Propriedades da média
1. A média de uma constante é a própria constante.
E(K ) KxiP(xi )  K P(xi )  K
2. Multiplicando uma variável aleatório X por uma constante, sua média fica multiplicada por essa constante.
E(KX )  KxiP(xi )  K  xiP(xi )  KE( X )
3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é a soma ou diferença das médias.
E( X Y )  E( X )  E(Y )
4. Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média fica somada ou subtraída da mesma constante.
E( X  K )  E( X )  E(K )  E( X )  K
5. A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto das médias.
E( XY )  xi yi P(xi yi)
E( XY )  xi yi P(xi ) P( yi ), pois xe y sãoindependentes E( XY )   xi P(xi )  yi P( yi )
E( XY )  E(xi ) E( yi )
Variância
Defini-se variância de uma variável aleatória como sendo:
Var(x)  2  E[( X  x )2] E( X 2) {E( X )}2
VAR( X ) (xi  x )2  p(xi)
Notação:
 (
x
)VAR(X), V(X),  2 (X),  2  2
Deduziremos uma fórmula mais fácil operacionalmente de ser aplicada.
 (
x
)VAR( X )  E( X 2 )   2	ou	VAR( X )  E( X 2 ) {E( X )}2
2	n	2
Obs1: onde E( X
)   xi i 1
 p(xi )
 (
VAR
(
 
X
 
)
)Obs2: O desvio padrão da variável X é a raiz quadrada da variância de X, isto é  
Var(x)  2  E[( X  x )2] E( X 2) {E( X )}2
Exemplo 6. Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas. 3 bolas são retiradas com reposição. Seja X o número de bolas brancas. Calcule E(X) e V(X).
	X
	P(X)
	X . P(X)
	0
	0.216
	0
	1
	0.432
	0.432
	2
	0.288
	0.576
	3
	0.064
	0.192
	Total
	1
	1.2
 (
n
)
E( X )   xi .P(xi )
i1
E( X )  0  0.216 1 0  432  2 0.288  3 0.064  1.2
Exemplo 7. Os empregados A, B, C e D ganham 1, 2, 2, e 4 salários mínimos, respectivamente. Retiram-se amostra com reposição de 2 indivíduos e mede-se o salário médio da amostra retirada. Qual a média e desvio padrão do salário médio amostral?
	Amostras
	Salário médio
	Amostras
	Salário médio
	AA
	1,0
	CA
	1,5
	AB
	1,5
	CB
	2,0
	AC
	1,5
	CC
	2,0
	AD
	2,5
	CD
	3,0
	BA
	1,5
	DA
	2,5
	BB
	2,0
	DB
	3,0
	BC
	2,0
	DC
	3,0
	BD
	3,0
	DD
	4,0
	X
	P(X)
	X.P(X)
	X2.P(X)
	1,0
	1/16
	1/16
	1/16
	1,5
	4/16
	6/16
	9/16
	2,0
	4/16
	8/16
	16/16
	2,5
	2/16
	5/16
	12.5/16
	3,0
	4/16
	12/16
	36/16
	4,0
	1/16
	4/16
	16/16
	
	1
	36/16 = 9/4
	90.5/16
Propriedades da variância
1. VAR(k) = 0, k: constante
2. VAR(k . X) = k2 . Var(x)
VAR( X ± Y ) = VAR(X) + VAR(Y) ± 2 cov (X, Y) VAR( X ± Y ) = E{[ (X ± Y) – E(X ± Y)]2}
Definição. Covariância entre X e Y.
Cov (X, Y0 = E{[X – E (X)] . [Y – E(Y)]}
A covariância mede o grau de dependência entre as duas variáveis X e Y.
DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Muitas vezes estaremos interessados em estudar mais de um resultado de um experimento aleatório. Faremos, apenas, o estudo das variáveis aleatórias bidimensionais.
Introduzirmos esse assunto com o seguinte problema:
Dado o quadro a seguir, referente ao salário e tempo de serviço de dez operários,
determinar a distribuição conjunta de probabilidade da variável X: salário (reais) e da variável Y: tempo de serviço em anos.
	Operário
	A
	B
	C
	D
	E
	F
	G
	H
	I
	J
	X
	500
	600
	600
	800
	800
	800
	700
	700
	700
	600
	Y
	6
	5
	6
	4
	6
	6
	5
	6
	6
	5
Faremos uma tabela de dupla entrada onde, no corpo da mesma, colocaremos a probabilidade conjunta das variáveis X e Y.
	Y
X
	4
	5
	6
	Totais das linhas (X)
	500
	0
	0
	1/10
	1/10
	600
	0
	2/10
	1/10
	3/10
	700
	0
	1/10
	2/10
	3/10
	800
	1/10
	0
	2/10
	3/10
	Totais	das colunas (Y)
	1/10
	3/10
	6/10
	1
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA
Seja X uma variável aleatória que assume os valores x1, x2,	xm e Y uma variável
aleatória que assume os valores y1, y2,.	yn.
Definição. A função de probabilidade conjunta associa a cada par (xi, yi), i = 1,.	,m e j =
1,.	n, a probabilidade P(X = xi, Y = yj) = p(xi, yj).
Damos o nome de distribuição conjunta de probabilidades da variável bidimensional (X, Y) ao conjunto:
{(xi, yj), p(xi, yj), i = 1,......,m e j = 1,	n}
m n
Observamos que:   P( X  xi ,Y  y j ) 1
i 1 j 1
BISTRIBUIÇÃO MARGINAIS DE PROBABILIDADES
Distribuição marginal de X
	X
	P(X)
	500
	1/10
	600
	3/10
	700
	3/10
	800
	3/10
	Total
	1
A Probabilidade Marginal de X = 600 é:
P(X = 600, Y = 4) + P(X = 600, Y = 5) + P(X = 600, Y = 6) = 0 + 2/10 + 1/10 = 3/10
Distribuição marginal de Y
	X
	P(X)
	4
	1/10
	5
	3/10
	6
	6/10
	Total
	1
Calcular a média e variância das distribuições marginais de X e Y.
Distribuições condicionais
Podemos estar interessados em calcular o salário médio dos operários com 5 anos de serviço, por exemplo. Queremos E(X/Y = 5)
Definição
P( X  xi / Y  y j ) 
e P(Y  y j )  0
P( X  xi ;Y  y j )
,
P(Y  y j )
j  fixo ei  1,2,	m
Definição
P(Y  y j / X  xi ) 
e P( X  xi )  0
P( X  xi ;Y  y j )
,
P( X  xi )
i  fixo e j  1,2,	m
P( X
 500 / Y  5)  P( X
 500,Y  5) 
P(Y  5)
0	 0
3 /10
P( X
 600 / Y  5)  P( X
 600,Y  5)  2 /10  2
	
P(Y  5)
3 /10	3
Assim temos:
P( X
 700 / Y  5)  P( X 700,Y  5)  1/10  1
	
P( X
 800 / Y  5)  P( X
P(Y  5)
 800,Y  5) 
P(Y  5)
3 /10	3
0	 0
3 /10
	X
	P(X/Y= 5)
	X.P(X/Y = 5)
	500
	0
	0
	600
	2/3
	1200/3
	700
	1/3
	700/3
	800
	0
	0
	Total
	1
	1900/3
E(X/Y = 5) = 633,3, o salário médio dos operários com 5 anos de serviço é de R$ 633,33
Variáveis Aleatórias independentes
As variáveis aleatórias X e Y são independentes se e somente se
P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi) . P(Y = yj), paara todo par (xi, yj), i = 1, 2,...,m e j = 1, 2,.	,n.
As variáveis X e Y do problema anterior não independentes pois, por exemplo,
P(X = 500, Y = 4) = 0 e P(X = 500) . P9Y = 4) =
1 1  1
10 10	100
P(X = 500, Y = 4) ≠ P(X = 500) . P(Y = 4)
Covariância
O grau de dispersão conjunta e de associação linear entre duas variáveis aleatória podem ser avaliados pela covariância.
Cov( X ,Y )  E[( Xi  x ) (Y j   j )]
Desenvolvendo-se os parentes, obtem-se a fórmula prática:
Cov ( X ,Y )  E[ XY ] x y	ou
Cov ( X, Y) = E( X . Y) – E( X ) E ( Y )
Se X e Y são independentes, então cov (x, y) = 0, a recíproca não verdadeira. Se X e Y não são independentes, então VAR (X ± Y) = VAR ( X ) + VAR ( Y).
Coeficiente de Correlação
Define-se coeficiente de correlação entre x e y como:
E[ XY ] x y
correlação 
 x y
ou
, -1≤ correlação ≤ 1
Aplicação
correlação  covariância
 x  y
	Y
X
	0
	1
	2
	3
	0
	1/8
	2/8
	1/8
	0
	1
	0
	1/8
	2/8
	1/8
Ex1. Dada a distribuição conjunta de probabilidade da variável (X, Y), representada pela tabela acima, calcular:
a) E(2X – 3Y)
b) Cov(X, Y)
c) Correlação
d) E(Y/X=1)
Ex2. Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y.
a) Achar as distribuições marginais de X e Y;
b) Calcular as marginais
c) Calcular E[X], E[Y] e E[XY}
d) Calcular covariância entre X eY
e) Calcular a correlação
f) As variáveis são independentes? Por quê?
	Y
X
	-2
	-1
	4
	5
	1
	0,1
	0,2
	0
	0,3
	2
	0,2
	0,1
	0,1
	0
Ex3.Sejam M e N duas variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições:
a) Achar a distribuição conjunta de (M, N);
b) Calcule E[M] e E[N];
c) Calcular a correlação e explique o resultado.
	M
	1
	3
	
	N
	5
	10
	12
	P(M)
	0,6
	0,4
	
	P(N)
	0,3
	0,5
	0,2
Ex4. X é uma variável aleatória discreta, tal que a função repartição é dada por:
F(-2) = 0,3 F(0) = 0,5 F(1) = 0,6 F(2) = 0,8 F(5) = 1,0
a) Calcular a media de X,
b) Calcular o desvio padrão.
Ex 5. A probabilidade do time A vencer qualquer jogo é 1/2. A joga com o time B num torneio. O primeiro time que ganhar 2 jogos seguidos ou um total de três jogos, vence o torneio. Encontre o número esperado de jogos no torneio.
Ex 6. Um jogador lança três moedas não viciadas. Ganga Cr$ 5,00 se ocorrerem 3 caras, Cr$ 3,00 se ocorrerem e Cr$ 1,00 se somente 1 cara ocorrer. Por outro lado, perde Cr$ 15,00, se 3 coroas ocorrerem. Encontre o valor do jogo.
Ex 7. Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y:
	Y X
	
-4
	
2
	
7
	
Soma
	1
	1/8
	1/4
	1/8
	1/2
	5
	1/4
	1/8
	1/8
	1/2
	Soma
	3/8
	3/8
	2/4
	
Encontre:
a) E(X) e E(Y)
b) Cov (X, Y)
c) Correlação (X, Y)
Resposta E(X) = 3, E(Y) = 1; Cov (X, Y) = 1,5 e correlação 0,17
Ex8. Suponha que D, a demanda diária de uma peça, seja uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:
P(D  d ) C22 / d!,	d  1, 2,3, 4.
a) Calcule a constante C.	respostas C=1/6
b) Calcule a demanda esperada.	E(D) = 19/9
Algumas Distribuições de Probabilidade Para Variáveis Aleatórias Discretas A DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório. Podemos ter sucesso ou fracasso nessa tentativa.
Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p+q=1.
Seja X: número de sucessos em uma única tentativa do experimento. X assume o valor 0 que corresponde ao fracasso, com probabilidade q, ou o valor 1, que corresponde ao sucesso, com probabilidade p.
Logo temos:
P( X  x)  p x  q1 x
Esperança e variância E(X) = p
VAR(X) = p – p2 = p (1- p) = pq
A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre que o processo de amostragem é do tipo Bernoulli. Um processo de Bernoulli é um
processo de amostragem no qual:
1. Em cada tentativa existem dois resultados possíveis mutuamente exclusivos.
Eles são chamados, por conveniência, sucesso e fracasso.
2. As séries de tentativas, ou observações, são constituídas de eventos independentes.
3. A probabilidade de sucesso, indicada por p, permanece constante de	tentativa para tentativa. Ou seja, o processo é estacionário.
A distribuição binomial pode ser utilizada para determinar a probabilidade de se obter um dado número de sucessos em um processo de Bernoulli. Três valores são necessários: o número de sucessos(X); o número de tentativas, ou observações (n); e a probabilidade de sucesso em cada tentativa (p).
A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e indicaremos pela notação X: B (n, p)
 (
x
) n  P( X )    p
x
(1  p)
nx
A fórmula é:
 
	n!
px (1  p)nx
(n  x)!x!
Ex1. A probabilidade de que um funcionário aleatoriamente escolhido partice de um programa de investimento em ações patrocinado pela empresa Albuquerque é de 0,40. Se 10 funcionários são escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de que a proporção de participante seja no mínimo 0,70.
O valor esperado (média) E(X) = n p Variância Var(X) = n.p (1-p)
Obs. a variância binomial é menor que a média.
Ex2. Se a probabilidade de que um possível cliente realize uma compra é 0,20, então a probabilidade de um vendedor que visita 15 clientes presumíveis realizar menos do que 3 vendas.
Ex3. Com referência ao exemplo 2, calcular o valor esperado e a variância.
Ex4. Devido às taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras firmas comerciais se encontram vencidas. Se um contador escolher aleatoriamente uma amostra de cinco contas, determinar a probabilidade de cada um dos seguintes eventos:
a) Nenhuma das contas está vencida;
b) Exatamente duas contas estão vencidas;
c) A maioria das contas está vencida
d) Exatamente 20% das contas estão vencidas.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo.
A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo. A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação à probabilidade de um sucesso.
Seja x o número de sucessos no intervalo, então:
e   x
P( X  x) 
x!
e = 2,718 é uma constante. onde λ é a média.
A variável X assim definida tem distribuição de poisson.
A distribuição de Poisson é muito usada na distribuição do número de:
1. Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia;
2. Erros tipográficos por página, em um material impresso;
3. Colônias de bactérias numa dada cultura por 0,01 mm2, numa plaqueta de microscópio;
4. Defeitos por unidade (m2, m3, m, etc.,) por peça fabricada;
5. Mortes por ataque de coração por ano, numa cidade;
6. Problemas de filas de espera em geral, e outros.
Em muitos casos, conhece-se o nº de sucessos, porém se torna difícil e, ás vezes, sem sentido, determinar o nº de fracasso ou o nº total de provas.
Esperança e variância
Calculo da média:
 (

)
E( X )   xp(x)  
x0
Variância
VAR( X )  
Ex 7.Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros?
Ex 8.Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:
a) Num minuto não haja nenhum chamado;
b) Em 2 minuto haja 2 chamados;
c) Em t minutos não haja chamados.
Ex 9. Em média, cinco pessoas por hora realizam transações em um setor de “serviços especiais” de um banco comercial. Supondo que a chegada de tais pessoas está distribuída de maneira independente e de forma igual em todo o período de interesse, qual a probabilidade de que mais de 10 pessoas queiram fazer transações no setor de “serviçosespeciais” durante uma hora especifica?
Aproximação da distribuição binomial pela distribuição de Poisson
Muitas vezes, no uso da binomial, acontece que n é muito grande (n→∞) e p é muito pequeno (p→0).
Quando isso ocorre, a média   np será tomado   np
Ex10. Seja X:B(200;0,01). Calcular P(X=10) usando binomial e aproximação pela Poisson.
Ex11. A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é
1 . Numa instalação com 100
100
lâmpadas, qual a probabilidade de 2 lâmpadas se queimarem ao serem ligadas?
Lista de Exercícios
1. Se X tiver uma distribuição de Poisson com parâmetro β, e se P(X=0) = 0,2, calcular P(X > 2).
2. Suponha-se que a probabilidade de que uma peça, produzida por determinada máquina, seja defeituosa é 0,2. se 10 peças produzidas por essa máquina forem escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais de uma defeituosa seja encontrada? Empregue a distribuição binomial e de Poisson e compare os resultados e comente.
3. uma companhia de seguros Albuquerque descobriu que somente cerca de 0,1 por cento da produção está incluída em certo tipo de acidente cada ano. Se seus 10.000 segurados são escolhidos, ao acaso, na população, qual é a probabilidade de que não mais do que 5 de seus clientes venham a estar incluídos em tal acidente no próximo ano?
4. suponha que x tenha uma distribuição de Poisson. Se P(X=2)=2/3 P(X=1), calcular P(X=0) e P(X=3).
6. Sabe-se que 20% dos animais submetidos a certo tratamento não sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de não sobreviventes:
a) Qual a distribuição de X?
b) Calcular E(X) e V(X)
c) Calcular P(2<X<4)
d) Calcular P(X≥2)
7. Um caixa do banco Albuquerque atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de que atenda:
a) nenhum cliente em 4 minutos;
b) no máximo dois clientes em 2 minutos.
Boa Sorte
Probabilidade na loteria
Uma profissão que se utiliza muito da teoria das probabilidades, é o de Estatístico (claro que em um nível mais alto). Um dos possíveis cálculos que um Matemático Estatístico poderia fazer, que seria de muita valia para cultura geral, é o cálculo da probabilidade de ganhar nos principais jogos de loteria do Brasil.
Inclusive, o estudo desta teoria iniciou justamente para ser possível este tipo de cálculo que iremos demonstrar aqui.
Como as regras do jogo das diferentes loterias seguem uma certa linearidade, podemos utilizar uma fórmula geral para cálculo das probabilidades em qualquer que seja o jogo.
Neste tópico iremos explicar de onde veio esta fórmula! Veja ela abaixo:
	
Vamos chamá-la no decorrer da explicação de:
"FÓRMULA (1)"
	a
	=
	Total de números disponíveis para apostar.
	
	b
	=
	Total de números sorteados.
	
	k
	=
	Total de números que iremos apostar.
	
	i
	=
	Total de números que se deve acertar para ganhar tal prêmio.
	
	
	
=
	
Combinação de "n" elementos tomados "p" a "p".
	Exemplo de aplicação:
Qual a probabilidade acertar 5 dezenas no jogo da mega sena apostando um jogo simples?
a = 60	k = 6 (aposta simples) b = 6		i = 5
Bilhetes na mão, e BOA SORTE!! :
"O professor é aquele que faz brotar duas ideias onde antes só havia uma". Elbert Hubbard