C3-9

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Números Complexos 
Números Complexos 
1. Conceito e definição 
A solução de 𝑥2 + 1 = 0 não contempla uma solução real. Similarmente a equação geral 
de segundo grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, tem a solução geral 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐2𝑎 
Entretanto, quando 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, a solução geral não pode ser escrita por números reais. 
A solução de equações com o radicando negativo só pode ser contemplada a partir de 
um campo de número diferente aos dos reais: o campo dos números complexos. 
 
Um número complexo pode ser representado por uma expressão da forma 𝒂 + 𝒃𝒊 , 
onde a e b são números reais e i é símbolo da unidade imaginaria com a propriedade 𝑖2 = −1, ou seja, 𝑖 = −1 
Exemplos de números complexos: 3𝑖, 1 + 2𝑖 ou 0,11 − 2𝑖. 
 
Todo número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária. Assim, o número 
complexo genérico 𝒂 + 𝒃𝒊 tem como parte real a 𝒂 e como parte imaginaria a 𝒃. 
 
Por exemplo 2 + 3𝑖, tem como parte real a 2 e como parte imaginária a 3. 
 
As propriedades para simplificar os números complexos são similares as utilizadas com os 
números reais. 
 
Observe que −9 = (9)(−1) = 3 −1 = 3𝑖. Em geral −𝒑 = 𝒑 𝒊. 
 
Exemplo. Simplificar −5 −5. 
 
A simplificação correta é obtida fazendo: −5 −5 = 5 𝑖 5 𝑖 = −5, uma vez 
que 𝑖2 = −1. 
 
Entretanto, é errada a simplificação: 
 −5 −5 = (−5)(−5) = 25 = 5. 
2. Complexo conjugado 
 
O complexo conjugado de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 corresponde a 𝑧 = 𝑎 − 𝑏 𝑖. 
 
Por exemplo, o complexo conjugado de 2 + 3𝑖 é 2 − 3𝑖 
3. Operações com números complexos: 
 Considere os números complexos 𝑎 + 𝑖𝑏 e 𝑐 + 𝑖𝑑: 
 
Igualdade de números complexos: 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑐 + 𝑖𝑑 
 
A igualdade é dada se, e somente se, 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑 
 
Adição de números complexos: (𝑎 + 𝑖𝑏) + (𝑐 + 𝑖𝑑) = (𝑎 + 𝑐) + 𝑖(𝑏 + 𝑑) 
 
Exemplo: 1 + 2𝑖 + 3 + 4𝑖 = 1 + 3 + (2𝑖 + 4𝑖) = 4+ 6𝑖 
 
Diferença de dois números complexos: (𝑎 + 𝑖𝑏) − (𝑐 + 𝑖𝑑) = (𝑎 − 𝑐) + 𝑖(𝑏 − 𝑑) 
 
Exemplo: 3 + 2𝑖 − 5 − 3𝑖 = 3 − 5 + 2𝑖 + 3𝑖 = −2+ 5𝑖 
 
Multiplicação de dois números complexos: (𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑐 + 𝑖𝑑) = (𝑎𝑐 – 𝑏𝑑) + 𝑖 (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 
Uma vez que 𝑖2 = −1. 
 Exemplo: 5 + 3𝑖 2 − 2𝑖 = 10− 10𝑖 + 6𝑖 + 6 = 16− 4𝑖 
 
Multiplicação de dois números complexos por uma constante real r: 𝑟 𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑎𝑟 + 𝑖(𝑏𝑟) 
 Exemplo: 2 1 + 3𝑖 = 2 + 6𝑖 
 
Divisão de dois números complexos 
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador. 
 𝑎 + 𝑏𝑖𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖𝑐 + 𝑑𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖𝑐 − 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖𝑐2 + 𝑑2 
 
Exemplo. 2 + 3𝑖6 − 2𝑖 = 2 + 3𝑖6 − 2𝑖 6 − 2𝑖6 − 2𝑖 = 12+ 4𝑖 + 18𝑖 + 6𝑖236 + 12𝑖 − 12𝑖 − 4𝑖2 = 6 + 22𝑖40 = 320+ 1120 𝑖 
4. Representação gráfica dos números 
complexos: Plano de Argand 
 
Todo número complexo 𝑎 + 𝑏𝑖 tem duas 
informações vinculadas a parte real (𝑎) e a parte 
imaginaria (𝑏). Isto sugere que o número 
complexo pode ser representado como o ponto (𝒂, 𝒃) em um plano (plano de Argand). O eixo 
horizontal é denominado eixo real, ao passo que 
o eixo vertical é chamado de eixo imaginário. 
 
O número complexo i é identificado com o 
ponto (0, 1) e desenhado como um ponto em 
um plano (Figura 1), 
Figura 1. Números complexos 
como pontos no plano Argand 
 
5. Valor Absoluto ou Módulo 
 
O módulo 𝑧 do número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 
é dado por 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 . 
 
Por exemplo, o módulo de 𝑧 = 3 + 4 𝑖 é 𝑧 = 32 +42 = 5 
 
Pode ser facilmente demostrado que: 
 O módulo de um número complexo é igual 
ao módulo de seu conjugado: 𝑧 = 𝑧 
 O produto de um número complexo pelo seu 
conjugado é igual ao quadrado de seu 
módulo: 𝑧 𝑧 = 𝑧 2 
Figura 2. Representação gráfica do 
modulo de um número complexo. 
6. Forma Polar 
 Todo número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 pode ser 
considerado como um ponto (a, b). 
A representação desse ponto em coordenadas polares (𝑟, 𝜃) corresponde a: 𝑎 = 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑏 = 𝑟 sen 𝜃 
 
Assim, a representação do todo número complexo 
pode ser escrita como: 
Figura 3. Representação polar 
de um número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 𝑟 sen 𝜃 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sen 𝜃 = 𝑟 cos 𝜃 , sen 𝜃 
 𝑟 = 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 tan 𝜃 = 𝑏𝑎 
7. Fórmula de Euler. 
Consideremos a função 𝑓 𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃. A derivada em relação a 𝜃 resulta: 𝑑𝑓𝑑𝜃 = −sen𝜃 + 𝑖 cos 𝜃 → 𝑑𝑓𝑑𝜃 = 𝑖 𝑖 sen 𝜃 + cos 𝜃 = 𝑖𝑓 
 
O comportamento corresponde ao da derivada da função 𝒆𝒂𝒕 em relação a 𝑡 , ou seja: 𝑑𝑒𝑎𝑡𝑑𝑡 = 𝑎𝑒𝑎𝑡 
 
Portanto, 𝑓 é a função exponencial: 𝑓 = 𝑒𝑖𝜃. 
 
Assim resulta a identidade: 𝒆𝒊𝜽 = 𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝒊 𝐬𝐞𝐧 𝜽 que é conhecida como fórmula de Euler. 
 
Deste modo, um número complexo também pode ser escrito como: 
 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 
8. Potências 
 
Se multiplicamos 𝑧2𝑧3, resulta 𝑧5 ou em termos da formula de Euler (𝑟 𝑒𝑖𝜃)5= 𝑟5 𝑒𝑖5𝜃 . 
 
De um modo geral 𝑧𝑛 = (𝑟 𝑒𝑖𝜃)𝑛= 𝑟𝑛 𝑒𝑖𝑛𝜃 . 
 
 
9. Teorema de De Moivre 
 
Usando a forma polar, a formula de Euler: 𝒆𝒊𝜽 = 𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝒊 𝐬𝐞𝐧 𝜽 
e a teoria de expoentes,: 
 cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 𝑛 = (𝑒𝑖𝜃)𝑛= 𝑒𝑖𝑛𝜃 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sen 𝑛𝜃 
cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 𝑛 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sen𝑛𝜃 
10. Raízes 𝑧1/𝑛 (𝑛 inteiro positivo) 
𝑧1/𝑛 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃) 1/𝑛 
𝑧1/𝑛 = 𝑟1/𝑛(cos 𝜃 + 2𝑘𝜋𝑛 + 𝑖 sen𝜃 + 2𝑘𝜋𝑛 ) 
𝑧1/𝑛 = 𝑟1/𝑛(cos 𝜃 + 2𝑘𝜋𝑛 + 𝑖 sen𝜃 + 2𝑘𝜋𝑛 ) = 𝑟1/𝑛𝑒𝑖(𝜃𝑛+2𝑘𝜋𝑛 ) 
No circulo trigonométrico 𝜃 → 𝜃 + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 = 0,±1,±2,… 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 Representação dos 
números complexos 
𝒆𝒊𝜽 = 𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝒊 𝐬𝐞𝐧𝜽 Fórmula de Euler 
𝒆𝒊𝝅 + 𝟏 = 𝟎 Identidade de Euler 
Exemplo. Determine as raízes de −164 
 
𝑤 = −164 = 16𝑒𝑖𝜋4 = 164 𝑒𝑖(𝜋4+2𝑘𝜋4 ) = 164 𝑒𝑖(𝜋4+𝑘𝜋2) 𝑘 = 0,±1, ±2,… 
 𝑤 = 2 𝑒𝑖𝜋4 , 2 𝑒𝑖3𝜋4 , 2 𝑒𝑖5𝜋4 , 2 𝑒𝑖7𝜋4 
 
Dado o número: 𝑧 = −16+ 0i, queremos calcular 𝑧4 
Como nosso primeiro passo, 
representamos o numero –16 em 
um diagrama de Argand e 
determinamos sua representação 
polar 𝑟𝑒𝑖𝜃 . Assim, identificamos 𝑟 = 16 e 𝜃 = 𝜋. 
𝑧 = −16+ 0i = 16 𝑒𝑖𝜋 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 𝜃 → 𝜃 + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 = 0,±1,±2,… 
 𝑤0 = 2 𝑒𝑖𝜋4 = 2 cos 𝜋4 + 𝑖 sen𝜋4 = 2(1 + 𝑖) 𝑤1 = 2 𝑒𝑖3𝜋4 = 2 cos 3𝜋4 + 𝑖 sen3𝜋4 = 2(−1+ 𝑖) 𝑤2 = 2 𝑒𝑖5𝜋4 = 2 cos 5𝜋4 + 𝑖 sen 5𝜋4 = 2(−1 − 𝑖) 𝑤3 = 2 𝑒𝑖7𝜋4 = 2 cos 7𝜋4 + 𝑖 sen7𝜋4 = 2(1 − 𝑖) 
𝑤 = −164 = 16𝑒𝑖𝜋4 = 164 𝑒𝑖(𝜋4+𝑘2𝜋4 )= 164 𝑒𝑖(𝜋4+𝑘𝜋2) ; 𝑘 = 0,±1,±2,… 
 𝑤 = 2 𝑒𝑖𝜋4 , 2 𝑒𝑖3𝜋4 , 2 𝑒𝑖5𝜋4 , 2 𝑒𝑖7𝜋4 𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sen𝜃 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎, 𝑏 = 𝑟 cos𝜃 + 𝑖 sen𝜃 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 
11. Exercícios Resolvidos 
 
Expressar em termos de 𝑖. 
 𝑎) −25 𝑏) −1/2 
𝑐) 2 −1625 − 3 −49100 
11. Exercícios Resolvidos 
 
Expressar em termos de 𝑖. 
 𝑎) −25 = (25)(−1) = (25) −1 = 5 𝑖 
 𝑏) −1/2 = 1/2 −1 = 1/2 𝑖 = 22 i 
 
𝑐) 2 −1625 − 3 −49100 = 2 45 𝑖 − 3 710 𝑖 = 85 𝑖 − 2110 𝑖 = −12 𝑖 
Simplificar: 
 𝑎) 𝑎 + 𝑏 𝑖 + 𝑎 − 𝑏 𝑖 
 𝑏) 3𝑖 𝑖 + 2 
 𝑐) 2 − 𝑖 3 + 2𝑖 1 − 4𝑖 
𝑑)1 + 𝑖3 − 𝑖 
 𝑒) 2 3 + 2 𝑖3 2 − 4 3 𝑖 
 𝑓) 3𝑖30 − 𝑖192𝑖 − 1 
Simplificar: 
 𝑎) 𝑎 + 𝑏 𝑖 + 𝑎 − 𝑏 𝑖 = 2𝑎 
 𝑏) 3𝑖 𝑖 + 2 = 3𝑖2 + 6𝑖 = −3 + 6𝑖 
 𝑐) 2 − 𝑖 3 + 2𝑖 1 − 4𝑖 = 6 + 4𝑖 − 3𝑖 − 2𝑖2 1 − 4𝑖 = 8 + 𝑖 1 − 4𝑖 = 8 − 32𝑖 + 𝑖 − 4𝑖2 = 12 − 31𝑖 
𝑑)1 + 𝑖3 − 𝑖 = 1+ 𝑖3 − 𝑖 3 + 𝑖3 + 𝑖 = 3 + 3𝑖 + 𝑖 + 𝑖232 − 𝑖2 = 2+ 4𝑖10 = 15 + 25 𝑖 
 𝑒) 2 3 + 2 𝑖3 2 − 4 3 𝑖 = 2 3 + 2 𝑖3 2 − 4 3 𝑖 3 2 + 4 3 𝑖3 2 + 4 3 𝑖 = 6 6 + 8 9𝑖 + 3 4𝑖 + 4 6𝑖218 + 48= 2 6+ 30𝑖66 = 633 + 511 𝑖 
 𝑓) 3𝑖30 − 𝑖192𝑖 − 1 = 3(𝑖2)15 − (𝑖2)9𝑖2𝑖 − 1 = 3(−1)15−(−1)9𝑖−1 + 2𝑖 = −3+ 𝑖−1+ 2𝑖 −1 + 2𝑖−1+ 2𝑖= 3 + 6𝑖 − 𝑖 − 2 𝑖21 − 4 𝑖2 = 5+ 5𝑖5 = 1+𝑖 
Escrever em forma polar e exponencial: 
 𝑎) 2 + 2 3𝑖 
 
 𝑏) − 3𝑖 
 
 
Escrever em forma polar e exponencial: 
 𝑎) 2 + 2 3𝑖 
 𝑟 = 22 + (2 3)2= 4+ 12 = 4 tan 𝜃 = 2 32 → 𝜃 = 𝜋/3 2 + 2 3𝑖 = 4 cos𝜋3 + 𝑖 sen𝜋3 = 4 𝑒𝜋𝑖3 
 𝑏) − 3𝑖 
 𝑟 = 02 + (−3)2= 3 𝜃 = 3𝜋2 −3𝑖 = 3 cos 3𝜋2 + 𝑖 sen3𝜋2 = 3 𝑖 sen 3𝜋2 = 3𝑒3𝜋𝑖2 
 
Calcule 
 𝑎) 𝑒𝑖𝜋 
 𝑏) 𝑒−1+𝑖𝜋/2 
Calcule 
 𝑎) 𝑒𝑖𝜋 
 
Da identidade: 𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 𝑒𝑖𝜋 = cos𝜋 + 𝑖 sen𝜋 = −1 + 𝑖 0 = −1 
 𝑏) 𝑒−1+𝑖𝜋/2 
 𝑒−1+𝑖𝜋/2 = 𝑒−1 cos 𝜋2 + 𝑖 sen 𝜋2 = 𝑒−1 0 + 𝑖 = 𝑖𝑒 
Resolva a equação 𝑧2 + 2𝑖 − 3 𝑧 + 5 − 𝑖 = 0 
Resolva a equação 𝑧2 + 2𝑖 − 3 𝑧 + 5 − 𝑖 = 0 
 𝑧 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐2𝑎 ; 𝑎 = 1, 𝑏 = 2𝑖 − 3, 𝑐 = 5− 𝑖 𝑧 = − 2𝑖 − 3 ± 2𝑖 − 3 2 −4 1 5 − 𝑖2 1 = 3 − 2𝑖 ± −15− 8𝑖2 = 3 − 2𝑖 ± 1 − 4𝑖2 𝑧1 = 2 − 3𝑖 𝑧2 = 1 + 3𝑖 
Escreva a equação 2𝑥 + 𝑦 = 5 em termos de variáveis complexas e conjugadas. 
Escreva a equação 2𝑥 + 𝑦 = 5 em termos de variáveis complexas e conjugadas. 
 
Se definimos a variável complexa 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, logo o conjugado será 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦. 
Portanto, 𝑥 = 𝑧 + 𝑧 2 ; 𝑦 = 𝑧 − 𝑧 2 
Logo a equação pode ser escrita como: 
 2 𝑧 + 𝑧 2 + 𝑧 − 𝑧 2 = 5 → 2𝑖 + 1 𝑧 + 2𝑖 − 1 𝑧 = 10𝑖 
 
Determine as raízes: 
 𝑎) (−1 + 𝑖)1/3 
 𝑏) (−2 3 − 2𝑖)1/4 
Determine as raízes: 
 𝑎) (−1 + 𝑖)1/3 
 −1 + 𝑖 = 2 cos 3𝜋4 + 2𝑘𝜋 + 𝑖 sen 3𝜋4 + 2𝑘𝜋 
(−1 + 𝑖)1/3= 21/6 cos 3𝜋4 + 2𝑘𝜋3 + 𝑖 sen 3𝜋4 + 2𝑘𝜋3 𝑘 = 0 𝑧0 = 21/6 cos 𝜋4 + 𝑖 sen 𝜋4 𝑘 = 1 𝑧1 = 21/6 cos 11𝜋12 + 𝑖 sen 11𝜋12 𝑘 = 2 𝑧2 = 21/6 cos 19𝜋12 + 𝑖 sen 19𝜋12 
𝑏) (−2 3− 2𝑖)1/4 
 −2 3− 2𝑖 = 4 cos(7𝜋6 + 2𝑘𝜋) + 𝑖 sen(7𝜋6 + 2𝑘𝜋) (−2 3 − 2𝑖)1/4= 41/4 cos(7𝜋6 + 2𝑘𝜋4 )+ 𝑖 sen(7𝜋6 + 2𝑘𝜋4 ) 𝑘 = 0 𝑧0 = 21/2 cos 7𝜋24 + 𝑖 sen 7𝜋24 𝑘 = 1 𝑧1 = 21/2 cos 19𝜋24 + 𝑖 sen 19𝜋24 𝑘 = 2 𝑧2 = 21/2 cos 31𝜋24 + 𝑖 sen 31𝜋24 𝑘 = 3 𝑧0 = 21/2 cos 43𝜋24 + 𝑖 sen 43𝜋24 
Use a identidade de Euler para simplificar 𝑦 = 𝐶1 𝑒𝑟1𝑥 + 𝐶2 𝑒𝑟2𝑥, onde: 𝑟1 = 𝛼 + 𝑖 𝛽 e 𝑟2 = 𝛼 − 𝑖 𝛽 
Use a identidade de Euler para simplificar 𝑦 = 𝐶1 𝑒𝑟1𝑥 + 𝐶2 𝑒𝑟2𝑥, onde: 𝑟1 = 𝛼 + 𝑖 𝛽 e 𝑟2 = 𝛼 − 𝑖 𝛽 
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟: 𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sen 𝜃 𝑦 = 𝐶1 𝑒𝑟1𝑥 + 𝐶2 𝑒𝑟2𝑥 = 𝐶1 𝑒(𝛼+𝑖 𝛽 )𝑥 + 𝐶2 𝑒(𝛼−𝑖 𝛽 )𝑥 = 𝐶1 𝑒𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑒𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥 = 𝑒𝛼𝑥 (𝐶1+𝐶2) cos 𝛽𝑥 + 𝑖(𝐶1−𝐶2) sin 𝛽𝑥 
 
 𝑐1=𝐶1 + 𝐶2 𝑐2=𝑖(𝐶1 − 𝐶2) 
 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥 𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥