Conjunto dos números complexos

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Conjunto dos números complexos 
Prof. Fernando
Introdução:
Vamos resolver a equação do 2º grau:
Como o delta é negativo, então não existe solução, no conjunto dos números reais.
Portanto, a partir de agora vamos introduzir a unidade imaginária, ou seja, i e a seguinte igualdade:
i2 = -1
Então, poderemos dar continuidade na resolução do exercício:
Portanto, a solução da equação é um número complexo.
Conjunto dos números complexos
Sejam a, b Є R então, todo número escrito da forma z = a + bi tal que:
a = parte real, ou seja, Re(z).
bi = parte imaginária, ou seja, Im(z).
i = unidade imaginária.
É chamado de número complexo. 
Exemplos:
a) z = 3 + 4i
a = 3 e b =4
b) z = -4 + i
a = -4 e b = 1
c) z = -7 – i
a = - 7 e b = -1.
d) z = 6i
a = 0 e b = 6 (IMAGINÁRIO PURO)
e) z = -12
a = - 12 e b = 0 (NÚMERO REAL)
Portanto, todo número real também é complexo
Outros exemplos:
1) Determinar o número real p de modo que o número complexo z = ( 2p - 8) + ( p – 2)i represente:
a) um número real.
Para que seja um número real,teremos b =0:
Como b = p -2
p – 2 = 0 
p = 2
b) um número imaginário puro.
Para que seja um imaginário puro, teremos a = 0 e b ≠ 0 então p ≠ 2:
Como a = 2p – 8
2p – 8 = 0
2p = 8
p = 4 
2) Resolva a equação no conjunto dos complexos:
Igualdade de números complexos
 Dois números complexos são iguais se, e somente se, forem respectivamente iguais as suas partes reais e imaginárias.
 Assim, dados z1 = a + bi e z2 = c + di , temos:
 Exemplo: Para que valores de x e y os complexos 
 z1 = 2x + y – 6i e z2 = 6 + (x – y)i são iguais ?
Conjugado de um numero complexo
Dado um número complexo , chamamos de conjugado de z o número complexo 
Exemplos:
Operações com números complexos na forma algébrica
Sejam z1 e z2 números complexos e z1 =a + bi e 
z2 = c + di, então:
Adição: 
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = 
(a + c) + (b + d)i.
Subtração:
z1 – z2 = (a + bi) - (c + di) = a + bi - c - di = 
(a - c) + (b - d)i.
CONCLUSÃO: eliminar os parênteses e agrupar os termos semelhantes, ou seja, a parte real e a parte imaginária.
Multiplicação:
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
Como i2 = -1, então:
ac + adi + bci + bd(-1) = ac + adi + bci – bd =
(ac – bd) + (ad + bc)i
Divisão:
Para eliminar a unidade imaginária, ou seja, i, multiplicamos ambos os termos pelo conjugado do denominador, ou seja, c - di 
Exemplos:
1)Dados os números complexos z1 = 5 + 2i e 
z2 = 3 – 4i, vamos calcular:
2) Sendo z = 3 – 5i, vamos calcular z . z = z2
3) Dado z = 3 + 5i, vamos calcular o seu inverso.
 
POTÊNCIA DE i
Seja in ,com n natural, as potências de i:
 Como as potências seguem uma sequência periódica com 4 resultados, ou seja, 1, i, -1, -i, então para se obter a potência de i com expoente natural qualquer, basta dividir o expoente por 4: o resultado corresponde a quantidade de sequências completas e o resto, o expoente da potência correspondente.
 Exemplo: qual o valor da potência i22 ?
 Portanto, são 5 sequências completas e a 6ª parou na 3ª posição, ou seja i2=-1, ou seja,
 i22 = i2 = -1
Conclusão:
Exemplos
1)Resolva as potências abaixo:
2)Calcular o valor da expressão E = i41 + 2i58 -4i64 
3) Resolva a potência:
 (3 +2i)2
4) Resolva a potência:
 (1 + i)8
Representação geométrica de um número complexo
A forma algébrica a + bi é uma das maneiras de representar um número complexo. A outra forma de representá-lo é escrevê-lo como par ordenado na forma (a, b).
O ponto P(a, b) que representa o número complexo z = a + bi é chamado de afixo ou imagem geométrica de z.
A sua representação geométrica é feita em um sistema de coordenadas ortogonais chamado de plano Argand-Gauss.
Plano argand - gauss
Exemplos:
Represente, no plano Argand – Gauss, os seguintes números complexos:
Módulo e argumento de um número complexo 
Sejam z = a + bi um número complexo e sua representação geométrica P(a, b).
Então:
Módulo : é a distância do ponto P até a origem,ou seja, medida de OP.
Argumento: é o ângulo formado entre o segmento OP e o eixo real, no sentido antihorário.
Exemplos:
Calcular o módulo e o argumento dos números complexos a seguir:
Forma trigonométrica ou polar de um número complexo
Consideremos o número complexo Z = a + bi, com a e b reais, de módulo ρ e argumento Θ.
Observando o triângulo retângulo OAP, temos:
Portanto:
Forma trigonométrica ou polar de z.
Exemplos:
1) Escreva o número complexo abaixo, na forma trigonométrica:
2) Escreva a forma algébrica do número complexo, cuja forma trigonométrica é:
Operações na forma trigonométrica
Dados dois números, na forma trigonométrica:
Então:
Multiplicação:
Divisão:
Potenciação (1ª fórmula de De Moivre):
Exemplos:
Sejam:
Calcule:
Observe a situação a seguir:
Resolva a equação a seguir, no campo dos complexos:
Ou seja, quais são os números complexos que elevados à quarta potência dá 16?
Radiciação (2ª fórmula de De Moivre):
Sejam:
n = índice da raiz
wk = as raízes enésimas do número complexo
Então:
Observações importantes:
Se for raiz , então o seu conjugado
 também será.
Como é constante e os argumentos diferem de (para valores consecutivos de n), conclui-se que as imagens geométricas (afixos) das n raízes, para , são vértices de um polígono regular de n lados, inscrito em uma circunferência de centro na origem e raio , tendo uma das raízes o argumento
Exemplos:
1)Calcule as raízes quartas do número complexo 16.
Resolução: Primeiramente, devemos descobrir o valor do módulo e o argumento de z:
Geometricamente:
2) Calcular as raízes quadradas de .
Resolução:
 
Geometricamente:
(
)
36
40
4
10
1
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36
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2
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25
26
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16
9
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6
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15
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6
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30
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25
30
9
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34
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34
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25
9
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3
25
9
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3
5
3
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7
2
5
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i
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n
n
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4
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i
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16
16
16
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0
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4
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1
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4
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tan
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3
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.
6
º
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6
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º
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º
135
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135
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×
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]
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1
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1
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1
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1
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:
tan
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cos
q
q
q
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q
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q
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sen
i
z
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1
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cos
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30
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30
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64
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3
º
10
3
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º
10
º
10
cos
2
1
º
10
º
20
º
10
º
20
cos
4
2
)
º
350
º
350
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2
º
10
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10
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2
º
20
º
10
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20
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10
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2
4
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º
30
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30
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8
º
20
º
10
º
20
º
10
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4
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3
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1
1
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2
1
2
1
3
1
1
2
2
1
2
1
isen
isen
z
d
isen
isen
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