resumo teórico e lista de exercícios - Números Complexos

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RESUMO E EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Prof. Claudio Saldan 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Forma algébrica e geométrica 
Um número complexo é um número da forma a + bi, com a e b reais e i 1= − (ou, i2 = -1), chamaremos: a – parte 
real; b – parte imaginária; e i – unidade imaginária. 
Fixando um sistema de coordenadas no plano, o complexo z = a + bi é representado pelo ponto P(a, b). O ponto P é 
chamado de imagem (ou afixo) do complexo z. O plano no qual representamos os complexos é chamado de plano de 
Argand-Gauss. O eixo dos x é chamado de eixo real e o eixo dos y é chamado de eixo imaginário. 
Em particular o número complexo z = a + bi, será chamado: imaginário puro se a = 0 e b ≠ 0; imaginário se a ≠ 0 e 
b ≠ 0; real se b = 0. 
 
POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA 
As potências de i apresentam um comportamento interessante. Essas potências se repetem em ciclos de 4 e para qualquer 
potência natural n de i corresponderá a uma das seguintes possibilidades: i
0
 = 1; i
1
 = i; i
2
 = –1; i
3
 = –i. 
Observe que n pode ser escrito como n = 4q + r, onde q é quociente e r é o resto da divisão de n por 4, assim: 
( )4 4 4. . 1 .+= = = = =qn q r q r r q r ri i i i i i i i . 
IGUALDADE 
Os complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i são iguais se, e somente se, a1 = a2 e b1 = b2. 
 
OPERAÇÃO DE ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO 
Definem-se, no conjunto dos complexos, as operações usuais, válidas para os números reais, isto é, para efetuarmos a 
adição/subtração entre complexos basta adicionar/subtrair as partes reais e imaginárias ordenadamente, para efetuarmos a 
multiplicação entre complexos basta usarmos a distributividade entre seus elementos. 
 
CONJUGADO 
O conjugado do complexo z = a + bi, a e b reais, é o complexo z = a – bi. Os complexos conjugados tem imagens 
simétricas em relação ao eixo real. Fazendo .z z obtemos a norma de z, um número real. 
 
DIVISÃO 
Para dividir números complexos, multiplicamos dividendo e divisor pelo conjugado do divisor, o que transforma o 
problema em uma divisão por um número real. 
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EXERCÍCIOS EM SALA 
 
1. (FUVEST) Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária do número complexo 
2
2
+
α +
i
i
é zero, então α é: 
a) -4 
b) -2 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
 
2. (UEL) Seja o número complexo z = x + yi, com x e y reais. Se z.(1 – i) = (1 + i)
2
, então: 
a) x = y 
b) x – y = 2 
c) x.y = 1 
d) x + y = 0 
e) y = 2x 
 
3. Seja a matriz 
342z z i
A
zz z z
 +
=  
− 
, onde z = a + bi é um número complexo. 
Sendo det A = 27, o valor de a
2
 + b
2
 é igual a... 
 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
01 - (UFJF MG) A figura abaixo mostra, no plano complexo, o círculo de raio 1, os afixos de cinco números complexos e 
as bissetriz dos quadrantes. O número complexo zi , onde “i” é a unidade imaginária e z é o conjugado de z, é 
igual a: 
.z.r
..w t.s
 
a) z; 
b) w; 
c) r; 
d) s; 
e) t; 
 
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02 - (UNICAMP) Um triângulo eqüilátero, inscrito em uma circunferência de centro na origem, tem como um de seus 
vértices o ponto do plano associado ao número complexo i3 + . 
a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse 
triângulo. 
b) Qual a medida do lado desse triângulo? 
 
03 - (UNIFICADO) A figura mostra, no plano complexo, o círculo de centro na origem raio 1, e as imagens de cinco 
números complexos. 
O complexo 1/z é igual a: 
wr
s t
.
..
.
z
.
 
a) z 
b) w 
c) r 
d) s 
e) t 
 
04 - (UEM) Seja i a unidade imaginária, a e b as raízes da equação 01ixx2 2 =++ , é incorreto afirmar que 
a) a parte real de a e a parte real de b são iguais. 
b) |a| + |b| = |a −−−− b| 
c) baba +=+
v
 
d) as raízes são 




 π
⋅+




 π
2
3
seni
2
3
cos e 




 π
⋅+




 π
6
seni
2
cos 
e) |ab| = ab 
 
05 - (UFSC) Dados 3i1z +−= , determine a soma dos números associados à(s) afirmações verdadeira(s): 
01. O conjugado de z é 3i1z −−= 
02. O quadrado de z é )i31(2²z −= 
04. O oposto de z é 3i1z −=− 
08. O produto de z pelo seu conjugado é 4z.z = 
16. A norma de z é 4. 
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06 - (UERJ) O valor de 
i1
i21
+
+
 é 
a) .i
2
1
+
2
3
 
b) .i
2
1
+−
2
3
 
c) .i
2
1
−−
2
3
 
d) .i
2
1
−
2
3
 
e) 3. 
 
07 - (IBMEC) Dada uma constante real k, considere a equação x
2
 – 2kx + k
2
 + 1 = 0, na variável x. Para cada valor de k, a 
equação foi resolvida e suas soluções foram plotadas no plano complexo de Argand-Gauss. 
Dentre as alternativas abaixo, aquela que mais se assemelha à figura obtida é 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
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08 - (UFOP MG) O conjunto-solução da equação 0)z(z 22 =+ (onde z denota o conjugado do número complexo z) é 
representado no plano complexo por: 
a) duas retas perpendiculares. 
b) uma elipse. 
c) uma hipérbole. 
d) duas retas paralelas. 
 
09 - (UEPG) Sabendo que 1i −= , assinale as proposições corretas. 
01. 1i.....iii1 40032 =+++++ 
02. Se i2 é uma raiz da equação 0bxx 24 =+ , então b = 4 
04. Para que 
i1
ai2
z
−
+
= seja um número real, a = –2 
08. O termo médio do desenvolvimento do binômio (2i + 1)
4
 vale –24 
16. O argumento do complexo i1z −= é rad
4
7π
 
 
10 - (UFRN) O número complexo ( )25
i1
i1
+
−
é igual a: 
a) i 
b) 1 
c) −1 
d) − i 
11 - (FURG) Se u = 1 – 2i é um número complexo eu , seu conjugado, então u3uz 2 += é igual a 
a) – 6 – 2i 
b) 2i 
c) – 6 
d) 8 + 2i 
e) – 6 + 2i 
 
12 - (UNESP) Considere o número complexo z = i, onde i é a unidade imaginária. O valor de 
z
1
zzzz
234 ++++ é 
a) – 1 
b) 0 
c) 1 
d) i 
e) – i 
 
13 - (UFJF MG) Se i é a unidade imaginária, então ∑
=
50
1n
n
i vale: 
a) 1 – i; 
b) 1 + i; 
c) 0; 
d) – 1 + i; 
e) – 1 – i. 
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14 - (UNIMEP) O valor de (1 + i)10 onde i é a unidade imaginária, é: 
a) 64 i 
b) 128 i 
c) 32 i 
d) -32 i 
e) nenhuma das anteriores 
 
15 - (ITA) 
Sejam x e y números reais, com x ≠ 0, satisfazendo (x + iy)2 = (x + y) i. Então: 
a) x e y são números irracionais. 
b) x > 0 e y < 0 
c) x é uma raiz da equação x
3
 + 3x
2
 + 2x – 6 = 0 
d) x < 0 e y = x 
e) x
2
 + xy + y
2
 = 0,5 
 
16 - (UEPG) 
Sendo m o número que torna o complexo 
i3
mi42
z
−
−
= , um imaginário puro; então o valor de m2m4N 2 −= é… 
 
17 - (UEL) Qual é o valor de a, real, para que 
i1
ai2
−
+
 seja um imaginário puro? 
a) −2 
b) −1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
18 - (UNIOESTE) Seja z um número complexo da forma a + bi, onde a e b são escolhidos dentre os elementos do 
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 
a) Quantos números complexos podem ser assim formados? 
b) Dentre os números formados, quais satisfazem a equação 2zz =+ ? 
 
19 - (IME) Sejam z e w números complexos tais que: 




+=−
+=−
i42wz
i124zw 22
 
onde w e z representam, respectivamente, os números complexos conjugados de z e w. O valor de z + w é: 
a) 1 – i 
b) 2 + i 
c) –1 + 2i 
d) 2 – 2i 
e) –2 + 2i 
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20 - (UEM) Considerando z1e z2 dois números complexos distintos entre si, cujas representações geométricas em um 
sistema ortogonal de coordenadas são simétricas em relação ao eixo das abscissas, marque a(s) alternativa(s) 
correta(s). 
 
01. Se i
2
2
2
2
z1 += , então, i
2
2
2
2
z 2 +−= . 
02. 2
2
2
1
zz = . 
04. z1 + z2 = 0. 
08. Se z1 é a raiz de um polinômio com coeficientes reais, então, z2 também é raiz deste polinômio. 
16. Se O é a origem do sistema ortogonal de coordenadas, então, os pontos que representam O, z1e z2, no sistema 
ortogonal, são pontos colineares. 
 
 
GABARITO 
 
 Unidades 
Dezenas 0 1 2 3 4 5 6 7 89 
0 A * E C 29 A D A 31 
1 D B E D C C 12 E * D 
2 08 
 
 
02. 
 a) ; A = i3 + ; B = - i3 + ; C = -2i. 
b) 2 3 
 
18. 
a) 36 
b) 1, 1+i, 1+2i, 1+3i, 1+4i, 1+5i. 
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Forma trigonométrica 
 
Representaremos o complexo z = a + bi, no plano de Argand-Gauss, não mais como um ponto P(a, b), mas como um 
vetor OP = (a, b). 
 
 
Assim o módulo de um número complexo z = a + bi é definido como sendo o módulo do vetor que o representa, isto é, o 
valor da distância de sua imagem P à origem. Portanto, 
2 2= +z a b . 
Um argumento de um complexo z ≠ 0, é por definição qualquer dos ângulos θ que o vetor OP forma com o semi-eixo 
positivo dos x. O argumento que pertence ao intervalo ]-π, π] é dito argumento principal (na maioria dos problemas 
quando existe referência ao argumento de um complexo é sobre este de que se trata). 
Usando a trigonometria temos que: a = | z |.cosθ; e b = | z |.senθ. Logo o complexo z = a + bi pode ser escrito como: 
z = | z |.(cosθ + i.senθ ). 
 
OPERAÇÕES 
Para efetuarmos as operações de multiplicação e divisão entre complexos usamos o seguinte teorema. 
Teorema: Se ( )1 1 . cos .= α + αz z i sen e ( )2 2 . cos .= β+ βz z i sen números complexos então: 
( )1 2 1 2. . . cos( ) . ( )= α +β + α +βz z z z i sen 
e se z2 ≠ 0, ( )1 1
2 2
. cos( ) . ( )= α −β + α −β
z z
i sen
z z
. 
 
Se n é um número inteiro a potência de um complexo é dada por: ( ). cos( ) . ( )= θ + θn nz z n i sen n . Este resultado é 
conhecido como Fórmula de Moivre. 
 
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Cálculo de raízes de um complexo 
Para calcular ( ). cos .= θ + θn nz z i sen devemos obter ( ). cos .ω = θ+ θn z i sen . 
Fazendo ( ). cos .ω = ω α + αi sen , obtemos: 
( )( ) ( ) ( ) ( ). cos . . cos . . cos( ) . ( ) . cos .ω α + α = θ+ θ ⇒ ω α + α = θ+ θn ni sen z i sen n i sen n z i sen 
Como complexos iguais tem módulos iguais e argumentos congruentes, temos: 
a) ω = ⇒ ω =n nz z ; e 
b) nα = θ + 2kπ ⇒ 
2θ + π
α =
k
n
, k inteiro. 
Assim as raízes n-ésimas de z são dadas por: 
2 2
| |. cos .
 θ + π θ + π    ω = +    
    
n
k
k k
z i sen
n n
, com k = 0, 1, 2, ..., (n-1). 
Observe que: as imagens das raízes de um complexo se situam em uma circunferência de centro na origem e raio igual a 
| |n z formando um polígono regular inscrito de n lados (se n>2); os argumentos crescem em progressão aritmética de 
razão 
2k
n
. 
 
São formas equivalentes de se escrever um complexo: 
( )| | . cos . | | . iz a bi z i sen z eθ= + = θ + θ = , respectivamente forma algébrica, trigonométrica e exponencial. 
 
 
 
EXERCÍCIOS EM SALA 
 
1. (UFSC) Sendo θ o argumento principal do número complexo 2 2= − +z i , então o valor da quinta parte de θ em 
graus, é: 
 
 
 
2. (UEL) Sejam z1 e z2 os números complexos z1 = 3.(cos 30º + i.sen 30º) e z2 = 5.(cos 45º + i.sen 45º). O produto de z1 
por z2 é o complexo: 
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a) 15.(cos 1350º + i.sen 1350º) 
b) 8.(cos 75º + i.sen 75º) 
c) 8.(cos 1350º + i.sen 1350º) 
d) 15.(cos 15º + i.sen 15º) 
e) 15.(cos 75º + i.sen 75º) 
 
3. (UFPR) Sendo i a unidade imaginária, o valor de 
30
2 2
2 2
 
−  
 
i é: 
 
 
 
 
4. (FGV) As raízes quadradas do número 3+4i, onde i representa a unidade imaginária, são: 
a) {2+i, –2–i} 
b) {1+i, –1–i} 
c) {3+i, –3–i} 
d) {4+i, –4–i} 
e) {1+2i, –1–2i} 
 
 
 
 
QUESTÕES PROPOSTAS 
 
01 - (ITA) Considere os números complexos 2i2z += e 3i1w += . Se 
2i6wz
4i3zw
m
32
46
−++
++
= , então m2 vale: 
a) 34 
b) 26 
c) 16 
d) 4 
e) 1 
 
02 - (ITA) As raízes de ordem 4 do número 2
i
ez
π
= , onde i é a unidade imaginária, são: 
a) zk = cos θk + i . sen θk, onde π=θ + .8
k41
k , com k = 0, 1, 2, 3. 
b) zk = k
i
e
θ , onde π=θ + .
8
k31
k , com k = 0, 1, 2, 3 
c) zk = k
i
e
θ , onde θk = 4kπ, com k = 0, 1, 2, 3 
d) zk = k
i
e
θ , onde π=θ − .
8
k41
k , com k = 0, 1, 2, 3 
e) n.d.a 
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03 - (UNIFOR CE) Seja o número complexo z = x + 3i, em que x é um número real negativo. Se 6z = , então a forma 
trigonométrica de z é 
a) )
3
2
sen.i
3
2
.(cos6
π
+
π
 
b) )
6
5
sen.i
6
5
.(cos6
π
+
π
 
c) )
3
4
sen.i
3
4
.(cos6
π
+
π
 
d) )
3
5
sen.i
3
5
.(cos6
π
+
π
 
e) )
6
11
sen.i
6
11
.(cos6
π
+
π
 
 
04 - (UEM) Seja 




 π
+
π
=
3
5
sen i
3
5
cos3z um número complexo. 
É correto afirmar que o conjugado de z é 
a) )3i1(3z += 
b) )3i1(
2
3
z += 
c) )3i1(
2
3
z −= 
d) )3i1(
2
3
z +−= 
e) )3i1(3z −= 
 
05 - (UEM) Considerando o polinômio de variável complexa 1z)z(p 12 −= , assinale o que for correto. 
01. Pode-se afirmar que 




 π
+




 π
=
12
2
seni
12
2
cosz é uma raiz para esse polinômio. 
02. Pode-se afirmar que, se 




 π
+




 π
=
12
2
seni
12
2
cosz é uma raiz para esse polinômio, então, para todo natural k, z
k
 é 
também raiz desse polinômio. 
04. Pode-se afirmar que, se 




 π
+




 π
=
12
k2
seni
12
k2
coszk , k ∈ , é uma raiz para esse polinômio, então o polinômio 
tem infinitas raízes. 
08. As raízes desse polinômio estão sobre a circunferência de centro na origem e raio1, dada por 1z = . 
16. Como ( )( )1z1z)z(p 66 +−= , considere apenas as raízes de 1z)z(q 6 −= . Essas raízes determinam um polígono 
inscrito na circunferência 1z = , cuja área é .a.u
2
3
3 
 
06 - (UEPG) Em relação aos números complexos z1 = 2 + i , z2 = 1 + 2i e z3 = 3i , assinale o que for correto. 
01. z1, z2 e z3, nesta ordem, formam uma P. G. de razão i
5
3
. 
02. z1, z2 e z3, nesta ordem, formam uma P.A. cuja razão é o conjugado de z = – 1 – i. 
04. O módulo e o argumento de z3 são, respectivamente, 3 e rd
2
π
. 
08. A soma dos quadrados dos módulos de z1 e z2 é 50. 
16. O valor de 
6
1z é 125. 
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07 - (CEFET) O número complexo, cujas raízes sextas estão representadas a seguir, é: 
 
a) 729 





+
6
π5
isen
6
π5
cos . 
b) 27 





+
216
π5
isen
216
π5
cos . 
c) 729 





+
36
π5
isen
36
π5
cos . 
d) 81 





+
6
π5
isen
6
π5
cos . 
e) 27 




 π
+
π
6
5
isen
6
5
cos . 
 
08 - (IME RJ/2010) 
Considere o sistema abaixo, onde x1, x2, x3 e Z pertencem ao conjunto dos números complexos. 
 





=−+−
=−−
=+−+
0ixixx)2i2(
Zxxix2
0ixixx)i1(
321
321
321
 
O argumento de Z, em graus, para que x3 seja um número real positivo é: 
a) 0 
b) 45 
c) 90 
d) 135 
e) 180 
Obs.: 1i −= 
 
09 - (UEM) Com relação aos números complexos, assinale o que for correto. 
01. (2 + 2 i)
6
 é um número imaginário puro. 
02. 
i1
i
z
103
+
= é um número cujo módulo é 
2
2
. 
04. Se 3
1 z i
i 2 z
=
+
+
, então 
10
i 7 9
z
+
= . 
08. O ponto, no plano complexo, correspondente ao número complexo 
i 1
i
z
103
+
= está localizado no 4.º quadrante. 
16. 




 π
+
π
6
5
sen i
6
5
cos8 é a forma trigonométrica do número complexo i434- z −= . 
 
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10 - (UEM) Considere os números complexos )
3
sen i
3
(cos2z1
π
+
π
= e )
6
7
sen i
6
7
(cos2z2
π
+
π
= e as suas representações no 
plano complexo xOy. Considere ainda que, se z é um número complexo, então z representa o seu conjugado. 
Sobre o exposto, é correto afirmar que 
01. 21 zz = . 
02. 22
7
1 )z(32)z( = . 
04. 21 z e z pertencem à circunferência de equação 2yx
22 =+ . 
08. z1 é solução da equação 04z2z
2 =+− . 
16. a medida do segmento que une )3(1 é z e z 21 + unidades de comprimento. 
 
11 - (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. 
O tiro certeiro de z em w éo número complexo t tal que tz = w. 
 
Considere a mira z e o alvo w indicados na figura acima. Determine o tiro certeiro de z em w. 
 
12 - (UEPG) A respeito do número complexo z=1+i, assinale o que for correto. 
01. z
10
 = 32i 
02. zz − é um número real ( z é o conjugado de z) 
04. z é uma das raízes cúbicas de –4 
08. A forma trigonométrica de z é 




 π
+
π
=
4
sen i
4
cos2z 
 
13 - (UEM) Com relação aos números complexos, assinale a alternativa incorreta. 
a) Para todo Zk∈ , 




 π
+




 π
=
n
k2
isen
n
k2
cosz é solução de 01xn =− , para qualquer *Nn∈ . 
b) 2007
20082006
i
2
ii
=
+
. 
c) 




 π
+θ+




 π
+θ=θ+θ
2
isen
2
cos)isen(cosi , em que R∈θ . 
d) Se z = a + bi, então )ba)(ba(2zz 22 −+=+ , em que a,b∈ R e z é o conjugado de z. 
e) Se i1z −= , então 
2
z
z
1
= , em que z é o conjugado de z. 
 
RESUMO E EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Prof. Claudio Saldan 
 
14 - (UNESP) Considere o número complexo 
6
isen
6
cosz
π
+
π
= . O valor de 1263 zzz ++ é: 
a) –i 
b) i
2
3
2
1
+ 
c) i – 2 
d) i 
e) 2i 
 
15 - (UEM) Considere os números complexos i236z1 += e i2912z2 += . No plano complexo (ou plano de Argand-
Gauss), a curva definida pela equação |zz||zz| 21 −=− intersecta o eixo y (ou eixo imaginário) em um ponto Q. A 
ordenada de Q é… 
 
16 - (UFMS) Um número complexo é um número da forma yixz += , com x e y reais e 1i −= . Fixando um sistema de 
coordenadas no plano, o complexo yixz += pode ser representado pelo ponto )y,x( , chamado imagem do complexo 
z. O conjugado do complexo yixz += é o número complexo yixz −= . 
A figura abaixo mostra, no plano complexo, uma circunferência de centro na origem e raio 1, e as imagens de oito 
números complexos z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7 e z8, que estão sobre os vértices de um octógono regular inscrito nessa 
circunferência. 
 
 
 
Considerando essas informações, assinale a(s) proposição(ões) verdadeira(s). 
01. 82 zz = 
02. 1zz 73 −=⋅ 
04. 3432 zzzz =⋅⋅ 
08. º135seniº135cosz4 −= 
16. 0zz 62 =+ 
 
RESUMO E EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Prof. Claudio Saldan 
 
17 - (UEM) Denomina-se argumento de um número complexo não nulo yixz += um ângulo θ tal que 
r
x
cos =θ e 
r
y
sen =θ , em que zr = . Considerando π<θ≤ 20 , assinale a alternativa incorreta. 
a) O argumento de 
6
 é i3z
π
+= 
b) Se o argumento de um número complexo z0 é 
3
π
 e o módulo de z0 é 1, então i
2
3
2
1
z0 += 
c) Se z = i, então o argumento de z é 
2
π
 
d) Se yixz += é um número complexo qualquer não nulo, então podemos escrevê–lo como )sen i(coszz θ+θ= , 
em que θ é um argumento z. 
e) Se o módulo de um número complexo z0 é 5, então i55z0 += 
 
18 - (UNESP) As soluções da equação z
3
 = i, onde z é um número complexo e i
2
 = –1, são: 
a) izou i
2
1
2
2
z −=+±= 
b) izou i
2
1
2
3
z −=−±= 
c) izou i
2
1
2
3
z −=+±= 
d) izou i
2
1
2
2
z −=−±= 
e) izou i
2
3
2
1
z −=−±= 
 
19 - (UEPG) As representações gráficas dos complexos z tais que z
3
 = 1 são os vértices de um triângulo. Em relação a 
esse triângulo assinale o que for correto. 
01. É um triângulo equilátero de lado igual a 3 u.c. 
02. É um triângulo isósceles de altura igual a 
4
3
 u.c. 
04. Um de seus vértices pertence ao 2º quadrante. 
08. Seu perímetro é 33 u.c. 
16. Sua área é 
4
33
 u.a 
 
20 - (UEM) Sobre os números complexos, assinale o que for correto. 
01) Se z = 4 + i e 
4 1
17 17
w i= − , então zw = 1. 
02) (i)
45
 = -1. 
04) 
6 3
4 2
i
z
i
+
=
+
é um número real. 
08) Se z = 2 + 3i, então | z | = 5. 
16) Se 3z i= + , então 2. cos .
6 6
z i sen
π π = + 
 
. 
32) Se z1 = r1e
iα e z2 = r2e
iβ, então z1z2=r1r2e
i(α+β). 
64) Se z = re
iα então z
-1
 = re
-iα. 
 
RESUMO E EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Prof. Claudio Saldan 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 Unidades 
Dezenas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0 A A B B 27 22 A E 07 
1 11 * 09 B D 35 21 E C 29 
2 53 
 
11. i3t −−=