A lei de Gauss

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RANDALL D. KNIGHTRANDALL D. KNIGHT
VOLUME 3
ELETRICIDADE E 
MAGNETISMO
K71f Knight, Randall D.
 Física 3 [recurso eletrônico] : uma abordagem estratégica /
 Randall Knight ; tradução Manuel Almeida Andrade Neto. – 2.
 ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2009.
 Editado também como livro impresso em 2009.
 ISBN 978-85-7780-553-2
 1. Física. 2. Eletricidade. 3. Magnetismo. I. Título. 
CDU 537
Randy Knight leciona Física básica há 25 anos na Ohio State University, EUA, e na Califórnia 
Polytechnic University, onde atualmente é professor de física. O professor Knight bacharelou-
se em Física pela Washington University, em Saint Louis, e doutorou-se em Física pela Univer-
sity of Califórnia, Berkeley. Fez pós-doutorado no Harvard-Smithsonian Center for Astrophy-
sics, antes de trabalhar na Ohio State University. Foi aí que ele começou a pesquisar sobre o 
ensino da física, o que, muitos anos depois, o levou a escrever este livro.
Os interesses de pesquisa do professor Knight situam-se na área de laser e espectroscopia, 
com cerca de 25 artigos de pesquisa publicados. Ele também dirige o programa de estudos am-
bientais da Cal Poly, onde, além de física introdutória, leciona tópicos relacionados a energia, 
oceanografia e meio ambiente. Quando não está em sala de aula ou na frente de um compu-
tador, o professor Knight está fazendo longas caminhadas, remando em um caiaque, tocando 
piano ou usufruindo seu tempo com a esposa Sally e seus sete gatos.
Sobre o Autor
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 861
28.4 A lei de Gauss
A última seção foi longa, mas é essencial saber calcular o fluxo elétrico através de uma 
superfície fechada para que você compreenda o assunto principal do capítulo: a lei de 
Gauss. A lei de Gauss é equivalente à lei de Coulomb para cargas estáticas, embora a lei 
de Gauss pareça muito diferente.
O propósito, ao aprendermos a lei de Gauss, é duplo:
A lei de Gauss permite que campos elétricos de algumas distribuições contínuas de■
carga sejam obtidos com mais facilidade do que a partir da lei de Coulomb.
A lei de Gauss é válida para cargas em ■ movimento, mas a lei de Coulomb, não (em-
bora seja uma aproximação muito boa para velocidades muito menores do que a da
luz). Portanto, e finalmente, a lei de Gauss é um enunciado sobre campos elétricos
mais fundamental do que a lei de Coulomb.
11.8
862 Física: Uma Abordagem Estratégica
Vamos iniciar com a lei de Gauss para o campo elétrico criado por uma carga punti-
forme. A FIGURA 28.18 mostra uma superfície esférica gaussiana de raio r, centrada sobre 
uma carga positiva q. Não se esqueça de que essa é uma superfície imaginária, uma su-
perfície matemática, e não, uma superfície material. Há um fluxo líquido através dessa 
superfície pelo fato de que o campo elétrico aponta para fora em todos os pontos da su-
perfície. Para calcular o fluxo, dado formalmente pela integral de superfície da Equação 
28.11, note que o campo elétrico é perpendicular à superfície em qualquer um de seus 
pontos e que, da lei de Coulomb, ele tem o mesmo módulo em qualquer 
ponto sobre a superfície. Chegamos a esta situação simples porque a superfície gaussia-
na escolhida apresenta a mesma simetria do campo elétrico.
Portanto, sem ter que fazer qualquer trabalho árduo, sabemos que a integral de fluxo é
 
(28.12)
A área superficial de uma esfera de raio r é Aesfera � 4�r
2
. Usando esta Expressão para 
Aesfera e a expressão da lei de Coulomb na Equação 28.12 para E, obtemos que o fluxo 
elétrico através da superfície esférica é
 
(28.13)
Examine a lógica desse cálculo mais atentamente. Nós realmente calculamos a integral 
de superfície da Equação 28.11, embora possa parecer, de imediato, que não tenhamos 
feito muito. Para enfatizar, reiteramos que a integral foi facilmente calculada porque a 
superfície fechada sobre a qual efetuamos a integração tinha a mesma simetria da distri-
buição de carga. Em tais casos, a integral de superfície para o fluxo é igual, simplesmen-
te, à intensidade de campo multiplicada pela área.
NOTA � A Equação 28.13 foi aplicada para uma carga positiva, mas ela se aplica 
igualmente bem a cargas negativas. De acordo com a Equação 28.13, �e será negati-
vo se q for negativa. E isso é o que deveríamos esperar a partir da definição básica de 
fluxo, . O campo elétrico de uma carga negativa aponta para dentro da mesma, 
enquanto o vetor área de uma superfície fechada aponta para fora dela, o que torna 
negativo o produto escalar. �
O fluxo elétrico é independente da forma da superfície e do raio
Note uma coisa interessante sobre a Equação 28.13. O fluxo elétrico depende da quan-
tidade de carga, mas não depende do raio da esfera. Embora isso possa parecer um 
pouco surpreendente, trata-se realmente de uma conseqüência direta do que entende-
mos por fluxo. Lembre-se da analogia com um fluido com a qual introduzimos o termo 
“fluxo”. Se um fluido escoa para fora de um ponto central, todo o fluido que atravessar 
uma superfície esférica de raio pequeno, em algum instante posterior, atravessará outra 
superfície esférica de raio maior. Não haverá perda de fluido ao longo do caminho, e 
também nenhuma quantidade nova de fluido será acrescentada. Analogamente, a carga 
puntiforme na FIGURA 28.19 é a única fonte de campo elétrico. Toda linha de campo elé-
trico que atravessa uma superfície esférica de raio pequeno também passará através de 
uma superfície esférica de raio grande. Vemos, assim, que o fluxo elétrico é indepen-
dente de r.
NOTA � Este argumento se baseia no fato de que a lei de Coulomb é uma lei de força 
inversamente proporcional ao quadrado da distância. A intensidade de campo elétri-
co, proporcional a 1/r2, diminui com a distância. Mas a área de superfície, que cresce 
proporcionalmente a r2, compensa exatamente esse decréscimo. Conseqüentemente, 
o fluxo elétrico de uma carga puntiforme através de uma superfície esférica indepen-
de do raio da esfera. �
Essa conclusão sobre o fluxo tem uma generalização importante. A FIGURA 28.20a 
mostra uma carga puntiforme e uma superfície gaussiana fechada, com forma e dimen-
Secção transversal de uma esfera
gaussiana de raio r. Trata-se de uma
superfície matemática, e não, de uma
superfície material.
Carga
puntiforme q
O campo elétrico é perpendicular à
superfície e tem o mesmo módulo
em qualquer ponto da mesma.
FIGURA 28.18 Uma superfície esférica 
gaussiana ao redor de uma carga 
puntiforme.
Toda linha de campo que atravessa uma
pequena esfera também passará através
de uma esfera grande. Aqui, o fluxo
através das duas esferas é o mesmo.
FIGURA 28.19 O fluxo elétrico é o mesmo 
através de qualquer esfera centrada em 
uma carga puntiforme.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 863
sões arbitrárias. Tudo o que sabemos a respeito é que a carga encontra-se dentro da su-
perfície. Qual é o fluxo elétrico através da superfície?
Uma maneira de responder à questão é considerar a superfície, aproximadamente, 
como uma colcha de retalhos formada por setores radiais e setores esféricos. Os setores 
esféricos estão centrados na carga, e as partes radiais situam-se ao longo de linhas retas 
que se estendem radialmente para fora da carga. (A Figura 28.20 é um esboço bidimen-
sional, portanto é preciso que você imagine esses arcos como sendo, de fato, cortes 
transversais de cascas esféricas.) Para ilustrar essa idéia, a figura mostra corretamente 
grandes pedaços que não se ajustam de modo perfeito à superfície real. Entretanto, pode-
mos tornar essa aproximação tão boa quanto queiramos fazendo com que os pedaços se 
tornem suficientemente pequenos.
O campo elétrico é tangente em qualquer lugar dos setores radiais. Desta forma, o 
fluxo elétrico através dos setores radiais é nulo. Os setores esféricos, embora difiram 
entre si quanto à distância em relação à carga, formam uma esfera completa, ou seja, 
qualquer linha traçada radialmentepara fora da carga atravessará exatamente um peda-
ço esférico, e toda linha radial atravessa um setor esférico. Você pode imaginar, ainda, 
como mostrado na FIGURA 28.20b, que os setores esféricos possam ser deslocados para 
dentro ou para fora, sem que seja alterado o ângulo que eles subtendem, até que se ajus-
tem para formar uma esfera completa.
Conseqüentemente, o fluxo elétrico através desses setores esféricos que, quando 
montados, formam uma esfera completa, deve ser exatamente igual ao fluxo q/�0 através 
de uma superfície gaussiana esférica. Em outras palavras, o fluxo através de qualquer 
superfície fechada que envolva uma carga puntiforme q é igual a
 
(28.14)
Este resultado surpreendentemente simples é uma conseqüência do fato de que a lei de 
Coulomb é uma lei de força do tipo inverso do quadrado da distância. Mesmo assim, a ar-
gumentação que nos levou à Equação 28.14 é, de certa forma, sutil, e merece ser revisada.
Carga fora da superfície
A superfície fechada mostrada na FIGURA 28.21a não contém cargas em seu interior, mas 
existe uma carga puntiforme q do lado de fora da mesma. Neste caso, o que podemos 
afirmar sobre o fluxo? Aproximando a superfície por setores radiais e esféricos centra-
dos na carga, como fizemos na Figura 28.20, podemos rearranjar a superfície e trans-
formá-la na superfície equivalente mostrada na FIGURA 28.21b. Essa superfície fechada 
consiste de secções correspondentes a duas cascas esféricas diferentes e é equivalente no 
sentido de que o fluxo elétrico através desta superfície é igual ao fluxo elétrico através da 
superfície original da Figura 28.21a.
Em alguns setores da
superfície, o fluxo
é negativo.
Carga puntiforme
fora da superfície
Em outros setores da
superfície, o fluxo é
positivo.
Superfície
fechada
Aproximar esta superfície por setores esféricos
e radiais permite que ela seja reconstruída como
a superfície da direita, que corresponde ao mesmo fluxo.
(a) (b)
 é paralelo a ,
portanto o fluxo é
positivo.
Secção transversal
bidimensional
 é oposto a ,
portanto o fluxo é
negativo.
Os fluxos através dessas superfícies são
iguais, mas opostos. O fluxo líquido é nulo.
FIGURA 28.21 Uma carga puntiforme externa a uma superfície gaussiana.
Carga puntiforme Os setores esféricos
estão centrados na carga.
Superfície gaussiana
de forma arbitrária
Os setores radiais situam-se
ao longo de linhas retas que
se estendem radialmente para
fora da carga. Não há fluxo
através de tais setores.
A aproximação por setores radiais e esféricos
pode ser tão boa quanto se deseje, desde que os
setores sejam suficientemente pequenos.
Os setores esféricos podem ser deslocados para
dentro ou para fora a fim de formar uma esfera
completa. Assim, o fluxo através de todos os
setores é igual ao fluxo através de uma esfera
completa.
FIGURA 28.20 Uma superfície gaussiana 
arbitrária pode ser aproximadamente 
dividida em setores esféricos e radiais.
864 Física: Uma Abordagem Estratégica
Se o campo elétrico fosse como um fluido que escoa para fora da carga, todo o fluido 
que entrasse na região fechada, através da primeira superfície esférica, teria de sair, 
mais tarde, pela segunda. Não há um fluxo líquido para dentro ou para fora da região 
fechada. Analogamente, toda a linha de campo elétrico que entre neste volume fechado 
por um lado, terá de sair pelo outro.
Matematicamente, os fluxos elétricos através de duas superfícies esféricas têm o 
mesmo módulo porque �e é independente de r. Mas eles têm sinais opostos porque o 
vetor área , apontando para fora, é paralelo a em uma das superfícies e antiparalelo 
na outra. A soma dos fluxos através de ambas as superfícies é nula, e somos levados à 
conclusão de que é nulo o fluxo elétrico líquido através de uma superfície fechada 
que contenha uma carga líquida nula. Cargas externas à superfície não produzem um 
fluxo resultante através da mesma.
Isso não significa que o fluxo através de uma parte pequena da superfície seja nulo. 
De fato, como mostra a Figura 28.12a, em quase todas as partes da superfície há um 
campo elétrico que entra ou que sai da mesma e, portanto, o fluxo não é nulo através da-
quela parte. Mas alguns destes fluxos parciais são positivos, e outros, negativos. Quando 
somados, todos eles, para a superfície inteira, as contribuições positivas e negativas se 
cancelam e o fluxo líquido é nulo.
Cargas múltiplas
Finalmente, considere uma superfície gaussiana arbitrária e um conjunto de cargas q1, 
q2, q3,..., tal como aquelas mostradas na FIGURA 28.22. Algumas dessas cargas estão dentro 
da superfície; outras, fora. As cargas podem ser tanto negativas quanto positivas. Qual é 
o fluxo elétrico através da superfície fechada?
Por definição, o fluxo resultante é
Do princípio da superposição, o campo elétrico onde 
 são os campos produzidos individualmente pelas cargas envolvidas. Por-
tanto, o fluxo pode ser escrito como
 
(28.15)
onde �1, �2, �3,..., são os fluxos através da superfície gaussiana devidos às correspon-
dentes cargas individuais, ou seja, o fluxo resultante é a soma dos fluxos devidos às 
cargas individuais. Mas sabemos quanto estes valem: são nulos quando as cargas estão 
do lado de fora, e iguais a q/�0 para as que estão dentro. Portanto,
 
(28.16)
Definimos
 para todas as cargas dentro da superfície (28.17)
como a carga total dentro da superfície fechada. Com esta definição, podemos escrever 
nosso resultado para o fluxo elétrico resultante em uma forma bem compacta e ordena-
da. Para qualquer superfície fechada que encerre uma carga total Qint, o fluxo elétrico 
através da superfície é
 
(28.18)
Este resultado para o fluxo elétrico é conhecido como lei de Gauss.
Os fluxos devidos a cargas fora
da superfície são todos nulos.
Secção transversal
bidimensional de
uma superfície
gaussiana.
A carga total
dentro é Q
Os fluxos devidos a cargas
internas à superfície se adicionam.
int
.
FIGURA 28.22 Cargas, internas e externas, 
de uma superfície gaussiana.
CAPÍTULO 28 ■ Lei de Gauss 865
O que a lei de Gauss nos fornece?
Em certo sentido, a lei de Gauss não nos diz nada de novo nem algo que já não soubés-
semos a partir da lei de Coulomb. Afinal de contas, derivamos a lei de Gauss a partir da 
lei de Coulomb. Mas, em outro sentido, a lei de Gauss é mais importante do que a lei 
de Coulomb. A lei de Gauss expressa uma propriedade bem geral dos campos elétricos 
– a saber, que as cargas criam campos elétricos de tal forma que o fluxo resultante do 
campo é igual através de qualquer superfície que envolva completamente as cargas, sem 
importar a forma ou o tamanho que ela tenha. Esse resultado poderia ter sido obtido a 
partir da lei de Coulomb, mas de forma alguma ele é óbvio. E a lei de Gauss se mostrará 
particularmente útil mais tarde, quando a combinarmos com outras equações do campo 
elétrico e do magnético.
A lei de Gauss é o enunciado matemático correspondente às observações que fize-
mos na Seção 28.2. Lá, notamos um “fluxo” resultante do campo elétrico para fora de 
uma superfície fechada que contenha cargas. A lei de Gauss quantifica essa idéia, esta-
belecendo uma conexão específica entre o “fluxo,” agora chamado de fluxo elétrico, e a 
quantidade de carga.
Mas ela é útil? Embora em certo sentido a lei de Gauss seja uma sentença formal 
sobre campos elétricos, e não, uma ferramenta para resolver problemas práticos, há ex-
ceções: a lei de Gauss nos permitirá determinar os campos elétricos criados por distri-
buições de cargas muito importantes e de grande utilidade prática de uma forma muito 
mais fácil do que se dependêssemos apenas da lei de Coulomb. Consideraremos alguns 
exemplos na próxima seção.
PARE E PENSE 28.4
 As figuras abaixo mostram secções transversais bidimensionais de esferas fechadas 
e de um cubo tridimensionais. Ordene em seqüência decrescente os fluxos elétricos de �a até �e 
através das superfícies de a até e.
28.5 Usando a lei de GaussNesta seção, usaremos a lei de Gauss para determinar campos elétricos criados por di-
versas distribuições de cargas importantes. Algumas delas você já conhece do Capítulo 
27; outras, serão novas. Três observações importantes podem ser feitas sobre a utilização 
da lei de Gauss:
 1. A lei de Gauss aplica-se apenas a superfícies fechadas, chamadas de superfícies 
gaussianas.
 2. Uma superfície gaussiana não é uma superfície material. Ela não necessita coin-
cidir com os limites de qualquer objeto físico (embora possa, se o desejarmos). 
Trata-se de uma superfície matemática, imaginária, no espaço, que envolve intei-
ramente uma ou mais cargas.
 3. Não podemos determinar o campo elétrico apenas a partir da lei de Gauss. Preci-
samos aplicar a lei de Gauss a situações onde, a partir da simetria e da superposi-
ção, podemos de imediato inferir a configuração do campo.
Essas observações e nossa discussão anterior a respeito de simetrias e do fluxo levam 
à seguinte estratégia para resolver problemas sobre campo elétrico usando a lei de 
Gauss.
866 Física: Uma Abordagem Estratégica
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 28.1 A lei de Gauss 
MODELO Considere a distribuição de carga como uma distribuição que possui uma 
simetria.
VISUALIZAÇÃO Faça um esboço da distribuição de carga.
Determine a simetria do campo elétrico criado por ela. ■
Escolha e desenhe uma superfície gaussiana que possua a ■ mesma simetria da 
distribuição de carga.
Não é necessário envolver todas as cargas pela superfície gaussiana. ■
Certifique-se de que cada parte da superfície gaussiana é tangente ou perpendi- ■
cular ao campo elétrico.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada na lei de Gauss
Use os Boxes Táticos 28.1 e 28.2 para efetuar a integral de superfície.
AVALIAÇÃO Observe se seu resultado está expresso na unidade correta, se é plausível 
e se responde à questão.
EXEMPLO 28.3 Fora de uma esfera carregada
No Capítulo 27, afirmamos, sem provas, que o campo elétrico fora de 
uma esfera carregada total Q é igual ao campo criado por uma carga 
puntiforme Q posicionada no centro da esfera. Use a lei de Gauss 
para provar esse resultado.
MODELO A distribuição de carga dentro da esfera não precisa ser uni-
forme (i.e., a densidade de carga pode aumentar ou diminuir com r), 
mas, para que possamos usar a lei de Gauss, a distribuição deve pos-
suir simetria esférica. Consideraremos que isso seja verdadeiro.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.23 mostra uma esfera com carga Q e raio 
R. Desejamos determinar fora dessa esfera, para distâncias r 	 R. 
A simetria esférica da distribuição de carga significa que o campo elé-
trico deve apontar radialmente para fora da esfera. Embora a lei de 
Gauss seja válida para qualquer superfície que envolva inteiramente a 
esfera carregada, ela será útil somente se escolhermos uma superfície 
gaussiana cuja simetria coincida com a simetria esférica da distribui-
ção de carga e do campo. Assim, uma superfície esférica de raio r 	 R 
e concêntrica com a esfera carregada será nossa superfície gaussiana. 
Superfície
gaussiana
Esfera com
carga total Q
E é perpendicular
à superfície em
qualquer lugar da
mesma.
FIGURA 28.23 Uma superfície esférica gaussiana envolve 
inteiramente uma esfera carregada.
Pelo fato de essa superfície cercar toda a esfera carregada, a carga 
encerrada por ela é, simplesmente, Qint � Q.
RESOLUÇÃO A lei de Gauss é
Para calcular o fluxo, note que o campo elétrico é perpendicular a 
qualquer parte da superfície esférica. Embora não conheçamos o mó-
dulo do campo elétrico E, a simetria esférica impõe que ele deve ter 
o mesmo valor em todos os pontos eqüidistantes do centro da esfera. 
Assim, obtemos o resultado simples de que o fluxo resultante através 
de uma superfície gaussiana é
onde usamos o fato de que a área superficial de uma esfera é Aesfera 
� 4� r2. Com esse resultado para o fluxo, a lei de Gauss assume a 
forma
Portanto, o campo elétrico à distância r fora de uma esfera carregada 
é
Ou, em forma vetorial, fazendo uso do fato de que aponta radial-
mente para fora,
onde é o vetor unitário da direção radial.
AVALIAÇÃO O campo é exatamente aquele criado por uma carga punti-
forme Q, o que queríamos demonstrar.
	Capa
	Iniciais 
	Ficha catalográfica 
	Folha de rosto 
	Ficha técnica 
	Prefácio para o Professor
	Prefácio para o Estudante
	Sumário Resumido
	Sumário
	Introdução
	Parte IV: Eletricidade e
Magnetismo
	Capítulo 26: Cargas Elétricas
e Forças
	Capítulo 27: O Campo Elétrico
	Capítulo 28: Lei de Gauss
	Capítulo 29:
O Potencial Elétrico 
	Capítulo 30: Potencial e Campo
	Capítulo 31: Corrente e Resistência
	Capítulo 32:
Fundamentos de Circuitos
	Capítulo 33: O Campo Magnético
	Capítulo 34:
Indução Eletromagnética
	Capítulo 35: Campos Eletromagnéticos
e Ondas
	Capítulo 36: Circuitos CA
	Revisão Matemática
	Respostas
	Créditos
	Índice