eletromagnetismo 1 unidade 2 - leis fundamentais do eletromagnetismo

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Autoria: Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues – Revisão técnica: Alexandre de
Moraes Araújo
Eletromagnetismo I
UNIDADE 2 – LEIS FUNDAMENTAIS DO
ELETROMAGNETISMO
Olá, caro aluno.
O eletromagnetismo é fundamentado a partir de
uma série de princípios, leis e postulados,
desenvolvidos para explicar basicamente todo
fenômeno eletromagnético. Para conhecer
melhor esse campo, é necessário conhecer cada
premissa. 
Nesta unidade, estudaremos a Lei de Gauss,
que pode ser aplicada a diversas áreas – incluindo o eletromagnetismo. Ela permite
entender a relação que existe entre uma carga elétrica e um campo elétrico, nas mais
diversas circunstâncias práticas, aproximando-as de situações conceituais de forma
válida e com rigor técnico suficiente para tal.
Em seguida, veremos como a corrente elétrica é estabelecida, diferentes formas de
calculá-la e entenderemos mais detalhes da densidade de corrente elétrica, outro
parâmetro muito importante no eletromagnetismo.
Aqui, também compreenderemos como são desenvolvidos os capacitores,
especialmente os de placas paralelas. Entenderemos como calcular a capacitância e
a correlação com o campo elétrico.
Na quarta parte de nossos estudos, veremos aspectos relacionados ao cálculo do
potencial elétrico, de modo que consigamos compreender as relações de energia
potencial e trabalho. Depois, na quinta parte, aprenderemos como calcular o campo
magnético de situações diversas e, por fim, conheceremos a Lei de Biot-Savart, com
exemplos de aplicação. Vale ressaltar que essa lei é muito importante para entender o
funcionamento dos motores elétricos.
Bons estudos!
Introdução
2.1 Aplicações da Lei de
Gauss
A Lei de Gauss é, sem dúvidas, uma das principais bases teóricas do eletromagnetismo para
compreender a relação que existe entre a carga elétrica e um campo elétrico. Por isso, agora,
entenderemos os principais fundamentos dessa lei, o papel de Gauss no eletromagnetismo e,
por fim, aplicações práticas desse postulado.
2.1.1 Lei de Gauss
Como alternativa à Lei de Coulomb, temos a Lei de Gauss, formulada pelo matemático e físico
alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) no início do século XIX para explicar a relação que
existe entre uma dada carga elétrica e um campo elétrico. A lei afirma que “[...] o fluxo elétrico
total através de qualquer superfície fechada (a superfície externa de um volume definido) é
proporcional à carga elétrica total (líquida existente no interior da superfície” (YOUNG;
FREEDMAN, 2009, p. 43). Iniciando a análise considerando o campo elétrico produzido por
uma carga puntiforme positiva, de carga genérica +q, inserida ao centro de uma superfície
esférica que possui raio genérico R, temos o seguinte cálculo possível para o campo elétrico:
Vetorialmente, sabe-se que o módulo desse campo se mantém (ou seja, a intensidade é a
mesma) e a direção do vetor é ortogonal a cada ponto analisado nessa superfície. Dessa forma,
podemos formular a relação do fluxo elétrico que você vê a seguir. Ela é independente do raio
dessa superfície esférica, como você pode notar; depende somente da carga que está no
interior do volume analisado:
Para entender como essas relações ocorrem na prática, considere a figura a seguir, com duas
esferas diferentes e utilizando um elemento de área para a análise do campo. Além disso, note
que o raio da esfera menor é R e o da maior é 2R:
#PraCegoVer: a imagem mostra duas esferas sobrepostas, de raios R (laranja) e 2R (verde),
com uma carga q positiva concêntrica. Para a análise, estabelece-se a área elementar (dA) na
esfera menor e a área de 4dA na maior. Os vetores de campo elétrico são estabelecidos
divergentes à carga positiva, sendo três linhas de campo atravessando as áreas elementares.
A partir dessas relações, é possível afirmar que o fluxo estabelecido em um dado elemento da
superfície esférica é igual a:
Isso acontece sobre o elemento de uma superfície irregular, por exemplo. Além disso, sabe-se
que a seguinte relação é válida, caso a superfície seja irregular:
Por outro lado, se a outra superfície analisada for irregular (considerando a figura anterior de
referência, seria em substituição à esfera de raio 2R), a relação que veremos na próxima figura
será válida, tomando como exemplo, novamente, a inserção de uma carga positiva no interior
Figura 1 - Relação entre diferentes volumes e campos elétricos, bem como distribuição de cargas, para volumes
esféricos de diferentes tamanhos
Fonte: Adaptada de Young e Freedman, 2009, p. 43.
da esfera menor (carga positiva elementar, +q):
#PraCegoVer: do lado esquerdo, há a imagem de uma esfera de raio genérico R na cor laranja
com uma carga positiva, +q, no seu centro; no exterior da esfera, há uma superfície irregular de
cor verde claro. A partir de +q, aparece um vetor r até a área elementar da superfície irregular
(dA), na qual é denotada a normal saindo da superfície, a componente do campo elétrico,
ortogonal e o próprio vetor campo elétrico, na direção de r, que faz um ângulo ϕ com a normal.
Do lado direito, há a ilustração somente da carga +q com um elemento da superfície da esfera
de raio R e de dA (da superfície irregular), demonstrando as mesmas relações dos campos
com a normal em dA. Além disso, o ângulo ϕ é formado devido à variação de angulação de dA,
dada por dAcosϕ.
Caso não exista nenhum tipo de carga no interior da superfície analisada, a seguinte relação do
fluxo elétrico será válida:
Para entender melhor o porquê dessa validade, considere agora a presença novamente de uma
carga puntiforme positiva; entretanto, no exterior de uma superfície irregular, com nenhuma
outra carga em seu interior. Nesse caso, as linhas de campo elétrico atravessarão a superfície,
de fora para dentro desta ou o contrário. Isso implica diretamente no fato de que um campo
elétrico só se inicia ou termina, dependendo da polaridade da carga, quando existirem cargas
no interior dessa mesma região (YOUNG; FREEDMAN, 2009). Assim, com base em todas
essas três possíveis relações apontadas, é possível enunciar a Lei de Gauss, conforme vemos
na seguinte relação matemática:
Ou seja, “[...] o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga elétrica
total (líquida) existente no interior da superfície” (YOUNG; FREEDMAN, 2009, p. 45). Devemos
lembrar ainda que a superfície é imaginária, utilizada somente para a formulação da análise, o
que também nos mostra por que, frequentemente, essas superfícies são denominadas como
superfícies gaussianas. É possível, ainda, escrever a Lei de Gauss de outras maneiras, como
mostram as relações a seguir:
Figura 2 - Relações para superfícies regulares e irregulares acerca do campo elétrico no interior de um dado volume
regular
Fonte: Adaptada de Young e Freedman, 2009, p. 44.
Dessa forma, é possível responder a uma série de perguntas importantes acerca da existência
ou não de algumas relações eletromagnéticas, como a existência ou não de uma distribuição de
cargas em uma dada região. Similarmente, tem-se que o contrário dessa relação também é
válido, afinal, a partir do conhecimento da distribuição de cargas existente em uma dada
situação, também é possível, em certos casos reais, conhecer o campo elétrico nessa mesma
situação.
2.1.2 Aplicações
Neste tópico, entenderemos como de fato funciona a Lei de Gauss a partir de aplicações e
exemplos. Para tal, partimos do pressuposto de que esse postulado só pode ser aplicado se for
possível estabelecer simetria geométrica à distribuição de cargas. Entretanto, diferentemente
do que você pode imaginar, essa atribuição de simetria já é suficientemente válida para muitas
análises, até mesmo porque, na prática, frequentemente podemos assumir a simetria para
problemas reais. A seguir, clique nos ícones para conhecer a aplicação da Lei de Gauss.
Começaremos com a análise de uma situação mais simples, de uma superfície quadrada,
uniforme e carregada. Considerando que a superfície seja normal ao campo elétrico, há a
seguinte relação:
Por outro lado, se o módulo do campo for constante –ou seja, caso o campo de
intensidade seja constante –, temos a seguinte relação (a partir da anterior), na qual
nota-se que o campo elétrico em um dado ponto qualquer de uma região será
correspondente ao seu valor médio:
O valor, em módulo, é expresso por:
Agora, como último exemplo de aplicação, veremos o cálculo do campo elétrico para um fio
longo a uma distância genérica R da superfície cilíndrica que o envolve, considerando que ele
esteja positivamente carregado. O primeiro ponto da análise é que, devido à distância ser R,
considera-se na prática o comprimento do fio como infinito, o que implica dizer que haverá
sempre uma distribuição simétrica de cargas, como é possível ver na próxima figura:
#PraCegoVer: a imagem mostra um fio longo com carga positiva representado por um
retângulo de base bem longa e altura bem pequena. Ele está envolto por uma superfície
cilíndrica (casca) de raio R e comprimento L. O elemento linear elementar é dl (no fio) e denota-
se o campo elétrico saindo da casca, perpendicular a ela.
O campo, nesse caso, é radial e de simetria cilíndrica. É possível utilizar a Lei de Gauss
diretamente, a partir de uma casca cilíndrica de raio equivalente a R. Dessa forma:
Então, não há fluxo de campo elétrico nas bases do cilindro utilizado, porque esse cilindro é
paralelo a essas superfícies e também perpendicular aos vetores unitários dessas superfícies. A
carga utilizada (q) se encerra na área (S) e, sendo esta uma distribuição linear (ou que pode ser
aproximada como tal), temos a seguinte relação a partir da densidade linear de carga (λ):
A relação integral resulta no que é visto a seguir, uma vez que
, já que o campo é normal à superfície:
Quer conhecer mais exemplos de cálculo? Então, clique nos ícones. 
Figura 3 - Fio longo com carga positiva
Fonte: Adaptada de Silva, 2014, p. 74.
Sendo a densidade linear uniforme, a seguinte simplificação é válida:
1
Essa é a fórmula “geral”, aplicável a qualquer outra situação semelhante com o uso de uma
casca cilíndrica. Além disso, de forma análoga, outros desenvolvimentos podem ser realizados
– considerando superfícies esféricas, por exemplo.
Como a “casca” utilizada na análise é um cilindro, utilizamos a seguinte relação para a área:
2
Isso nos fornece:
3
A seguir, você verá mais detalhes das definições e preceitos para o cálculo e para a análise
qualitativa da corrente elétrica estabelecida em um material condutor. Trata-se de um tipo
importante de análise, considerando o exame da corrente em linhas de transmissão, por
exemplo, formadas por cabos condutores.
Agora, observe a figura a seguir, que ilustra um cabo condutor com 1,3 milímetro de raio (R1) e
11 metros de comprimento no interior de uma casca coaxial cujo raio é igual a 10 vezes o raio
do condutor:
#PraCegoVer: trata-se da ilustração de um cabo coaxial, representado por uma casca de raio
R2 e um condutor de raio R1. Além disso, denota-se as cargas Q1 e Q2 do condutor e da
casca, respectivamente.
É possível explicar os experimentos de Faraday a partir
da Lei de Gauss, um exemplo importante de aplicação
prática/teórica dessa lei. Podemos tomar como ponto de
análise a inserção de uma carga pontual na origem do
sistema de coordenadas.
Você sabia?
Figura 4 - Cabo condutor em uma caixa coaxial
Fonte: Adaptada de Silva, 2014, p. 84.
Observe a figura anterior. Com relação às cargas, sabe-
se que a da barra vale 3,4.10-12 C e que a da casca é
duas vezes o módulo da anterior – entretanto, é
negativa. Qual é o campo elétrico, considerando a
distância radial de 2 vezes R2?
Vamos Praticar!
2.2 Corrente e densidade de corrente
elétrica
A corrente elétrica se refere, basicamente, a qualquer movimentação de cargas elétricas de
uma dada região a outra. Agora, veremos alguns conceitos importantes e, basicamente, como é
estabelecida a circulação de corrente em materiais condutores.
2.2.1 Corrente elétrica
Consideremos o que ocorre quando um dado campo elétrico estacionário e constante é
estabelecido internamente em um condutor. Nesse caso, uma partícula qualquer, carregada,
será submetida a uma força elétrica determinada devido a esse campo, que promove um
movimento caótico das partículas. Além disso, há a velocidade de arraste, criada na direção da
força elétrica. É a partir desses conceitos que a corrente elétrica pode ser definida, tanto
fisicamente quanto matematicamente, como mostra a figura a seguir, para cargas positivas e
cargas negativas em deslocamento:
Figura 5 - Estabelecimento de corrente elétrica
Fonte: Adaptada de Young e Freedman, 2009, p. 133.
#PraCegoVer: do lado esquerdo, aparecem as cargas positivas, ilustradas na cor laranja, que
se movimentam da esquerda para a direita, conforme definido pela velocidade de arraste (vd),
que é o mesmo sentido da corrente elétrica e do campo no qual o condutor está imerso. Do
lado direito, há as cargas negativas, na cor verde claro, com velocidade de arraste da direita
para a esquerda, sendo que o condutor está imerso em um campo elétrico da esquerda para a
direita; a corrente está também nesse sentido.
Na figura anterior, é importante ressaltar que o sentido adotado para o fluxo das cargas é
convencional, contrário ao movimento real, como é possível perceber com as cargas negativas
(lembrando que a movimentação é dada pelos elétrons). Considerando então o fluxo de cargas
total, através de uma dada seção transversal de um condutor, é possível definir os elementos
diferenciais em função da carga e com relação ao tempo, de forma que o seguinte cálculo da
corrente é válido:
Por outro lado, é importante ressaltar que, embora tenhamos nos referido ao “sentido da
corrente”, note que não se trata de uma grandeza vetorial. No próximo subtópico, essa e outras
questões ficarão mais claras.
Considere novamente a movimentação de elétrons livres no condutor. Para a análise, devemos
considerar a existência de relações físicas, como atrito, e aspectos como a massa. Dessa
forma, outra relação também se torna válida (veja a seguir) e serve, inclusive, para entender o
surgimento da corrente elétrica. Nesse caso, o valor de K é adotado como a constante da força
de atrito, dada por Kv. Então, a seguinte relação é expressa em função da Segunda Lei de
Newton:
Eq representa a força elétrica; Kv é o atrito e dv/dt é a aceleração desenvolvida. Além disso, no
início do movimento, a velocidade será nula e o campo elétrico atuará sozinho, acelerando as
cargas livres presentes no material condutor.
2.2.2 Densidade de corrente elétrica
A corrente pode ser definida com base na velocidade de arraste. Para isso, é possível
considerar a relação básica apresentada a seguir, supondo-se cargas livres e positivas, sendo
que a velocidade de arraste e o campo têm o mesmo sentido. Considerando-se que há n
partículas carregadas, n representa a concentração de partículas e, sendo que as partículas se
movimentam com vd, a variação de carga dQ pode ser definida por:
A corrente pode ser reescrita como:
A densidade de carga é definida a partir dessas relações para expressar a corrente que está
fluindo em função da unidade de área:
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Todas essas questões são resumidas na próxima figura, que mostra a corrente que atravessa
uma dada área (correspondente à seção reta de um condutor). Outro ponto importante a ser
considerado é que existe diferença entre partículas negativas:
#PraCegoVer: a figura mostra um circuito elétrico formado por uma pilha e uma lâmpada
incandescente, que estão conectados em série por um fio. A partir de uma amostra desse fio, foi
dado zoom na parte de baixo da figura, mostrando o condutor com a seção reta dada pela área
A (um círculo), as partículas de carga positiva que denotam o sentido pelo qual a corrente
elétrica flui, sendo que estas se movimentam com velocidade vd, da esquerda para a direita. O
campo elétrico também está nesse sentido.
Também é possível expressar essa relação de densidade de forma vetorial, a partir da inclusão
do sentido da velocidade de arraste(YOUNG; FREEDMAN, 2009). Dessa forma, a “corrente”
torna-se uma grandeza de interpretação vetorial, analisando-se sob esta ótica:
Com a análise de todas as relações apresentadas, é possível concluir que a taxa do fluxo da
carga em um dado segmento, a qualquer instante, tanto para fora quanto para dentro, é a
mesma. Assim, a corrente elétrica também é a mesma através de qualquer seção reta do
circuito (YOUNG; FREEDMAN, 2009). Analogamente, é possível ainda darmos sentido ao
conceito de corrente alternada, que denota as mudanças de sentido permanente da corrente
elétrica, “alternadamente”.
Uma outra relação bastante importante acerca da densidade é utilizá-la para expressar as
características do campo elétrico, sendo que, nesse caso, utiliza-se o conceito de resistividade
elétrica do condutor, que dependerá de características físico-químicas:
No próximo tópico, veremos mais detalhes do cálculo do potencial elétrico e com relação à
energia potencial elétrica, especialmente acerca do funcionamento dos capacitores em geral.
Figura 6 - Corrente elétrica em um condutor de seção reta A
Fonte: Adaptada de Young e Freedman, 2009, p. 134.
2.2.3 Potencial elétrico
Primeiramente, devemos lembrar que o trabalho realizado por uma dada força para o
deslocamento de uma partícula de um ponto A até outro ponto B qualquer é denotado por uma
relação integral. Clique nos ícones e acompanhe os diferentes cálculos.
Um dado fio possui calibre 18 e será utilizado para a ligação
de algumas lâmpadas em uma residência. O diâmetro nominal
do calibre é de 1,02 milímetros e as lâmpadas somam 200 W
de potência, com uma corrente de 1,67 A. Além disso, sabe-se
que a densidade dos elétrons livres, nesse caso, é de 
 C para cada m³. Qual é a densidade da corrente?
Vamos Praticar!
Sendo dl o elemento diferencial do comprimento da trajetória:
Considerando ainda a análise a partir da aproximação real com uma força física
conservativa, tem-se a seguinte aproximação da relação integral anterior:
No caso de a energia potencial elétrica ser estabelecida em um campo uniforme, define-
se de forma análoga que:
Para tal, considerou-se um campo elétrico produzido de maneira uniforme – a partir de duas
placas paralelas, por exemplo – e que havia uma carga elétrica positiva, que é deslocada pela
força elétrica F, tendo ainda d de distância entre essas placas que geram o campo.
Em uma dada usina hidrelétrica, deseja-se estimar o total de
energia elétrica produzida e o potencial da instalação. Para isso,
uma série de relações matemáticas devem ser utilizadas; uma
maneira bem simples de calcular a energia é tomar como base a
potência elétrica, de forma que a energia elétrica é a potência
vezes o tempo analisado, ou seja: E = P.Δt.
Entretanto, expressando-se essa potência em função da
diferença de potencial elétrico, é possível ainda escrever: E =
V.i.Δt.
A seguir, analisaremos outros aspectos igualmente importantes para o entendimento do
eletromagnetismo: a capacitância e o dielétrico. Para isso, estudaremos o funcionamento de um
capacitor de placas paralelas a partir de aspectos como o campo elétrico.
Caso
2.3 Capacitância e
dielétrico
Os capacitores podem ser utilizados nas mais diversas aplicações, como nos flashes de
máquinas fotográficas, em operações de laser e em casos nos quais o armazenamento de
energia e seu fornecimento tenham que acontecer de forma mais lenta.
Agora, estudaremos o funcionamento dos capacitores e veremos mais detalhes acerca dos
dielétricos.
2.3.1 Capacitores
O capacitor é um dispositivo formado por dois condutores que estão separados por meio de um
isolante ou imersos no vácuo. Para entender a relação de capacitância, utiliza-se a diferença de
potencial e a carga elétrica, tal que:
A capacitância é dada em Coulombs por Volt (C/V) ou em Farad (F) e pode ser formulada como
uma “[...] medida da capacidade de armazenar energia de um dado capacitor, dependendo
somente da forma e do tamanho de cada condutor e da natureza do material isolante que existe
entre os condutores” (YOUNG; FREEDMAN, 2009, p. 105).
Considerando como exemplo um capacitor de placas paralelas no vácuo, observe a figura a
seguir:
#PraCegoVer: do lado esquerdo, aparecem duas placas iguais, de área A, paralelas entre si e
separadas pelo ar a uma distância d. Além disso, essas placas estão atravessadas por um fio; a
superior possuir carga +Q; a inferior tem carga -Q. Do lado direito, há duas placas iguais
formando novamente um capacitor, mas denotando como o campo elétrico é estabelecido, com
as linhas da distribuição uniforme e nos cantos o “escape” deste.
Nesse caso, a capacitância é dada em função da área das placas (A) e da distância entre elas
(d), visto que o campo também pode ser calculado em função da densidade. Chegamos, então,
nesta relação matemática:
Considerando que as placas estejam no vácuo, o valor de ϵ0 é F/m. Além disso,
como você pode imaginar, existem outros tipos de geometrias e, por isso, a capacitância deve
ser definida para tais diferentes possibilidades, analogamente ao que fizemos para a Lei de
Gauss.
Caso os capacitores sejam utilizados em série em um circuito, temos a seguinte relação para o
cálculo da capacitância equivalente, para n capacitores em série:
Se os capacitores estiverem paralelos, o cálculo é:
Figura 7 - Capacitor de placas paralelas
Fonte: Adaptada de Young e Freedman, 2009, p. 135.
Selecionamos para você um video que mostra uma
noção geral e prática do que são os capacitores e, além
disso, em quais aplicações podemos usar esses
importantes dispositivos. Clique no ícone a seguir e
aproveite!
Acesse (https://www.youtube.com/watch?
v=EBSpmPwo6VQ)
Você quer ver?
https://www.youtube.com/watch?v=EBSpmPwo6VQ
Diversos sistemas, não só elétricos como também eletrônicos, podem se comportar, na prática,
como capacitores em série e/ou em paralelo. Por isso, é importante entender como definir as
capacitâncias nessas relações, de modo a compreender a carga armazenada, o campo elétrico,
entre outros parâmetros. Então, clique nos ícones para conhecer outros cálculos. 
Para conhecer o trabalho realizado para carregar um capacitor, considere a seguinte relação:
1
A partir dessa relação, temos a energia potencial armazenada:
2
Na segunda equação, V é a tensão em volts e U é o potencial em J. 
Entretanto, é fundamental compreender que, embora seja comum interpretar a energia do
campo elétrico como uma forma de energia diferente da energia potencial elétrica, na verdade
são as mesmas relações, apenas expressas de maneiras distintas (YOUNG; FREEDMAN,
2009).
A seguir, veremos mais detalhes acerca do funcionamento dos dielétricos.
2.3.2 Dielétricos
O material não propenso à condução de energia elétrica, com grande “oposição” a essa
energia, recebe o nome de isolante (ou dielétrico). Um exemplo prático do uso desses
materiais é na fabricação dos capacitores, como é o caso do capacitor do exemplo visto
anteriormente, de placas paralelas. A inserção desses materiais sólidos possui alguns objetivos
principais, como: resolver o problema mecânico de estabelecer de fato a distância entre duas
placas metálicas grandes a uma distância muito pequena, mantendo-as sem contato; aumentar
a diferença de potencial máxima entre as placas; não deixar que as cargas originais do
capacitor se alterem (YOUNG; FREEDMAN, 2009).
Considerando a questão do aumento da diferença de potencial, por exemplo, é possível apontar
ainda efeitos indesejáveis, como a ruptura dielétrica, que é estabelecida quando se aplica um
campo elétrico muito elevado. Isso permite a ionização e, por conseguinte, a condução de
eletricidade através do material. Além disso, as relações apresentadas na figura a seguir, a
partir do estudo do efeito do dielétrico com o uso de um eletrômetro, permitem-nos analisar na
prática o que ocorre ao inserir esse material em um capacitor de placas paralelas:
A densidade da energia pode ser expressa em função do vácuo assim:
3
#PraCegoVer: do lado esquerdo, há duas placas paralelas carregadas, separadaspelo vácuo,
as quais foram utilizadas para a construção de um capacitor de placas paralelas. A placa da
esquerda possui carga +Q; a da direita tem carga –Q. Há o potencial elétrico de V0, conforme
medido pelo eletrômetro. Do lado direito, estão as mesmas placas e o mesmo eletrômetro, mas,
no lugar do vácuo, foi inserido um material dielétrico, sendo agora que a medida traz o valor V
do potencial.
Dessa forma, a constante dielétrica pode ser expressa em função da capacitância antes e
depois:
A partir disso, tem-se ainda a relação descrita a seguir, destinada ao cálculo do potencial
quando o dielétrico está presente, considerando-se que a carga elétrica Q seja constante:
Por fim, temos ainda, de forma similar, a relação constante expressa em função do campo
elétrico, tal que:
A seguir, entenderemos mais detalhes do cálculo e da definição formal e prática das relações
magnéticas em diversas situações por meio do campo magnético. Compreenderemos,
inclusive, a base para o funcionamento dos motores elétricos.
Figura 8 - Efeitos do dielétrico no capacitor de placas paralelas
Fonte: Adaptada de Young e Freedman, 2009, p. 116.
Vimos brevemente que os capacitores podem ser utilizados
nas mais diversas aplicações a partir do uso de uma dada
quantidade de energia armazenada. Um exemplo de sua
Vamos Praticar!
aplicabilidade é o flash fotográfico. Como o funcionamento
do flash a partir de um capacitor inserido na câmera?
2.4 Campo
magnético
Analogamente à relação gravitacional, o campo magnético pode ser definido a partir da
verificação de uma carga em movimento. Para isso, usamos a força de Lorentz, consideramos
que a carga de teste possui uma dada carga qualquer q e que se mova com velocidade v:
Considerando que o campo tem incidência ortogonal, com ângulo de 90°, o produto vetorial
anterior nos permite reescrever a relação vetorial de forma mais simples, assim:
É fundamental ressaltar que, conforme estabelecido pelo Sistema Internacional de Unidades
(SI), a unidade de medida do campo magnético é o Tesla (T), em homenagem a Nikola Tesla
(1856-1943), embora se utilize com muita frequência Weber/m², por conta do pesquisador
Wilhelm Eduard Weber (1804-1891), mesmo que essa unidade advenha do fluxo magnético.
Suponha o lançamento de uma carga em uma região na qual há tanto um campo elétrico
quanto um campo magnético. Para que a carga não se desvie ao passar pela região, sabe-se
que as forças devem se anular, tal que a seguinte relação seja válida: qvB = qE. Então, a
velocidade é igual à razão entre os módulos do campo elétrico com o magnético.
O austríaco Nikola Tesla foi um grande inventor das
engenharias, conhecido amplamente por ter “espalhado luz”
sobre a face da Terra. Sem dúvida alguma, é muito
lembrado devido a suas contribuições ao eletromagnetismo;
um de seus maiores destaques é sua demonstração de
como poderia ser feita a transmissão sem fio, através do
rádio. Quer expandir seus conhecimentos? Então, leia o
artigo de doutorado disponível no ícone a seguir e conheça
melhor o trabalho de Tesla.
Acesse
(https://tede.pucsp.br/bitstream/handle/19498/2/Aroldo%
20Quinto%20de%20Souza.pdf)
Você o conhece?
https://tede.pucsp.br/bitstream/handle/19498/2/Aroldo%20Quinto%20de%20Souza.pdf
2.4.1 Força em condutores e funcionamento do gerador
Considerando aplicações como um motor elétrico, sabe-se que as cargas estão em movimento
ao longo de um dado fio condutor. Por isso, será necessário expressar a força em função da
corrente (QUEVEDO; QUEVEDO-LODI, 2010). A força elementar, nesse caso, é dada como:
Devido à integração, temos:
É essa força que faz com que, de fato, o movimento no motor elétrico seja gerado. Observe o
diagrama a seguir, que representa um circuito eletromagnético simples, com resistor, e fonte de
tensão contínua com V volts. Ele serve para ilustrar essa relação:
#PraCegoVer: a imagem mostra um tubo condutor em U deitado com a abertura para a direita.
À esquerda, ele é formado pela série resistor (R) e tem fonte de tensão contínua (V), mostrando
ainda que há a corrente elétrica circulando da esquerda para a direita. O campo magnético,
nesse caso, está entrando no plano. Há, em cima do tubo em U, um condutor móvel que toca
as partes superior e inferior deste, deslizando sobre o tubo devido à força magnética F, dada
por B vezes i vezes l, que o comprimento do condutor.
De forma análoga, é possível compreender por tais relações eletromagnéticas o funcionamento
de um gerador elétrico (que também pode ser denominado gerador de tensão), usado na
prática para transformar qualquer forma de energia em energia elétrica (energia térmica em
energia elétrica, por exemplo). Considerando o cálculo da força eletromotriz no interior do fio
condutor utilizado, sabe-se que esta se iguala à diferença de potência estabelecida
(considerando dois extremos do fio, 1 e 2), tal que é possível apontar a seguinte relação:
Caso não exista atrito na movimentação do condutor, é possível fechar o circuito com o uso de
um resistor. O campo externo faz com que as cargas livres presentes no resistor comecem a se
movimentar. A corrente, nesse caso, é:
Isso denota que o gerador está, de fato, transformando energia mecânica em energia elétrica.
Além disso, R é o valor da resistência do resistor, lembrando que a energia mecânica pode ter
sido produzida de outra forma, a partir de alguma energia potencial, e então ter sido
transformada em energia elétrica.
Figura 9 - Esquema básico do funcionamento de um motor elétrico
Fonte: Adaptada de Quevedo e Quevedo-Lodi, 2010, p. 169.
Com mais detalhes, ainda é possível perceber que, de forma mais completa, a relação
magnética no motor elétrico pode ser expressa pela seguinte relação de velocidade:
Essa relação pode representar um trem elétrico, por exemplo, desconsiderando-se tanto a
existência de atrito entre as partes e o trilho quanto a resistência do ar. Nesse caso, m
representa a massa, a partir da relação estabelecida para a força resultante, F = ma, em função
da aceleração.
Como você pôde perceber, o funcionamento de um gerador de
energia elétrica pode ser compreendido a partir da formação do
campo magnético. Além disso, sabe-se que a energia mecânica é
basicamente a principal responsável pela geração de energia
elétrica. Considerando como exemplo uma usina hidrelétrica,
explique, do ponto de vista das relações magnéticas – e utilizando
como base a turbina hidráulica e o gerador – como a energia
elétrica é gerada nesse caso.
Vamos Praticar!
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
2.5 Lei de Biot-Savart e
aplicações
Partindo do pressuposto de que existam várias cargas pontuais se movimentando em um
espaço livre, é possível definir a densidade do fluxo magnético, vetorialmente, pelo princípio da
superposição. Com relação à corrente, por exemplo, sabe-se que existem forças livres
elementares devido ao movimento de cargas através de um condutor; entretanto, esse
movimento está organizado a partir da velocidade de arraste, uma grandeza macroscópica
(NOTAROS, 2012). Assim, considere a soma das cargas pela soma Qv, para todas as cargas
de um dado volume elementar (dv), sendo a seguinte relação válida:
Outro ponto importante é que, para a seguinte relação geral ser válida, assume-se o mesmo
valor de permeabilidade magnética em qualquer ponto da análise ( – neste
caso, usando-se como base a permeabilidade no vácuo).
A Lei de Biot-Savart estabelece, a partir da relação anterior, que o produto densidade-volume
(Jdv) representa uma fonte elementar de volume, macroscópico do campo magnético. Por esse
motivo, essa relação de densidade é denominada como corrente volumétrica elementar ou
elemento de corrente volumétrica:
Considerando como base a integração e a própria corrente volumétrica da relação anterior, é
possível, ainda, obter a seguinte relação para o cálculo do campo magnético:
Como fizemos em outro momento, existem três tipos de distribuição magnética básicas devido
às distribuições de corrente através dos volumes. Elas denotam a corrente volumétrica,a
corrente de superfície (superficial) e a corrente de linha:
#PraCegoVer: na primeira figura à esquerda, há um dado volume qualquer, irregular, de
distribuição de corrente, no qual pega-se um cubo como volume elementar, centrado no ponto
P’, traça-se a distância do ponto P, que é R, e assim analisa-se que o vetor está na direção
rumo a P. O vetor densidade de corrente faz um dado ângulo com e o ponto P tem um
componente elementar do campo que, da forma como a corrente se estabeleceu, aponta com
um ângulo com relação à normal, para baixo. Na segunda figura, no meio, há um paralelogramo
de área S e unidade elementar de área dS, centrada no ponto P’ e distante em R do ponto P. O
vetor aponta na direção do ponto P e o vetor da densidade da corrente faz um certo ângulo
com esse vetor. O campo em P tem o sentido da normal, apontando para baixo. A terceira
figura, à direita, traz um fio de comprimento l sob o qual há a corrente I. O ponto P’ dista em R
do ponto P também para análise. dl é um vetor que está sobreposto ao fio e faz um dado
ângulo com o vetor , que aponta na direção de P. Ademais, o campo no ponto P novamente
faz um ângulo com a normal. Todas as permeabilidades são µ0.
A formulação matemática integral anterior pode ser utilizada, como já mencionado, para a
corrente volumétrica e é válida para o primeiro exemplo da figura anterior. Com relação à
corrente superficial, temos:
Com relação à linear, temos:
Note que há uma forte analogia entre as diferentes formas, visto que a densidade de corrente
no volume está para o volume elementar, assim como a densidade superficial está para a área
elementar e a densidade linear da corrente elétrica está para o comprimento elementar
(NOTAROS, 2012).
Figura 10 - Possibilidades de distribuição de corrente
Fonte: Adaptada de Notaros, 2012, p. 145.
Supondo-se ainda que o objetivo seja analisar uma espira e a relação estabelecida pelo campo
em um ponto, temos:
Nessa relação, θ é o ângulo formado entre R e o eixo que for adotado, de forma arbitrária,
como referência lá no plano de contorno. É preciso lembrar que a integral é a integral de
contorno. Mais ainda, note que, na equação anterior, basta fazer uma integração escalar para
termos uma relação mais simplificada.
Por fim, considere a definição de um campo no ponto P, estabelecido devido a um condutor
filamentar retilíneo, tal como apresentado na figura a seguir, a partir do sistema de coordenadas
cilíndricas:
#PraCegoVer: a imagem mostra um triângulo retângulo de eixo ρ e eixo z, com um condutor
posicionado no eixo z do ponto A até o B. Avalia-se o ponto P, no eixo ρ, no qual o campo H
está para dentro da página. De P até o ponto A, no eixo z, forma-se o ângulo α1.
Teorias e metodologias como as estabelecidas pela Lei
de Biot-Savart e pela força de Grassmann, por exemplo,
são utilizadas para estudar os efeitos do campo
magnético, juntamente com a força de Ampére, a qual
satisfaz ao princípio físico da ação e reação. Para
conhecer mais detalhes, sugerimos a leitura de um
artigo que compara a Lei de Biot-Savart com a força
entre elementos de corrente de Ampère. Clique no ícone
e aproveite a leitura.
Acesse
(https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/vie
w/2175-7941.2017v34n3p864/35534)
Você quer ler?
Figura 11 - Campo magnético devido a um condutor filamentar retilíneo, calculado em um ponto P qualquer
Fonte: Adaptada de Sadiku, 2004, p. 247.
https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/2175-7941.2017v34n3p864/35534
Semelhantemente, a um dado ponto do condutor, de comprimento dl, tem-se o ângulo α e a
distância R até o ponto P, o comprimento z de 0 até esse elemento dl e, por fim, do ponto B até
P, tem-se o ângulo α2.
Antes de mais nada, é fundamental observar que, em coordenadas cilíndricas, o cálculo do
campo pode ser feito com dI = dzaz, R = ρ aρ - zaz. Logo, temos que . Dessa
forma, o campo é:
Tomando z = ρ cotg α, sendo a derivada igual a dz = -ρ cossec² α dα, da equação anterior
obtém-se a seguinte relação:
Essa expressão pode ser aplicada a qualquer tipo de condutor que seja filamentar e retilíneo e
que também possua comprimento muito grande (aproximadamente infinito, conforme
aproximação). Esse tipo de análise pode ser utilizado para cabos condutores de linhas de
transmissão, por exemplo.
Imagine que você precise calcular o campo magnético em
uma situação prática semelhante a uma espira de corrente
circular. Para isso, considere o raio como a e a corrente
constante de intensidade I. Qual será o vetor densidade do
fluxo magnético, que é estabelecido ao longo do eixo da
espira, normal ao plano desta?
Vamos Praticar!
A base para a compreensão dos mais diversos fenômenos
eletromagnéticos práticos é entender certos tipos de relações
matemáticas e físicas fundamentais do eletromagnetismo. Esse
entendimento permitirá, ainda, compreender o funcionamento
de diversos equipamentos.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
Conclusão
aprender acerca da Lei de Gauss e suas principais
aplicações;
estudar mais detalhes do conceito de potencial elétrico;
analisar questões relacionadas a corrente elétrica e a
densidade de corrente;
identificar aspectos da capacitância e dos dielétricos;
aprender como são estabelecidos os campos magnéticos;
estudar como é estabelecida a Lei de Biot-Savart e suas
possíveis aplicações.
CAPACITOR! O QUE É, TIPOS E APLICAÇÕES! [S. l.: s. n.],
29 abr. 2017. 1 vídeo (5 min). Publicado pelo canal Mundo da
Elétrica. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?
v=EBSpmPwo6VQ (https://www.youtube.com/watch?
v=EBSpmPwo6VQ). Acesso em: 18 dez. 2020. 
NOTAROS, B. Eletromagnetismo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012.
QUEVEDO, C.; QUEVEDO-LODI, C. Ondas eletromagnéticas. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2010.
SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 3. ed. São Paulo: Bookman,
2004.
SANTOS, H. S. T. dos. Análise da Lei de Biot-Savart em comparação com a força entre
elementos de corrente de Ampère. Caderno Brasileiro de Ensino de Física,
Florianópolis, v. 34, n. 3, p. 864-879, dez. 2017. Disponível em:
https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/2175-
7941.2017v34n3p864/35534
(https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/2175-
7941.2017v34n3p864/35534). Acesso em: 15 dez. 2020.
SILVA, C. E. da et al. Eletromagnetismo: fundamentos e simulações. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2014.
SOUZA, A. Q. de. Nikola Tesla e os estudos do raixo X: releitura de uma história
quase apagada. Dissertação (Doutorado em História da Ciência) – Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2016. Disponível em:
https://tede.pucsp.br/bitstream/handle/19498/2/Aroldo%20Quinto%20de%20Souz
a.pdf
(https://tede.pucsp.br/bitstream/handle/19498/2/Aroldo%20Quinto%20de%20Souz
a.pdf). Acesso em: 15 dez. 2020.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física 3: eletromagnetismo. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2009.
Referências
https://www.youtube.com/watch?v=EBSpmPwo6VQ
https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/view/2175-7941.2017v34n3p864/35534
https://tede.pucsp.br/bitstream/handle/19498/2/Aroldo%20Quinto%20de%20Souza.pdf