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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo 
Capítulo 2: Funções
2.1- Definições
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. 
Uma função f de A em B é uma lei, regra ou correspondência que associa a cada elemento x de A 
um único elemento y de B.
O conjunto A é o domínio de f ou o conjunto onde a função é definida, e é indicado por D(f).
O conjunto B é o contradomínio de f ou campo de valores de f.
O único elemento y de B associado ao elemento x de A é indicado por f(x) (leia: f de x); diremos 
que f(x) é o valor que f assume em x ou é a imagem de x pela função f.
Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f, que é o 
conjunto de todos os valores assumidos pela função f, e indicado por Im(f) ou f(A). Simbolicamente, 
temos: { }AxxfAff ∈== );()()Im( .
Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por BAf →: (leia: f de A 
em B).
Duas funções BAf →: e DCg →: são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x), 
∀x ∈ A. Ou seja, duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a 
mesma regra de correspondência.
Uma função de uma variável real a valores reais ou função real de uma variável real é uma função 
BAf →: , onde A e B são subconjuntos de R. Até menção em contrário, só trataremos com funções 
reais de uma variável real.
- Observações:
1. Usa-se a notação )(xfx  para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x).
 
2. Não se deve confundir f com f(x): f é a função, enquanto que f(x) é o valor que a função assume num 
ponto x do domínio, ou seja, f(x) é a imagem de x por f. 
3. Quando uma função é dada pela regra y = f(x) é comum referir-se à variável y como variável 
dependente e à variável x como variável independente. É usual dizer que y é função de x.
4. A natureza da regra que ensina como obter o valor de f(x) ∈ B quando é dado x ∈ A é inteiramente 
arbitrária, sendo sujeita apenas a duas condições:
1ª) A fim de que f tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) a todo x ∈ A;
2ª) A cada x ∈ A, a regra deve fazer corresponder um único f(x) em B, ou seja, se x = x’ em A 
então f(x) = f(x’) em B.
5. Deve-se ainda observar que uma função consta de três ingredientes: domínio, contradomínio e a lei de 
correspondência )(xfx  . Mesmo quando dizemos simplesmente “a função f”, ficam subentendidos 
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seu domínio A e seu contradomínio B. Sem que eles sejam especificados, não existe função. Assim 
sendo, uma pergunta do tipo “Qual é o domínio da função f(x) = 1/x ?”, estritamente falando, não faz 
sentido. A pergunta correta seria: “Qual é o maior subconjunto A ⊂ R tal que a fórmula f(x) = 1/x define 
uma função RAf →: ?” Porém, muitas vezes uma função é dada pela regra )(xfx  ou, 
simplesmente, f(x) sem explicitarmos seu domínio e contradomínio; quando isso ocorrer, fica implícito 
que o contradomínio é R e que o domínio é o “maior” subconjunto de R para o qual faz sentido a regra 
em questão, ou seja, f(x) é um número real. 
- Notações:
 [ ) ( ) ( ] ( )0 , 0 , ,0 ,0 ** ∞−=∞−=∞+=∞+=
−−++ RRRR
- Exemplos e Contra-exemplos:
1. A correspondência que associa a cada número natural n seu sucessor n + 1 define uma função 
NNf →: , sendo f(n) = n + 1. D(f) = N e Im(f) = N – {1}. 
2. A regra que associa a cada [ ]2,1∈x o seu dobro define uma função [ ] Rf →2,1: , com f(x) = 2x.
D(f) = [1, 2] e Im(f) = [2, 4].
3. A fórmula A = pir2 da área A de um círculo de raio r associa a cada real positivo r um único valor de A, 
determinando assim, uma função RRf →+
*: tal que f(r) = pir2. ** )Im( e )( ++ == RfRfD .
4. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. As regras estabelecidas nos diagramas abaixo não definem funções 
de A em B. 
 
 
5. Seja dada a regra 24)( xxf −= . Neste caso, o maior subconjunto de R para o qual f(x) ∈ R é 
4 – x2 ≥ 0, ou seja, - 2 ≤ x ≤ 2. Logo D(f) = [-2, 2] e Im(f) = [0, 2].
 2.2- Gráfico de uma função
Seja BAf →: uma função, onde A e B são subconjuntos não vazios de R. 
O conjunto ( ){ } AxBAxxfxfG ⊂∈= ; )(, )( denomina-se gráfico de f. Assim, o gráfico de f é 
um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais.
Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode 
então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f.
Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela 
que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe outro meio de determinar o gráfico a 
não ser este método rudimentar. Mais adiante desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de 
gráficos.
 
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 - Observação: Podemos nos perguntar se, dada uma curva C no plano cartesiano, ela sempre representa 
o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio 
pode ter somente uma imagem. Assim a curva C só representa o gráfico de uma função quando qualquer 
reta vertical corta a curva no máximo em um ponto.
 
A curva C1 representa o gráfico de uma função, enquanto a curva C2 não representa.
- Exemplos:
1. Considere a função f(x) = x2. Temos: D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e a figura abaixo esboça o gráfico de f.
 
2. Considere a função f(x) = x. Temos: D(f) = R, Im(f) = R e a figura abaixo mostra o seu gráfico.
 
3. Seja 
2 se ,4 
22 se ,2 
2 se ,2
)(por definida :



>
≤<−
−≤−
=→
x
x
x
xfRRf . Temos: D(f) = R, Im(f) = {– 2, 2, 4} e o 
gráfico de f é mostrado pela figura a seguir.
 
 
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4. Seja xxf =)( . Então D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e o gráfico de f pode ser visto na figura abaixo.
 
5. Seja 
x
xf 1)( = . Então D(f) = R – {0} e Im(f) = R – {0}. A figura abaixo mostra o gráfico de f.
 
6. Seja [ ]xxf =)( = maior inteiro ≤ x. Temos que D(f) = R e Im(f) = Z. O gráfico de f é dado por:
2.3- Operações
 Operações aritméticas sobre funções
Sejam f e g duas funções, sendo D(f) = A e D(g) = B. Se A ∩ B ≠ ∅, podemos definir:
a) Função Soma de f e g: (f + g) (x) = f(x) + g(x), sendo D(f + g) = A ∩ B.
b) Função Diferença de f e g: (f – g) (x) = f(x) – g(x), sendo D(f – g) = A ∩ B.
c) Função Produto de f e g: (f . g) (x) = f(x) . g(x), sendo D(f . g) = A ∩ B.
d) Função Quociente de f por g: ( ) ( )( ) ( ){ } φ≠≠∩∈=



=



0 ; sendo , xgBAx
g
fD
xg
xfx
g
f
.
- Observação:
Se f for uma função constante, digamos f(x) = k, k ∈ R, então o produto de f e g será kg. Desta forma, 
multiplicar uma função por uma constante é um caso particular de multiplicação de duas funções.
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- Exemplo:
Sejam as funções 1)( e 4)( 2 −=−= xxgxxf .
Então { } { }1ou 1 ;)( e 4 ;)( ≥−≤∈==≤∈== xxRxBgDxRxAfD .
Temos:
( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ; ; 14 2 ≤≤−≤∈=∩=+−+−=+ xxRxBAgfDxxxgf
( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ; ; 14 2 ≤≤−≤∈=∩=−−−−=− xxRxBAgfDxxxgf
( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ;. ; 1.4. 2 ≤≤−≤∈=∩=−−= xxRxBAgfDxxxgf
( ) { } { }41ou 1 ;0)( ; ; 
1
4
2
≤<−<∈=≠∩∈=



−
−
=



xxRxxgBAx
g
fD
x
xx
g
f
( ) ( ) { }4 ;5 ; 4 5 )5( ≤∈==∩=−−−=− xRxAARfDxxf
 Composição de Funções
Sejam RBgRAf →→ : e : duas funções tais que Im(f) ⊂ B, ou seja,