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em 
relação à bissetriz y = x do 1º e 3º quadrantes, pois 
 )(),()()()(),( 11 −− ∈⇔=⇔=⇔∈ fGxyyfxxfyfGyx
 Tendo o gráfico da função bijetora f, para fazermos o gráfico da função inversa de f basta 
traçarmos a reta y = x e observamos a simetria.
21
 Exemplos:
a) A função 13)(por dada : +=→ xxfRRf é bijetora. Logo, admite inversa RRf →− :1 .
Vamos apresentar dois modos para se obter uma fórmula para 1−f .
1º modo: Sendo y = 3x + 1, basta tirar x em função de y, isto é, 
3
1−
=
yx . Logo,
RxxxfRyyyf ∈∀−=∈∀−= −− ,
3
1)( seja,ou , ,
3
1)( 11 .
2º modo: Sendo seja,ou ,1)(3 que segue , ,))(( 11 yyfRyyyff =+∈∀= −−
Ryyyf ∈∀−=− ,
3
1)(1 . 
 
b) A função 
x
xfRRf 1)(por dada : ** =→ é bijetora. Logo, admite inversa **1 : RRf →− 
dada por 
x
xf 1)(1 =− . Excepcionalmente temos 1−= ff .
 
c) O gráfico abaixo ilustra a função 2)(por dada : xxfRRf =→ que não possui inversa. 
Fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. 
Por exemplo, a função [ ) [ ) 2)(por definida ,0 ,0: xxff =∞+→∞+ tem como inversa a 
função [ ) [ ) xxff =∞+→∞+ −− )(por dada ,0 ,0: 11 .
 
 
22
2.10- Algumas Funções Elementares
 Função Exponencial de base a
A função ,10 real, número um sendo ,)(por definida : ≠<=→ aaaxfRRf x é denominada 
função exponencial de base a.
 D(f) = R e Im(f) = *R + = (0, + ∞)
 O gráfico de xaxf =)( está todo acima do eixo das abscissas (x), pois 0>= xay para 
todo x ∈ R.
 O gráfico de xaxf =)( corta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0, 1), pois a0 = 1.
 Quando a > 1, xaxf =)( é crescente.
 Quando 0 < a < 1, xaxf =)( é decrescente.
 Um caso particular importante é a função exponencial xexf =)( , onde e é o número 
irracional conhecido por constante de Euler (e ... 597182818284,2≅ ).
 Propriedades:
 Se a, x, y são números reais e a > 0, então: 
( )
( )
x
x
xxx
y
x
yxyxyx
x
xxyyx
aa
bbaba
a
aaaaa
a
aaa
11
0 para , ..
 particular em , .
1 particular em , 
=


>=
==
==
−+
−
 
 Função Logarítmica de base a
A função ,10 real, número um sendo ,log)(por definida : * ≠<=→+ aaxxfRRf a é denominada 
função logarítmica de base a.
 D(f) = *R + e Im(f) = R
23
 O gráfico de xxf alog)( = está todo à direita do eixo y.
 O gráfico de xxf alog)( = corta o eixo das abscissas (x) no ponto (1, 0), pois loga1 =0.
 Quando a > 1, xxf alog)( = é crescente.
 Quando 0 < a < 1, xxf alog)( = é decrescente.
 As funções xxfRRf alog)(por definida :
*
=→+ e 
xaxgRRg =→ + )(por definida :
* , 
sendo a um número real, 0 < a ≠ 1, são inversas uma da outra, pois ya axxy =⇔= log . 
Assim, o gráfico de f é simétrico ao gráfico de g em relação à reta y = x.
 Um caso particular importante é a função logarítmica de base e, chamada função 
logarítmica natural, que denotamos por xxf ln)( = .
 Propriedades:
Se 0 < a ≠ 1 e x e y números reais positivos, então:
( )
yx
y
x
yxyx
dxdx
aaa
aaa
a
d
a
logloglog
loglog.log
 real númeroqualquer para , loglog
−=



+=
=
 
 Funções Trigonométricas
• Medida de ângulo em radiano (rad)
É fato que a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo em um círculo, cujo 
centro é o vértice do ângulo, e o raio do círculo é um número real que só depende do ângulo, isto é, não 
depende do raio do círculo. Esta propriedade nos permite definir o seguinte:
A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo 
ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o comprimento do raio do círculo. 
 
24
Rs
R
s
R
sÔBA
R
sAÔB
ÔBAAÔB
.
radianos 
'
'''
radianos 
''
αα
α
=⇒=
=
=
==
 A medida de um ângulo de “uma volta”, ou seja, 360o, em radianos é 2pi rad, pois 
rad 2 2 piααpiα =⇒=⇒= RRRs .
 Um ângulo mede 1 radiano quando o comprimento do arco determinado por ele em um círculo, 
cujo centro é o seu vértice, é igual ao raio do círculo. 



≅


=
o
o
rad 57
2
3601
pi
 .
 Quando o raio R do círculo é igual a 1, a medida do ângulo em radianos coincide com o 
comprimento do arco determinado pelo ângulo; isto nos permite fazer uma identificação entre 
ângulos e números reais.
• Círculo Trigonométrico
 
 
• Relações Fundamentais
 
xgx
x
x
tgx
senx
xgx
tgx
gx
x
senxtgx
senx
xxxsen
22
22
22
cot1seccos 
cos
1sec
x 1sec coscot
 1cot 
cos
1seccos 1cos
+==
+==
==
==+
• Ângulos Notáveis
 
0
6
pi
4
pi
3
pi
2
pi pi
2
3pi 2pi
0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
Seno 0
2
1
2
2
2
3 1 0 -1 0
Cosseno 1
2
3
2
2
2
1 0 -1 0 1
Tangente 0
3
3 1 3 Não existe 0 Não existe 0
25
. eixo u: eixo dos cossenos
. eixo v: eixo dos senos
. eixo t: eixo das tangentes
. eixo c: eixo das cotangentes
xOD
xOS
gxBC
tgxAT
xOP
senxOP
OA
seccos
sec
cot
cos
1
2
1
=
=
=
=
=
=
=
 
• Fórmulas de Transformação
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
tgbtga
tgbtgabatg
tgbtga
tgbtgabatg
senbsenababa
senbsenababa
asenbbsenabasen
asenbbsenabasen
.1
.1
.cos.coscos
.cos.coscos
cos.cos.
cos.cos.
+
−
=−
−
+
=+
+=−
−=+
−=−
+=+
 
 
( )
( )
ba
basentgbtga
ba
basentgbtga
babasensenbsena
babasensenbsena
basenbasenba
bababa
cos.cos
cos.cos
2
cos.
2
2
2
cos.
2
2
2
.
2
2coscos
2
cos.
2
cos2coscos
−
=−
+
=+
+−
=−
−+
=+
−+
−=−
−+
=+
• Função Seno
senxOPxfRRf ==→ 1)(por definida :
 D(f) = R e Im(f) = [-1, 1]
 A função senxxf =)( é ímpar, pois ( ) senxxsen −=− .
 A função senxxf =)( é periódica de período 2pi, pois ( ) senxxsen =+ pi2 .
 A função senxxf =)( é crescente nos intervalos [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] e decrescente 
no intervalo [pi/2, 3pi/2].
 O gráfico da função senxxf =)( é denominado senóide.
 
• Função Cosseno
xOPxfRRf cos)(por definida : 2 ==→
 D(f) = R e Im(f) = [-1, 1]
 A função xxf cos)( = é par, pois ( ) xx coscos =− .
 A função xxf cos)( = é periódica de período 2pi, pois ( ) xx cos2cos =+ pi .
 A função xxf cos)( = é decrescente no intervalo [0, pi] e crescente no intervalo 
[pi, 2pi].
 O gráfico da função xxf cos)( = é denominado cossenóide.
 
26
a
aatg
aa
aasen
atg
tgaatg
asenaasenaa
asenaasen
2cos1
2cos1
2
2cos1cos
2
2cos1
1
22
211cos2cos2cos
cos.22 
2
2
2
2
2222
+
−
=
+
=
−
=
−
=
−=−=−=
=
• Função Tangente
x
senxtgxATxfRZkkxRxf
cos
)(por definida ,
2
 ;: ===→



∈+≠∈ pi
pi
 



∈+≠∈= ZkkxRxfD ,
2
 ;)( pipi e Rf =)Im(
 A função tgxxf =)( é ímpar, pois ( ) tgxxtg −=− .
 A função tgxxf =)( é periódica de período pi, pois ( ) tgxxtg =+ pi .
 A função tgxxf =)( é crescente nos intervalos [0, pi/2), (pi/2, 3pi/2) e (3pi/2, 2pi].
 O gráfico da função tgxxf =)( é denominado tangentóide.
 
• Função Cotangente
{ }
tgxsenx
xgxBCxfRZkkxRxf 1coscot)(por