Exercícios TEMA 2 Lei de Gauss e suas aplicações MÓDULO 1

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MÃO NA MASSA
1. Calcule o campo elétrico resultante num ponto P, sobre a mediatriz de um seguimento
de reta uniformemente carregado, com densidade linear de carga, λ, constante e
comprimento L.
Comentário
A)
B)
C)
D)
CAMPO DO SEGMENTO DE RETA
2. Considere um seguimento de reta uniformemente carregado, ao longo do eixo dos x,
com densidade linear de carga, λ, constante e comprimento L. Mas diferentemente do
problema anterior, calcule o campo elétrico resultante num ponto P, ao longo do eixo dos
y, considerando que a origem, 0, do sistema coordenado, xy, está à esquerda do corpo
carregado, e o comprimento L, quando medido de , está delimitado pelos ângulos θ <
θ .
1
2
A)
B)
Comentário
A alternativa "A" está correta.
θ
θ
λ
θ
θ θ θ
θ
C)
D)
3. Um anel circular foi homogeneamente carregado, tem densidade linear de carga λ,
constante, carga total Q e raio R. Calcule o campo elétrico resultante em um ponto P ao
longo do seu eixo axial, z.
Comentário
A alternativa "B" está correta.
A)
B)
C)
D)
CAMPO DO ANEL
4. Um disco homogeneamente carregado, com densidade super�cial de cargas, σ,
constante, pode ser construído como uma sucessão de anéis concêntricos, fazendo o
raio, r, dos anéis variar desde a origem até o raio R. Considerando isso, calcule o campo
elétrico desse disco, num ponto P ao longo do seu eixo axial, z.
A)
B)
Comentário
A alternativa "D" está correta.
CAMPO DO DISCO
C)
D)
5. Considere uma casca esférica, oca, homogênea, de raio R, e super�cialmente
carregada com uma densidade super�cial de cargas, σ, constante. Calcule, via Lei de
Coulomb, o seu campo elétrico resultante externo à casca, com r≥R.
Comentário
A alternativa "C" está correta.
Vamos calcular a contribuição ao campo, no ponto P externo, de cada anel na casca, de área
 (de perímetro e largura ). Devemos encontrar um
vínculo entre as três variáveis para simpli�car a integração, que será feita na
variável S. A soma de todas as contribuições de campo resultam não-nulas somente na
direção radial esférica, por simetria do problema. A carga total será O
campo externo será, incrivelmente, como o de uma partícula carregada. Partiremos da
relação da lei dos cossenos, , aplicada ao problema e depois
obteremos a sua derivada. Também usaremos a outra relação da lei dos cossenos, ao
problema, dada por , ambas para expressar os vínculos entre θ,
α e S.
A)
B)
C)
D)
6. Um �o homogeneamente carregado tem uma densidade linear de cargas, λ, constante
e está encurvado ao modo de um arco circular de ângulo 2θ e raio R, simetricamente em
relação ao eixo y. Calcule a componente, não nula, de seu campo elétrico, no centro do
arco, na origem do sistema coordenado xy.
0
A)
B)
C)
Comentário
A alternativa "C" está correta.
A componente x do campo será nula, com a simetria do problema. Somente a componente y não será nula, na
origem. O elemento do arco será Vamos integrar de 
TEORIA NA PRÁTICA
Aplicação: Uma das importantes aplicações práticas da Eletrostática diz respeito a esse problema. Considere uma
casca esférica, oca, homogênea, de raio R, e super�cialmente carregada com uma densidade super�cial de cargas,
σ, constante. Calcule, via Lei de Coulomb, o seu campo elétrico interno à casca, com 
Objeto com interação.
Etapa 1
Já �zemos um problema semelhante, porém para o cálculo do campo externo à casca esférica. Todos os passos
são idênticos, até antes da integração �nal. Retomemos aquele resultado. Vamos, então, posicionar o ponto P
dentro da casca e alterar os limites de integração em S para esses pontos internos à casca, de
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O campo elétrico interno a uma superfície esférica, oca e homogeneamente carregada é nulo. Esse fenômeno de
blindagem eletrostática, muito utilizado tecnologicamente, tem o nome de Gaiola de Faraday. Perturbações
elétricas externas à casca fechada não afetam o campo elétrico interno à casca, que continua nulo.
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Considere novamente um seguimento de reta uniformemente carregado, ao longo do
eixo dos x, com densidade linear de carga λ e comprimento L. Calcule o campo elétrico
resultante num ponto P, ao longo do eixo dos y, considerando que a origem, 0, do sistema
coordenado, xy, está à esquerda do corpo carregado, e seu comprimento L, quando
medido de , está delimitado pelos ângulos θ < θ . Com esse vetor campo elétrico
obtido, faça seu comprimento L tender a in�nito e responda: Qual é o campo elétrico
gerado por essa reta homogeneamente carregada, com densidade linear de cargas, λ, e
comprimento in�nito? Uma reta in�nita.
1 2
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
A partir da �gura, e refazendo esse problema, temos o campo elétrico no ponto P:
A)
B)
C)
D)
Se �zermos , o seguimento de reta carregado, L, tenderá à
dimensão in�nita. A componente horizontal, na direção x, irá desacoplar, anulando-se. A
componente vertical, na direção y, se somará, resultando em:
Ou seja, o campo elétrico será inversamente proporcional à distância da linha in�nita carregada
e não haverá mais a informação angular. Esse resultado é importante tecnologicamente
quando a distância da fonte do campo é muito menor que a extensão da linha carregada e
pudermos excluir efeitos de contorno das extremidades da linha
2. Considere novamente um disco homogeneamente carregado, com densidade
super�cial de cargas, σ, que pode ser construído como uma sucessão de anéis
concêntricos, fazendo o raio dos anéis variar desde a origem até o raio R. Calcule o campo
elétrico desse disco, num ponto P ao longo do seu eixo axial, z. Com esse vetor campo
elétrico obtido, faça seu raio R tender a in�nito e responda: Qual é o campo elétrico
gerado por esse plano homogeneamente carregado, com densidade super�cial de cargas,
σ constante, e com dimensão in�nita? Um plano in�nito.
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
A)
B)
C)
D)
Se �zermos R→∞, o disco carregado tenderá à dimensão in�nita, um plano in�nito carregado.
O segundo termo da componente axial do campo elétrico, na direção z, se anulará, restando
uma constante no primeiro termo:
Nessa solução e nesse limite de plano in�nito, não podemos utilizar a carga total, que seria
in�nita. Assim, temos a densidade super�cial de cargas para designar a fonte do campo
elétrico. Esse resultado é fundamental, tecnologicamente, para os fenômenos de capacitância
que veremos à frente, quando a distância de separação, ao quadrado, entre as placas de um
capacitor é muito menor que a área dessas placas.
A partir da �gura, e refazendo esse problema, temos o campo elétrico no ponto P: