DINAMICA II FISICA

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DINÂMICA EM 
TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
Como falamos anteriormente, em uma curva, o móvel sofre 
mudança no seu vetor velocidade. Mesmo que seu módulo permaneça 
constante, a direção e o sentido do vetor mudam ao longo da trajetória. 
Isso indica que o nosso móvel sofre uma aceleração. Lembrando que 
a aceleração é a grandeza que faz com que o vetor velocidade sofra 
alterações. Como há aceleração, podemos dizer que a soma das forças 
que atuam no corpo é diferente de zero. Ou seja, quando um corpo 
está realizando uma trajetória curvilínea, sofrerá a atuação de 
forças. A resultante das forças será diferente de zero.
Já estudamos que, para o módulo da velocidade não mudar, o 
vetor aceleração deve apontar para o centro, recebendo o nome de 
aceleração centrípeta. Então, como o vetor aceleração aponta para o 
centro, a resultante das forças também apontará para o centro. 
Como
2
cp
v
a
2R
=
e
F = ma
A resultante das forças (como aponta sempre para o centro, é 
chamada de Resultante Centrípeta, Rcp) vale:
2
2
cp
mv
R ou m R,
R
= ω
já que
v = ωR.
Vamos ver algumas trajetórias e as forças atuantes:
CURVA PLANA
Neste caso, podemos imaginar um carro fazendo uma curva. 
Podemos imaginar até mesmo, de maneira simpli� cada, o movimento de 
translação dos planetas ao redor do Sol, ou o da Lua ao redor da Terra. 
É o atrito entre o pneu e o asfalto que irá possibilitar que o carro 
realize uma curva sem deslizar (derrapar). Repare que, nesse caso, 
atuam três forças no carro: peso, normal e atrito. As duas primeiras 
atuam na vertical e em sentidos opostos, possuindo o mesmo módulo. 
A força de atrito é que está perpendicular ao vetor velocidade, 
apontando para o centro da trajetória. Então:
2
at
mv
F N
R
= µ =
Como, nesse caso, P = N
2mv
mg v Rg
R
µ = ∴ = µ
Perceba que, quanto menor o coe� ciente de atrito entre o pneu 
e o asfalto, menor deve ser a velocidade do carro, para que realize 
a curva sem deslizar. Lembrando que, sem deslizar, signi� ca que 
estamos usando o coe� ciente de atrito estático. (A roda do carro não 
desliza no asfalto. Veja que a distância entre o carro e o centro da 
curva é sempre a mesma, que é o próprio raio R da curva).
No caso entre a Lua e a Terra, a única força que atua na Lua para 
que ela realize a trajetória é a força gravitacional, que aponta para o 
centro da trajetória. Logo:
2
g 2
GMm mv GM
F v
R R R
= = ∴ =
Essa é a velocidade orbital da Lua. Se estudássemos o sistema 
Terra-Sol, essa seria a velocidade orbital da Terra, na qual M seria a 
massa do Sol e R, o raio da órbita (distância média Terra-Sol).
Mais tarde, iremos estudar gravitação universal. Está aqui apenas 
como curiosidade.
CURVA INCLINADA SEM ATRITO
(Disponível em: http://� sicacuriosaecriativa.blogspot.com/2012/09/
por-que-temos-de-fazer-forca-para.html)
Nessa situação, as forças que atuam no ônibus são Peso e Normal, 
igual à situação de plano inclinado, ou seja, Peso atuando na vertical 
e a Normal, normal ao plano. A resultante das forças aponta para o 
centro da trajetória. Nesse caso, está apontando na horizontal para a 
esquerda. Veja:
N
��
P
�
�
CPR
�
Vertical: Ncosα = P
Horizontal: α =
2mv
Nsen
R
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Então:
α = ∴ = α
2v
tg v Rgtg
Rg
Observe que, se a curva possuir atrito, duas situações são 
possíveis: o carro pode estar em alta velocidade, na iminência de 
escorregar para fora da pista. Nesse caso, o atrito aponta para dentro 
da pista, paralelo ao plano inclinado ou a velocidade é baixa, fazendo 
com que esteja na iminência de escorregar para baixo. Nesse caso, o 
atrito aponta para fora da pista, paralelo ao plano inclinado. A relação 
acima não seria mais válida.
PÊNDULO SIMPLES
Esse movimento será estudado com mais detalhes no módulo 
sobre movimento harmônico simples (M.H.S.). O que temos que ver, 
por enquanto, é que a velocidade do pêndulo muda a cada instante. 
No momento em que é abandonado, a sua velocidade é zero e, na 
parte mais inferior, a sua velocidade será máxima. Ou seja, além de 
haver uma aceleração apontando o tempo todo para o centro da 
trajetória, há também uma aceleração na tangente da trajetória. Na 
parte da queda, essa aceleração aponta no mesmo sentido de vetor 
velocidade. Por sua vez, quando o pêndulo passa pela posição de 
maior velocidade, iniciando a sua subida, a aceleração tangencial 
passa a apontar para o sentido oposto ao da velocidade.
L
m
mgcosθ
�
mgsenθ
�
mg
�
θ
θ
s
T
�
Figura 1 - O pêndulo simples e as forças atuantes 
consideradas na modelagem simpli�cada.
O pêndulo simples e as forças atuantes 
consideradas na modelagem simpli� cada.
Na situação acima, as forças que atuam na direção radial são a 
tração e uma componente da força peso. A tração aponta para o 
centro e a componente do peso, para fora. Como a resultante aponta 
para o centro, temos que:
2mv
T mgcos
L
− θ =
Perceba que, a cada instante, θ e v mudam. A equação para o 
ponto inferior seria:
2mv
T mg
L
− =
Já para os extremos, onde a velocidade é nula, seria:
T = mgcosθ
Basta imaginarmos que a � gura acima retrata esse momento, no 
qual a velocidade é nula.
PÊNDULO CÔNICO
Nesse caso, o nosso pêndulo realiza uma curva plana, sofrendo a 
atuação de duas forças apenas: tração e peso.
L
Rccentro
T
�
P
�
θ
θ
Note que, durante toda a trajetória, a resultante aponta para o 
centro. Com o auxílio da � gura acima, podemos ver que a resultante 
centrípeta é a componente seno da tração:
2mv
Tsen
R
θ =
E, como não há movimento na vertical:
T cosθ = P
Então:
2v
tg v Rgtg .
Rg
θ = ∴ = θ
Note que esse movimento é semelhante ao da curva inclinada, 
trocando apenas a normal pela tração.
GLOBO DA MORTE
D
R
B
A
C
O movimento é semelhante ao de um avião fazendo um looping. 
O que se deseja saber nesse tipo de movimento é a velocidade mínima 
que o ciclista/piloto (avião) deve ter para conseguir realizar uma volta 
completa. Podemos notar que essa velocidade é maior em A do que 
em C. O que acontece no ponto C?
Nesse ponto, o móvel sofre duas forças: peso e normal. As duas 
apontam para baixo. Por isso, é muito difícil conseguir dar a volta sem 
cair. Como estamos preocupados com a velocidade mínima, podemos 
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DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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dizer que, qualquer valor abaixo desta, ela irá cair, ou seja, está na 
iminência de perder o contato com a pista, de perder a normal. Então, 
no ponto C, podemos dizer que a moto está perdendo o contato com 
a pista (se fosse um avião realizando um looping, poderíamos dizer 
que o piloto está perdendo o contato com o seu assento). Sendo 
assim, a única força atuante nesse ponto será o Peso, que aponta para 
o centro da trajetória:
2mv
P v Rg.
R
= ∴ =
Qual seria, então, a velocidade mínima que ele deve ter no ponto A?
Podemos descobrir usando Torricelli:
2 2
C Av v – 2gh=
Em que:
h = 2R
Logo:
2
A
2
A A
Rg v – 2g2R
v 5Rg v 5Rg
=
= ∴ =
QUEBRA-MOLAS E DEPRESSÕES
Nos quebra-molas, o carro sofre a atuação de duas forças: peso 
e normal. Podemos considerar que a trajetória de um carro ao passar 
por um quebra-molas é, aproximadamente, um semicírculo. Note que 
o vetor peso aponta para o centro dessa trajetória e o vetor normal 
aponta para fora. Como se trata de uma trajetória curvilínea, o vetor 
força resultante aponta para o centro da trajetória, ou seja, o módulo 
do peso supera o da normal. 
Vamos supor que antes de o carro passar por um quebra-molas 
estava em uma trajetória retilínea. Então, o módulo do peso era 
igual ao da normal. Ao passar pelo quebra-molas, o peso do carro 
não muda, mas o módulo da normal vai diminuindo. Signi� ca que 
a força de contato entre as pessoas que estão dentro do carro e os 
seus assentos diminui. Sabemos que, quando um carro está em alta 
velocidade e passa por um quebra-molas, as pessoas dentro do carro 
perdem o contato com os seus assentos, chegando a bater no teto! 
Então, deve haver uma relação matemática entre a velocidadedo 
carro e a normal:
2mv
P – N
R
=
Note que, quanto maior o valor da velocidade, menor será 
o módulo do vetor força de contato (normal). Para que as pessoas 
percam completamente o contato com os seus assentos:
N 0 v Rg→ ∴ =
Mas, quando um carro passa por uma depressão, o módulo da 
normal é maior que o do peso:
2mv
N – P
R
=
Como o peso é constante, quanto maior a velocidade do carro, 
maior será a força de contato (as pessoas dentro do carro � cam 
mais “grudadas” nos seus assentos). A sensação é semelhante a de 
estarmos dentro de um elevador subindo aceleradamente (N – P = 
m · a). Já no quebra-molas, poderíamos associar com o que sentimos 
quando estamos dentro de um elevador que desce aceleradamente 
(P – N = m · a). Se o cabo do elevador se rompesse, perderíamos o 
contato com o piso (estaríamos em queda-livre).
Quebra-molas
x centro
x centro
Depressão
N

N

P

P

EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. (EEAR) Uma criança gira no plano horizontal, uma pedra com 
massa igual a 40 g presa em uma corda, produzindo um Movimento 
Circular Uniforme. A pedra descreve uma trajetória circular, de raio 
igual a 72 cm, sob a ação de uma força resultante centrípeta de 
módulo igual a 2 N. Se a corda se romper, qual será a velocidade, 
em m/s, com que a pedra se afastará da criança?
Observação: desprezar a resistência do ar e admitir que a pedra se 
afastará da criança com uma velocidade constante.
a) 6 b) 12 c) 18 d) 36
02. (EEAR) A atração gravitacional que o Sol exerce sobre a Terra 
vale 3,5×1022  N. A massa da Terra vale 6,0×1024  kg. Considerando 
que a Terra realiza um movimento circular uniforme em torno do 
Sol, sua aceleração centrípeta (m/s2) devido a esse movimento é, 
aproximadamente
a) 6,4×102 b) 5,8×10-3 c) 4,9×10-2 d) 2,1×103
03. (EEAR) Uma partícula de massa igual a 500 g está ligada por um 
� o de massa desprezível ao centro da trajetória e executa M.C.U. em 
um plano vertical, ou seja, perpendicular ao solo, descrevendo uma 
circunferência de raio igual a 10 m. Sabe-se que, a partícula ao passar 
pelo ponto A apresenta uma velocidade angular de 1 rad/s. Determine a 
tração no � o, em N, quando a partícula estiver exatamente no ponto B, 
considerando o � o ideal, o módulo da aceleração da gravidade no local 
igual a 10 m/s2 e o ponto B exatamente no ponto mais alto da trajetória. 
Todo movimento foi observado por um observador � xo no solo.
a) 0,0
b) 0,8
c) 6,4
d) 11,0
04. (EEAR) Para explicar como os aviões voam, costuma-se representar 
o ar por pequenos cubos que deslizam sobre a superfície da asa. 
Considerando que um desses cubos tenha a direção do seu movimento 
alterada sob as mesmas condições de um movimento circular uniforme 
(MCU), pode-se a� rmar corretamente que a aceleração _____ do 
“cubo” é _____ quanto maior for o módulo da velocidade tangencial 
do “cubo”.
a) tangencial; maior.
b) tangencial; menor.
c) centrípeta; menor.
d) centrípeta; maior.
05. (EEAR) Pilotos de aviões-caça da Segunda Grande Guerra atingiam 
até a velocidade de 756 km/h em mergulho. A essa velocidade podiam 
realizar uma manobra em curva com um raio aproximado, em m, de
Observação: a aceleração máxima que um ser humano suporta sem 
desmaiar é de 70 m/s².
a) 30 b) 130 c) 330 d) 630
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06. (EEAR) Um veículo percorre uma pista de trajetória circular, 
horizontal, com velocidade constante em módulo. O raio da 
circunferência é de 160 m e o móvel completa uma volta a cada π
segundos, calcule em m/s², o módulo da aceleração centrípeta que o 
veículo está submetido. 
a) 160 b) 320 c) 640 d) 960
07. (EEAR) Uma mosca pousa sobre um disco que gira num plano 
horizontal, em movimento circular uniforme, executando 60 rotações 
por minuto. Se a distância entre a mosca e o centro do disco é de 
10 cm, a aceleração centrípeta, ei π² cm/s², à qual a mosca está sujeita 
sobre o disco, é de: 
a) 20 b) 40 c) 60 d) 120
08. (AFA) No sistema abaixo, M1 = M2 = 1 kg são objetos que giram 
com velocidade angular w = 2 rad/s, presos a um cordel, apoiados 
sobre um plano horizontal. Calcule, em N, a tração no cordel que liga 
M2 ao ponto O.
a) 1 b) 2 c) 4 d) 12
09. (AFA) Na aviação, quando o piloto executa uma manobra, a força 
de sustentação torna-se diferente do peso. A esta relação dá-se o 
nome de fator de carga:
( )
( )
=
L força de sustentação
n 
P peso
Um avião executa um M.C.U. no plano horizontal, conforme a � gura a 
seguir, com uma velocidade de 50 m/s e com um fator de carga igual 
a 3. Supondo-se g = 10 m/s2, o raio de curva vale, em metros:
a) √62,5 2 b) 125 c) √125 2 d) 250
10. (AFA) Um carrinho de massa M carrega em sua carroçaria um bloco 
de granito de massa 
M
2
, quando executa uma trajetória curva de raio 
R, plana e horizontal. Sabendo-se que o coe� ciente de atrito estático 
entre a pista e os pneus é µ que a velocidade tangencial do carrinho 
tem módulo V, o coe� ciente de atrito estático entre as superfícies do 
bloco de granito e da carroçaria, para que não escorregue sobre o 
outro, é igual a:
a) µ
1
2
b) µ
2
3
c) µ
4
5
d) µ
3
2
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (AFA 1995) Um � o de 1m de comprimento tem uma extremidade 
� xa e na outra uma massa de 8,7g que descreve um pêndulo cônico 
em movimento circular uniforme. Se o � o forma um ângulo de 30º 
com a vertical, a tração nesse � o, em newtons, é
a) −110 b) −210 c) −⋅ 22 10 d) −⋅ 32 10
02. (AFA) Uma pessoa caminha de um dos polos ao equador da 
Terra. Supondo a Terra uma esfera de raio 6370 km, a variação da 
aceleração, em m/s2, que a pessoa sofre, devido à rotação da Terra, é
a) 0,034
b) 9,766
c) 9,800
d) 9,834
03. (AFA) Um carro se movimenta numa estrada plana. O coe� ciente 
de atrito de escorregamento entre os pneus e a pista é 0,32. O valor 
máximo da velocidade com que o carro entra numa curva sem 
derrapar, é de 20 m/s. O raio dessa curva, em metros, é:
a) 45 b) 50 c) 70 d) 125
04. (AFA) Um automóvel entra em uma curva de 30° de inclinação, 
com velocidade 30 m/s. O raio da curva, em metros, para que não haja 
escorregamento, é (considerar g = 10 m/s2)
a) √9 3 b) ( )−190 3 c) √90 3 d) √900 3
05. (AFA) Um bloco é colocado na borda exterior de um carrossel de 
raio 5,0 metros e que dá uma volta a cada 30 segundos. Para que o 
bloco permaneça sobre o carrossel, o coe� ciente de atrito deve ser 
a) 0,02 b) 0,03 c) 0,20 d) 0,30
06. (AFA) Um veículo faz uma curva de raio R, sem derrapar, apesar de 
não haver atrito. Nesse caso, o ângulo de inclinação da pista é tal que 
sua tangente é igual a 1/2. Isso posto, podemos a� rmar que a força
a) normal é metade do peso do veículo.
b) centrípeta máxima é metade da força normal.
c) centrípeta máxima é metade do peso do veículo.
d) normal é metade da soma do peso e da centrípeta.
07. (AFA) Dois corpos A e B giram em movimento circular uniforme 
presos aos extremos de cordas de comprimentos, respectivamente, r 
e 2r. Sabendo que eles giram com a mesma velocidade tangencial, 
pode-se dizer que
a) ambos desenvolverão mesma velocidade angular.
b) ambos estarão submetidos à mesma força centrípeta.
c) num mesmo intervalo de tempo o corpo A dará maior número de 
voltas que o B.
d) o corpo A desenvolve menor aceleração centrípeta que o B.
08. (AFA) Um piloto de 80 kg executa um loop perfeito de raio 90 m. 
Se no ponto P do loop, conforme � gura, a velocidade do avião é 
de 216 km/h, o módulo da força com a qual o piloto comprimirá a 
poltrona, em newtons, é igual a
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a) 1800. b) 2400. c) 2700. d) 3200.
09. (AFA) A � gura representa uma curva plana de um circuito de 
fórmula 1.
Se, durante uma corrida, um piloto necessitar fazer tal curva com 
velocidade elevada, evitando o risco de derrapar, deverá optar pela 
trajetória representada em qual alternativa?
a)
b)
c)
d)
10. (AFA) A � gura abaixo representa uma pista pertencente ao plano 
vertical. O raio R da parte circular vale 4 m. Um corpo parte do repousono ponto A. Desprezando o atrito e a resistência do ar e considerando 
que, em B, a força que comprime o móvel contra a pista vale 1/4 do 
seu peso, pode-se a� rmar que, a sua velocidade em B vale, em m/s, 
aproximadamente,
a) 3,2 b) 7,1 c) 5,5 d) 6,3
11. (AFA) Um carro de 1500 kg faz uma curva sem superelevação, 
com um raio de 75 m, à velocidade de 54 km/h. O coe� ciente de atrito 
mínimo que deve haver entre o pavimento da estrada e os pneus, 
a � m de impedir a derrapagem do carro, é 
a) 0,1 b) 0,3 c) 0,5 d) 0,6
12. (AFA) Uma partícula descreve trajetória circular com movimento 
uniforme, no sentido horário, como mostra a � gura.
O conjunto de vetores que melhor representa a força resultante 

F , 
a velocidade 

v e a aceleração 

a da partícula, no ponto P indicado 
na � gura é
a)
b)
c)
d)
13. (AFA) O pêndulo da � gura abaixo gira apresentando um ângulo θ
de abertura em relação à vertical. A� rmar-se que:
I. A força centrípeta é a força resultante.
II. Variando a velocidade o período permanece inalterado.
III. A tensão do � o diminui com o aumento de θ
Estão corretas as a� rmativas
a) I e II apenas. 
b) I e III apenas. 
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
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14. (AFA) Analise as a� rmativas abaixo sobre movimento circular 
uniforme.
I. A velocidade vetorial tem direção variável.
II. A resultante das forças que atuam num corpo que descreve esse 
tipo de movimento não é nula.
III. O módulo da aceleração tangencial é nulo.
Está(ão) correta(s):
a) I e III apenas; 
b) I, II e III; 
c) II e III apenas; 
d) I apenas.
15. (AFA) Durante um show de patinação, o patinador, representado 
na � gura abaixo, descreve uma evolução circular, com velocidade 
escalar constante, de raio igual a 10,8 m. Considerando desprezíveis 
quaisquer resistências, a velocidade do patinador, ao fazer a referida 
evolução, é igual a
Dados: sen 53° = 0,80; cos 53° = 0,60
a) 12 m/s b) 7 m/s c) 8 m/s d) 9 m/s
16. (AFA) Um corpo de massa m, preso à extremidade de um � o, 
constituindo um pêndulo cônico, gira num círculo horizontal de 
raio R, como mostra a � gura.
Sendo g a aceleração da gravidade local e θ o ângulo do � o com a 
vertical, a velocidade do corpo pode ser calculada por
a) Rg b) 2Rg c) θRg sen d) θRg tg
17. (AFA) A � gura abaixo representa dois corpos idênticos girando 
horizontalmente em MCU com velocidades lineares 1v e 2v . A razão 
1
2
T
T
 entre as intensidades das trações nos � os ideais 1 e 2 é
a) 
+2 21 2
2
2
2v v
v
b) 
+2 21 2
2
2
v v
v
c) 
−2 21 2
2
2
v v
v
d) 
2
2
2
1
v
v
18. (AFA) A figura representa um brinquedo de parque de 
diversão em que as pessoas, apenas em contato com a parede 
vertical, giram juntamente com uma espécie de cilindro gigante 
em movimento de rotação.
Considere as forças envolvidas abaixo relacionadas.
P é a força peso

atF é a força de atrito estático

cpF é a força centrípeta

cfF é a força centrífuga

Para um referencial externo, � xo na terra, as forças que atuam sobre 
uma pessoa estão representadas pela opção
a) c)
b) d)
19. (AFA) Em uma apresentação da Esquadrilha da Fumaça, uma das 
acrobacias é o “loop”, representado pela trajetória circular da � gura. 
Ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória, a força que o assento 
do avião exerce sobre o piloto é
a) maior que o peso do piloto.
b) igual ao peso do piloto.
c) menor que o peso do piloto.
d) nula.
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20. (ESPCEX) Uma partícula com carga elétrica negativa igual a 
−− 810 C encontra-se � xa num ponto do espaço. Uma segunda 
partícula de massa igual a 0,1 g e carga elétrica positiva igual a 
−+ 810 C descreve um movimento circular uniforme de raio 10 cm em 
torno da primeira partícula. Considerando que elas estejam isoladas 
no vácuo e desprezando todas as interações gravitacionais, o módulo 
da velocidade linear da partícula positiva em torno da partícula 
negativa é igual a
Dado: considere a constante eletrostática do vácuo igual a 
⋅
⋅
2
9
2
N m
9 10 .
C
a) 0,3 m/s b) 0,6 m/s c) 0,8 m/s d) 1,0 m/s e) 1,5 m/s
21. (EFOMM) Uma bola encontra-se em repouso no ponto mais 
elevado de um morro semicircular de raio R, conforme indicada a � gura 
abaixo. Se 

0v é a velocidade adquirida pela bola imediatamente após 
um arremesso horizontal, determine o menor valor de 

0| v | para que 
ela chegue à região horizontal do solo sem atingir o morro durante sua 
queda. Desconsidere a resistência do ar, bem como qualquer efeito de 
rotação da bola. Note que a aceleração da gravidade tem módulo g. 
a) 
gR
2
b) 
gR
2
c) gR d) 2gR e) 2 gR
22. (AFA) Uma partícula de massa m, presa na extremidade de uma 
corda ideal, descreve um movimento circular acelerado, de raio R, 
contido em um plano vertical, conforme � gura a seguir.
Quando essa partícula atinge determinado valor de velocidade, a 
corda também atinge um valor máximo de tensão e se rompe. Nesse 
momento, a partícula é lançada horizontalmente, de uma altura 
2R, indo atingir uma distância horizontal igual a 4R. Considerando 
a aceleração da gravidade no local igual a g, a tensão máxima 
experimentada pela corda foi de 
a) mg b) 2 mg c) 3 mg d) 4 mg
23. (AFA) Uma determinada caixa é transportada em um caminhão 
que percorre, com velocidade escalar constante, uma estrada plana e 
horizontal. Em um determinado instante, o caminhão entra em uma 
curva circular de raio igual a 51,2 m, mantendo a mesma velocidade 
escalar. Sabendo-se que os coe� cientes de atrito cinético e estático 
entre a caixa e o assoalho horizontal são, respectivamente, 0,4 e 0,5 
e considerando que as dimensões do caminhão, em relação ao raio da 
curva, são desprezíveis e que a caixa esteja apoiada apenas no assoalho 
da carroceria, pode-se a� rmar que a máxima velocidade, em m/s, que o 
caminhão poderá desenvolver, sem que a caixa escorregue é 
a) 14,3 b) 16,0 c) 18,0 d) 21,5
24. (AFA) Uma pequenina esfera vazada, no ar, com carga elétrica 
igual a 1 µC e massa 10 g, é perpassada por um aro semicircular 
isolante, de extremidades A e B, situado num plano vertical.
Uma partícula carregada eletricamente com carga igual à 4 µC é 
� xada por meio de um suporte isolante, no centro C do aro, que tem 
raio R igual a 60 cm, conforme ilustra a � gura abaixo.
Despreze quaisquer forças dissipativas e considere a aceleração da 
gravidade constante.
Ao abandonar a esfera, a partir do repouso, na extremidade A, 
pode-se a� rmar que a intensidade da reação normal, em newtons, 
exercida pelo aro sobre ela no ponto mais baixo (ponto D) de sua 
trajetória é igual a 
a) 0,20 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,60
25. (AFA) Um motociclista, pilotando sua motocicleta, move-se com 
velocidade constante durante a realização do looping da � gura abaixo.
Quando está passando pelo ponto mais alto dessa trajetória circular, 
o motociclista lança, para trás, um objeto de massa desprezível, 
comparada à massa de todo o conjunto motocicleta-motociclista. 
Dessa forma, o objeto cai, em relação à superfície da Terra, como se 
tivesse sido abandonado em A, percorrendo uma trajetória retilínea 
até B. Ao passar, após esse lançamento, em B, o motociclista consegue 
recuperar o objeto imediatamente antes dele tocar o solo.
Desprezando a resistência do ar e as dimensões do conjunto 
motocicleta-motociclista, e considerando π² = 10, a razão entre a 
normal (N), que age sobre a motocicleta no instante em que passa 
no ponto A, e o peso (P) do conjunto motocicleta-motociclista, (N/P), 
será igual a 
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 3,5
26. (EFOMM) Um bloco de massa m é colocado sobre um disco que 
começa girar a partir do repouso em torno de seu centro geométrico 
com aceleração angular constante igual a α. Se o bloco está a uma 
distância d do centro, e o coe� ciente de atrito estático entre o objeto 
e a superfície vale µ, considerando a aceleração da gravidade igual a g, 
quanto tempo levará até que o bloco comece a deslizarsobre o disco? 
a) 
µ
α2
g
d
b) 
µ
α2
g
d
c) 
µ
α
g
d
d) 
 µ  −  α α   
1 42
2 2
g 1
d
e) 
 µ +  α α   
1 42
2 2
1 g
d
80
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
PROMILITARES.COM.BR
27. (EN) Analise a � gura abaixo.
A � gura mostra um pêndulo cônico no qual um pequeno objeto de 
massa m, preso à extremidade inferior de um � o, move-se em uma 
circunferência horizontal de raio R, com o módulo da velocidade 
constante. O � o tem comprimento L e massa desprezível. Sendo g a 
aceleração da gravidade e sabendo que a relação entre a tração T e o 
peso P do objeto é T = 4P, qual o período do movimento? 
a) 
π2
L
8g
b) 
 π
 
 
1 22
L
4g
c) 
π2
L
2g
d) 
 π
 
 
1 22
L
g
e) 
π22
L
g
28. (AFA) Dois pequenos corpos A e B são ligados a uma haste rígida 
através de � os ideais de comprimentos A e B, respectivamente, 
conforme � gura a seguir.
A e B giram em sincronia com a haste, com velocidades escalares 
constantes Av e Bv , e fazem com a direção horizontal ângulos θA e 
θB, respectivamente.
Considerando = A B4 , a razão 
A
B
v
,
v
 em função de θA e θB, é igual a 
a) 
θ θ
⋅ ⋅
θ θ
A B
B A
cos sen
2
cos sen
b) 
θ θ
⋅
θ θ
A A
B B
cos sen
cos sen
c) 
θ θ
⋅
θ θ
A A
B B
sen cos
sen cos
d) 
θ θ
⋅ ⋅
θ θ
A B
A B
cos cos
4
sen sen
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (EN 2015) Analise a � gura abaixo.
A � gura acima mostra um bloco de massa 0,3 kg que está 
preso a uma superfície de um cone que forma um ângulo 
θ = 30° com seu eixo central 00’, � xo em relação ao sistema de eixos 
xyz. O cone gira com velocidade angular ω = 10 rad/s em relação ao 
eixo 00’. Sabendo que o bloco está a uma distância d = 20 cm do 
vértice do cone, o módulo da força resultante sobre o bloco, medido 
pelo referencial � xo xyz em newtons, é
a) 2,0.
b) 3,0.
c) 3,5.
d) 6,0.
e) 10.
02. (ITA-2009) A partir do repouso, um carrinho de montanha russa 
desliza de uma altura H = 20 3 m sobre uma rampa de 60° de 
inclinação e corre 20 m num trecho horizontal antes de chegar a um 
loop circular, de pista sem atrito.
Sabendo que o coe� ciente de atrito da rampa e do plano 
horizontal é 0,5, assinale o valor do raio máximo que pode ter esse 
loop para que o carrinho faça todo o percurso sem perder o contato 
com a sua pista.
a) R 8 3m=
b) R 4( 3 1)m= −
c) R 8( 3 1)m= −
d) R 4(2 3 1)m= −
e) ( 3 1)R 40 m
3
−
=
03. (UFRJ 2006) Uma caixa é pendurada no teto de um ônibus por meio 
de � os ideais presos a um dinamômetro de massa desprezível. A � gura 
mostra esses objetos em equilíbrio em relação ao ônibus, enquanto 
ele está percorrendo um trecho circular de uma estrada horizontal, 
com velocidade de 72 km/h. Nessa situação, o dinamômetro mostra 
que a tensão no � o é 65 N.
81
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
PROMILITARES.COM.BR
direção
ver�cal
6,0kg
65N
Sabendo que a massa da caixa é 6,0 kg, calcule o raio da curva da 
estrada.
04. (ESPCEX/AMAN 2016) Um corpo de massa 300 kg é abandonado, 
a partir do repouso, sobre uma rampa no ponto A, que está a 40 m de 
altura, e desliza sobre a rampa até o ponto B, sem atrito. Ao terminar 
a rampa AB, ele continua o seu movimento e percorre 40 m de um 
trecho plano e horizontal BC com coe� ciente de atrito dinâmico de 
0,25 e, em seguida, percorre uma pista de formato circular de raio R, 
sem atrito, conforme o desenho abaixo. O maior raio R que a pista 
pode ter, para que o corpo faça todo trajeto, sem perder o contato 
com ela é de
Dado: intensidade da aceleração da gravidade g = 10 m/s².
a) 8 m.
b) 10 m.
c) 12 m.
d) 16 m.
e) 20 m.
05. (EPCAR/AFA 2018) Em muitos problemas de física, desprezam-se 
as forças de resistência ao movimento. Entretanto, sabe-se que, na 
prática, essas forças são signi� cativas e muitas vezes desempenham 
um papel determinante.
Por exemplo, “no automobilismo, os veículos comumente possuem 
dispositivos aerodinâmicos implementados, os quais têm a função 
de contribuir para o aumento da “Downforce”, uma força vertical, 
inversa à sustentação, que busca incrementar a aderência dos pneus 
ao asfalto através de um acréscimo na carga normal, permitindo que 
o veículo possa realizar as curvas com uma velocidade maior do que 
o faria sem estes dispositivos”.
(Trecho retirado da monogra� a intitulada Sistema ativo de redução 
de arrasto aerodinâmico por atuador aplicado a um protótipo de fórmula SAE, 
de autoria de Danilo Barbosa Porto, apresentada na Escola de Engenharia de 
São Carlos, da Universidade de São Paulo, em 2016).
Para avaliar o papel da “Downforce”, considere um carro de Fórmula 
1, de massa M, realizando uma curva em determinada pista plana. 
Ao se desprezar completamente os efeitos produzidos pelo seu 
movimento em relação ao ar, mas considerando o atrito entre pneus 
e o asfalto, o carro consegue fazer a curva, sem derrapar, a uma 
velocidade máxima V. Porém, ao levar em conta, especi� camente, a 
atuação da “Downforce” D (desconsiderando a força de arrasto) a 
velocidade máxima V’ do carro, nessa mesma curva, muda em função 
de D. Nessas condições, o grá� co que melhor representa a relação 
V'
V
 em função de D é 
06. (UFRJ 2004) Uma bolinha de gude de dimensões desprezíveis é 
abandonada, a partir do repouso, na borda de um hemisfério oco e 
passa a deslizar, sem atrito, em seu interior.
f
�θ
C
posição onde foi
abandonada a 
bolinha
Calcule o ângulo θ entre o vetor-posição da bolinha em relação ao 
centro C e a vertical para o qual a força resultante f sobre a bolinha seja 
horizontal.
07. (AFA 2013) Em um local onde a aceleração da gravidade vale g, 
uma partícula move-se sem atrito sobre uma pista circular que, por 
sua vez, possui uma inclinação q. Essa partícula está presa a um poste 
central, por meio de um � o ideal de comprimento l que, através de 
uma articulação, pode girar livremente em torno do poste. O � o é 
mantido paralelo à superfície da pista, conforme � gura abaixo.
2
�
C
�
θ
Ao girar com uma determinada velocidade constante, a partícula � ca 
“� utuando” sobre a superfície inclinada da pista, ou seja, a partícula 
� ca na iminência de perder o contato com a pista e, além disso, 
descreve uma trajetória circular com centro em C, também indicado 
na � gura.
82
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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Nessas condições, a velocidade linear da partícula deve ser igual a
a) 
3
g
2
 
 
 

b) ( )g
c) 3g
d) ( )4 2 g
08. (AFA 2011) Um garoto, que se encontra em repouso, faz girar, 
com velocidade constante, uma pedra de massa m presa a um � o ideal. 
Descrevendo uma trajetória circular de raio R num plano vertical, essa 
pedra dá diversas voltas, até que, em um dado instante, o � o arrebenta 
e ela é lançada horizontalmente, conforme ilustra a � gura a seguir.
Sujeita apenas à aceleração da gravidade g, a pedra passou, então, 
a descrever uma trajetória parabólica, percorrendo uma distância 
horizontal x equivalente a 4R.
A tração experimentada pelo � o toda vez que a pedra passava pelo 
ponto onde ele se rompeu era igual a
a) mg. b) 2 mg. c) 3 mg. d) 4 mg.
09. (EN 2013) Um pêndulo, composto de um � o ideal de comprimento 
L = 2,00 m e uma massa M = 20,0 kg executa um movimento vertical 
de tal forma que a massa M atinge uma altura máxima de 0,400 m 
em relação ao seu nível mais baixo. A força máxima, em newtons, que 
agirá no � o durante o movimento será
Dado: | g | 10,0 m / s²=

a) 280. b) 140. c) 120. d) 80,0. e) 60,0.
10. (EN 2014) Observe a � gura a seguir.
A � gura acima mostra uma esfera presa à extremidade de um � o ideal 
de comprimento L, que tem sua outra extremidade presa ao ponto 
� xo C. A esfera possui velocidade VA no ponto A quando o � o faz 
um ângulo de 60° com a vertical. Sendo ainda, VA igual à velocidade 
mínima que a esfera deve ter no ponto A, para percorrer uma trajetória 
circular de raio L, no plano vertical, e sendo B, o ponto da trajetória 
onde a esfera tem velocidade de menor módulo, qual é a razão entre 
as velocidades nos pontos B e A, VB/ VA ?
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 1
2
DESAFIO PRO
1 (ITA) Considere duas partículas de massa m, cada qual presa numa das pontas de uma corda, de comprimento I e massa 
desprezível, que atravessa um orifício de uma mesa horizontal 
lisa. Conforme mostra a � gura, a partícula sobre a mesa descreve 
um movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular 
1ω . A partícul a suspensa também descreve esse mesmo tipo de 
movimento, mas com velocidade angular ω2 , estando presa 
a uma mola de constante elástica k e comprimento natural 
desprezível, mantida na horizontal.
Sendo g o módulo da aceleração da gravidade e θ o ângulo do 
trecho suspenso da corda com a vertical, a razão 2
1
²
 ω
 ω 
 é dada 
por
a) 
( )
( )
r mg k l r cos
mg l r
+ − θ  
−
b) 
( )[ ]l r mg k r cos
mg sen
− + θ
θ
c) 
( )[ ]l r mg k r tg
k r²
− + θ
d) 
( )k l r cos
mg kr
− θ
+
e) ( )
( )
l r k cos
mg k l r cos
− θ
+ − θ
2 Apoiou-se um vaso de massa M e raio da base R sobre uma mesa áspera � xa ao solo. A superfície lateral do vaso 
é inclinada em um ângulo α = 45° em relação à horizontal. 
Uma bola de massa m executa um MCU apoiada internamente 
sobre a parede lisa da vasilha. Admita que o atrito entre a 
mesa e a vasilha seja su� ciente para que esta não escorregue 
e que g = 10 m/s2. Quando a velocidade angular da bola vale 
ω = 25  rad/s, a bola descreve uma órbita estacionária a uma 
certa altura H (vertical) em relação à superfície da mesa. Se a 
velocidade angular for quadruplicada, a bola passará a uma 
nova órbita estacionária a uma altura:
83
DINÂMICA EM TRAJETÓRIAS CURVILÍNEAS
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a) 1,5 cm acima da altura original 
b) 1,5 cm abaixo da altura original 
c) 3,0 cm acima da altura original 
d) 3,0 cm abaixo da altura original 
e) 2,5 cm acima da altura original
3 A � gura mostra uma plataforma horizontal que gira com velocidade angular constante ω = 2 rad/s em torno de um 
eixo vertical � xo ao seu centro. Um bloco de massa M = 5 kg 
repousa sobre a superfície da plataforma e se encontra conectado 
por meio de um � o ideal a um outro bloco de massa m = 4 kg, 
que pende verticalmente e é impedido de sair da plataforma. 
Sendo g = 10 m/s², determine os valores máximos e mínimos 
de X para os quais os blocos permanecerão estacionários em 
relação à plataforma. Admita que o coe� ciente de atrito entre 
todas as superfícies vale µ = 0,4 e d = 2,5 m.
4 (ITA) Um cilindro de diâmetro D e altura h repousa sobre um disco que gira num plano horizontal, com velocidade 
angular ω. Considere o coe� ciente de atrito entre o disco e o 
cilindro µ > D/h, L a distância entre o eixo do disco e o eixo do 
cilindro, e g o módulo da aceleração da gravidade. O cilindro 
pode escapar do movimento circular de duas maneiras: por 
tombamento ou por deslizamento. Mostrar o que ocorrerá 
primeiro, em função das variáveis dadas.
5 Um pequeno objeto de massa m é colocado sobre uma superfície cônica em rotação, numa posição que 
dista r  =  0,2m do eixo de rotação. A velocidade angular do 
sistema, então, passa a ser aumentada muito suavemente. 
Se o coe� ciente de atrito estático entre o objeto e a superfície 
girante vale µ = 0,8, determine a máxima velocidade angular ω
com que o sistema pode girar em torno do seu eixo vertical sem 
que o objeto escorregue.
Adote g = 10 m/s², cos 30° = 0,86
a) 1,5 rad/s
b) 2,7 rad/s
c) 3,2 rad/s
d) 4,1 rad/s
e) 5,6 rad/s
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. A
02. B
03. A
04. D
05. D
06. C
07. B
08. D
09. A
10. D
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. A
02. A
03. D
04. C
05. A
06. C
07. C
08. D
09. A
10. B
11. B
12. B
13. A
14. B
15. D
16. D
17. A
18. C
19. A
20. A
21. C
22. C
23. B
24. B
25. C
26. D
27. D
28. A
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. B
02. C
03. 96 m
04. C
05. B
06. √3/3
07. A
08. C
09. A
10. C
DESAFIO PRO
01. A
02. B
03. Xmáx = 3,8m e Xmín = 0,2m
04. Cilindro tomba antes de escorregar
05. B
ANOTAÇÕES
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ANOTAÇÕES