Tópicos Integradores I 03 - Eng Elétrica

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UNIDADE III
Tópicos Intregradores I -
Engenharias
2
Sumário
ColiSõeS ....................................................................................................................... 3
Colisões e a conservação do momento linear .......................................................... 3
Colisões e a conservação da energia cinética ......................................................... 3
Colisões Perfeitamente inelásticas ............................................................................ 4
movimento de rotação com aceleração constante ................................................. 12
energia cinética de rotação ......................................................................................... 15
momento de inercia para um corpo rígido ................................................................ 16
Teorema dos eixos paralelos ........................................................................................ 18
TorQue .......................................................................................................................... 18
A SegundA lei de newTon PArA A roTAção .................................................. 19
1
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Junior, Elias Arcanjo da Silva
. 
Tópicos Integradores I - Engenharia: Unidade 3 - Recife: Grupo Ser Educacional, 2019.
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TÓPiCoS inTegrAdoreS i – engenHAriAS
unidAde - 3
PArA iníCio de ConverSA
Olá, meu querido (a) aluno (a)!
Chegamos a terceira unidade da disciplina de tópicos integradores I. Espero que esteja 
tendo uma experiência gratificante com a busca de novos conhecimentos. Preparado (a) 
para iniciar mais uma etapa dessa jornada? 
Acredito que sim.
orienTAçõeS dA diSCiPlinA
Bem-vindo (a) ao guia de estudo da terceira unidade da disciplina tópico integradores 
da sua graduação a distância (EAD). A finalidade deste guia de estudos é facilitar sua 
compreensão dos assuntos que compõem essa importante disciplina de seu curso de 
graduação.
Iniciaremos esta unidade com o estudo das colisões que representa uma aplicação 
da lei da conservação do momento linear que estudamos na unidade II. Se você julgar 
necessário, antes que começar a leitura deste guia faça uma pequena revisão da Lei de 
conservação do momento. 
Nesta unidade também iniciaremos o estudo dos corpos sólidos (ou corpos rígidos), 
com a análise do movimento de rotação do corpo sólido em torno de um eixo fixo. 
Definiremos a posição, a velocidade e aceleração para o movimento de rotação, assim 
como fizemos para o movimento de translação. 
Na sequência definiremos uma importante grandeza física na análise de estruturas 
em equilíbrio, o torque. O torque, no movimento de rotação, é o análogo a força para o 
movimento de translação. 
Lembre-se: Após o término de cada unidade realize as atividades avaliativas que estão 
disponibilizadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). 
Caso tenha alguma dúvida, consulte o seu tutor. Ele está à sua disposição para ajudá-lo 
(a) no que for necessário.
Vamos começar? Bons estudos!
3
ColiSõeS
Nessa seção concentraremos nossa atenção ao estudo das colisões.
Vamos iniciar?
Colisões e a conservação do momento linear
Imagine duas partículas com velocidades opostas e aptas a realizarem uma colisão frontal. No momento 
do choque, a partícula 1 exerce uma força de contato sobre a partícula 2 durante um determinado instante 
de tempo ∆t e, pela terceira lei de Newton, a partícula 2 também exerce a mesma força sobre a partícula 
1 no mesmo intervalo de tempo. Assim, o impulso aplicado de uma partícula sobre a outra é igual em 
módulo, porém em sentidos opostos. Assumindo que a colisão acontece em uma dimensão, dispensamos 
a notação vetorial. Assim: 
I12 = -I21,
em que I12 é o impulso da partícula 1 sobre a partícula 2 e I21 é o impulso da partícula 2 sobre a partícula 
1. Por meio do princípio da conservação do momento linear temos:
A equação acima mostra que a soma de todos os momentos antes da colisão é igual à soma de todos os 
momentos após a colisão. Como não há aplicação de forças externas, o momento linear é conservado, 
pois as forças responsáveis pelo impulso são forças internas.
FiCA A diCA
Na colisão entre dois carros só poderemos aplicar a conservação do momento linear, 
para determinar o movimento imediatamente antes ou o movimento imediatamente 
depois da colisão, se os freios não foram acionados, ou seja, se não existir uma força 
resultante externa diferente de zero. 
Colisões e a conservação da energia cinética
Para estudar e classificar as colisões, é importante entender a energia cinética do sistema antes e após a 
colisão. A energia cinética é a energia associada ao movimento de um corpo e matematicamente é dada 
pela equação:
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em que K é a energia cinética, m é a massa do corpo e v é sua velocidade. A energia cinética é dada em 
joule (J), sendo 1 J = 1 kg · m2 /s2. Observe que a energia cinética é nula quando o corpo está parado (v = 
0). Em um sistema conservativo, a energia cinética é a mesma antes e após a colisão. Combinando a de-
finição do momento linear (p = mv) com a equação (40), a energia cinética pode também ser escrita como:
 
PArA reFleTir
Vamos refletir sobre isso a partir do cotidiano: suponha que, após uma colisão frontal, dois veículos parem 
subitamente. Considerando que ambos estivessem com energia cinética antes da colisão, essa energia 
foi convertida em outras formas de energia, por exemplo, energia térmica gerada pelo aquecimento da 
superfície de contato com os pneus durante a frenagem. Nos casos em que há perda de energia cinética 
após uma colisão, temos uma colisão inelástica. Nos casos em que a perda de energia cinética é máxima, 
temos uma colisão perfeitamente inelástica.
Agora, imagine uma colisão frontal entre duas bolas num jogo de bilhar. Durante a colisão, a energia 
cinética é convertida em energia potencial elástica devido à deformação das bolas. As bolas de bilhar 
são feitas de um material que reproduz uma mola durante a colisão. Essa energia potencial elástica é 
convertida novamente em energia cinética, e as bolas dão continuidade a seus movimentos. Porém, no 
instante da colisão há conversão de energia cinética em energia sonora, mas em quantidade tão mínima 
que podemos desprezar essa perda. Logo, a energia cinética antes e após a colisão é conservada. Esse 
tipo de colisão é classificado como colisão elástica. Pelo teorema do trabalho e da energia cinética: W = 
∆K sabemos que o trabalho total realizado é zero para um sistema isolado. Assim: 
Colisões Perfeitamente inelásticas 
Como vimos na seção anterior, em uma colisão perfeitamente inelástica a perda de energia cinética é 
máxima, mas o momento linear é conservado. Assim, considerando uma colisão perfeitamente inelástica 
entre duas partículas 1 e 2, podemos escrever que:
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Como numa colisão perfeitamente inelástica os corpos permanecem juntos, podemos reescrever a equa-
ção acima como:
Assim, podemos afirmar que a velocidade final (velocidade após a colisão) é a média ponderada das ve-
locidades iniciais das partículas. 
Colisão Elástica
Na colisão elástica o momento linear e a energia cinética são conservadas. Assim podemos escrever as 
seguintes equações para a colisão de duas partículas 1 e 2:
 
Esses dois resultados nos permitem realizar análises muito interessantes sobrecolisões elásticas unidi-
mensionais. Vamos supor inicialmente que as partículas têm massas iguais m = m1 = m2. Assim:
e
o que indica que a velocidade final da partícula 1 é igual a velocidade inicial da partícula 2 e a velocidade 
final da partícula 2 é igual a velocidade final para partícula 1. 
Ainda analisando uma colisão elástica, se considerarmos que a partícula 2 está parada (partícula alvo), 
podemos considerar três situações: (i) m1 = m2, (ii) m1 << m2 e (iii) m1 >> m2. 
6
Na situação (i):
o que indica que a partícula alvo que inicialmente estava parada, se move com a velocidade inicial da 
partícula 1 e a velocidade final da partícula 1 será 0, ou seja, a velocidade inicial para partícula 2 (partí-
cula alvo). Você poderá observar esse fenômeno no brinquedo chamado pêndulo de Newton. 
No caso (ii), m1 << m2, podemos considerar que m1 + m2 m2 e m1 – m2 - m2 e assim teremos:
o que indica que a velocidade final da partícula 1 será igual a velocidade inicial da partícula 1, com o sen-
tido contrário. E a velocidade final da partícula 2 terá o mesmo sentido da velocidade inicial da partícula 1 
mais com um valor muito pequeno, pois sua velocidade é proporcional a sendo m2 >> m1. Para ilustrar 
essa situação você pode imaginar uma bola “dente de leite” colidindo com uma bola de boliche inicial-
mente parada. A bola dente de leite após a colisão se deslocará no sentido oposto ao movimento inicial 
e a bola de boliche sofrerá um pequeno deslocamento no sentido do movimento inicial da bola “dente de 
leite”. A bola de boliche sofrerá apelas um pequeno deslocamento devido ao atrito da bola com o solo, 
numa situação ideal, sem atrito, a bola teria uma velocidade pequena, mas constante, após a colisão. 
No caso (iii), m1 >> m2, podemos considerar que m1 + m2 m1 e m1 – m2 m1 e assim teremos:
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o que indica que a velocidade (módulo e sentido) da partícula 1 não será alterada e a partícula dois, que 
inicialmente estava parava começa a se mover com uma velocidade igual a dobro da velocidade inicial da 
partícula 1. Você agora pode ilustrar essa situação, jogando uma bola de boliche em uma bola “bico de 
leite” incialmente parada. Após a colisão a bola “bico de leite” é impulsionada com uma velocidade igual 
ao dobro da velocidade da bola de boliche, antes da colisão. E a bola de boliche continua seu movimento 
com a mesma velocidade e no mesmo sentido. 
PrATiCAndo
EXEMPLO 1: O vagão de carga A, de 15000 kg, está se movendo a 1,5 m/s sobre os trilhos horizontais, 
quando encontra um vagão-tanque B, de 12000 kg, que está se movendo em sua direção a 0,75 m/s, como 
mostra figura. Se os vagões colidirem e se acoplarem, determine: (a) a velocidade de ambos os vagões 
logo após o acoplamento; (b) a força média entre eles se o acoplamento acontecer em 0,8 s.
SOLUÇÃO
Diagrama de corpo livre
Nesse caso consideraremos os vagões como um único sistema. Como F é uma força interna, o momento 
linear do sistema é conservado. Supõe-se que os dois vagões, quando acoplados, movam-se a v2 na di-
reção x.
Conservação do momento linear;
Força F
A força média de acoplamento, Fmédia, pode ser determinada ao se aplicar o princípio da quantidade de 
movimento linear a qualquer um dos vagões. Como mostra a figura c, ao se isolar o vagão de carga, a força 
de acoplamento será externa ao vagão.
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Princípio do impulso, 
SOLUÇÃO: Os carros bate-bate a e B na figura têm, cada um, massa de 150 kg e estão se movendo às 
velocidades mostradas, antes de colidirem de frente, livremente. Se nenhuma energia é perdida durante 
a colisão, determine suas velocidades após a colisão.
SOLUÇÃO
Os carros serão considerados um sistema único. O diagrama de corpo livre é mostrado na figura b.
Conservação do momento linear
Conservação da energia 
Visto que nenhuma energia é perdida, o teorema da conservação da energia produz;
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Substituindo-se a Equação (1) na (2) e simplificando, obtemos;
Resolvendo para as duas raízes,
Rotação
Nesse momento iremos estudar o movimento de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, 
ver figura 3. Para análise do movimento precisamos definir o sistema de coordenadas fixas, uma linha 
de referência e o eixo de rotação, com o intuito de definirmos as grandezas angulares: deslocamento, 
velocidade e aceleração. 
Vamos considerar o eixo z como o eixo em torno do qual o corpo rígido executará o seu movimento. Por 
conversão o sentido anti-horário será considerado como o movimento positivo. É importante que você 
observe que ao girar o corpo rígido o ponto P, e todos os demais que formam o corpo rígido, descreve 
trajetórias circulares com o centro sobre o eixo z e descrevem o mesmo deslocamento angular.
 
10
Posição angular 
Assim como fizemos no movimento de translação, precisamos iniciar o estudo do movimento de rotação, 
definindo a posição do objeto. Na realidade precisaremos escolher um ponto pertencente ao corpo rígido 
para analisar o seu movimento. Se utilizamos o sistema de coordenada x0y, o movimento do ponto P, 
ponto pertencente ao corpo rígido, poderá ser definido por meio das variáveis x e y. Isso resultará em dois 
problemas: o primeiro resultado do fato que precisaremos da informação de dois valores numéricos (x e 
y) para definir a posição e o segundo resultado do fato que pontos distintos pertencentes ao corpo rígido 
realizará deslocamentos x e y diferentes do deslocamento realizado pelo ponto P. Isso implica que cada 
ponto pertencente ao corpo rígido terá uma velocidade escalar diferente e uma aceleração diferente. 
Assim surge a pergunta: como estudar o movimento de rotação do corpo rígido, se os diversos pontos que 
o formam possuem deslocamentos (∆x e ∆y) diferentes? 
Para resolvermos esse problema iremos considerar o segmento OP da figura 4. Observe que durante o 
movimento de rotação podemos localizar o ponto P apenas com ângulo Ɵ no sistema de coordenadas x0y. 
Além disso, durante o movimento do corpo rígido todos os pontos pertencentes a ele sofrerão o mesmo 
deslocamento angular (∆Ɵ). Assim, o ângulo que a linha OP faz com a linha OX é denominado de posição 
angular. 
Quando o corpo gira no sentido anti-horário, adotamos o deslocamento positivo; quando o movimento de 
rotação ocorre no sentido horário, o deslocamento é negativo. Podemos expressar a medida da posição 
angular Ɵ em radianos (rad) ou em graus. No Sistema Internacional de Unidade (SI), adotamos o radiano 
como a unidade suplementar, utilizada para expressar a medida em ângulo. 
Fique atento
O radiano (1 rad) é o ângulo cujo comprimento do arco (S) associado 
a ele é igual a medida do raio (R) da circunferência considerada, ver 
figura 5. De forma geral, podemos determinar o ângulo Ɵ por meio da 
equação:
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No movimento de rotação, ao se girar de um ponto 1 até um ponto 2, o corpo rígido sofrerá um desloca-
mento angular em radianos num intervalo de tempo , dado por , em que ; ele será positivo no sentido 
anti-horário e negativo no sentido horário. Assim, podemos determinar a velocidade angular média, 
como a razão entre o deslocamento angular e o intervalo de tempo necessário para percorrê-lo, ou seja,
PrATiCAndo
EXEMPLO 3: Um disco gira com aceleração angular 
ω(t) = 6t² − 2t
em que t está em segundos e ω está em radianos por segundo. No instante t = 0, uma reta de referência 
traçada no disco está na posição angular θ = 5 rad. (a) Obtenha uma expressão para a aceleração angular 
do pião, α(t), ou seja, escreva uma expressão que descreva explicitamente a variação da aceleração an-
gular com o tempo. (b) Obtenha uma expressão para a posição angular do pião, θ(t). 
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(c) Determine a posição, a velocidade angular e a aceleração angular em t = 2 s.
SOLUÇÃO:
movimento de rotação com aceleração constante
Caro (a) aluno (a), se você percebeu, estamos repetindo os passos desenvolvidos na unidade I, onde defini-
mos posição, velocidade e aceleração para o movimento de translação. A grandediferença é que estamos 
estudando a cinemática da rotação. Nesse momento, iremos desenvolver as equações da velocidade 
angular e da posição angular para o movimento de rotação com a aceleração constante. 
Da definição da aceleração angular, temos:
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Relação entre a cinemática angular e a cinemática escalar
Como já discutimos, os pontos que formam um corpo rígido possuem velocidades lineares diferentes uns 
dos outros, mas possuem a mesma velocidade angular. Por esse motivo é mais conveniente descrever o 
movimento circular em termos das grandezas angulares. 
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Nesse momento, mostraremos a relação entre as grandezas angulares e as grandezas lineares e justi-
ficaremos o porquê do uso da unidade radianos e não da unidade graus nas grandezas angulares. Para 
isso, analisaremos o movimento do corpo rígido que gira em torno do eixo fixo perpendicular ao plano xy, 
com velocidade angular . Todos os pontos, pertencente ao corpo rígido, possuem a mesma velocidade 
angular, porém a velocidade linear difere. Podemos ainda, de forma intuitiva, afirmar que quando mais 
distante o ponto está do eixo de rotação maior é sua velocidade linear, figura 5. 
Analisando o pondo P podemos observar que ele descreve uma trajetória circular de raio r, e que ao se 
deslocar de um ângulo (em radianos) ele sobre um deslocamento escalar s, dado pelo comprimento 
do arco da circunferência de raio r. Da definição do ângulo em radianos podemos relacionar esses dois 
deslocamentos da seguinte forma:
Ou, 
Dessa forma o deslocamento escalar de cada ponto é determinado multiplicando o deslocamento angular 
pela distância do ponto a eixo de rotação. Agora vamos derivar a equação acima.
Como é constante podemos escrever
Observe que o lado esquerdo da equação acima é a velocidade escalar e a derivada do lado direito da 
equação a velocidade angular, assim temos que:
Como a velocidade angular de cada ponto de um corpo rígido é igual, podemos concluir que a velocidade 
linear, de cada ponto, é diretamente proporcional ao raio r, ou seja, quanto maior a distância do ponto ao 
eixo de rotação maior a velocidade escalar. Agora vamos derivar, com relação ao tempo, a equação da 
velocidade.
Novamente, como r é constante podemos escrever:
A derivada do lado esquerdo representa a aceleração tangencial e a derivada do lado direito a aceleração 
angular, assim podemos escrever:
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Esse resultado expressa apenas parte da aceleração linear e corresponde à variação do módulo da velo-
cidade linear, que é tangente à trajetória do ponto P, conforme a figura . 
Como o movimento do ponto material P descreve uma trajetória circular, há também uma componente 
radial da aceleração linear dirigida ao centro da trajetória. Essa parte da aceleração é responsável pela 
variação do módulo da velocidade linear e seu módulo é dado por:
De forma vetorial podemos escrever a aceleração linear como uma 
soma da aceleração tangencial mais a aceleração radial (ou centrípeta), 
matematicamente temos:
 
Tenha cuidado na hora de determinar o módulo da aceleração linear, pois 
temos a soma de dois vetores ortogonais. Assim o módulo da aceleração 
linear é dado por:
Ou ainda,
Caro (a) aluno (a), veja que o uso do ângulo em radianos nos possibilita uma forma simples e rápida de 
transformar as unidades escalares em unidades angulares.
energia cinética de rotação
Durante a rotação de um corpo rígido, cada partícula que compõe o corpo gira em torno do eixo fixo com 
a mesma velocidade angular. A energia cinética da i ésima partícula durante a rotação é dada pela equa-
ção: 
em que representam a velocidade e a massa da i ésima partícula, respectivamente. Assim, a 
energia cinética total de um corpo rígido pode ser calculada somando as energias cinéticas de todas as 
n partículas existentes: 
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em que a velocidade da i ésima partícula está associada com sua posição radial em relação ao eixo de 
rotação por meio da equação . Portanto:
 
O termo entre parênteses na equação acima é chamado de momento de inércia – dado no Sistema 
Internacional de Unidades (SI) em kg·m². Essa grandeza representa a resistência de um corpo à variação 
de sua velocidade angular. 
Assim:
momento de inercia para um corpo rígido
Para uma distribuição contínua de massa, vamos supor que uma pequena variação de massa proporcio-
nará uma pequena variação no momento de inércia:
em que R é a posição do elemento de massa em relação ao eixo de rotação do corpo rígido. Neste guia 
de estudo, trabalharemos apenas com corpos com distribuição uniforme de massa. Isso significa que a 
densidade de massa é constante. Chamando a densidade volumétrica de massa como , podemos 
reescrever o momento de inércia como:
em que R é a posição do elemento de volume em relação ao eixo de rotação do corpo rígido. Este 
elemento de volume contém uma quantidade infinitesimal de massa Observe que esta última 
integral é uma integral de volume. Como a densidade volumétrica de massa é constante, podemos escre-
ver também em que M e V representam a massa e o volume total do corpo. Assim, o momento de 
inércia fica escrito como:
17
A equação anterior mostra que numa distribuição uniforme de massa o momento de inércia depende 
diretamente da sua forma geométrica. A Tabela 3.1 indica os momentos de inércia de algumas formas 
geométricas comuns. Os resultados apresentados mostram os momentos de inércia com o eixo de rotação 
passando pelo centro de massa desses sólidos.
FiQue ATenTo!
O momento de inércia de um corpo depende do eixo de rotação. As equações para o cálculo do momento 
de inércia apresentados na Tabela 3.1 são os menores valores possíveis para esta grandeza. Qualquer 
momento de inércia é calculado em um eixo diferente do apresentado nesta tabela, e resultará em mo-
mentos de inércia maiores.
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Teorema dos eixos paralelos
Os momentos de inércia calculados na seção anterior são relativos ao eixo de rotação passando pelo cen-
tro de massa. Porém, há casos em que o eixo de rotação não passa pelo centro de massa. Nesta situação, 
devemos utilizar o teorema dos eixos paralelos.
Assim, se já conhecemos o momento de inércia com relação ao centro de massa, o momento de inercia 
do corpo com relação a um eixo PARALELO ao eixo que passa pelo centro de massa e separado por uma 
distância é dado por:
onde é a massa do corpo e é a distância entre os eixos.
TorQue
19
FiQue ATenTo!
O torque obedece ao princípio de superposição. Quando vários torques atuam sobre um corpo o torque 
total (ou torque resultante) é a soma vetorial dos torques. O símbolo de torque resultante é 
A SegundA lei de newTon PArA A roTAção
Vamos analisar o movimento da partícula de massa da figura 7. Observe que a partícula está presa a 
uma barra de massa desprezível, cujo movimento está limitado a rotação em torno do eixo O. 
20
exemPlo
EXEMPLO 5: A figura abaixo mostra um disco homogêneo, de massa M = 2,5 kg e raio R = 20 cm, monta-
do em um eixo horizontal fixo. Um bloco de massa m = 1,2 kg está pendurado por uma corda, de massa 
desprezível, enrolada na borda do disco. Determine a aceleração do bloco em queda, a tração da corda, 
a aceleração angular do disco e a energia cinética do disco no instante t = 2s. A corda não escorrega e o 
atrito no eixo é desprezível.
Figura 2
Solução
Precisamos em primeiro lugar desenhar os diagramas de corpo livre do bloco e do disco. Como as dimen-
sões do bloco não são importantes, o representaremos como uma partícula. Assim, podemos relacionar 
a aceleração e às forças que agem sobre o bloco por meio da segunda lei de Newton, da seguinte forma:
Já no disco iremos relacionar a aceleração angular α ao torque que age sobre ele por meio da segunda 
lei de Newton para rotações. Assim, podemos escrever:
Para relacionar as duas equações, usamos o fato de que a aceleração linear do bloco e a aceleração linear 
(tangencial) da borda do disco são iguais, matematicamentepodemos escrever:
21
Substituindo a equação (4) na equação (1), temos:
Podemos usar o resultado da aceleração para calcular a Tração na corda e a aceleração angular do dis-
co.
Observe que a aceleração do bloco foi menor que a aceleração da gravidade, como era de se esperar. Se 
a corda for cortada a aceleração do bloco seria:
ou seja, a aceleração da gravidade.
A energia cinética de rotação é dada pela equação mas precisamos, primeiro, determinar a 
velocidade angular do disco em t = 2s e o momento de inércia do disco. Como o movimento possui acele-
ração angular constante podemos utilizar a equação horária da velocidade para o movimento de rotação, 
ou seja,
Assim
22
PAlAvrAS do ProFeSSor
Então querido (a) estudante, chegamos ao final de mais um encontro de sua disciplina.
Espero que esteja aproveitando cada informação passada aqui em seu material de es-
tudo, pois é um momento único para nossos estudos e principalmente para sua carreira 
acadêmica.
Nos veremos em breve na sua quarta e última unidade.
Não esqueça de realizar suas atividades e caso precise de ajuda, sinalize a seu tutor, 
ele vai te ajudar no que for preciso.
Até o nosso próximo encontro.
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