Da Costa - Capítulo 11 - Circuitos Elétricos Lineares

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Capítulo 11 
Circuitos Trifásicos em Regime 
Senoidal 
11.1 Introdução 
té o pt mom nto. todo o lvim nto apr · ntado ncst livro r fere- · a cir uito monofási 
cara t rizac gerado, ou fo n um par de rminais disponív i: e uma única tcn ·ão. ontndo, 
na prática, 11m· v ad d o ·, d n minados circuito. polifá,'-ico ·. p s ui g rador com nmas 
bobinas com i ·. d · u · ncia. dcfa ·ada · entre si em us terminai ·. Exemplificando. 
um ir ni to bif' · por d produzido por um g rador con ·tituído ua · · · p 11) n-
d k nlar> . d n I ão g , a bobina t ja d fasada d 90° m r à na outra 
bobina. Da m . um circuito trifásico ' produzido por um g rador com font c1 - o de 
m am plit ia, d •fasadas · 12 º . 
ircuito rnis util iz1ut n o t · ' · .-tud 
a ito da i ·tos trifá ico p noi portância d ópico á 
vin ulada ao fa ru t talidt ·gii ~ iz ' rad ran mitida 
atnw' · d si ·t mas n trifásico ·. · lc ciíkulo d 1-r · como 111 'todos d 
mcdic;ào d pot· n ia tr ifási à apr ntados m d talh ·. o o · ia mídia. r ati,·a, aparent e 
fator d potência. refi rentes ao · istcmas monofásicos, ão aqui did 
11.2 D efinição de Sistema Polifá 1co 
m i t ma d 11 / grandeza noidais constitui um i ·tema polifásico im 'trico om n I fas . sta 
grand za p li m a m ia ampli tud frcq u"ncia tão d fasada . ' li ·sivam nt . d ~~ rad/ . Portanto, 
um si ·t ma p lifási o ·im trí ·o d n / fa · s, n J ~ 3, ~ d finido p lo scguint ·onjun o d' t 11 .- ·: 
V1 = hv o ·wt 
ll2 = J2Vcos ( wt + 
2;r) 
n1 
V3 = ./2Vco ( 4;r) wt+ 
111 
(11.1) 
Vf = 
O ist •ma d• uac;õ · 11. L, r pr · ntado na forma fasorial. apr s nta as ll int t nua: 
3 3 
35-1 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE 
1 
2 
3 
= 
= 
= 
\f LOº 
\f L360/nj 
L720/ 11j 
r = \/ L360(n1 - 1)/nj 
OID L 
(11.2) 
É po: fv I con luir qu n somA das gnrndezas . noidai · qu con itu m o si t ma p lifüsico :im 'tri ·o, ' 
nula. A sim. 
(11.3) 
011 
VJ + t'2 + 113 + , .. + t ni = O {11.4) 
A utilização mais onmm d sist ma polifá!>i o o orr nA g ração •n rgia tétrica, : b 
a forma do si tema t rifási (n1 = 3). Outras formas. como i ma b xafá ico (n1 = 6) dod cafü ico 
(n1 = 12) ·ão b tantc ncontrada · m aplicaçõe · nv lv ndo obtenção d t n -- · r tificada. 
11.3 Si t emas Trif á ico 
1\·ês f · sã · quan ·ata de transmitir grandes quantidad d potência. D ntr todos 
o · sistemas p li guald ndiçõ ·, o ·ii,'t ma trifaísi mai · ·co11om1 ·o no q11 8 r f I' ' 
à quantidade d nduto ia a tra, missã d n tri a. Para um núm ro d fases 
superior a tr· , o na capacidad do g rado tido. embora ocorra um aum nto 
significativo do · t ·m. - há vantag •m na utilização d · p lifásico ·, om 
mais d• tr· . fo. d ad r. Para o mesmo g otor · trifüsicos 
po " ibilitam a obtenção de po i q mon , · ·. Em regi r idal, nquanto a 
pot · ncia instantân 'sica va alm 'nt •, a p ·a in ta11t · if' ante, r sultando 
m uma tran. mi, nda tmit m m n • vil na: máq ·if: a. ist mas t,rifüsicos 
oferecem doi valo o d ten do, portanto, mai v rsá o o o . eralment . 
motor · trifásico , 'm dispo ·iti icionais de partida nquan nofási possu m partida 
própria. 
A equação 11.1 pod · r r r ita para o 
O tr· fa r po u m o m mo módulo 
r pr ntação: 
= 
= 
= 
trifã i o. da forma 
(11.5) 
co ( wt + 240°) 
ão d fa ado entr · d 120° . apr · ntando a guint 
Oº 
120° 
\/ L240° = 
( 11.6) 
L - L20° 
m ma d t ns - trif~ ico p d s r obtido atrav' do g •rador cl m ntar na figura 11.1. s b bina a. 
b <". d terminai · aa', bb e . são id "nticas •stão di ·po ta · a longo do ~tator. d fasad ' ntr ·i d 120°. 
O r tor ' onstituído por um imã ou por bobinas ex itadru por e rr nt ntínua. O r tor proporciona um 
flu.xo constante <:> e gira na velocidade angular constante w. m cada in tante de tempo. a posição do rotor ' 
definida p lo ângulo ') = wt. ' medida qn o r tor gira no sentido anti-horário. t ns~ · senoidais d amplitud s 
iguai . d fa ada ntre si d 120°, são induzida na bobina . ada uma da bobina ' uma fa do gerador. 
De acordo com a figura 11.1. um máximo d t nsão na fa a é seguido por um máximo d tcn ão na fa b 
p st ri nn nt' na fa · e. s 111 · 11 ia d fas · é a ord '111 p la qual a · t n .- · g rada · pas · m p lo · u valor 
11.3. I TE I TRIF I O 355 
nHL'Omo. ssim. para · ilu trad • · f ab . d uma alt raç-
altcrn a scq11 · · d ou s ja, a q qu · n ia abc nom' 
d scqu· n ia a ou th·a. gir id tr-' a qu· n ia d f sa ou 
n gativa acb, coin om cba e b ma polifásico n1 o número de ·cqu fa 
1 (n1 - 1)! P ara inv rt scqu1 n ia d tema trifá.·ic , basta trocar ntr • ;ia · po duas 
f, . quaisqu r. 
'6DC0 DA l0IIINA • ',, 
igura 11.1 G rador 1 m ntar. 
a saída do g rador trifásico tão di ponív i · i t nninais. correspond nt ao início e ao fim de cada 
bobina. Doi são o tipo d ligação utilizado ·. jgação cm ·trela, ou Y. mo trada na figura 11.2, os 
r ·: pont a'. b' e e' sii c num pont mum ·nado n utr . d nota n .. a lign - m 
triângulo, u , mo ·trada 1. tr· fases do r são on tadas m i an . o 
uma ao início da outra. A g r pre ialmente em na qual ·ão obtida· mai , 
g raclor s trifásico· são proj t para 1 ias que , 1 100 J W a 1 300.\11 1 tct : d 
a 2 J<V. 
ada urna das fa 
a força I trom triz da f 
igura 11.2 Ligação em E r la. 
v .. 
i--~--,-.. b V .. 
v. v ... 
~--------... e + 
Fig ura 11.3 Ligação m Triângulo. 
r pr ntada por uma associação 'rie de um gerador ideal d tei ão. cujo valor é 
011 ·id rnda. om uma imp dân ·ia Z9 ·up ·ta igual para H • três fase ·. D uma 
356 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE OID L 
·sas imp dân ias sii d • ·prezadas 
cn , d •nominadas t n .-
o g rador r aJ · comporta mo um g rndor id a i d • tensã . 
d fas' na g ração, ·tão r pr · · ntadas na figura 11 . para t i 
V.,. 
120' 
Figura 11.4 Diagrama Fa. rial das 11 nsõ d Fa qu· n ia Dir ta. 
omo a g ração trifásica é sim ~trica. ·tão defasadas d 120° an = bn = \lcn = 
F• De formag ral, as t n ·- .- d f · sã 
(11. 7) 
onde o= 1Ll20º . 
Por outro lado, as t ns- ab , b c· ca medida · cntr d is terminais do g rador. xcluincl -s o n utro, 
são d n minada. tonsõ d linha na g rnçã . P 1tant . 
V ab 
V bc 
V ca 
11 nd m v ista 11.7, 
Finalmente 
= V on -
= Vbn -
= 
1 - o 2 
a 2 -o 
o - 1 
cn 
= v'3L30° 
bn 
c n 
a n 
,/3L30° l 
v'3L270º 
./3Ll50° 
[ 
an l bn 
V c n 
(11. ) 
( 11.9) 
{11.10) 
Portanto. para wn si ;t ma trifá ico simétrico, qu· n ia abc, o módulo da t usão d linha na g ração é J3 
vez · o módulo da t nsão d ftU· . l '•m di. to. a t nSi"io d .·tá adiantada d 3 ° m relação à t nsão d 
fru· . A figura 11.5 apr nta o diagrama f: ria! da 
v .. 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
'---
v .. 
\ 
\ 
' \ \ 
\ 
\ 
\ 
\ 
,-------, 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
) 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
V1oc 
v .. 
Figura 11.5 R laçã ntr Tcn - · d Linha d ',\S - cq11ên ia Dir ta. 
11 .4. 'u DE TR ITO TRTF I O 
Por outr lad , as tens- · an, bn • cn .tã r pr ntadas na figma 11.6 para a scqu·ucia d fa 
V1,a 
v ... 
Figura 11.6 Diagrama Fasorial da Ten - d Fase - equência Inversa. 
D modo análo o. a tcnsõ d fas 
A tct õ d linha na g ração ão dadas por 
Pina lm 11t . 
1 -o 
{)'-0.2 
a,2 - 1 
-/3 _ 30° l 
3L Oº 
-/3 210° 
357 
acb. 
(11.11) 
(1 1.12) 
(1 1.13) 
Portant , para nm si t ma trif}ísico :-.im 'tri o. scqu· ncia acb, o módulo da t n. ão d linha na g ração ' 3 
vez · o módulo da t nsão d fas . A t >nsão de linha ;tá atrasada d 30° m r lação à tensão d fa . A figura 
11. 7 apr nta o diagrama fasorial das t nsõcs. 
F igura 11. 7 R lação ntr 
' ' I , , 
I 
' V11a ,' 
Linha d Fa · - cquên ia lnv rsa. 
11.4 Análise de Circuitos Trifásico 
Dom mo modo qu para o g rador, a · carga podem cr ligada. m trela ou triângulo. im, são po. 1v 1s 
quatro ligaçõ gerador-carga. cm particular. estrela- trela (Y -Y). estrela-triângulo (Y - Li). triângulo- tr la 
(ó - ) triângulo-triângul (ó - ó ). f\lai r · nfa: · rádadaà g ração •m ·trela. g ração mtriâ11g11lo s rá 
PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE OID L 
x mpl s. s d finiÇ d - linha d fas . a das para . g •rado ', 
pod m s ndidas parn a. carg int r ç·r arga propi ir ulaçâo d rr nt • 
dua.· no ni - - n · ana orre q ada uma da b o g ·rador ou por cada 
uma das impedâ carga, é denominada corr corrent d linh· n o· condutor · qu 
int · · 1 a, in fio n utro. 
· d circuitos, a ado. no. capítulos ant riores, .ão apli áv · 
t1if u u olha criteriosa odo, a luçào matemática é >xc ·vam 
, i si:tcmatizado · · •rào apr ·cntado.-. visando reduzir o ·forço mal •m1íti a solução 
d ada uma da configurações g rador-carga. obj tivo ' calcular ll corrcnt · d linha I 0 Ib m como 
a nsõ de linha AB · BC e CA de fase na carga V B e e , conhecida as d linha 
ou de fase na geração. 
11.4.1 Ligação E tr la-E tr la 
E ta configuraçã tá m trada na figura 11. . · ponto, n N r pond m ao· entro- r la. da 
g ração da carga. resp tivamcnte. fio neutro interliga t ponto . 
z.c 
Figura 11. Ligação Estr la-Estr la . 
A corr nt d linha na fa a ' dada por 
I _ V an + n 
a - zi, + z,! 
D m do análogo. a. orr nt · d li nha nas fas · iJ e ·ão dadas p r 
l b = V bn + Vn 
Zo + Zbo 
V cn + VnN = -----
Zc+ Zc 
td as. 
V, = - Z,, l n 
(11.1-1) 
(11.15) 
(11.16) 
(11.17) 
(11.1) 
imp ân ia da fas a 'd •finidada t rma Z" = ZA + ZCIA • Pro cdim nto análog ; ~ it para outras fa · ·. 
A im., ub tituindo- 11.14. 11.15 11.16 m 11 .1 
ou 
D ll.17 
Finalm ntc 
ln = Ya V nn + b b n + Yc V cn 
1 + Z11 (Ya + Yb + e) 
(11.19) 
( 11.20) 
(11.21) 
11.4. ' LI E DE TR ITO TRTF I O 35 
(11.22) 
nN é denominada t n ão d d locam nto d neutro gen ralizado. A solução d te t ipo d configuração 
fica. portant . r .trita ao cál ·u lo d ;ta t n. ão. qu po ·ibilitu. a ptutir d 11 .14, 11.15 11.16. cálculo das 
corr ntes d linha . po. te1iorment . d toda. a· t nsões. s tcru - . d fa. na carga ão as ·imétrica . na 
g ração ão imétricas. 
ituaçõ Particular 
a) Zn = caracteriza o ·i tema trifr' i o imétli o não equilibrado a três fio . t caso, Y11 = e 
nN ,f: O. correntes d Linha. ão cal uladas através d 11.1-l. 11.15 11.Hi. o~ fasor · r pr · ntativos das 
COIT ntcs d' linha não d ,fa nd s d 120° e possu m vai r . d• pi o di~ r nt . O mesmo comentário é 
válido para a teu - de fa na carga. orno não há o fio n utrn 
(11.23) 
b) Z11 = O c»rnct riza o sistema trifá ·i o s im 'tric não quilibrado a quatro fios. sist ma trifüsi e m 
neutro é muito utilizado. na prática. por permitir a obtenção das tensões de linha e de fase .. este caso. V nN = O. 
· im. de 11.14. 11.15 e 11.16 
V cn 
= Zc 
(11.24) 
(11.25) 
(l l.2 ) 
t r nl tado é a aplicação da L i d Kirchhoff para t nsão ao longo do p I ompr' ndido p la 
fonte de t nsão t1ifá ica. impedância de Linha pela carga. Portanto, o fasor taciv das corrent d' 
linha não tão d fosado d 120º e p . ·ucm valor · d pi di~ 'l' nt<.>s. cnt{ufo é válido para as 
t n.-· · d fa. na carga. orr nt no n utr , dada p Ia ma da. tr· · e rr nt . d linha, , dif r n d ze1 . 
c) ma outra parti ularização int r ·sant o orr quando a impedância corr pond nt às linha são 
A ·i111. Za = Zb = Zc = Z. E ta situação caract riza um i,,i t ma trifásico ·im 'trico equilibrado . .\l t ' 
., = O ind p nd nt do valor d Zn . Portanto. d 11.1-1, 11.15 11.16 
V an 
Ia = z (11 .27) 
V hn 
(l 1.2 ) Ih = --z 
I.: = Y cn 
z (11.29) 
D ·ta forma, com geração carga ligadas em itr •la. as correntes d linha num ·i tema trifásico simétrico 
>quilibrado apr ,_. ntam, m toda · I\S fas ·, a m !Sma 11111plitud ·tã d fasadas 11tr bi d 120°. · rr nt • 
no fio neutro ' nula. 'a prática, mantém-se o fio n utro para reduziJ· o efeito de pos 'ÍVci d equilíbrios 
no sist ma. Portant . a anális r sume-- ao cál ulo de ap na · uma COlT nt por xcmplo. Ia. partir da 
1 fa. ag m d ± 120º . m funçã da · qu· n ia d f; · .-, sã cal ulad s os ângul s d fa·· das corr nt · Ih l c. 
a v rdade. a solução do sist ma trifásico 'obtida via cir uito monofási o na figura 11.9. 
360 PÍT O 11. IR UITO T RIF I O EH REGI IE OID L 
'• zaA 
~- -----1C]1-----1~A + 
v •• ~.: _________ z_A_~. v .. 
igura 11.9 ircuito lonofásico quivalente. 
Ex mplo 11.1: m ist ma d g •ração trif,ísi . ·im 'tri ·o, con tado m str la. seq11·•11cia ab , t n ·lo d' 
fa 120 V, alim ata uma car a. onfom1 figura 11.10. al ui as tT n de linha fl fas d V on '0º. 
Tra o diagrama f, ria!. 
b 8 
Figura 11.10 Ex mplo 11.1. 
ir uito ' tti fá ·i o, sim 'tri o. tr· · fi :, om arga d uilibrada on tada m t la cuja imp dãn ia·. 
por fase, ão ZA = 5 n. Za = 10 f1 Zc = 15 n. O prim irn p, ' o cálculo da t nsão d deslocam nto do 
n utro. om a hav ab rta. }~, = O. D 11.22 
Logo, 
-l x 120 - ..!. x 120 240° - ..!. x 120 120° V _ a 10 15 
n - 1 1 1 
5 + 10 + 15 
n = 39. 33L166, 10° 
Portanto. d 11.14, 11.15 e 11.16 
10 = 120+39.33 166.10º = 16,-17 G,i::9º A 
5 
Ib = 120L2-10º + 39, 33L166.10º = 13_ 62 223_ 900 
10 
I c = 120LL0º + 39, 33Ll66, 10º = lO. 00 130, 9º A 1r. 
soluçã ' on·,ta, um,t v •z qu 11.23 é :ati ·f ita. s COlT nt d linha p ·su m amplitud · dif r nt · 
não tão d · t ns- de f· na carga são cal ulada · multiplicando- a impedância 
d ·arga p I linh· 
= 5 x 16, 47 L6. 59° = 2, 35LG. 59° V 
B = 10 X 13. 62 223. 90° = 136, 20 223, 90° V 
e = 15 x 10, 0L130. 9° = 1 O, 00L130, 9° V 
A figura 11.11 apr s n a o d iagrama fa - ria! orr p nd ntc. 
11.4. 'u DE TR ITO TRTF I O 361 
Figura 11.11 Diagrama Fa riaJ - x mplo 11.1. 
Ex mplo 11.2: R pita o 'X mplo 11.1 a hav na figura 11.10 · f hada. 
O cir uito é trifásico. imétrico. quatro fio . com carga desequilibrada. Portanto. Z,1 = O e n = O. De 
11.24 a J 1.26 
I a = 120LOº = 24L0º A 
5 
120 ?40° 
lb = l~ = 12L2 0° A 
Ic = 1201120º = L120º 
conente no n utro é dada por 
ln = 2 0° + 12L240° + 120° = 14. 2L - 13, 90° 
IT •nt d linha po u m amplitud · dif 1 n 
d uilibrada. ntã há uma corr nt no fio n 
tão d fasadas ntrc si d 120°. 01110 H arga é 
d fa na carga são ai uladas nmltipli ando-
a impedân ·ia d carga p la co1T nt d linha. 
V = x 24 0° = 120 LOº ' 
V 8 = 10 x 12L240° = 120L240º \/ 
N = 15 x L120° = 120L120° V 
figura 11.12 ap1 · nta o diagranm fo: rial ·on spond 11tc. 
V 
VAN 
igura 11.12 Diagrama Fa ria! - x mplo 11.2. 
Ex mplo 11.3: R .pita o 'X mpl 11. l · R11 = RJJ = Rc = 10f2. 
O circuito ' trifá ico, imétrico, equilibrado. Portanto n = O. indep nd ntemente · acha,· tá ab rta 
ou não. D 11.27 a 11.29 
Ia = 120 Oº = 12L0º A 
10 
120 240° 
0 lb = lO = 12L240 A 
Ic = 120LI20º = 12 120º A 
10 
362 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE OID L 
A ·olução está · rr ta. uma,, z qu 11.23 atibf ita. As tr· · · rr nt · p · ·u m a m ma amplitud tão 
d fosadas ntr si d 120°. figura 11.13 apr · nta o di»gruma fasorial orr pond nt •. 
V 
V.,. 
Figura 11.13 Diagrama Fasorial - Ex mplo 11.3. 
Ex mplo 11.4: m g raclor trifá ·ico. ·im 'trico. n ado m tr la, sequAn ia abc, alim nta , através d 
uma linha trifá nca de impedância (1 + j) n por fa , uma carga trifásica equilibrada. con ctada em trela. de 
impccl-lncia (-l + j.J) n por fa e. t n ã d f 'eficaz na arga • .J0/2 . alcu l o módulo da t nsà d linha 
ficaz n g rador. 
O ircuito monofá ·ico equival nt , repr ntatiYo do i ma trifási o trado 
na figura 11.14. ângulo da t nsào d fa na carga é adotado zero. ta : olha não influ n ·ia. d forma 
alguma, o valor da t nsão d • linha n g rador ou qualqu r ou ra grandeza l ' tri a . u111co i it-0 é girar o 
diagrama fasorial. ma · mantendo-. as mesma · r laçõ de módulo e de ângulo d fase ntr o, fasor ·. 
L 
-4Cl 
40Y2~V 
j4n 
Figura 11.14 ircuito lonofási o Equival nte - Ex mplo 11.-t 
I = 40/2LOº = lO 
6 
4 +j4 
- 45° 
A tensão d fas no g rador é dada por 
an = 40/2 + (1 + j) x 10 - 45° = 50/2LOº V 
D 11.10. a t nsão d linha na g ração ' 50./2/3 = 122. 47 V. 
Ex mplo 11.5: m g rador triÍttíii , im ' tri . alim nta, titrnv' · cl uma linha trifási a . uma arga d · 
quilibrada como na figura 11.15. E cr va a quaçõcs para cálculo da corr nt d linha. 
e e 
Fig ura 11.15 Ex mpl 11.". 
11.4. 'u DE TR ITO TRTF I O 
1 t ca · . a imp dân ·ia · mútuas ntr a , fas , da linha. ão con icl radlll. · ·im. 
J\1as. 
ond 
Bn = Zol b + Z,,(la + lb + I c) 
n = Z l c+ Zn(Ia + lb + l c) 
V., + nA = 
B n + bB = 
n + e = 
nn 
bn 
cn 
V aA = ZaAl a + ZA1_. ,, Ib --1- ZMAcl c 
V be = Z1>ul b + ZM_.,, Ia + ZM,,cl c 
V c = Zcel c + Z1\lucl b + ZM;1cl o 
solução cio · guint ·onjunto d cquaç- s íorn as orr nt d linha. 
(ZA + Zn + ZaA )Ia -r (ZM,rn + Z,,)Ib + (Z.,1 .. c + Z,.)lc = V an 
(ZM,.8 + Z,, )I a + (Zo + Zn + Z1>n)Ib -r (ZMuc + Zn)Ic = V bn 
(ZM,._c + Z,, )Ia + (Zilluc + Z,, )lb + (Zc + Zn + Zcc)lc = V cn 
363 
Exe mplo 11.6: R pi a o x mplo 11.5 o ist ma trifásico , equilibrado. ou ja. Za = Zbo = Zc = Zv, 
z .\JA IJ = ZMuc = ZilfcA = Zm ZA = ZB = Zc = z. 
ub · ituindo- • ta · oons id raÇ uo si ;t •nu\, d eqnaçõc · do x mplo 11. 
Logo, 
(Z + Z,, + Zp)I a + (Zm + Z,.)Ib + (Z,,. + Zn) = V an 
(Zm + Z,.)I ., + (Z Zn + Zµ)I b + (Zm + Zn) = V bn 
(Zm + Zn)I a + (Zm + Z,. )I b + (Z + Z,, + Zµ )Ic = V cn 
I _ V an 
ª - Z + Zv - Z,,. 
l b = V bn 
Z + Zv - Zm 
I _ V cn 
e - Z + Zp - Zm 
O. rc ui tado · d mon itram q11 as orr nt · d linha po."u m o m smo módulo. ·i 
d 120° ind p ndcm do valor da imp lân ia d n utr . omo ,·isto. o cál u lo da e rr n a, 
pode er feito via circuito monofá ico equival nt na figura 11.16. ment pode r 
utilizado no aso de ir ·uito tri ffu.ico. sim ' t1i o, q11ilibrado om mútua · iguais. ali mcntand uma arga triféísi a 
quilibrada m . tr la ou triângulo. 
I. 
- ------L_r----~A + 
z VAN 
- ----------N-
Figura 11.16 ircuito lonofá ico Equival nt - Ex mplo 11.6. 
36-1 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE OID L 
11.4.2 Ligação E trela-Triângulo 
'ta configm ação ·tá 111 strada 1m figurn 11.17. ma sol11çã g ral é utilizar a transformação triângul -
tr la pam a carga. partir d isto,: 1ir o pro im nto d · nvolvido na . cção anteri r. E. ta ' a · lução 
mais imple para cálculo da conente d linha. principalment s as impedância d linha são d equilibrada ·. 
há i11t r · · m al ·ula.r as t nÇ · d linha na carga a análi, pod · r ~ •ita 110 cir uito riginal a partir 
da · rorr nt d linha ai ulada . ma forma alt rnativa, embora mai trabalhosa. pod r obtida a partir elas 
equaçõe de tensão ao longo do p r ur fechado na figura. 11.17. 
Portanto. 
Al'm disto, 
Figura 11 .17 Ligação E tr la-Triângulo. 
Za11Ia + Z a i B - Zbal b = V ob 
Zbol b + Zacl a - Zc l c = Vbc 
Z a IAa + Zo Iac + ZcAicA = O 
Ia = I a - IA 
I b = Ia - IAa 
Ic = I c A - lac 
(11.30) 
(11.31) 
D J 1.31 , 10 + I b + I = O, m 'm para o . ist ma d 1uilibraclo / u as rim 'tri . ub t ituinclo-; ·as 
corr ntes em 11.30 obt'm-. a equação matri ial 11.32 para cálculo da orr nt · d fa na arga. A partir 
di 'O, toda · a outra con-cnt t nsõ pod m •r calculadas. ontudo, a ·olução d 11.32 rcqu r um laborio a 
ma nipulação mnt má.ti a. 
+ Zbo + Z,w) 
- Zb/3 
ZAB 
Situaçõe Particulare 
-Zbu 
(ZbB + Zce + Z13c) 
Zoe 
-Za11 
-Z (11.32) 
Z A 
a) Da 111 ·ma forma que na configmação ant rior, aJgmnas a nális ' parti ·11 lar · são n · ·ruias. ma 
prim ira parti ula,ização int r ant o 01T quando a impedân ias rrespond nt ~ linhas e il carga -
iguai . ·im. Z0 = ZbB = Zcc e Z B = Ze = ZcA- Esta ituação caracteriza um si tema trifá ico ·imétrico 
equilibrado. D 11.32 
[ 
(2Z(LJ1 + ZAn) 
-ZaA 
ZAB 
Da última quação d 11.33 
- ZaA 
(2Za11 + Z,113) 
Z B 
IcA = - IAe - Iac 
(11.33) 
(11.3-1) 
11.4. , LI E DE TR ITO TRTF I O 
ub tituindo- e 11.34 m 11.33 
D • ll.3LI 
Em notação matricial 
IAB = ab 
3ZaA + ZAIJ 
bc 
Iac = 3Za + Z u 
I 
V ca 
CA = 
3Za + ZAB 
[ ~I:ccA
8 l = _ l [ :ca: l 3ZtiA + Z110 
365 
(11.35) 
(11.36) 
(11.37) 
(11.3 ) 
P rtanto. a corr nt d fase na carga po uem a m ma amplitude ·tão defa das ntre ' i d 120º . O 
problema proposto transforma- no cálcu lo da corr 1t numa malha cuja t nsão ', a tensão d linha na gernção 
cuja impedância ' 3Z0 + Z,10 . Quanto às on·•nt" d linha. d lJ .31 11.3 
Para. a equência de fas direta 
·inalm ut • 
nb -
bc -
ca -
ca l ab 
bc 
l = /3 - 30° 3Za,1 + ZAo 
(11.39) 
(11.40) 
(11.41) 
D ·ta t rrna, a amplit ud <ias co1-r nt · d linha ' J3 v z : a amplitude das ·orr nt s d ' fas na carga. 
A corrcnt d linha . tào atrasada d 30° em r lação às orPnt · d fase na carga. Por ou ro lado, parn a 
sequência d fa: · inversa 
(11.42) 
Fina lm nt . 
(11.43) 
im. na quAncia d fa: inv r ·a as orr nt d linha ão adiantad· d 30° m r lação à· orr pon-
d nt · e rrentes de fa e. 
b) gunda particularização ' consid rar a carga d :<.'quilibrada as impcdân ias d linha nu las. ou seja, 
Za = ZbB = Zcc = o. De 11.32 
Portanto, 
o 
ZBc 
Zo 
(11.4-l) 
366 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE 
I ab Aa = --
ZAB 
I bc ac = --
Z13c 
orno V ab + Vbc + ca = O e ab + bc = - ZcA IcA , ntão. 
l cA = ~ z 
na arga po ·su m amplitud tão d ,fasada · 
OID L 
(11 .45) 
(11.46) 
(1 1.47) 
120°. .- t n - d linha na carga são a t 'nSÕ . d linha na g ração. ·t r · ultado nada mai é d qu 
a aplicação da Lei de Kirchboff para tensão ao longo do p rcurso ~ hado omprccodjdo p la fonte d t n ão 
trifásica carga. 
Ex mplo 11.7: Um g rad r trifási ·o, im ·tric , n tad m tr la, scq11 · ncia ab , t n íi.o d fa. 50 V 
aJim nta. atrav · d uma linha t rifá ica de impedân ia 1 n por fas . uma carga trifá ica desequilibrada m 
triângulo. conform figura 11.1 ai ·ui · corrent · de linha e d fa na carga · ' a fa · d an é 0°. Trace 
o d iagnmm fa. orial. 
Figura 11.1 Ex mplo 11.7. 
O cir uito (• trifá! ico . • im •tri o, carga, d equilibrada. .-oluçã mais ad 1uada é tran formar a ar a para 
a configuração r la. im. a carga trifá ica d quilibrada con tada cm trela po ui imp dân ias, por 
f · , dadas por ZA = ~ Za = 5 Zc = ~ . De 11.22 
- -ª x "O - .!. x 50L240° - 1 x 50 120° _ 6 7 
n - .é! + .! +1 
' 6 7 
go, 
n = 10. 9-lL214. 71 º 
Portanto. d 11.14, 11.15 11.16 
Ia = 
"0 + 10, 94L214. 71° -------,,---- = 15.55 
3 
I b = "' L2 Oº+ 1~. 94L214, 71 o = 10. 01 235, 53º A 
Ic = 50Ll20º + 1~, 9-lL214, 71 º = 14. 37 132. 52º A 
2 
om sp rado, a orna da t r· corr nt . d linha · nula. Ai corr nt · d fa na carga ão alculadas 
atrav • da lei d l irchhoff para tensão na figura 11.1 . Logo. 
11.4. 'u DE TR ITO TRTF I O 
D modo anál g . 
lac = f ( bc - l b + lc) = 4. 525 266 5 ° A 
1 
1 A = 5 ( cn - l c + 1 ) = 11. 6 6 14 , 6 ° 
367 
n •ntcs d• fa · • na carga ' po · ív I r produzir as on- n • d linha. d •mou trando qu a ·oluçào 
s t n. - d linha na ar a são cal ·uladas multiplicand - - a imp ân ia d fa; p •la on nt 
na carga. 
A B = 10 x 6. 65 34. 71° = 65,6,:L3-l, 71° \/ 
B = 15 X 4,525 266 5 º= 67, 7L266.5 ° 
C A = 5 x 11. 6 6 14 . 6 ° = 5 , 3Ll4 , 63° \/ 
A figura 11.19 aprcs nta o cliagrama fasorial corr ·pond ntc. 
Vec 
vi>< 
Fig ura 11.19 Diagrama Fa ria) - Exemplo 11.7. 
E mplo 11. : R pita o x mpl 11. 7 a; r $ i ·tên ·ins da · linha · são d ·prezadas. 
O cir uito ' trifásico. ·im 'tric , d scquilibrad . . t n - d linha na g ração ã apli ade br ada 
r · tor qu compõ a ·arga em triângulo. Portanto, as orrent d fa · na carga são cal ulada · atrav ' · d 
11.45 a 11.47. · im . 
D 11.31 
IAB = 50./3L30º = 5./3 30º A 
10 
I a = 50./3 - 90° = 10./3 L _ Oº 
15 3 
1 A = 50 3 150º = lOJ3Ll50º 
5 
l o = 22. 913 - 10. 9º 
l b = 12.5 3L233.40º A 
l c = 20. 17 136, 1° A 
omo p rado, a oma das trê corrcnt d linha · nula. s tr· s corr nt p . su m amplitud · di~ r nt · 
não tão d fa adas ntre ·id 120°. A · t n ·- · d linhanaca1·ga ãoa tcn -- ·d •linhana.g ração. Afigura 
11.20 apr ·ama fasorial orr 
Figura 11.20 Diagrama ·asoriaJ - x m11 11. . 
36 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE OID L 
xemplo 11.9: R pita o mplo 11.7 · RAB = RB = RcA = 15 n. 
ir uito 'trifü i o, ·im 'tri uilibrado. Portanto o ciilculo das orr nt s d linha pod : r ~ ito atruv's 
do ·ircuito monofá.-ico equiYal nt na figura l 1.21. 
sn 
Figura 11.21 lonof{u;i ·o Equival ut - mpl 11 .9. 
Desta forma. 
.:o Oº 
Ia= -
6
- = .333 0° 
omo a scqn' ncia ' dir ta. ntão Ib = , 333L - 120° = , 333 120° A. D 11 .41 
Ia 
IAa = ,/3L _ 300 = -L 11 
l b 
Iac = ---- = 4. llL - 90° A 
,/3 - 30° 
l c A = ,/3 I = -1, 11L150° A 
3L - 30° 
Exemplo 11.10: Rpita o xemplo 11.9 util izando- 11.3 para cal ular as corr nt d f na carga. 
Logo. 
D 11.41 
l 
IAB = 
3 
+ 
15 
ab = 4, 11 30° 
l 
la = --Vbc = 4. llL - 90° 
3 + 15 
l cA = 
3
: 
15 
V ca = 4, 11 150° A 
la= V3 - 30° 1 a = . 333L0º 
I b = V3 - 30º lac = .333 - 120° 
I = V3L - 30º I = , 333 120° 
. t1 · rr nt s p .suma mesma ampli t.ud · ão d fa&1,da ntr si d 120°. P r outro lado, 
D 11.7 
De 11.10 
5 
AN = 6 an = 41 , 67 LOº 
B = -11 , 67 - 120° 
V = l.67 120° 
AB = 72. 17 30° 
BC = 72. 17 - 0° 
V C A = 72. 17 15 ° 
A figura 11.22 apre ·enta o diagrama fa rial. 
11.4. 'u DE TR ITO TRTF I O 36 
V.,. '· v.., 
ICA 
, ... 
1. 
v.,,, V BC 
V bc '· 
Figura 11.22 Diagrama •asoria l - xcmplo 11.10. 
e mplo 11.11: Um g rador trif! ico. simétrico alimenta. atrav de wna linha trifásica d impcdân ia 
(1 + j ) n por fa: . uma a rga trifási cL equilibrada m • d imp -dâu ia (9 + j 12) n p r fru,· . A t usào d f· • 
na arga ' 100-/3 V. ai ui m ' dulo da t nsão d linha no rador. 
O circuito monofásico equivalente. r pr ntat ivo do si tema trifásico im 'trico equilibrado, tá mo rado 
na figura 11.23. orno n -te circuito as carga · cone ta.das m triângulo ·ã r prcs '11 ada · pela carga t-quival •nte 
m 'tr la. 'ntã a t nsão d fa. na ·arga equival ,nt ~ •jti = 100 \ . O â ngu lo d sta t nsão ' adotad mo 
z ro. 
L 10 jn 
30 
lOO~V 
j4Cl 
Figura 11.23 ircuito l\lonofah;ic Equival nt - · xcmplo l L.11. 
im. 
I = JOOLOº = 20L - 53. 13° 
8 3 + j4 
tensão d f no g rador ' dada por 
an = 100 + (1 + j) X 20 - 53. 13° = 12 . 06L - 1. 7 ° V 
D 11.10, a t ns.1 d linha na ração ' 12 . 06v'3 = 221 , 1 \/. 
Exe mplo 11.12: m g rador trifási o. imé rico t I ão d linha 220 V. a lim nta através d uma linha. 
trifü ica d impedância d spr ,zívcl. dua carga equilibrada . uma coo tada cm triângulo. d impedância 
(9 - jl2) n por fa. '. a outra m t r la d imp dã11 ia (3 + j ) n p r f · . ai ui as r nt · d fa. d 
linha na. carga m triângulo t rela. resp tivamcnt . b m como a corr nte total. por fas . fornecida p lo 
g rador. 
cit uito monofá ·i cquival nt . r pr cntat ivo do : i t ma triffü,ico sim 'trico equilibrado, ·tá 1110 rndo 
na figura 11.24. ângi ilo da t nsão d fa · na g ração , adotado como z r 
I. 
30 
J4n 
Figura 11.2 ircuit l\lon fási Eq11ival nt - ·xcmplo 11.12. 
370 
A ··im. 
Portant , 
PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE 
220 Oº 
l 81 = "73 . = 25,40L- 53.13º A 3 - J4 
220 LOº 
Ia2 = ;!_ j<1 = 25. 40 53. 13° 
OID L 
A ·m. d 11.41 a corrent d fase na carga em triângulo é 14. 66 A. A corrente d fa na carga em tr la 
· a própria corr •ntc 182 . ou · ja. 25. 40 . corrcnt' total. por fa ' é 18 = 30, A . 
11.4.3 Ligação Triângulo-E t r la Triângulo-Triâng ulo 
o ist ma, trifásico·, u ualm nte. o gerador não é con tado m triângulo, pois a t r ão g rada não ' 
p r6 itam nt s noidal. D ta fom1a. há cir ulaçiio d corrcnt no int rior do triângulo d vido ~ ' compon ntcs 
d r ira harmôni a eia t nsilo gerada. ausando aq11 ·im nto ind · jáv 1. ma solução g ral parn ·t ipos 
d configuraçã ' utilizar a transformação triângulo-estrela para a g ração a carga. A partir disto, apli ar o 
procedimento matemático d envolvido na ão anterior. exemplo eguint ilustram caracterí tica destes 
tipos d con xão. 
mplo 11.13: m g rad r trifá i , . im 'trico. on tado m 1iângulo, qu-n ia abc, alim nta uma. 
carga trifásica d · qui librada, conform figura 11.25. D · nvolva o modelo tr la iquivalent do g rador. 
+ 
v. 
G\aCA 
e -A«A 
+ --b &e v .. 
Figura 11.25 Ex mplo 11.13. 
moei lo strcla quival nt d g rador stá m strado na figura 11.26 
G\aCA 
lllD'Á!ll::A 
1811QU'D-..oA 
Figura 11.26 Ei,tr •la quival nte - Ex mplo 11.13. 
O objetivo é cal u lar V a · b 
m triângulo 
e cm função d Eab • ~ e e E ca e Z J m função d Z. Da configuração 
ab = nb + Z i nb 
Por outro lado, da onfiguração em 'tr la 
11.4. 'u DE TR ITO TR TF I O 371 
Igualando- a · cquaçõ 
n b = E .,b 
omo a g ração • trifásica sim ~tri l , V ., · b p su 111 o m •smo módulo !Stâo d fasados ntr si d 
12 º. Portant , a - v b = /3' 30°V ., 
D modo análogo. 
b = 
E ab 
3L30° 
~ e 
v'3 30° 
E ca 
3L30º 
·im. a. da fonte em ;tr la m r lação à respectin1 te1 - da font 
cm triângulo. AI 'm disto, s us módulo são o módulo · da · t n .- · das font m triângulo d ividido por /3. 
0111 r laçã à imp dãn ·ia 
orno l ob + l bc + I ca = 
Logo. 
z 
Z1 = 3 
Ex mplo 11.14: m g rndor trifã. i , ·im tri ·o. con ·tado m riâu ui 
carga desequilibrada. conform figura 11 .27. alcul a corrent d linha 
E f 0° = 220 0° . tiliz a · lução ia amílis d malha. 
la - ------==----- A 
r. 
Ili,. 
r. I. 
Figura 11.27 x mplo 11.14. 
Para a corr nt d malha I 
Z I + Z{I - I.,) + Z (I + l c} = E ab + Ebc + E ca = O 
Logo. 
31 - l 0 + l c = O 
Para !T nt d malha 18 
Z (I ., - I ) + 51., + 2(Ia + Ic} = E ab 
Logo. 
- 1 + IA + 21c = 220LOº 
Para a corrente de malha I c 
Z(I + ) + 2(I c + I ,._) + 7Ic = - bc 
11· ncia atx-, a lim nta nma 
fa no gerador ab = 
372 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE OID L 
Logo. 
I + 210 + 101 = 220L60º 
. i · nrnd·cquaçõ• ' I = 11. 9L - 51 , 05° A, l 0 = 27, <9L - 13, 37º A I = 21. 1L77.27° A. 
cor nt d linha na fas b , Ib = - (I 0 + Ic) = 3 , 29L204. 79° . corr nt d fa. no g rador ão 
I b = 1 - I = 19, 5Ll 7, 99° A 
lbc = 1 + 1c = 17, 19L44 40° A 
I ca = I = 11. 9 - 51. 05° A 
A soma das tr' COtT nt · de fase no g rador é nula. Tal conclusão pode · r confirmada. uma vez qu 
Z (Iab + I bc -t- Ica) = - Eab - E bc - E ca = O. 
Exemplo 11.15: íl epita o x mplo 11.14, transformando- a geração d triângulo para tr la. 
A figura 11.2 mo tra a geração cm r la na qual a= 73 -30° b = 73 -150º e e= 73 90º V. 
A · imp dãncias das fa · · a b e ã . r ;p' tivamcnt , 5, 333.2. 333 7. 331 . O 11.22, nN = 5. 63 39 43° . 
e 
Portanto, d 11.14, 11.1 11.16 
- ------------.A 
Figura 11.2 Exemplo 11.15. 
l 0 = 27. 9 - 13. 77° A 
I b = 35. 29L20-l, 79° A 
l c=21, 1 77,2 A 
N 
e 
olução . tá corr ta, uma vez qu a orr nt s d linha coincidem, como p rado, com a calculadas 
atrav · das corre.nt d malha. tensão de linha. entre a · fases a • b. no · terminai do g ' rador é dada por 
V ab = 518 - 21b = 200. 26L - 0, 79° \/ 
oltando a 'onfiguração do g rador m triángulo, I nb = V nb - Eob = J , 95Ll 7, 99° . outras orr nt s 
d fa no g rador são calculadas d forma análoga. 
x mplo 11.16: ai ·ui as corr nt d linha no x mpl 11.14 Z = O. 
N . t ca: . ar orrcnt : d linhn p d m . r cal uladru atrav ' da t n:fo d' d slocam nto d n utro, · nfonn 
x mplo 11.15. o entanto. d modo a dirnrsificar as luçõ e forn cr outro subsídi d análi ao 1 itor. 
a té nica mpr gada consist cm tran formar a carga para triângulo r ultando nas impedâncias entr · fa ·es 
ZAu = . 43 n, Zu = 11, O O e Zc = 2 . 50 n. 0111 ta transfonmtção. a · corr nt · d fo: na carga são 
facilment cal uladas atrav' d 11.45 a 11.47. 
I AB = 
220 
Oº = 26 100 Oº A 
.43 ' 
220L -120° G 
I a = ----- = l , 44 - LOº 
11. O 
I A = 
220Ll20° 
---- = 7, 45 L120º 
29, 50 
11.5. P 
Finalm nte, d 11.31 
T R IFÁ l O 
I 0 = 30. 2 - 12 22° 
l b = 3 . 93 20..t. 50° 
l c = 23. 29L76, 10° 
373 
Ex mplo 11.17: ai ui as orr nt · de linha d fa n g rador d x mplo 11.14 s Ra = R = 5 n. 
O ir uito trifásic · quilibrnd o ir nito mon faísi o cq11in1I nt m :trado na fi 1ra 11.29 p d r 
prontament utilizado para cálculo da corrente d linha na fase a. 
- -----------~A+ 
1.. 
50 VAN 
------------➔N 
Figura 11.29 ircuito J\Ionofá ico Equival nte - xemplo 11.17. 
·im. l 0 = 23, 16L - 30° A. Por con 1int , Ib = 23, 16L - 1 0° l c = 23, 16L90° 
configuração do g rad r 111 triângulo, a t n - d linha m u terminai · são 
Portanto, 
nb = 5(1a - l b) = 206. 29 0° 
bc = 5(I b - Ic) = 206, 29L - 120° 
cn = 5(Ic - l 0 ) = 206. 2 LI 20° V 
I ab = V eb - Eub = 13, 7 Ll 0° 
I bc = V bc - Eb = 13, 7 L60° 
I n = ce - E cu = 13, 7" - 60° 
oltando a 
orno e n hvã num rist ma trif;ísi o, im 'tric , scqu · 11 ia abc, quilibrad . g rad r n tado <'111 triíingnl , 
o módulo da corrent d fa nag ração ' o módulo da corrent d linha dividido por ,/3. corr n de fa 
!!>tão adi,ln ada d 210° 111 r •lação às r ·pc 'tiva · corr nt · d linha. 
11.5 Pot"ncia m Si t m Trifásico 
m g rad r triÍlll>ÍCO tá ·on ·tado dir tam nt a uma carga. •jam as 
lan = V2 Van co (wt + º "•n) 
l'b11 = 2 \lbn C - ( wl + O.,bn) 
l'cn = V2 \/enco ·(wt + o.,.n) 
· correntes de fas na carga ·ão expressas por 
Í 0 = V2 10 co (wt + 0,. ) 
ib = ✓-5. Ib co ·(wt + o,.) 
ic= '✓'Í.lcC (wt + 0;.) 
D ta forma, para as pot-ências instantânea em cada f 
Pa = Von Ío 
Pb = Vbn Íb 
Pc = Vcn ic 
Portanto, a potência. in tantânea rifásica ' dada por 
fase na carga: 
( 11.4 ) 
(11.49) 
(11.50) 
374 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE OID L 
Pabc = Pa + Pb + Pc (11.51) 
D fonna análoga ao. ·ir uitos mon fásic ·. as p t"n ·ias m 'dia. r ativa ttpar nt complexa. b m como o 
fator d po · ocia. para wn i tema trifá ·ic podem definidas. im. g n ralizando- as equaçõ · 10.25. 
10.32. 10.37. 10..16 10.-12 obt •m- · 
( ) 
Pabc 
co 0., -0; = --
abc 
( 11.52) 
(11. 3) 
(11.54) 
(11. 5) 
(11.56) 
a xiuação 11.55 os fasorcs t nsão pr ssos m t rmo · d sr ·p ti vos valor ficaz ·. 
ma parti ularização int r ·:ant p d : r ~ ita com r laçã à uaç- . 11.51 a 11. 4. o si ·t ma trifási 
; 'métrico sequência abc. ntão an = Vin = Vcn = F º Van = 0v , 0v,,. = 0"ª" - 120º . 0v"' = 0v •• + 120º . 
Além disto a carga ; quilibrada. ntão la = Íb = l c = f F 0,
0 
= 0, . Oi,, = 0,
0 
- 120° O;c = O,. + 120°. 
ubstituindo-: . ta. suposiçõ · m 11. O 
va = 2Vplp · s(tct + 0,,)cos(wt + O;) (11. 7) 
endo cm vi ta 10.3. 
Pa= · FrF ·(2wt + Ou+ O,)+ Vp[pc (0.,- 0, ) 
D m do análogo. 
Vb = plp co (2wt ""i" Ov "'I" O, - 240°) + p[p os(Ou - 0, ) 
Pc = Vr,lp s(2wt + O,,+ O,+ 2 0°) + r-lF (0., - O, ) 
ubstituindo-· • 11.5 a 11.60 m J l."l 
Pabc = 3VplF ·o (O<, - O,) 
( 11.5 ) 
(11.59) 
( l l. O) 
(11.61) 
D a forma. a p t · ncia in ·tantânca trifá ·ica ' constant . o contrário, a potência monofá ica · pul ante 
numa fr 1u1n -ia d 2w rad/ . fllL'<O d• p t · n ia onstant ' uma das vantag 11. do ·isi ma trifã. i · . s 
pot· ncia. média, r a iva. apar nt compl xa para um si ·t •ma trifã ·i o. sim 'trico, uilibrndo, são btida, a 
partir d 11.52 a 11.55. P rtanto, 
Pabc= 3 Flpco (Ou -0,) (11.62) 
Qab = 3VFI F · n(01, - 0,) ( 11.63) 
abc = 3 p/p (11.6-1) 
E ta · quaç- pod m r xpr as m t rm da · grandezas d linha d notadas p lo ubíndic L. a 
carga é conectada cm --trela. F = 75 e lp = h - Para a carga con tada m triângulo, VF = l L e lp = 73· 
Log . ind pcndcntcm nt do tipo d conexão da carga. 
Pabc = J3 Lh co ·(Ov - 0,) (11.65) 
Qabc = V3V1,h 0(01, - O,) 
abc = J3 LÍL 
A potên ia complexa mambo os ca ·o · dada por 
(11.66) 
(11.67) 
11.5. POTÊ I EM l TEM TRIFÁ I O 37" 
(11 .6 ) 
E x mplo 11.18: m i t ma monofüsico. compo to por dois condutor . tran ·mit para nma arga uma 
potên ia P. fator d potência co (Ov - Oi), sob wna tensão . A r ;i tência d cada condutor é R,,,. m i ;tema 
trifásico comp sto por três coudutorcs tran ·mi t para a m ·ma carga. a pot"ncia P ·oba m ·ma tensão . 
r isCn ia d ·ada ondut r ' R ab<:· ai ui a r lação ntr a quantidad 'de cobre no trifásico no monoffísi o 
para alimentar a carga. 
Para o sist ma monofá ·i d 10.25 
Para o sist ma ttifásiro. de 11.65 
P abc = v3 I a_bc os(0., - 0,) 
Logo, 
l a = ✓3 f abc 
Para, qu a pot · n ia trai mi t ida · ja a m ' ·nrn, as p rda d potência d •v m · r iguai. na duas ·ituaç· 
·onsid rando qu as fi nt mon füsica h·ifá, i a g ram pot"ncias iguai . s im, 
2Ra 1: = 3Rabc I;t,c 
ou 
Fina lmente. a relação ' ½ vez o número d condutor no trif.-' i o dividido p lo núm ro d condutor 
no m nofásico. r ultand ¾, D ta fom1a. há uma onomia d 25 o/c na quantidad d 
sist ma trifrísico 111 omp ração com o monofásico, quando · d~ ja. transmitir a m ·sma pot· n ·ia sob id · nti as 
oncliçõc . 
Exe mplo 11.19: Um gerador t1ifásico. ·imétri o, nectado m ·tr la, tr· · fio ' . ·cqu· ncia abc. tensão de 
linha ficaz 220 • nlim nta uma nrga d : xiuilibroda n tuda m . t r ln cujas imp lância sã Z,1 = 100 n, 
Zo = - jIOO n Zc = j I00 n. akul a pot"ncia média transf rida à carga a p t · ncia compl xa. fom ida 
p la font . 
ir 11i t 
D 11.22, V n 
; trifAsico, sim ' trico, trê. fi :, ·arga d . 1uilibrada . 
= -3-17.025 0° . Portanto. d 11.14, 11.15 11.16 
l 0 = -2, 20 0° 
Ib = -l, 25 - 75° 
1c: = -l, 2 L75° A 
Para a pot ·•11 ia compl xa. transfi rida h arga. d 11.55 
t '11 à 
A 1: + BN l i; + e 1~ = (4 4 + Oj) V A 
Para a potên ia compl xa forn ida p la font d 11.55 
V tut 1: + b n lb + c n 1~ = ( 4 4 + 0j) \I 
an m,idcrada 111-1 fase z ro. 
m ·p nulo. a pot"n ia ·ompl xa t m • ida p la font é trnn -ferida à. .. ,rga, 11mn vez qu não hií p relas 
na linha qu con ta o g rador à carga. font g ra 4 -l W a r ron urnida p lo r !&;. tor. E ;t valor ' o 
produto da resi tên ia pelo quadrado da orT nte na fa · a. Além disto. a fonte não gera potência reativa, 
pois a potência r ativa consumida p lo indutor é g mela pelo próprio capacitar. Tal fato pod s r compr vado 
ob · rvand qu ' t : 1 m •nto po. ·uem r atân ias iguai ã p r orrid . por e ncnt s d m('sma amplit ud . 
A im. o capacitor gera 1 06. 25 V Ar e o indutor consom 1 06. 25 \/ r. 
Ex mplo 11.20: R pita o xemplo 11.19 parn a sequ · n ·ia d fa · acb. 
D 11.22, V 11 = 92, 9 5 0º V. P rtanto, cl 11.lo+,l l.15 11.16 
Ia = 2. 2L0º A 
376 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE 
Ih = 1, 13 165° 
lc = L 139 195° 
Para a potên ia complexa traust rida para a carga. d 11.55 
Para a p t-;n ia compl xa fom ida p la font I d' 11.55 
an 1~ + bn Ib + cn r; = (4 + 0j) \IA 
OID L 
A inYer ão da cqu"ncia de fa modifica as correntes d linha, ma mantém a m ma pot"ncia complexa 
fom ida p la font transf rida à carga. ontudo. n ·ta situação o capa itor gera 129, 73 V Ar a · r onsumido 
p lo indutor. 
E xemplo 11.21: 10 x mplo 11.13. calcul a potên ia omplexa trifá ica g rada a potência complexa 
trifásica transferida à carga. 
D 11. 5. para a pot· n ia compl xa t rifási a g rada 
D 11.55. para a pot"ncia comple,'<a t rifásica tran fi r ida à carga 
V B X IÃe + Va x l ê + V A X I* A = 9 7371 7 0° V A 
A di~ r •nça ntr ai. pot· 11 ia · compl xas trif{ ·i ·as. n ,t 
bobinas do rador. D fa 
· à p rela d p tência na:; 
p 1·da = 1 X (19,95)2 + 1 X (17, 19)2 + 1 X (11 , 9)2 = 3~ 1\/ 
Exemplo 11.22: m i t ma de ~ ração ttifá i o. simétrico. ·equAncia abc. tr' fio , alimenta uma im-
pcdân ia trifásica qui librnda cone tada m '. tr la. potên ia média Lrans~ rida à impcdân ·ia é A'II' om 
fator d• p t · n ia O induti,·o. up nd · qu • a m ma impcdân ia.- ja n tada m triân tio, subm t ida à 
m ma t n ão d linha calcul a nova potência média trans~ rida à impedância. 
Para as impcdân ia · m ·trela. d 11.65 
6 000 = 3 X Vi .. X J L X 0. 
Para as imp ân i8s m triângulo d 11 .65 
Dividindo- uma equação p la outra 
nd u impedância p r fa. · Z 
Logo. 
Pabc = J3 X L X ( X 0. 
P abc = /~ 
6 ooo h 
Pobc = 3 X 6 000= 1 JCTV 
Gen ralizando-s . a pot"ncia média tran f 1ida a uma impedân ia equilibrada on tada em ttiãngulo é três 
v z o valor da potência média transf rida à 111 ·ma impedância equilibrada 111 ·trela. merma conclusão ~ 
viilida para a pot· ncia r ativa. 
Exemplo 11.23: m si t ma de g ração trifásico. ·imétrico, equência acb, t n -o de linha eficaz 220 V. 
alim nta uma carga equilibrada qu consom 1-1. 4J< com fator d potência 0.9 indutivo. alcule a corr ntc 
d linha .- a fas d V ab é z ro. 
11 .5. P TRIFÁ l O 377 
lnd p nd nt mcnt da ligação da carga equilibrada, valor ficaz da corr nt d linha é dado por 11.65 
14 400 
I L = -=,----- = 41. 99 
vJ° X 22() X 0.9 
O ângulo d• fas da orr nt d linha ind p nd da ligação da carga equilibrada. 
str la. o ângulo do fator d pot· n ia con , poncl à d fa~g m ntr a t 11são d fru· n con nt d · linha. 
m V ab = Vab Oº e a sequ· ncia ' im· rsa. ntão a fa da t n ão an ' +30º. A orr nt d linha I0 tá 
atrasada d 25. 0 m relação à Van· ·sim, Ia = 41. 99 4. 16° A. I or con guinte. Ib = 41. 99 12416° A 
I c = 41, 99 L - 11 6° A. 
Por outro lado. supondo- a carga. m triângulo, o ângulo do fator d pot· ncia or pond à d fa a m 
ntr , a t não d• linha a corrente d fase na carga. corrente d fas IAB está atra ada de 25, -1° m r lação 
a ab • Portanto, IAa = 1Jf - 25. 4° . ·im, como na oncxão 111 ;tr la, I a = 41. 99 4, 16° A. 
Ex mplo 11.24: R pita o x mplo 11.23. utilizando- · o mpl xa d ir uito 
rnonofási o equivalent . 
orno a carga é equilibrada. a pot· ncia monofásica • a p tência trifásica di\'idida por 3. e o cone ito de 
·irc11it monofüsi o cq11ival nt ' prontam ntc 11tiliu\d . p tên ia m cada fa ·' O n com fator d• 
potência 0.9 indutivo. corr pondendo a uma pot"ncia r ativa de 2 324. 75 V Ar. Desta forma. 
I* _ 4 00 + j2 324, 7 = 1 99 _ • 160 A 
ll - 127 30° 
Finalmente. 
I a = -11. 99L4. Wº 
Ex mpl 11.25: m sistema d geração trifási , im 'trico. scq11 · 11 ia abr. alimenta duas carga·. conform 
figura 11.30. t nsão d linha ficaz nas carga ' 220 V. onsid r = 1 n. a i ui ru e 1T nt · d linha 
no t rminai do gerador • a f de ab '30°. alcule a pot· ncia compl xa forn cida pela geração. 
e 
6n 
pen 
6n 
J18n 
6n 
j18a 
C\ICA 
ttlFÃSICA 
tmlaC(IIIIJlaAD 
aw 
PA'l'OUlll 
rortNaA: 0.,0 lad. 
Figura 11.30 x mplo 1 l.25. 
orno a cargas ão equilibrada . o circuito trifá ico pode er resolvido atra,· ' · do monofá ico na figma 11.31. 
L go, 
L 
+ 
20 
127~V 
j60 
Figura 11.31 ircui to J\Ionofüsi o Equival nt - Ex mplo 11 .2 
O - j6 000 = 2 24 - 36, 7° 
3 x 127 LOº 
37 PÍT O 11. IR UITO T RIF I O EH REGI IE OIDAL 
I -~ ?6 ?4 - 36 7° ?6 5 3° A a -
2 
+ j
6 
+ - , - L . = -14. _ L - 1. 
Portanto, on id rando-: a : qu · n ia d fa · :. as rrent d linha n s t rminais do g rnd r, fa: b r 
ão r pecth·amente. I b = -14 26L- 171. 3° A e Ic = 44. 26 6 .17° A. D 11.6 para a pot"ncia comple..,a 
fom ida p la f nt 
abc ={10-120 +j132 7,5)\/ 
p t"ncia forn ida p la 'ração , transferida às cargas. D' fato, as potênciai· média rcath·a tram;fi ridas 
às carga ão 
000 + 3 X 2 X J? = 10 420 li' 
6 000 + 3 x 6 x li= 13 257. 5 r 
E xemplo 11.26: R pita o exempl 11.25 X= 6 n. 
ma da carga ' d · quilibrada e, d ta forma. não há um ircuito monofásico equival nt . 
soluçà ; obtida a partir do circuito t rifásico. Dua fonna. d• . oluçã . rão apr ntadas. prim 
1 i d I<irchhoff para corrente. A egunda, no próximo exemplo. u tiliza o conceito d ociação d 
Para a primeira forma. d solução, as con·cnte · de linha nos terminai da carga equilibrada. fa · 
r ·p t ivam nt . 18 2 = 26, 24L - 36. A, l b2 = 26, 2 L - 156. 7° A Ic2 = 26, 2 L 3. 13° . · ·orr nt : d 
f na carga d uilibrada m triângulo ão dada por 11.45 a 11.47 
220 30º r: o 
IAB = 
6 
+ j 6 = 2i>, 93 - 15 A 
I -
220L - goº - 11 "9 - 161 56º 
BC - 6 +jl - .o . 
0 
I A = ---- = ll , 59L7 . 4° 
A · corrent d linha n t rminai. da carga desequilibrada ão 
101 = I B - I A = 29. 03L - 3 . 5° A 
I b, = Is - I a = 36, 17 Ll 7i> 1 
Ic, = I A - I a = 2 07 L4 ' , 4-1° A 
: ·im. as corr nt · forn idas p lo g rador são 
= Ic, + I c2 = 44. 2" L6 , 16° 
Para a pot· n ia compl xa fom ida p la C nt , d• 11."5 
o 
A potên ia forn ida p la g ração , transferida à argas. D fato, as pot"nci· 
à · cargas são 
000 + 6(!;18 + lfi + 12 A) = 1 5-10: IV 
6 000 + 612 B + J U1 + 12 A)= 14. 70 r 
média reativa tran fi rida 
Ex mplo 11.27: n pita o x mplo 11.26. associando-. impedâncias trifásicas. 
o cir uito tiifásico po · ru i várias carga· m paralelo. uma opção proYável d solução , a combinação das 
cargas numa única carga em estrela ou triângulo. árias cargas em paralelo. con tada em triângulo, p d 111 
ser reduzida a um 1ínico triângulo equivalente. Vária · cargA · cm parai lo. con tndas m ·trela, pod m ·cr 
a ciadas numa única trela equival nt , d qu exi ta um fio con tando toei s o e ntro- tr la da 
cargas. 1 • mo que não cxi ta este fio. a impedância de fase correspondentes tão m paralelo. desde que 
toda · as a rgas m tr la · jam qui libradas. a · as cargas 111 ·tr la jam d · quili brndas e não xista tal 
11 .5. P TRIFÁ l O 37 
fio. •ntã as impedância orr ·pond n · nã à m parai lo. ma pção. n 
as argas 111 ·tr la para triângulo obt r um úni o 1uival nt m triângulo 0 11 ·tr la. 
O prim iro pa ' calcular a impedância, por f· , da car a equilibrada. mo já há uma cMga em 
triângulo. é mais fácil. cm termo de a · ciação, supor qu a imp xlância da carga equilibrada e tcja cm triângulo. 
bviam nt a sup sição da arga •m tr la não alt raria o r ultad final. A imp dâ11 ia p r ft · • dada por 
3(
220
)
2 
= 14 "2 36. 1° n 
000 - j6 000 ' 
· impedân ias equivalentes ntre a · f · · ab. bc ca ·ão a.· r ·pe tivas impedâncias da carga cm triângulo 
m parai lo com Ze. . . ·im ZA1:J = , 37 L42° f2 Zo = Z A = . 61 L l , 3° fl. s corrcnt d fru;c 
na carga equiYaJente. d uilibrada. em triângulo ão IAa = 40. 97 L - 12° , l ac = 25. 55L - 141. 3° A e 
IcA = 25. 55 17° . Tai correntes de fa ' r produz m as corr nt d linha calculada · no exemplo 11.26. 
Ex mplo 11.2 : Um sist mad g raçãotrifási o.sim•tri ·o. sequ· nciaab. t n ·ãod linha 220V, alim nta , 
atrav' d uma linha de transmi ão d impedância (0.1 + jO, 3) n por fru . uma carga quilibrada cujo dado 
nominais ·ão tensão de linha 220 e potência trifábica (30 000 + j l 000) alcul a tensão de fase no. 
t rminais da carga a pot· n ia trans~ rida à carga r pr s ntada p I m d •lo imp dâJ1 ia constant . do a 
f~ d V nn omo 0° . 
Até o pr · nte momento uma carga equilibrada. ou não. foi empr r pr ntada por um conjunto d 
impcdân ias (R + jX) constant ·. ontudo, na rcalidad a potên ia tran ·fi rida a uma arga d pend d• ua 
natureza varia m função da t nsã aplicada. ma ciwga d tipo impedân ia e n:tan ' aqu la na qual 
a impedância. calculada a partir da potên ia ativa e reativa nominal e tensão nominal é mantida con ante. 
Portanto, n •st caso : p ífico, a imp dãn ia r •pr · nh:1 iva da cttrga, por fo. · . é xpr ··a por 
(
220)
2 
z = 73 = 1 3 3L3o. 96º n = (1 1 G + 1·o. 111) n IO OOO-j6000 ' ' 
figura 11.32 apresenta o cir ui to monoffü,ic <.'quival ntc. 
L o,in - J0,30 '--- - A+ 
- ----------N . 
Figura 11.32 ircuito lonofá ico EquivaJ ntc - x mplo 11.2 
P rtanto. 
220 Oº 
I 7:i 776 - 3.17° 
a = 1.2 6 + jl, Oll = ' 
AN = 1. 3 3L30, 96° x 77. 65 - 3 , 17° = 107, 35 - 7, 23° 
pot · n ia transfi r ida à carga, por f · . ·pr ·a por 
ANla = 335, 7 L30. 94º A= (7 1-19. 6 + j-l 2 5. 7) V A 
t usõ d f na carga ão A = 107.35L - 7.23° V. a = 107, 35L - 127.23º V = 
107. 35Lll2. 77° . A potência trifásica transferida à carga é 25 007L30. 9.J.0 A= (21 44 . + jl2 57. 1) A . 
qu , não orr p nele ao valor nominal, p is a t nsão na carga não 'nominal. N 't 111 dei d arga, a pot" ncia 
tran ferida à carga varia com o quadrado da t n ão 
= n om ( --)
2 
= 11. 66 ( 107• 35)
2 
= , 33 J<V A 
"º"' 127 
Ex mplo 11.29: R pita o x mpl 11.2 , · o mod lo da carga ' d tipo p t · n ·ia e nstant . 
3 O PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE OID L 
1 't tipo d carga, ind p nd nt da t nsão. a p · 11 ia ransf rida à ciu-ga 'a nominal. P rtant . a pot· n ia 
r pr · ntat iva da arga. por fai·' ' (10 000 + j 000) figura 11.33 apr · nta o cir ·11ito rnon fási ·o 
eqtii,·aJ nt . Ini ialm nt . por questão d facilidade matemática, o ângulo da t n,ã d fas na carga é adotado 
·omo 0°. · im. 
I. 0,10 
220 V V,.,. V 
1'3 
---------◄N -
Figura 11.33 -ircuito lonof1:í. ico quival nt - x mplo 11.29. 
Logo. 
D ;ta forma . 
Portanto, 
Ia= 11 662L - 30. 96° 
V 
(o ·o 3) 11 662L - 30. 96° _ 220 ~ A + , l + J' A - J3 u 
2 00 .2 399, 92 220 ~ .220 ~ 
+ ~ + J A r = J3 co u + J .J3 nu 
2 00 220 
+v;- = v13 V 
2 399. 92 = 220 enô 
j\ ./3' 
manei a: duas cquaçõ I vadas ao quadrad 
Logo. 
llá duas raíz · po ·itivas \IA 
d g ração. Portanto. VAN = 9 
,~ - 10 533, 33 v] + 13. 6 X 106 = 0 
= 95 V A = 3 . 2 tcnsê1o adotada é aqn •la mais próxima da t nsào 
LOº V. si im. 
2 399. 92 = 220 . nó 
9 ./3' 
ângulo q11 r ~r •s ntu a d fasagem ntr as t ru õ · d fase na g ração na carga · ó = 111 47°. D .;ta 
forma.para an =~LOº\.atensõ d fa na carga.ão A = 95L - 11.47° .V e = 95L-131.47° V 
V e = 95 1 . 53° \/. A correntes d linha ·ão Ia = 122. 76 - -12. 43° A. Ih = 122, 76L - 162, 43° A 
I c = 122. 76 77, 57° . 
p tência tran i rida à carga por fa. . ~ xprcssa p r 
V Ia = 11 662L30, 6° = (10 O O+ jG 00 ) V 
A pot · ncia. trií-' ica transferida à carga é 34 9 6L30, 9 ° \/A = (30 000 + j l 000) \/ A. que corresµ nde ao 
vai r nominal. 
Exemplo 11.30: Repita o ex mplo 11.29 atrm·és d um pro so it •rati,· . 
De fonna alt rnativa. um pro o itcratiYo pod ser utilizado para o cálculo da ten ão br a carga. 
Ba i ~m nt . para iní io d ,t' pr ·so um vai r d t nsão sobr a arga ' ·timad . m função d ·ta. t n:iio 
11.5. POTÊ I EM l TEM T RIFÁ I O 3 1 
a on nt ~ cal ulada , po ·t ri rm nt . o novo valor d t nsão sobre a carga é ·timado na it ração · guint . 
H di f r nça ntr' o vai r d t 11são numa it 'ração aqn 1 valor na it ração 1rnt rior ~ m •n r qu umH to) ,rftn ia 
p ificada. então o proc it rativo onvergiu para a solução. ·ontrário. o pro o r aliza uma nov}\ 
iteração. sim. arbitrando- AN (O) = 127 LOº e uma to) rância d O. 2 \/ 
la (O) = 11 662L - 30, 96° = 91 l _ 30, Gº A 
127 0° ' 
om isto. há uma nova t n ão d fr na carga 
??Q 
V A (l) = .=_LOº - (O, l + JO. 3)l a (O)= 100. 66L - 10, 21° 
3 
V (l) V(0) 0 -orno A , - 11 > , 2. nta o pro ntinuar a nova on nt ' dada por 
Ia ( 1) = 11 662L - 30. 96º = 109. 32 - 41.17º A 
106. 66Ll0, 21 ° 
Portanto, o valor d1:1 t n:ã na · gundn it ração é dado por 
V A (2) = 
22º 0° - (0.1 jO. 3)Ia (l ) = 9 , 76L -10. 20º 
J3 
mo j2~ - j~> > O. 2, ntão o pro o it •rativo ·ontinua. im proc d ndo, as · 'guintcs tensões na 
·arga ·ão obtida : AN(3l = 96. 6 - lJ , 26° . AN( 1> = 95. 02 - 11, 27° (S) = 95, 29 - 11 .43° \/ 
, fi nalm nt. v AN(G) = 95, 12 - 11,44° V . . ,t p nto. o pr 
,~~~>-v<5><0,2V. im.atensãosobr a.carga' A =95.12 -ll.44º Vbmpróximodovalort 'rico 
calculado. Quanto menor ' a tol rância adotada. menor é a di~ r 'nça cntr o· valor · tcó1ico e a lculado. 
Ex mplo 11.31: fl ' pita o x mplo 11.2 , · o mod lo da carga d tipo orrcnte constant •. 
·t t ipo d carga. o módulo da orr nt na arga • nominal ind p nd nt da t nsão. ao pa o qu a 
d fasagem entr a tensão d fa · e a corrente na carga é o ângulo da pot"ncia complexa nominal transferida à 
arga. D 11.67 
J _ J30 0002 + 1 
a - J3 X 220 lA 
orno a fa d A é 0°. então Ia = 91. 1 - 30. 96º . Logo 
· irn. 
Portanto, 
AN + (0. 1 + )0. 3) X 91, l L - 30, 96° = ~ ô 
. 220 
+22. 04)+Jl .90= J3 r .2- 0 r s u + J r,; s nu 
v3 
V 
220 
+ 22, 0-1 = /3 C SÔ 
1 . = 220 . nô 
J3 
Lo r 56° 103 56 V 22º 0° t-go, u = , A = . . an = 73 . en ao A = 103.50 - .56° 
39. 52° . p t "ncia transi rida à carga. por fa · •. ; ·pr ·a por 
ANI; = 9 507, L30. 96° A = ( 153, 2 + j4 91. 2) A 
e Ia = 91, 1 -
ta pot"ncia não corre pond ao valor nominal. uma vez que a t usão na carga não ' nominal. Neste tipo 
d carga. a pot· ncia transferida à carga varia linearm nt com a tensão 
= 110 ,11 Cl,wm) = 11,66 (1º/;:6) = 9.50 KVA 
3 2 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE OID L 
xemplo 11.32: R pita o x •mpl 11.31 através d 1101 pro · · it rativo. 
13t ·icam nt • um valor d COI'I' •nt na arga ~ ti macio para iní ·io do proc it rativ . Em função d . ta 
corr nt . a t nsão d fa na carga ' cal ui ada . po tcriorm ut . o novo vai r d orr nt ' ., timado na it rnção 
seguinte. a diferença entre o valor da fa da corr nte numa itcraç..i:i.o aqucl valor na iteração anterior é 
m nor qu uma tol rân ia ·p ifi ada, ntão o pro ., · it rativ conv •rgiu para a solução. aso 11trári . o 
pro r aliza uma nova it ração. ssim. arbitrando-. l 8 (O) = 91 , lL - 30. 96° uma tolerância d O."º 
(l} = ~ Oº - (O. 1 + jO, 3) x 91. l - 30. 96º = 106. 66 - 10, 20º 
0111 isto. há uma n va, con nt na arga 
om 0~: > - 0~~) > 0.5°. ntão o pr ntinuar a no,·a t nsiio ' dacia por 
2?0 
A <2> = J3 LOº - (O. 1 + jO, 3) x 91, 1 - 41. 16° = 103. 21 - , 32° 
Portanto. a corr nt na · gunda it ração • 
om O?) - 0f1 } > 0, 5°. ntão pr Si it rativo ontinua. 1 tém-s A N (J} = 
103,6-!L- .°60°\/
0
1/ 3>= 91, l -39. 6º VA (4}= 103.5 tcponto.opro. itrativo 
' int rrompid , uma vez qu 0~~} - 0}2> < O. 5°. · im a t nsiio br a carga ' A = 103. 54L- .54° V 
b m próximo do valor teóri o calculado. uanto menor ' a tolerância adotada. m nor é a diferença ntr o 
valor · t ri ca l ulado. 
Exemplo 11.33: m tran formador trifásico ~{alta t nsão) - Y{baixa tcn ão), t n ã d linha no lad 
10 00 . t nsão d Linha no lado 1 O O . alim nta no lado de baixa t nsão. sob t n ão nominal, uma carga 
t riftUca equilibrada qu consom 4 ](\ V om fator d pot · n ·ia O, atrasado. ai 111 as or nt ' d linha n s 
lados d alta d baixa t nsão. 
A corr nt d linha no lad . igual à corr nt d fa. no lado Y, ' dada por 11.65 
A r laçà ntr a. t n .- d fa. no tran -fonna I r xpr ,·sa m funçã da r lação do núm ro d iras 
d cada fas . De 9.19 
Logo, 
F:,. 1 -- = -
1 000 
= J3 = O 0577 
10 000 
A relação cntr a corr nt de fa no transformador ~ expressa cm função da relação do número d ;pirn 
d cad11 fas . D 9.24 
Logo. ÍF.l, = 2 A. Portanto. h:,. = 2v'3 . 
11.6 Medição de Potência em Sistemas Trifásicos 
Arranjos pec1ai . mostrado na seções guint , propiciam uma man ira d medir a potência média 
trifái;ica tran ·~'rida à carga e n tada m ·tr la ou triângulo. •quilibrada ou não. 
11.6. IEDIÇ-O DE P TÊ l E I I TEM TRIF I O 3 3 
11.6.1 M ·todo do 'l\·A Wattím tro - Con xão Y com utro 
O arranjo. n» figura 11.3-1, mm;tm tr~'l-i wattí111 tr · \ ·om ua.- bobina d con •nt ins •1idas nas fa.- ' a. b 
om snru bobinas d t n ão con tadas ntr ada fas e n utr . O objetiYo ' mo. trar qu , e m as 
indicaçõ ·ível medir a pot· o ia média trifásica tran ~ rida à carga. 
e 
igura 11.3 \Vattírn tr · no i. t ,ma 'frifaísic Quatro Fios. 
Portanto, 
11T Pw. = T 
O 
1 an ia dt 
11T Pw. = T 
O 
l'b" ib dt 
ada W11a d tas indicações rcp ·cnta a potência m 'dia. por fase. transferida à carga. Portanto. 
Pw. + Avb + Ave = Pabc 
onde 
(11.69) 
(11.70) 
(11.71) 
(11.72) 
(11.73) 
(11.74) 
(11 .7 ) 
potência média trifásica ' dada p lo somatório das indicaçõ 'S d · tr· · wattím tr s, ind p nd nt m nt da 
forma d onda, d grau d sim ·triadas t •nsões e d grau d d · quilíbrio da carga. 0..... 0,. :ão os ãngul da 
tensão d fa na geração an da corrente de linha . Definiçõ análogas ão aplicada ao outro ângulo . 
mplo 11.34 : m ·i ·tcma rifási o im ~tri o cqu· n ia abc quatro fios, t nsão d linha ,ficaz 220 \/ 
alim nta uma arga d sequilibrada uja imp dância · p r fa: . ã Z = 10 n, ZB = 20 n Z = 40 n. 'fr. · 
wattímetro ·. conform figma 11.34. ão utilizado . alcul a indicações do wattím tro a. potência média 
trifásica transferida à c,uga. 
d tand af · nulap1u-aat nsão ab , ntão an = 127L-30° bn = 127 - 1 0° • cn = 127 90° \f. 
De 11.24 a 11.26 
I = 127L - 30º = 12 7 - 30° li 
8 10 ' 
127 - 150° 
I b = 
20 
= 6. 35 - l "0° A 
3 -1 
D 11. 73 a 11. 75 
D l 1.72 
PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE 
127 Oº 
l c = O = 3, 175L90º A 
Pw0 = Van la · 0° = 1 612. 90 IV 
Piv,. = bn h co Oº= 06.45 IV 
P1vr = Cl'I Ic co 0° = 403. 22 1 
P abc = 2 22. 571 
OID L 
Neste exemplo. a indicaçõ do wattímetros permanecem inalteradas para a sequência de fa acb. I o 
porqu as ·arga são pnramcnt r ·i ·tiva · . por cons guint , o · ângulos da· corr nt d linhtt ·ão m ·mos 
das r p ti\'a · t m,- .- d f· · . 
11.6.2 Método dos Três Wattímetro - Conexão sem utro 
arranjo. na figura 11.3", mo tra trê wattím tro e m uas bobina de corrent inseridas nas fas a, b e 
e m .;ua · bobim · 1 t nsão oncctadas ntr ·adn fa: um p nto qualquer o. O obj •tivo mo:trar qu 
om a indicaç- d wattím •tr s, ' p · ÍY I medir a pot· ncia média 1ifásica tran:~ rida à arga. 
Logo. 
e 
Figura 11.35 'v\Tattím •tros n i ·tema Tri ffüii o 'Ir.' Fios. 
Pw. = ~ 1T t'no ia dt 
T 
Pw,. = ~ 1 VIJa ib dt 
Pw. = ~ 1T 1 co Íc dt 
(11. 76) 
(1 1. 77) 
(1 1. 7 ) 
quaçõcs 11.76 a 11.7 não r pr ntam a pot"n ia média, por f , tran ~ tida à carga. Para o d n-
volvimentomatemático toma-s necessário eliminar a · vaiiáv i 00 • V1><, e Uco- A ·m. 
Vao = V N +v ,0 
t•co = V + U 'o 
(11. 79) 
( 11. O) 
(11. 1) 
11.6. IEDIÇ-O DE P TÊ l E I I TEM T R IF I O 3 5 
Portanto, 
(1 1. 2) 
omo i" + ii, + ic = O ntão 11.72 é satisfi ita. Portan , tl pot· n ia média trifã ·ica o somatório das 
indi açõ do tr· · wa t ím tro ·. ind p nd nt m n da forma d onda. do grn11 d im triada t I õ . do grau 
de d equilíbrio da carga e da posição do ponto o. E ta m ·ma conclu ão é Yálida para a carga conectada em 
triângulo. o ponto o ;ttí lo alizad m um d s t rminais da carga. a indicação d um d ' wattím tr · s di 
nula. Tal fato ·ug r qn a pot' ncia média trifási a d uma carga a tr' fi po ·a r medida c m ap na d is 
wattímetro ·. Por ex mplo. s o ponto o tá sobre a fa b, a indicação Pw. ' nula. outras indicaçõ · são 
Pw. = B l a CO ·(0.,,rn - 0iJ (11. 3) 
(11 . .J) 
0v,.s Oi. ·ão o · ângulo · da tensão de linha na carga AB e da corrent de linha l 8 . D finiçõ · análogas 
são aplicadas ao · ontros ângulos. 
Ex mplo 11.35: m si t ma trifásico im 'tri o. qu' n ia ab . tr' · fio , t não d linha fi az 220 V', 
alimenta uma carga desequilibrada. cujas imp dância por fa ão ZA = 10 Q, Zo = 20 Q Zc = -lO n. Tr' 
wattím tros, conform' figura 11 .35, são utilizados. ponto o stá sobr a fo · • b. a i ui as indicaç- · dos 
wattim tros a pot' ncia média trifásica transfi r ida à car a . 
dotando- a fa nula para a ten =-o a b • ntã V an = 127 L - 30° V, Vbn = 127 L - 150° e c n = 
127 90° \/. D ll.22. V nN = 4 130. 9° . D 11.14, 11.15 11.16 
I _ 127L - 30º + 4 
" - 10 
I _ 127 - 150° + 4 
b - 20 
9º 
= 7. 200 190, 90° A 
Ic = _1_27 _______ _ 
Portanto, Pw. = O. D 11. 3 11. 4 
D 11.72 
P1v. = \ ab Ia cos 19, 11 ° = 1 72 . 2 !\" 
?i1 c= c;b Í c CO 40.90°= 691.27 1 
Pati<· = 2 19, 55 IV 
11.6.3 Método do Doí Wattímetro 
O teorema d Blondcl afirma qu a potência média trifá ica tran ferida a uma carga. aHm ntada por um 
si l •nHi p lifá.·i o ·onstitufdo por m fa · ·s 11 fios, ' o · nrnt6rio das inclicaç- · m (n - 1) wattím t1 ·, 
conectado d forma que cada uma da bobina. d corrent 'Jª 1 rida m (n -1) fio a bobinas d tensão 
t nham um terminal em comum sobr o n-' · 1110 fio. arranjo na figura 11.36 m tra doí wattím tr . om 
suas bobina · de COIT nt ins ridas na · fases a b com ·uas bobinas d t nsào con ·tadas m um ponto omum 
s br n. fa r. O bj t ivo ' mo.-trar qn . com m indi açõ do: watt ím tr . ' po · 'v I medir a pot"ncia média 
trifá ica trai ferida à carga. 
3 6 PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE 
e 
Figura 11.36 létodo do Doí \\'attím tro . 
A im. 
11T Pw. = T 
O 
v 
11T Pw. = T 
O 
v BC ib dt 
11as. 
t• = 11 - V 
VB =VB -uc 
L go, 
A1,.+ A1·b= 'f1T[11A ia+tu ib+tc 
orno i« + ib + ic = O, ,ntão cm ·tado pcrmancnt noidal 
Av. + Pwb = Pabc 
e 
nd 
OID L 
(11. 5) 
( 11. 6) 
(11. 7) 
(11. ) 
( J 1. 9) 
(11.90) 
(11 .91) 
(11.92) 
Portanto. a pot"11cia média trifásica é o ·omatório das indi ações d doí wattím tro . indcpc11d ntem ntc 
da forma d' onda, d grau d• :im triada t nsõc: do grau d d · qui lfbr io da arga. sta m ·ma concln&i.o 
' btida para a carga n tada m triângulo. ada uma d tas indi ~u;- s m parad não t m • ignifi ad 
fí ico. Para uma carga desequilibrada, con tada m ;tr la 0111 neutro. são nocessário tr· \\attím tros. ao 
passo qu para a carga equilibrada a potên ia média trifási a é o · matório das indicaçõ · d doí ' wattím tro ·. 
ma parti ·ularização muito int rcssaut no m 'tod dos dois wattím tro · oc rr se a carga ' eqnilibrnda 
cuja impedân ia. por fa , é Z O diagrama fa miai, r f r nte à quência de fase ab , ·tá ilu. trado na 
figura 11.37. siim, 
Pw. = AC l « o ( - 30°) (11.93) 
Pwb = Voe h c ({3 + 30°) (11.94) 
Logo 
Pw. + P11-. = ✓3 r, h o: /3 (J 1.95) 
Pw. - Avb = \/L h 11 (11.96) 
11.6. IEDIÇ-O DE P TÊ l E I I TEM TRIF I O 
D 11.9" 11.96 
v .. 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\._ 
v ... 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
,-------
/ 
I 
\ 
) 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
v ... 
igura 11.37 Diagrama Fa · rial - arga Equilibrada. 
tan 
3 7 
(11.97) 
D mod análogo, c 111 : Wl'lttfm tros olocad . nas fa · : b e a, · lquên ·ia d• fas · abc. obt ~m-s 
tan = V3 Pw, - Pw, 
Pw, +Pw, 
__ r;; PII', - Pw
0 tan v.:> 
Pwc + Pw. 
Para a ·cqu"ncia de fa inversa com o wattím tro na po içõcs ant rior 
tan = V3 Pw, - P, • 
Pw. +Av, 
tan 
tan 
(11.9 ) 
(1 1.99) 
(11.100) 
(11.101) 
(11.102) 
Portanto. para uma carga equilibrada, a potência, média trifá ica, o fator de pot"ncia a potência reatiYa 
trifá ica pod m · r ai uladas a partir das indi ·açõ · d doi wattímctr . 1 mo qu a scqu ·ncia d fa não 
s ja nh ida. módulo. ma não a ntitur za, da pot"•n ia reativa do ângulo da imp liin ia. ã cal ulados d 
forma única. om nt ' po ív I d finir a natureza da carga quando sào conh idos o csqu ma d ligaçào do 
1 attímetro · e a scquên -ia d f· a · indicaçõ são id"nticas. = O, o qu signHi a uma carga equilibrada 
puram nt r ·istiva. Para fat r d p Pncia m n r qu O 5. o qu c01-r :pond a J J > 60° . uma das indica.ç- · 
' n gativa. indi ação n gativa p d . r d luzida a partir da · 1int r gra: maior das dua. indi a - : ' 
dividida pelo produto da tensão pela corrente. e o r ultado é maior qu O. 66. a m nor indicação é po itiva. 
a ·o contnhio, a m n r indicação ' n 'gativa. 
mplo 11.36: m si ma trifrí ico sim 'tri o, scqu· ncia abc, t nsà d linha ficaz 220 V, alim nta uma 
carga desequilibrada conectada em triângulo uja imp dância , por fa .. são Z B = (R i + jl6) Q. Zsc = 
(12 + j l 6) n ZcA = (12 + jl6) n. a lcul as indi ç~ • do wattím •tro:; uja-; bobinas d co1T nt> stão 
in · ridas nAS fas a b a p t · n ·ia médifl r ifásic:R tnms~ rida à carga s R1 = 9 n. 
dotando- a fa e nula para a tensão AB· então Vec = 22OL - 120° e cA = 220 120° . D 11.45 
a 11.47 
220 0° 0 
I AB = 99 + jlG = 2, 194 9, 1 
I = 22º - 1200 = llL - 173 13º 
B 12 +jl6 ' 
3 
Portanto, d 11.31 
D 11 .91 11.92 
De 11.90 
PÍT O 11. IR UITO TRIF I O EH REGI IE 
220 120° 
I --- 11 66. 7° 
C A = 12 + j l = 
Ia = IAa - lcA = 10L257. 56° 
Ib = Iac - IAa = 13.190Ll 7. 25° A 
Ic = l c A - Iac = 19. 052L36. A 
P11r
0 
= A fa S 42. 4,1° = 1 623. 6 li" 
Pw. = uc Íb co · 52, 75° = 1 756. 44 1 
Pabc = 3 3 O W 
Ex mplo 11.37: R pita o ex •mplo 11.36 · R1 = 12 n. 
D 11.45 a 11.47 
P rtanto, d 11.41 
D 11.91 11.92 
D 11.90 
I = 22º Oº = 11 L - 3. 13º A 
AB 12+jlG 
220 - 120° , 0 
Iac = 12 + jl6 = llL - 173, 13 11 
I = 220 120° = lJ 66 70 
C A 12+jl ' 
Ia = ./ã - 30° IAB = 19 05L - 3. 13° 
I b = h - 30º Iac = 19. 05 - 203.13º A 
Ic = J3 - 30° I A = 19. 05 36. 7° 
Pwa = AC Í a os 23, 13° = 3 5-l.101 
Av. = VBc h co 3, 13° = 501, 30 1, 
Pat,c = 4 355, •10 1 
OID L 
x mplo 11.3 m si t ma trifã ·ico, ·im ~trico, · q11ê 11 -ia cab. alim nta uma carga equilibrada con tada 
m triân 11 • D i : wattím tr com ua bobinas d con 11t in · rida · nas fa • a b, d m d a medir 
cm-r tam nte a_potência trifásica tran ferida à carga. indi am 21 503 W e 2 797 l . r pc tivam,ntc. A corrente 
d linha 30v'3 A. a i ·ui a impedância da carga por fa · . 
D 11.97 
tan ,8 = 3 21 5~3 ;~ 797 = 1. 333 
Logo, o ângulo da imp :dância ' = 3. 13° q11 · rr ·poud a ·seno igual a O. 6. omo a arga é 
uilibrada. d 11.65 
24 300 
1., = --=:-----=-- = 450 V 
3 X 0, 6 
1116cl11lo ela imp dân ·ia ar lação ntr a t nsi' d , linha a orr nt d fa · 
z = 450 = 15 n 
30 
Finalm •nt • a imp •dãn ·ia da forma 15 = 15L53. 13º n = (9 + j l2) n. 
Exemplo 11.39: m sist ma trifá i o im 'trico, scq11 ~n ia abc. alim nta a arga quilibrada mostrada na 
figura 11.3 . alcule a potência reativa tran -ferida à carga em função da indi ação do wattím tro. 
11.6. IEDIÇ-0 DE P T Ê l E I I TEM TRIF I O 
v .. 
e 
L 
Figura 11.38 Ex mplo 11.39. 
O diagrama fasorial tá mo trado na figlll'a 11.39. adotando- a fase nula para a tensão V an. 
Portanto. 
Finalm nt 
v .. 
\ 
\ 
\ 
\ 
' \ \ 
\ 
v. 
L 
igura 11.39 Dia ·ama Fasorial - ·x •mpl 11.39. 
Pw. = \lu l a e ·{90 - ) = u l a ' nâ 
Q = 3 PII'. 
3 9 
s m ílTIWcon l 11sõ • são obtida: in, rindo-s a bobina d on- nt nas fa: : b <' a d ' t nsão ntr <' a 
e a b. Para a medição d pot· ncia r ativa m sist ma trifásico: é utilizado o varím tro. qu , ba icam nt . é 
um wattím tro no qual a r ·i tência multiplicadora da bobina d tcn. ão · ub ;tituída por um indutor. A im, 
a n nt II a b bina · ,í m quadratura om a tcnsã apli ada. 
3 O PÍT O 11. 
11.7 P roblema 
11.1 mn i ma d g ração trifásico, ·im tric . 
qu· 11 ia abc, V ca = 3 1~0 • ai ui as t n ões d 
linha e d fase na geração. 
11.2 R pila o pr bl ma 11.1 para a sequ · u ia ba. 
11.3 m sistema d g rru;ão trifásico, sim 'tri o, 
sequência abc, alimenta uma carga equilibrada conec-
tada m triângulo. alcuJ as corr nl s d linha e d 
f llc carga I Ao = 5 3L0º 
11.4 R pita. o pr bl ma 11.3 para a equ · ncia cba. 
11.5 111 ·ibl ma d g ração trifási o, sim ~trico, 
s qu· ncia abc, t nsão d fru 120 \ ·, alimenta uma 
carga equilibrada conectada em estrela de impedância 
(9 + j12) n por fase. aJcuJ as c rrcnt d fru· na 
arga S<' a fas d V on · 0°. 
11.6 m ·i ema d geração trifásico, im 'trico. 
s qu· ncia acb, alim nta mna rga equilibrada · 11 -
tada m triângulo. Calcul ru rr nt s d linha a 
impedância da carga por fase l sc = 10./3 75° A e 
an = 120 3 
11.7 111 a d g ração triff1Si o, · ri 
tado m , sequ· u ia ·o in 
alim nta carga quilibra t m 
impcdâ · j9) n p r fas m 
tran mi impedância + 
a frui d O , cal ui as t h 
rr nt d linh I t nsão na 
11. J o probl ma 11. lcul o 1116 11são d 
linha ni\ geração. a o d fi n 120 \1. 
11.9 · m ist ma de o trifásico , 11 -
tad m trifu1gul , beq ia abc, t n ha O\/, 
alim nta uma carga equilibrnda on tada cm triângulo 
d impedância (36+ j45)Q por f · ' wna linha 
d transmil· ão cuja imp dã nci j5) n. 
a fa: d ab ' 0°, ai ui as t d fo. 
no gerador. as correntes de linha e de fase na carga, a 
queda d tensão na linha as tcllSÕCS d linha 
na ar e. 
aJcul o módulo da t nsão d linJ1a na geração 
n pr bl ma 11. , . a L nhào d fru· na carga ' 127 . 
11.11 m sist ma d geração trifã: ico, imétrico. co-
nectado m estrela. 4 fio . sequência abc. alimenta uma 
carga desequilibrada II tru:la m ·tr la ujas i111-
pcdân iru' por f ' ão z = R n, ZB = j /, n 
Zc = - jXcf2. aJ ulc as relações nt.r R , Xi, e Xc. d 
modo qu a rrcnt no n utr seja nula. 
11.12 Repita o probl ma 11 .11 para a scqu· ncia bac. 
11.13 m sistema de geração trifásico, imétrico. co-
n tado m tr la. 3 fi s, l>CQU
0
11 ia bro, t ns· d fru 
100 , aJim nta uma carga desequilibrada con tada cm 
e trela cujas impedâncias. por fase. são ZA = jlO n. 
ZB = Rn Zc=j l0n. aJcul I bs R = 0 scaf. 
d V cn , 0°. 
IR UITO TRIF I O EH REGI IE OID L 
11.14 aJcul a no problema I J.13 R l nd a 
infinito. 
11.15 m i tema de geração trifásico .. imétrico, co-
o tado cm str la, 3 li ·, scqu "ncia abc. l nsão d li-
nha 220 V , alim nta uma carga d uilil rada e n -
tada m estrela cujas impedâncias, por fase. são ZA = 
(10 + jl0J:3) n. zB = 20 n Zc = (10 - jl0./3) n. 
alcul rr nt d linha. 
11.16 m i ma d geração trifásico. im 'trico. co-
11 tad 111 ·tr la 3 fi ·, scqu"ncia abc, t 11.São d f· · 
127 V, aJim nta uma carga desequilibrada, confonn fi-
gura 11.40. alcule ~ para a chave nas posições 2 
1. 
11.17 111 ist na d g ração trifaísic , . im 'trico. con -
tado m estr la, 3 fios, sequência abc. t nsão de linha fi-
caz 120 \/, ali111 nta uma carga d ·equilibrada, conform 
figura 11 .41. ai ui ru corr nl d linha d fru e na 
car a fas de ab · Oº . 
11.1 e pr bl nm J 1 . 17 a chav 1 cada na 
fw ta. 
11.1 m sistema d g ração trifásico, sim'trico. co-
11 tad m str la, 3 fios. scqu· 1 ia bac L nsão d fas 
ficaz 127 \ alim nta uma arga d scquilibrada 
n lada n triângulo d impcdânci ZAB = Zsc = 
( l20 + J IJO)Q Z A = (IJ , 75 + j l.25) n , aLrav'· 
d uma linha d tran missão uja impedância ' Zu = 
Zce = j l5 n ZbB = j5 n. aJcul ru tcusõc de fase 
na cargas a fru.c d V ,'" · 0° . 
11.20 m ist ma d g raçã trifási . sim tri , 
11 lado em str la. 3 fi , sequên ia abc. tensão d f 
flcaz 127 \ ', nli111 nta dua,, cargas d · quilibradas 
n tada! cm r la d i111 1 clãnc-iru por fas Z = 4 n, 
Zs=5f2,Zc= 50.ZA=l0f2.Zs= f2 Zc= Sn. 
alcul a i11dicaçã cio v ltí1H lro con tado ntr os 
ccntr tr las das cargas. 
11.21 No problema 11.20, a sequência de fase é cba e 
um fi con ta · ntro- ·tr las clru cargas. alcul a 
e rr nt n t fio . a f d an ' 0°. 
11.22 m sistema d g ração trifásico, im ' trico. co-
11 taclo IH tr ln, 11 fi s, sequ· n ia ab<·, t nsii d 
linha ficaz 220 \/ alim nta tr· cargas desequilibra,. 
das. primeira, mais próxima da geração, con c-
tada IH strcla. 1 fi s. cujas impedân ias por fas , • 
z = 30 n . ZB = 20 n. Zc = 10 n. g11nda, 
n tada m triângulo, cujas impedâncias por fase são 
ZAB = (6 - j )n, ZJJ · = ( + j ) f2 Zc = (5 +jJ2)f2. 
última, 011 ctada m trela, 3 fi , ujas impcdânciru 
por fase são ZA = -jl0Q. ZB =jl O , Zc = 10n. m 
runpcrfm tr ins rid mi fru,c a. d m d a m dir u r-
rcntc solicitada p las carga< cm triângulo e em tr la 3 
fios. lcuJ a indicação do ampcrím Lro. alcule a in-
dicação do volt ím lro con lado ntr os c ntro-cst.r las 
das car~·. 
11. 7. PROBLEM 
g raçã rifási , i;im6trico, co-
11 tado 'Ili str la, 1 fi s. scqu· ucia abc, nsão d li-
' alim nta duas cargas desequilibradas. 
A primeira. mais próxima da geração. con tada cm cs-
tr la, 3 fi , cuja im1>cdân ias p r f - ·ão ZA = n, 
Zs = 6 n. Zc = 4 n. A gunda, con tada m cs-
tr la 3 fi , cujas impedâ11cias por t · ·ão ZA = 6 n. 
Z8 = 3 n Zc = 411. m fi d r ist"11 ia d . pr zív 1 
conecta o ccntro-cstr las das cargas. lcule a corrent 
n t fio. onsid r qu a {as d an 6 0°. 
11.24 m fi d r si::;t"n ia 10 n c n cta c ntr • 
trelas das cargas do problema. 11.23. Calcule a cor-
rente no fio. 
11.25 m sist ma d g ração trif~ i o. sim Lric , 
sequência abc, tensão d linha eficaz V ab = 220 60° V, 
alim nta uma carga trifásica equilibrada con tada 111 
triângulo. polê11 ia m 'dia transferida à carga ' 
3 630 li' com fator d potência 0,5 indutivo. alcule 
as corr I d linha de fas na carga. 
11 .26 m sisl ma d g rnçã trifã.rico, sim tri · , 
equ"ncia cba, tensão de fase ficaz V bn = 120L0º V, 
alim nta wna carga trif{1Sica equilibrada. . potência 
trans~ rida il cargn é 4 320 V A com fal r d pot · n ia 
O. 6 indutivo. alcule a corrente d linha na fase b. 
alcule a impedância da m·ga. por fase, supondo-
Umt II carga con tada m :tr la como m triângul . 
11.27 Um istema d geração trifásico. sim 'trico. 
sequ"ncia abc, alim nta urna carga trifásica equili l rada 
· n tada m tr la d impedfu1 ia ZL O p r fas . 
potên ia m dia trans~ rida à carga P. upondo-
a p rda d uma das f~ s qu alim nta a arga, 111 
a tc-nsão d g ração mantida constante-. cal ui a n va 
potência média transferida à carga e a redução percen-
tual 11a corr ut d linha. 
11.2 m sistema d g ra91o trifási , sim 'tri , 
·equ"ncia abc, tcusão d linha fi az 200\/'3V, alim nta 
uma carga trifl~ ica 1uilibrada, atrav • d uma li11ha d 
transmi. são cuja impcdân ia, por fas , é (1 + jt) n. 
potência média forn ida pelo gerador • 24 !(~ com fa-
t r d pot · 11 ia O, iuduti\ . ai ui a tem · d linha 
na carga a p t · n ia compl xa trans~ rida à carga. 
11.29 Um istema de geração trifásico. ·im ' trico, 
sequ~ncia abc, alim nta uma carga triflísica quilibrada, 
atrav • d uma linha d transmi~' âo cuja impcdân ia, 
por fru , • (O, 05 + jO, 30) n. A p tên ia média transfe-
rida à rga ·, OO K II' m fat r d pot"11 ia O, indutiv . 
tensão d li nlm nos t rm i nai da carga ' 3 V. alcu 1 
a tensão d linha nos terminais do gerador e o fator d 
pol · 11 ia visto p lo g rador. 
11.30 o probl ma 11.29, um ban o equilibrado d ca,. 
pacitor cm triângul . d r atância 15 Q por fase • co-
11 tado 11 ' t rminais do g rador. om as 011diçõ d 
t nsão e potência na carga mantidas i11alt radas, calcul 
a redução pcrc ntual na corrente d linha fornecida pelo 
gcracl r n vo fator d pot -;ncia visto p lo g rador. 
391 
11.31 ma linha d transmi. ,- trifásic°' cuja im-
p xlãn ia p r fru- é (1 + j3) n. é n tada a um. ist ma 
de geração trifásico.imétrico, conectado m trela. 4 
fios. quência bca. t nsão d linha eficaz 3 V, 60 li z. 
ns tr· far ' · acid ntalm nt mto-cir uitadas no 
cxtr mo da linha, calcul a p t · n ia compl xa tran. fe-
rida ao urto-cir ui to. 
11.32 111 r laçã ao pr bl mal J.31. alcul a pot· n ia 
complexa transferida ao curto-circuito, as fases a e 
b são · id ntalm nt con tadas - m o contato com o 
rad r. R pila o probl ma há o contato. 
rn i tema de g ração trifásico, sim'trico, 
sequência abc, alimenta trê cargas trifásicas equilibr~ 
das cm parai I , at.rav' d 11111a linha d tra.11smi.-são 
cuja impedância por fase ' {O, 2 + jl) n. As carac-
t rí ticas elas cargas são 60 /( A e m fator d potên ia 
0,92 atrasado, 30 l(\f com fat r de- potên ia 0,92 adi-
antado e uma carga indutiva conswnindo 96 } W e 
72 1 .-lr. A t n ão d linha eficaz u terminais da 
rga '2 OO0J3V. ai ui a corr 11t d li11ha a t 11são 
de linha no t rmioai do g rador. bem como o fator de 
p tên ia vi to pelo g rador. 
11.34 m sist ma d g ração lrifási , sim'trico 
sequência abc. tensão d linha eficaz 400 3 . alimenta 
duas cargas r istivas, trifásicas. equilibradas cm para-
lc-lo. ma d · cargas, on tada cm r la ' ns-
tituída por um resi tor R 1 por fas . enquanto a outra 
con tada cm triângul , 6 nstituída por um r islor 
R2 por fas . pot · 11cia lrifási tnu1S~ rida às cargw ' 
12/(W. ai ui R, R2 R2 = 6R1 . alcul 
d fas na 1rga m triãng11l . 
11.35 111 , istcma d gcraçno trifásic , sim 'trico, 
sequência abc, tensão d linha eficaz O . alim nta. urna 
carga trifási a quilibra.da qu cons me 50 / 1 V com fa-
tor d pot· n ia 0,91 indutivo. Enlr ru f= a b • 
con tada uma impedância qu consom 10 / 1\/ com 
fat, r d p t "11cia O 2 indutivo. a lcul as orr nt d 
liuha n l rminais do g rador , a foi d V nn ' 0°. 
alcul a potência complexa fornecida pelo gerador. 
11.36 m sist ma d ~ raçno lrifá: i , sim ' Lri , 
sequ"n ia acb, t nsão d linha fi az V ,.b = 220 0° V, 
60H z, alimenta uma carg-a trifási a equilfürada que con-
- 111 5 l<W c m fator d p têucia O, indutivo. ai ui 
a capacitân ia d banco d apacit r , 111 triãngul . a 
r con tado n terminai. do g rador, d modo qu o 
fat r d pot · 11 ia vi t p I g raclor ja O, 5 i11dutivo. 
R pita a correção do fator d potência, ubstittúndo-
o banco de capac.i tor por wn banco d rcsistor . 
11.37 111 sist ma d g ração trif(1Sic , sim trico, 
sequ"n ia abc, t nsão d linha 220V. alim nta, a trav· · d 
uma linha d tran missão d impedância {O 1 + jO. 3) n 
p r fas . uma arga trifási quilibrada. pot· n ia 
trifã! i a trans~ rida à carga do t ipo pot· n ia com tant 
é (30 000 + j l 000) V A . alculc a potência reativa 
g rada por um banco d capacitor cm parai lo com u 
carga con ados m tr la. d mod qu o fator d 
potência do conjunto seja O. 92 indutivo. Além disto, 
calcule a capacitáncia as perdas na linha com e sem a 
instalação d capacit r . 
3 2 PÍT O 11. 
11.3 m si ·tema d g ração trifásico, sim trico. 
scqu"ncia abc, a lim nta 11111a carg11. equilibrad11., através 
d uma linha de transmissão cuja impedância ' ri por 
fase (O, 5 + j 1. 5) n cuja impedância mútua cntr as 
f j0. 1 n. A a rga a · rv uma p t · n ia trifásica 
nominal d (30- jl ) J V A. b t nsão d linha n minai 
d 3 1 . A carga ; do tipo orr nt con tant a l 1Sã.o 
d f na 1rga ' 200 V. ai ui a t ns· d linha na 
geração, a potência complexa fornecida pelo gerador e a 
pot · ncia transferida à, carga. 
11.39 111 si l ma d g raçã trifási . sim tric . 
sequência abc. tensão de linha eficaz 220 V, alimenta 
uma carga equilibrada. atrav · · d uma linha d trans-
mi ão cuja impcdâ11 ia 'ri por fru jlO f2 e uja 
impedância mútua entre ru fase é j7 n. carga ab-
sorv urna pot"ncia trifásica. (2 4 5 + j3 575) V A. A 
carga ' do tipo p t · 11 ia constant alcul a tensão d 
fase na carga. 
11.40 m transt: rmad r trifásico Y 
ti. (al la / baixa t 1u ·o). L rn,ii d linha d 6 000 
no lado de alta-tensão, alimenta atrav· de uma linha 
d tran mi ·ão cuja impcdân ia é O, 2 + j0, f2 por fas , 
11ma arga trifási a equilibrada q11 con, m 10 K\/ A 
com fator d potência O, 5 atrasado em 200 \/. alcul 
a tensão d linha 110 lado de baixa t nsão a c rr nt 
d linha no lado da alta-tensão. 
11.41 Dois wattímetr são insta , no problema 
11.15. com as r spcctivas bobinas d r nt n 
a e, d mod a medir corr tam n pot· 11 ia 
trifásica tran t rida à, carga. ale indicaç 
waUím 
11. 2 ma d g ração trifási , simétrico, 
equência abc. a limenta uma carga trifásica. uili-
brada, e n ·Lada cm trela, 4 fi , bobin 
r nt d tr· s wattím tros sã con 
nas fases b e, nquanto as bobi e po 
t.r· w • 1 tros são e 11c tadas na fase a. 
.- mató a. indicações d tr·. waUímctros. 
11.43 ui a indicação do wattím tro no probl ma 
11. 17. c ul a nova indicação d wattím tr , cru,o 
a duw ·a ab rta. 1 a n va indicaçi" d 
wattímctro. caso a cb erta e o terminal da 
b bina dr po · b. 
11. 4 A bobi r m tro ' in · 
no fio n utro I ma 11 
t 1·mi11al da d tad na 
ai indicação do wattím tro. 
11. idcre o problema 11.23 m o fio conectando 
s ti s d. · cari:,'tlS. cou m fio n utro d r -
. ist s1 \ 1 na carga m mais próxima 
da obi na d corr n 1 'm tro 
W1 d fru; b da arga l i111-
pcdância Z 8 , a bobina d pol i ada 
na fase c. do wattímctro W2 possui sua bobina 
d e rr nl i da e 111\ saída d g rad r, a 
bobina de po ai da no fio n utro. alcul a 
indicação do wattí 
IR UITO TRIF I O EH REGI IE OIDAL 
11.46 011Sid o pr bl ma 11.23 m um fio d r 
si,,C 11 ia d prczív 1 011 lando . crntr tr la:; das 
cargas. e com um fio neutro de resistência 1 n na carga 
cm cstr la mais próxima da geração. m wattírn tro 11'3 
possui sua bobina d rr nt inserida no fi n ut1 na 
aída do g rad r a bobina d pot ncial con tada na 
f, e. Cal ui a indicação do wattím tr . 
11. 7 Repita o probl ma 11.116, e n.iid nwdo- a r 
istência do fio neutro d prezí, 1. 
11. o probl ma 11.35 dois wattím tros são instala-
d n s t rminais do g rad r, e mas r. p tivas bobinas 
de corrente nas fas a e e, de modo a medir corretamente 
a potência média trif; ica g rada. lculc a indicação 
d ' wattím tr . 
11.49 g ração trifásico, im ' trico, 
equ · ucia abc, L 11são d linha eficaz ab = 220 0° V, 
alim nt a uma carga trifásica d quilibrada ·on tada 
cm triângulo. correntes de fase na carga ão IAe = 
44L - 53, 13° A, l ec = 22 - 66, A l c A = 
22 66, 7° . ui ru indi vattím tr , 
com as rc pcc bobin idas nas fa-
co1 b binas n tada na 
10 problema 11.36, do· ' · o instala-
nos t rrninais do gcrad r, s bobinas 
orr ntc nas fas . ,1 b. de n rr tam nt 
a potência média trifásica. gcr as indicações 
dos wattí1 m o a itor . ai-
11.51 Dois wat tím tr · são utiliza<l para medir e rr 
tam nt a po1 · 11 ia trai1St rida a uma carga trifru ica, 
indutiva e equilibrada. O wattírnetro com a bobina 
d corr nl in · rida na ft · a indica z ro, nquanto o 
wattím tro e m a bobina d rr nt na far c indica. 
3 600 li'. A t nsão d fase ficaz na carga é 120 . Do-
t r111i11 a ~ quência d fas al ·ui a impcdâ11 ia, por 
fo: , ela carga con tada cm trela . 
11.52 alcul a indicação d 
11.51 , parn aseq11.,11 ia cba. 
11.53 Dois wa.ttím tr ão utilizad · param ir e rr 
tamente a polência transt rida a uma carga trifá ica, 
r -i. tiva quilibrada. cl ' waltím tro indica 
5 000 I\". t nsf d fi az 11!\ carga • 220 V. 
alcul a corr nt d a indicação do outro 
wattí1n tro. 
11.54 Doi wattím troo são utilizados para medir or-
rctamcute a potência transferida a wna carga trifásica 
equil ibrada. qu· n ·ia d fases abc. indicação d 
wattím tro e m a bobina d orr nt ins rida na fas 
a ndicação do wattím tro com a bobina 
d . rida n ina d pot II ial do 
, fru e a é d d e e conectada 111 
b r lação entre · · • do wattúnctro 
d m s 111 a m sua bobina d 
po n ial. 
11.55 Repita o problema 11.&t, se a indicação do 
wattím tro com a bobina d corrcnt inserida na fas 
a · tr· v z s o negativo da indi ação do wnttím tro 
com a bobina d corrente i1 rida m b. 
11 . 7. PROBLEM 393 
o 
1-
b---+ 
e ---==-----__J 
igura 11. O Probl ma 11.16. 
C------------~ 
F igura 11. 1 Probl ma 11.17. 
	001
	002