Lista 3

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Universidade Federal Rural de Pernambuco -UFRPE
UACSA
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I - Peŕıodo Letivo Especial (PLE)
Professores: Marcelo Flamarion
Lista 3
Nos exerćıcios 1. a 6. demonstre cada afirmação usando a definição �, δ de limite.
1. lim
x→1
2 + 4x
3
= 2
2. lim
x→a
x = a
3. lim
x→0
|x| = 0
4. lim
u→a
c = c
5. lim
x→2
x3 = 8
6. lim
x→2
1
x
=
1
2
Nos exerćıcios 7. a 10. encontre os pontos nos quais f é descont́ınua. Em quais
desses pontos f é cont́ınua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o
gráfico de f .
7. f(x) =

1 + x2 se x ≤ 0
2− x se 0 < x ≤ 2
(x− 2)2 se x > 2
8. f(x) =

x+ 1 se x ≤ 1
1
x
se 1 < x < 3√
(x− 3 se x ≥ 3
9. f(x) =

x+ 2 se x < 0
ex se 0 ≤ x ≤ 1
2− x se x > 1
10. f(x) =
sinx se x < π4cosx se x ≥ π
4
Nos exerćıcios 11. a 20. calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
11. lim
x→0
sinx3
x
12. lim
x→0
tan πx
tanx
13. lim
x→0
sin2(ax2)
x4
14. lim
x→0
1− cos(ax)
x2
15. lim
x→0
1− secx
x2
16. lim
x→0
sin(x) sin(3x) sin(5x)
tan(2x) tan(4x) tan(6x)
17. lim
x→0
x cos
1
x
18. lim
x→∞
x2 sinx
19. lim
x→0+
√
1 + tan x−
√
1 + sin x
x3
20. Para a função f , cujo gráfico é dado, determine o que se pede.
(a) lim
x→2
f(x)
(b) lim
x→1+
f(x)
(c) lim
x→−∞
f(x)
(d) lim
x→1−
f(x)
(e) lim
x→∞
f(x)
21. Para a função g, cujo gráfico é dado, determine o que se pede.
(a) lim
x→∞
g(x)
(b) lim
x→3
g(x)
(c) lim
x→−2+
g(x)
(d) lim
x→−∞
g(x)
(e) lim
x→0
g(x)
22. Para que valores de x a função f é cont́ınua?
f(x) =
0 se x é racional1 se x é irracional
23. Para que valores de x a função g é cont́ınua?
g(x) =
0 se x é racionalx se x é irracional
24. Existe um número que é exatamente uma unidade a mais do que seu cubo?
25. Se a e b são números positivos, prove que a equação
a
x2 + 2x2 − 1
+
b
x3 + x− 2
= 0
possui no mı́nimo uma solução no intervalo (−1, 1).
26. A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma
distância r do centro do planeta é
F (r) =
GMrR3 se r < RGM
r2
se r R
onde M é a massa da Terra; R é seu raio; e G é a constante gravitacional. F é uma
função cont́ınua de r?
27. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada
usual para o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite. Na manhã seguinte,
ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao
monastério às 7 horas noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar
que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora
do dia em ambas as caminhadas.
28. Sob certas condições, a velocidade v(t) de uma gota de chuva caindo no instante t é
v(t) = v∗(1− e−gt/v∗)
onde g é a aceleração da gravidade e v∗ é a velocidade final da gota.
(a) Encontre lim
t→∞
v(t).
(b) Faça o gráfico de v(t) se v∗ = 1m/s e g = 9, 8m/s2. Quanto tempo levará para
a velocidade da gota atingir 99% de sua velocidade final?
Referências
[1] STEWART, J. Calculus: 7th Edition: Cengage Learning, 2012.
[2] Notas de Aula do GMA: Universidade Federal Fluminense, 2008.