Lista 1 Calculo 1 Professor Edivaldo UFRRJ

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas
DEMAT
Prof. Edivaldo
Lista 1 - Cálculo 1
Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A→ B, onde A é um subconjunto dos R,
que chamaremos de domı́nio de f e B é um subconjunto dos R que chamaremos de contradomı́nio de f .
Exercı́cio 1 Suponha que, t horas depois da meia noite, a temperatura em Seropédica seja C(t) = − t
2
6 + 4t + 20
graus Célsius. Qual temperatura às 3h da madrugada? Qual é a variação de temperatura das 6h da tarde às 9h
da noite?
Exercı́cio 2 Estima-se que, daqui a t anos, certo bairro terá uma população de P(t) = 20 − 6t + 2 mil habitantes.
Qual será a população do bairro daqui a 8 anos? Qual será o aumento da população durante o nono ano? O que
acontece com P(t) para grandes valores de t? Interprete o resultado!
Uma função da forma f (x) = mx + b é chamada de função linear porque o gráfico de uma função desse tipo é
uma linha reta.
Exercı́cio 3 Calcule a inclinação da linha reta que liga os pontos (−2, 5) e (3,−1).
Exercı́cio 4 Determine a inclinação e as interseções com os eixos x e y da reta cuja equação é dada e desenhe o
gráfico associado.
a. x = 3
b. y = 3x
c. 5y − 3x = 4
d. x2 +
y
5 = 1
Exercı́cio 5 Nos itens abaixo, encontre o domı́nio e faça o gráfico (utilize o Geogebra) da função dada, mostrando
todas as interseções com os eixos x e y.
(a) f (x) =
1
2
x (b) f (x) = x2 + 1
(c) f (x) =
√
x (d) f (x) = 3x − 1
(e) f (x) = 1 − 3x (f) f (x) = −x2 − 2x + 15
(g) f (x) =

x − 1 se x ≤ 0;
x + 3 se x > 0.
(h) f (x) =

x2 + x − 3 se x < 1;
1 − 2x se x ≥ 1.
(i) f (x) =
6x − x3
7 − x − 4x2
(j) f (x) =
√
x4 − x3 − 20x2
(k) f (x) = 5 − |x + 8| (l) f (x) =
4
x − 9
−
√
x2 − 36
1
Sejam as funções f : A→ R e g : B→ R. Dizemos que f é igual a g, e escrevemos f = g, se os domı́nios de f
e g forem iguais, A = B, e se, para todo x ∈ A, f (x) = g(x).
Exercı́cio 6 As funções f (x) =
√
x
√
x − 1 e g(x) =
√
x2 − x são iguais? Por que?
Exercı́cio 7 Verifique se são funções:
a. y = x2 + 1
b. y2 = x + 1
Exercı́cio 8 Complete a tabela calculando f (x) para os valores especificados de x. Em seguida use a tabela para
estimar o limite indicado ou mostrar que o limite não existe.
a. f (x) = x −
1
x
; lim
x→0
f (x)
x -0,0900 -0,0090 0,0000 0,0009 0,0090 0,0900
f(x) F
b. f (x) =
x3 + 1
x − 1
; lim
x→1
f (x)
x 0,900 0,990 0,999 1,000 1,001 1,010 1,100
f(x) F
Exercı́cio 9 Calcule os seguintes Limites, sem usar tabela.
(a) lim
x→0
√
x + 4 − 2
x
(b) lim
x→+∞
x3 − 5x7 + 10
−x6 − x5 + 1
(c) lim
x→0
x2 − a2
x2 + 2 a x + a2
(d) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x + 2
(e) lim
x→+∞
2x3 − 5x + 1
x4 + 5x3 + 3
(f) lim
x→+∞
x
x2 + 3x + 1
(g) lim
x→−∞
√
x2 + 1
3x + 2
(h) lim
x→−∞
x2 − 2x + 3
3x2 + x + 1
(i) lim
x→3
x2 − 9
x2 − 3x
(j) lim
x→1
4x5 + 9x + 7
3x6 + x3 + 1
(k) lim
x→7
2 −
√
x − 3
x2 − 49
(l) lim
x→1
x4 + x3 − x − 1
x2 − 1
(m) lim
x→0
tan(4x)
x
(n) lim
x→1
x2 − 1
x − 1
(o) lim
x→+∞
√
x + 5
√
x + 5
(p) lim
x→−2
3x + 1
2 − x
(q) lim
x→−2
|x + 2|
x + 2
(r) lim
x→−2
x3 + 8
x + 2
(s) lim
t→1
t2 + t − 2
t2 − 1
(t) lim
x→1−
2
x2 − 1
(u) lim
x→0−
x + 1
x
(v) lim
x→2+
x2 − 3x + 2
x2 − 4x + 4
(w) lim
x→1
x2 + x − 2
(x − 1)2
(x) lim
x→0
x2
√
x2 + 1 − 1
(y) lim
x→0
sen (x)
2x2 + x
(z) lim
x→1
√
x2 + x −
√
2
x − 1
(α) lim
x→0
tan (3x)
3x
(β) lim
x→3
x3 + x2 − 9x − 9
x2 − 5x + 6
(γ) lim
x→+∞
√
x2 + 3x − 1
3√
x4 + 4x + 1
(δ) lim
x→1+
(
1
1 − x
−
3
1 − x3
)
2
Exercı́cio 10 Calcule algebricamente, os seguintes Limites:
(a)(1,0 ponto) lim
x→−∞
√
x2 − 2x + 4 + 2x (b)(1,0 ponto) lim
x→2
|x − 2|
x2 − 3x + 2
(c)(1,0 ponto) lim
x→0
(1 − 4x)e/x (d)(1,5 ponto) lim
x→0
sen
(
1
x
)
· x2
tan(x)
Exercı́cio 11 Calcule os seguintes Limites, se existirem, e verifique se há assintota vertical. Caso o limite não
exista, diga por quê.
(a) lim
x→1+
2x + 3
x2 − 1
(b) lim
x→ π2
+
tan(x) (c) lim
x→−1
sen(x2 − x − 2)
x + 1
(d) lim
x→2+
x2 + 3x
x2 − 4
(e) lim
x→0
|x|
x3
sen(x) (f) lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x + 9
(g) lim
x→1−
2x + 3
x2 − 1
(h) lim
x→2+
x2 − 4
x2 − 4x + 4
(i) lim
x→ 23
+
x2
4 − 9x2
(j) lim
x→1+
x3 − 1
x2 − 2x + 1
(k) lim
x→+∞
(5 − 4x + x2 − x5) (l) lim
x→1
sen(1 −
√
x)
x − 1
Exercı́cio 12 Calcule os limites das funções abaixo quando x→ ±∞. Há assintota horizontal?
(a) f (x) =
2
x
− 3 (b) f (x) = π −
2
x2
(c) f (x) =
x3 − 5x7 + 10
−x6 − x5 + 1
(d) f (x) =
1
2 + (1/x)
(e) f (x) =
1
8 − (5/x2)
(f) f (x) =
3 − (2/x)
4 + (
√
2/x2)
(g) f (x) =
sen(2x)
x
(h) f (x) =
cos(x)
3x
(i) f (x) =
2 − x + sen(x)
x + cos(x)
(j) f (x) = e−xsen(x) (k) f (x) =
ex − e−x
ex + e−x
(l) f (x) =
√
x2 − 4x + 3
x + 1
(m) f (x) = 2x +
√
x2 + 1 (n) f (x) =
√
x2 − 3 − x
x
(o) f (x) = x −
√
x2 + 1
Exercı́cio 13 Mostre que
(a) lim
x→+∞
x sen
(
11x7
)
− 12
2x4
= 0 (b) lim
x→0
x2 sen
(
1
x
)
sen(x)
= 0 (c) lim
x→0
x4 cos
(
2
x
)
= 0 .
Para isso, use exclusivamente o teorema do sanduı́che (confronto).
Exercı́cio 14 Utilizando o limite fundamental trigonométrico, calcule:
(a) lim
x→0
sen(9x2)
x
(b) lim
x→0
x
sen(3x)
(c) lim
x→0
x2 − x + sen(x)
2x
(d) lim
x→0
1 − cos(x)
sen(2x)
(e) lim
x→1
sen(
√
x − 1)
x − 1
(f) lim
x→a
cos(x) − cos(a)
x − a
3
Exercı́cio 15 A concentração de um medicamento no sangue de um paciente t horas após uma injeção é C(t)
miligramas por mililitro, onde
C(t) =
0, 4
t1,2 + 1
+ 0, 013
a. Qual é a concentração do medicamento imediatamente após a injeção?
b. Qual é a variação da concentração do medicamento durante a quinta hora? A concentração aumenta ou
diminui durante este perı́odo?
c. Qual é a concentração residual do medicamento, ou seja, a concentração “a longo prazo”?
Exercı́cio 16 Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo bairro será p mil habitantes, onde
p(t) = 20 −
7
t + 2
(1)
Um estudo ambiental mostra que a concentração média de monóxido de carbono no ar será c partes por milhão
quando a população for p mil habitantes, onde
c(p) = 0, 4
√
p2 + p + 21 (2)
Qual será o nı́vel de poluição c a longo prazo?
Exercı́cio 17 Esboce o gráfico para a função f (x) =
x2 − 1
x(x − 2)
, analisando seus pontos de descontinuidade,
fazendo um estudo do sinal da função (onde ela é zero, positiva e negativa) e determine as assı́ntotas horizontais
e verticais
Exercı́cio 18 Seja f a função definida por
f (x) =
x2 + 3x + 2
x
.
A função f possui assı́ntotas (horizontais, verticais e oblı́qua)? Quais são? Justifique.
Exercı́cio 19 Verifique se a função dada é contı́nua para o valor de x=-2.
f (x) =

x2 − 1
x + 2
se x < −1;
x2 − 3 se x ≥ −1.
Exercı́cio 20 Encontre o valor da constate a para o qual a função dada seja contı́nua em x = 0.
f (x) =

√
1 + x − 1
x
se x ∈ [−1, 0) ∪ (0,+∞);
a se x = 0.
Exercı́cio 21 Encontre as constantes a e b de forma que a função seja contı́nua em toda a reta real.
(a) f (x) =
 x3 se x ≤ 2;ax2 se x > 2. (b) f (x) =

2 se x ≤ −1;
ax + b se − 1 < x < 3;
−2 se x ≥ 3.
(c) f (x) =

2ax − b, se − 5 ≤ x < −1;
x2 , se − 1 ≤ x ≤ +1;
ax + 2b, se + 1 < x ≤ +5.
(d) f (x) =
 −x + 1 se x ≤ 3;ax − 8 se x > 3.
(e) f (x) =
 x + 1 se x < 1;2x + a se x ≥ 1. (f) f (x) =

2x + 1, se x ≤ 3,
ax + b, se 3 < x < 5,
x2 + 2, se x ≥ 5,
4
Exercı́cio 22 Encontre os valores das constantes a e b para que a função
f (x) =

ax + b, se − 1 ≤ x ≤ 0 ;√
sen(x)
x
, se 0 < x < π ;
x + a, se π ≤ x ≤ 2π .
seja contı́nua no intervalo [−1, 2π].
Exercı́cio 23 Diga em quais intervalos as funções abaixo são contı́nuas?
(a) f (x) =
1
x − 2
− 3x (b) f (x) =
1
(x + 2)2
+ 4 (c) f (x) =
x + 1
x2 − 4x + 3
(d) f (x) =
x + 3
x2 − 3x + 10
(e) f (x) = |x − 1| + sen (x) (f) f (x) =
1
|x| + 1
−
x2
2
Exercı́cio 24 Em quais intervalos as funções abaixo são contı́nuas?
(a) f (x) =
x + 1
x2 −4x + 3
(b) f (x) =
x + 3
x2 − 3x − 10
(c) f (x) =
cos (x)
x
(d) f (x) =
x + 2
cos (x)
(e) f (x) =
√
2x + 3 (f) f (x) = 4
√
3x − 1
Exercı́cio 25 Calcule algebricamente, lim
x→4
sen(2 −
√
x)
x − 4
.
Exercı́cio 26 Mostre que f (x) = 3
√
8x
π
+
π cos(x)
x + π
− sen(x) −
5
4
possui pelo menos uma raiz no intervalo (0, π).
Exercı́cio 27 Mostre que existe uma raiz da equação dada abaixo no intervalo especificado.
(a) 3
√
x + x = 1 ; (0, 1) (b) x4 + x = 3 ; (1, 2) (c) x3 + 3x2 = 1 ; (0, 2)
(d) −x11 + 3x8 = 100π ; (−∞,+∞) (e) x3 − 15x + 1 = 0 ; [−4, 4]
(f) 3
√
8x
π
+
π cos(x)
x + π
= sen(x) +
5
4
; (0, π)
Exercı́cio 28 Seja f : [a, b]→ R uma função contı́nua tal que f (a) = f (b). Mostre que a função definida por
g(t) = f
(
t +
b − a
2
)
− f (t)
possui pelo menos uma raiz para algum ponto no intervalo
[
a, a+b2
]
. Justifique sua resposta.
Exercı́cio 29 Mostre que a função F(x) = (x − a)2.(x − b)2 + x assume o valor
a + b
2
para algum valor de x.
5