Aula - Intervalos Reais

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EEB DOM FELÍCIO CÉSAR DA CUNHA VASCONCELOS
PROFESSOR: CLEITON FORNARI
DISCIPLINA: MATEMÁTICA
TURMA: 1° SÉRIE E.M.
𝑥 + 𝑎 𝑛 = ෍
𝑘=0
𝑛
𝑛
𝑘
𝑥𝑘𝑎𝑛−𝑘
𝑓 𝑥 = 𝑎0 +෍
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 cos
𝑛𝜋𝑥
𝐿
+ 𝑏𝑛 sin
𝑛𝜋𝑥
𝐿
cos𝛽 cos
1
2
𝛼 − 𝛽
ORIENTAÇÕES:
• Vamos seguir a sequência do conteúdo conforme iriamos trabalhar em sala;
• Nestes slides temos o conteúdo para as próximas cinco aulas, então vocês tem até sexta-feira,
dia 17/04, para estudar e me enviar foto das atividades;
• Estudem com calma e sem pressa, para um bom entendimento, necessita-se de uma boa
leitura e uma boa interpretação.
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Caderno
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anotações no 
caderno.
Os Slides que estiverem com está figura, significa que é para copiar o
conteúdo no caderno.
Copiar no caderno também, porém não precisam copiar tudo o que está
no slide, apenas o que compreenderem ou o que acharem suficiente para
o entendimento do que está sendo explicado no Slide.
Seguir as orientações em cada Slide.
Do que vou querer fotos: Das atividades que vocês tem que resolver no Caderno. 
Enviar foto para o professor.
Qualquer dúvida ou questionamento
sobre a atividade é só me chamar. No
Google Sala de Aula ou pelo
WhattsApp (49 9 99307747).
CONTEÚDO:
INTERVALOS REAIS
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Caderno
• Os intervalos reais são subconjuntos dos números Reais. Como entre dois números
distintos quaisquer há infinitos números, seria impossível listar todos os elementos
destes subconjuntos. Por isso, os Intervalos Reais são caracterizados por
desigualdades, englobando assim todos os elementos dentro do intervalo.
• INTERVALO REAL, em Matemática, nada mais é do que um conjunto em que há 
um número real entre dois extremos indicados, podendo ou não conter aqueles 
extremos. 
Dados dois números Reais “a” e “b”, sendo (a < b), chama-se, Intervalo a todo 
conjunto com todos os números compreendidos entre “a” e “b”, podendo incluir ou 
não “a” e “b”.
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Caderno
RETA DOS NÚMEROS REAIS
Inicialmente podemos pensar
na Reta dos Números Reais, ou
seja, expressamos todos os
números do Conjunto dos Reais
em uma Reta, sabendo que ela
tende ao infinito em ambos os
lados.
Observação
Infinito: Algo imenso; incalculável, imensurável. Que não tem limite, ou seja, 
“infinito”. Símbolo que utilizamos para representar o infinito: ∞
+∞- ∞
• Pensando no que diz a definição: 
Temos que: { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } = [a, b]
• Quando expressamos um intervalo desta forma
chamamos de: Representação Algébrica
• Notação: Forma em que 
apresentamos/escrevemos os 
Intervalos Reais. 
• Agora expressando o Intervalo Real
na Reta Real temos a seguinte
representação Geométrica:
Representação Geométrica:
Neste caso a representação Geométrica está apresentando
os números compreendidos entre a e b, incluindo a e b, na
reta Real.
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Caderno
• Vamos ter um intervalo fechado quando os números representados por “a” e “b” no exemplo,
pertencerem ao intervalo. Ou seja, se tivermos os sinais de ≤ (menor que ou igual a) ou ≥ (maior
que ou igual a) na Representação Algébrica.
• Para representar o intervalo fechado utilizamos os colchetes fechados (Ex: [a, b] ).
• E na Representação Geométrica utilizamos a bolinha cheia ou seja uma bolinha toda preenchida
como no exemplo abaixo..
Intervalo Fechado
Observação:
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anotações no 
caderno.
Intervalo Aberto
• Vamos ter um intervalo aberto quando os números representados por “a” e “b” não estiverem
contidos no intervalo. Ou seja, se tivermos os sinais de < (menor que) ou > (maior que) na
Representação Algébrica.
• Para representar o intervalo aberto utilizamos os colchetes abertos (Ex: ]a, b[ ).
• E na Representação Geométrica utilizamos a bolinha vazia ou seja uma bolinha sem
preenchimento como no exemplo abaixo.
Realizar 
anotações no 
caderno.
Intervalo Abertos e Fechados
• Também podemos ter intervalos com uma das extremidades aberta e a outra fechada
como nos exemplos a seguir:
• Notem as diferentes representações dos intervalos, na notação escrita com a utilização dos
colchetes, na representação algébrica a utilização dos sinais, e na representação geométrica a utilização das
bolinhas abertas e fechadas.
Realizar 
anotações no 
caderno.
Intervalos Ilimitados
Ou seja que tendem 
ao infinito.
Observe como expressamos 
os intervalos ilimitados, neste 
caso o intervalo é fechado em 
“a”, ou seja, a pertence ao 
intervalo. E este intervalo é 
ilimitado à esquerda, desta 
maneira, ele tende ao -∞ 
(menos infinito). 
Observe que neste exemplo o intervalo aberto é para direita, tendendo 
ao + ∞ (mais infinito). 
Realizar 
anotações no 
caderno.
Agora vamos praticar o que aprendemos até aqui!?
Exemplos:
Represente os Intervalos a seguir de forma Geométrica e Algébrica:
• Ex.1) [-3, 5]
Resposta: Forma Algébrica  { x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 5 }
Forma Geométrica 
Ex.2) ]2, 9[
Resposta:
Forma Algébrica  { x ∈ R / 2 < x < 5 }
Forma Geométrica 
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exemplos/atividades 
no Caderno
Ex.3) ] -∞, -4 ]
Resposta: Forma Algébrica  { x ∈ R / x ≤ -4 }
Forma Geométrica 
No exemplo 1 temos que o intervalo é fechado, pois os
colchetes estão fechados, desta maneira já sabemos
que o -3 e o 5 pertencem ao intervalo, então para
representar na forma algébrica escrevemos da seguinte
forma: { x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 5 } e para representar na
forma geométrica utilizamos a bolinha fechada
(preenchida).
No exemplo 3 temos o intervalo é ] -∞, -4 ], ou
seja, temos o extremo -4, que pertence ao
intervalo pois esta representado com o colchete
fechado, e que tende ao menos infinito, desta
maneira a representação algébrica fica a
seguinte: { x ∈ R / x ≤ -4 }  Porque? Porque o x
sendo menor que ou igual a -4, consideramos que
qualquer número nessa condição pertence ao
intervalo, ou seja, tendendo ao infinito.
Já na forma geométrica utilizamos a bolinha
fechada para representar o -4, pois ele está contido
no intervalo.
Escreva o Intervalo correspondente:
Ex.3)
Resposta: [ -3, 9 [
Ex. 4)
Resposta: ] -∞, 7 [
Ex. 5)
Resposta: [ 4, +∞ [
Podemos perceber na representação geométrica que o - 3
está com a bolinha preenchida, representando assim
intervalo fechado, de maneira que o -3 pertence ao
intervalo, já no 9 temos a bolinha vazia, representando,
intervalo aberto, ou seja o 9 não pertence ao intervalo.
Desta maneira o intervalo é escrito desta forma: [-3, 9[
Aqui temos um intervalo ilimitado, ou seja, que tende ao
infinito, e neste caso tende ao menos infinito. O 7 com a
bolinha aberta representa que ele não pertencente ao
intervalo. Desta maneira o intervalo é escrito desta forma:
] -∞, 7 [
Realizar 
atividades no 
Caderno
ATIVIDADES:
1) Represente os intervalos a seguir de forma Geométrica e de Forma Algébrica:
a) ] -5, √3 ]
b) ] -∞, 4 ]
c) [10, + ∞ [
d) ] -3, -2]
e) [0, + ∞[
f) ]-7, 8 [
g) ]9, + ∞ [
h) ]-7, 8 [ U ]9, + ∞ [
Símbolo de União (Obs: União entre os intervalos)
Realizar 
atividades no 
Caderno
Enviar foto para o professor.
ATIVIDADES RETIRADAS DO LIVRO:
Realizar 
atividades no 
Caderno
Enviar foto para o professor.
Realizar 
atividades no 
Caderno
Enviar foto para o professor.
Continuando o 
conteúdo. Copiar 
no caderno. 
Título.
• Estudamos em tópicos anteriores que algumas operações podem ser realizadas com
conjuntos. Como os intervalos reais são subconjuntos de R, também podemos realizar
operações com intervalos.
Operações com Intervalos:
Realizar 
anotações no 
caderno.
De novo isso de 
União e 
Intersecção!!!??? 
Sim 
UNIÃO DE INTERVALOS
Inicialmente traçamos a reta que 
representa o intervalo A e a reta do 
intervalo B. Depois fazemos um reta 
para A U B. Assim, observando sabemos 
que a União entre os intervalos são 
todos os elementos que compõe os dois 
intervalos. Observem o exemplo.
Porque na A U B o 3 ficou com a
bolinha fechada? Sabemos que o 3
não esta no intervalo B, mas ele está
no intervalo A, desta forma ele fazparte de A U B e para representar
utilizamos a bolinha fechada.
Realizar 
anotações do 
exemplo no 
caderno.
INTERSECÇÃO DE INTERVALOS
Seguindo o mesmo procedimento da 
União, porém agora vamos fazer a 
intersecção entre os intervalos, ou seja, 
os elementos que pertencem ao dois 
intervalos dados. 
Indico fazerem este 
traçado quando 
realizam estás 
operações, fica mais 
fácil de interpretar.
Realizar 
anotações do 
exemplo no 
caderno.
DIFERENÇA ENTRE INTERVALOS
Realizar 
anotações do 
exemplo no 
caderno.
Com a diferença seguimos o mesmo 
processo, primeiro traçamos os 
intervalos A e B, depois olhamos a 
diferença entre eles. Se queremos A -
B, queremos todos os elementos que 
pertencem a A, mas não pertencem a B.
Note que A – B ficou com a bolinha fechada no
intervalo, porque? Pois o 1 pertence ao intervalo A,
mas não pertence ao intervalo B. E como queremos
os elementos que pertencem a A mas não pertencem
a B, então o 1 pertence ao intervalo A-B.
EXEMPLO DO LIVRO PARA CONHECIMENTO
Não precisam 
anotar este 
exemplo no 
caderno. É 
apenas para 
ajudar na 
compreensão 
das operações.
EXERCÍCIOS
Responder 
no caderno.
Enviar foto para o professor.
Responder 
no caderno.
Enviar foto para o 
professor.
• Link de Vídeos sobre o conteúdo que podem auxiliar na compreensão.
• Ferretto Matemática:
<HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=OPACJHL_MLY&T=39S>;
• Matemática no Papel: <HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=HVNSXQIHAHA>
Dúvidas estou a disposição.
Bons Estudos!!! 
https://www.youtube.com/watch?v=OPACJhL_mLY&t=39s
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https://www.youtube.com/watch?v=HvNSxQIhAHA
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