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Conjuntos
Prof. Aleksandro de Mello
Descrição Noção da linguagem básica de conjuntos e das operações entre
conjuntos e entre intervalos da reta. A teoria de conjuntos aplicada à
resolução de problemas.
Propósito Compreender a teoria de conjuntos, trabalhando com vários tipos de
conjuntos e de operações entre eles a fim de aplicar esses
conhecimentos na solução de problemas do cotidiano.
Preparação Tenha em mãos: calculadora, papel, lápis, caneta. Você pode também
utilizar um aplicativo de desenho, como a ferramenta Paint, por
exemplo.
Objetivos
Módulo 1
Linguagem dos conjuntos
Compreender a linguagem dos conjuntos.
Módulo 2
Operações entre os
conjuntos
Identificar as operações realizadas entre
conjuntos.
Módulo 3
Operações entre os
intervalos da reta
Resolver operações entre intervalos da reta.
Módulo 4
Conjuntos e problemas do
cotidiano
Resolver problemas do cotidiano utilizando
conjuntos.
Introdução
Conheceremos os conceitos básicos para o entendimento da linguagem de
conjuntos. Veremos como relacionar elementos a conjuntos e como
comparar conjuntos. Aprenderemos as principais operações entre
conjuntos e como resolver cada uma delas utilizando as representações de
conjuntos e algumas propriedades dessas operações. Também vamos
identificar, geometricamente, quais operações foram realizadas.
Outro conteúdo básico e fundamental para a Matemática que
trabalharemos neste tema são as operações envolvendo os intervalos da
reta real. Para alguns conjuntos particulares, as representações
geométricas na reta real são a melhor maneira de desenvolver as
operações. Por isso, vamos listar os tipos de intervalos que a reta real
possui e representá-los nas três principais formas de visualização.
E, por fim, vamos dar sentido a todo esse aprendizado: veremos várias
aplicações do conteúdo estudado aqui em problemas do dia a dia e em
questões cobradas em concursos.

1 - Linguagem dos conjuntos
Ao final deste módulo, você será capaz de compreender a linguagem dos conjuntos.
Noções básicas da teoria de
conjuntos
Neste módulo e nos demais, você perceberá um padrão na apresentação do
conteúdo. Escolhemos esse caminho porque acreditamos ser o mais eficiente
para que você:

Conheça o conceito
matemático por meio de
definições e notações.

Perceba a aplicabilidade do
conceito com um ou mais
exemplos.
Definição 1
Dizemos que um elemento x pertence ao conjunto A quando x é um dos
componentes do conjunto A. Em outras palavras:
Elemento x perternce ao
conjunto A
Quando “está dentro” do
conjunto.
Elemento x não pertence ao
conjunto A
Quando não “está dentro”
do conjunto.
Note que, na teoria de conjuntos, é comum utilizarmos letras maiúsculas para
representarmos os conjuntos (exemplo: A, B, C, X, Y,…) e letras minúsculas para
representar os elementos do conjunto (exemplo: a, b, c, x, y,…). Daqui para frente,
utilizaremos as seguintes notações básicas de pertinência:
 (lê-se: pertence a A) quando é um elemento de A.
 (lê-se: não pertence a A) quando não é um elemento de .
Vejamos um exemplo para entendermos a definição e a notação acima.


x ! A x x
x " A x x A
Exemplo 1
Considerando o conjunto A={−2, 0, 1, 4}, podemos afirmar que:
, pois estes elementos estão no conjunto 
.
Qualquer outro número diferente dos listados anteriormente não está no
conjunto A, por exemplo: -4 A, . Assim, podemos
escrever resumidamente que: se é diferente de -2, 0,1 e 4 , então A.
É importante destacar os principais tipos de representação que podemos ter de
um conjunto:
Conjunto
Representação por extensão
#2 ! A, 0 ! A, 1 ! A, 4 ! A
A
" #1 " A, 2 " A
x x "
Nesse tipo de representação, listamos todos os elementos do conjunto
explicitamente, como fizemos no exemplo 1. Tal representação também
descreve conjuntos infinitos, como o dos números naturais: 
.
Representação por compreensão
Neste tipo de representação, os elementos do conjunto são determinados por
uma propriedade específica do conjunto.
Exemplo 2
Observe os seguintes conjuntos:
. Lê-se: A é o conjunto dos números que são
naturais e menores do que 4 . Logo, o conjunto A pode ser representado
explicitamente por:
A = {0, 1, 2, 3}.
. Lê-se: B é o conjunto dos números que são
inteiros e menores do que 4. Fique atento ao conjunto como um todo, pois
apesar de o conjunto B possuir a mesma propriedade do conjunto , (que
é: ), no conjunto estamos considerando , e não apenas 
 (como no conjunto ). Logo, o conjunto B pode ser representado
explicitamente por:
B = {…,−2, −1, 0, 1, 2, 3}.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
A = {x ! N $ x < 4} x
B = {x ! Z $ x < 4} x
A
x < 4 B x ! Z
x ! N A
Representação por figuras
Neste caso, representamos os conjuntos através de figuras como mostra a
imagem a seguir.
A figura anterior é uma representação gráfica do conjunto A = {−1, 1, 3, 5}.
Curiosidade
A representação de conjuntos através de figuras é chamada de diagrama de
Venn, em homenagem a John Venn, que criou esse diagrama para facilitar o
entendimento das operações entre conjuntos, conforme veremos no próximo
módulo.
Definição 2: Igualdade de
conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Dizemos que os conjuntos A e B são
iguais se eles possuem exatamente os mesmos elementos. Nesse caso,
escreveremos:
A = B.
No caso em que não vale a igualdade, escreveremos:
A ≠ B,
Isso significa que algum desses conjuntos possui um elemento que não
pertence ao outro conjunto.
Definição 3: Subconjuntos
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Dizemos que A é um subconjunto de B,
(ou que A está contido em B) se todo elemento de A também é um elemento de
B, ou seja:
O símbolo na matemática é lido como: somente se.
Logo, escreveremos:
Caso contrário, ou seja, se existe algum elemento de A que não está em B,
dizemos que A não está contido em B e representamos por:
x ! A % x ! B
%
A & B.
A &' B.
A notação de subconjunto também pode ser expressa da seguinte
maneira:
Quando , podemos também escrever essa expressão da forma:
Utilizando o diagrama de Venn, podemos visualizar (o mesmo que 
 ): como mostra a figura:
Vejamos os exemplos a seguir para entender esses conceitos.
Exemplo 3
A & B
B ( A()Lê-se: B contém A).)
A &' B
B (' A()Lê-se: B não contém)A).)
A & B
B ( A
Observe os conjuntos A = {1, 3, 4, 7} e B = {7, 1, 3,4}.
Esses conjuntos são iguais, A = B, pois não importa a disposição dos
elementos no conjunto para a análise de igualdade.
Além disso, também podemos perceber que valem as duas inclusões:
 e , pois todo elemento de está em e vice-versa. Essas
inclusões poderiam ser reescritas como:
Observe que combinando as definições 2 e 3, podemos destacar uma das
propriedades dos conjuntos que é:
Exemplo 4
Agora observe os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {…, −2, −1, 0, 1, 2, 3} vistos no
exemplo 2.
Note que , pois B possui elementos que não estão em , por
exemplo, , mas .
O mesmo argumento também garante que , ou seja, não está contido
em . Outra forma de escrever seria: , ou seja, não contém .
Mas, como pode ser visto facilmente, todo elemento de A está em B, ou
seja, A é um subconjunto de B: A B. Outra forma de escrever essa
inclusão seria: .
A & B B & A A B
B ( A ! A ( B
A = B)se, e somente se,)A & B)e)B & A.)
A * B A
#2 ! B #2 " A
B &' A B
A A (' B A B
&
B ( A
Definição 4
Seja A um conjunto. Dizemos que A é:
Um conjunto unitário se A possui um único elemento.
Um conjunto vazio se A não possui nenhum elemento.
Portanto, representamos A = { } ou A = Ø.
Exemplo 5
Considere os seguintes conjuntos: e 
Note que A é um conjunto vazio, , pois não existe tal que 
.
Já o conjunto é um conjunto
unitário.
Atenção!
Dado qualquer conjunto , sempre vale que .
Conceitos matemáticos
A = {x ! N $ x < #2}
B = {x ! Z $ #6 < x < #4}
A = + x ! N
x < #2
B = {x ! Z $ #6 < x < #4} = {#5}
A ! & A

Neste vídeo o professor Sandro Davison apresentará outros exemplos desses
conceitos matemáticos. Vamos assistir!
Neste módulo, vocêaprendeu quatro definições básicas da Matemática acerca
dos conjuntos, especificamente a linguagem dos conjuntos. Sem esse
conhecimento, não seria possível avançarmos para o conteúdo que nos aguarda
nos módulos seguintes.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere os conjuntos 
 e 
Avaliar as seguintes afirmativas:
I) A=B
II) 
III) B é um conjunto vazio
A = {x ! Z $ 5x + 4 , 3x + 8},
B = {x ! N $ 2x # 5 < x # 4} C = {x ! Z $ #2 , x < 2}.
B & C
Parabéns! A alternativa B está correta.
Vamos escrever os conjuntos de maneira explícita para podermos avaliar as
alternativas.
Para x ser um elemento de A, ele deve satisfazer as seguintes condições:
Logo, A = {…,−1, 0, 1, 2}.
Para x ser um elemento de B, ele deve satisfazer as seguintes condições:
Logo, B = {0}.
E o conjunto 
A I e II corretas.
B Somente II correta.
C II e III corretas.
D Somente III correta.
E I e III corretas.
x ! Z = {… , #2, #1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
5x + 4 , 3x + 8 % 5x # 3x , 8 # 4 % 2x , 4 % x , 2
x ! N = {0, 1, 2, 3, …}
2x # 5 < x # 4 % 2x # x < #4 + 5 % x < 1
C = {x ! Z $ #2 , x < 2} = {#2, #1, 0, 1}.
1. Como podemos ver, 
Logo, é o mesmo que 
2. Vimos no segundo item, 
3. Claramente, 
4. Note que Logo, vale que e que
Questão 2
Sejam A, B, C e D conjuntos não vazios. Analise o diagrama a seguir:
Podemos afirmar que:
C = {#2, #1, 0, 1} & A = {… , #1, 0, 1, 2}.
C & A A ( C.
B = {0}.
B = {0} & A = {… , #1, 0, 1, 2}.
B = {0} & C = {#2, #1, 0, 1}. B & C
C ( B.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Note que em cada alternativa temos duas opções para analisar.
1. Pelo diagrama, podemos perceber que vale mas a afirmação 
 é falsa. Logo, esta alternativa está incorreta.
2. Aqui, temos que a afirmação é verdadeira, mas a afirmação 
 (B contém C) é falsa. 0 correto seria C B ou B C. Então, esta
alternativa está incorreta.
3. Ambas as afirmações são verdadeiras: e Portanto, esta
é a alternativa correta.
4. afirmação é verdadeira, mas é falsa, pois é um
subconjunto de Logo, vale que ou C. Logo, essa
alternativa está incorreta.
A e A & C D ( B
B e B ( C D &' A
C e C ( D B & A.
D e D &' A C /B
E e D ( B D &' A
A & C,
D ( B
D &' A
B ( C ( &
C ( D B & A.
A D &' A C (' B B
C. C ( B B &
2 - Operações entre os conjuntos
Ao final deste tópico, você será capaz de identificar as operações realizadas entre conjuntos.
Operações entre conjuntos
Vimos, no módulo anterior, as definições que caracterizaram a linguagem dos
conjuntos. Agora partiremos para o segundo passo de nosso estudo: as
operações entre conjuntos. Utilizaremos as representações vistas anteriormente
para resolver essas operações, identificando algumas de suas propriedades para
reconhecer geometricamente quais operações foram realizadas.
Seguiremos nosso mesmo modelo de apresentação do conteúdo: definição e
exemplificação.
Definição 1
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Definimos:
1. A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos
que pertencem a A ou a B, que representamos por:
2. A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os
elementos que são comuns a A e a B simultaneamente, ou seja, é o
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e também
pertencem a B. Esse conjunto é representado por:
3. A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os
elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Esse conjunto
é representado por:
No caso particular, onde , a diferença chama-se complementar
de em e escrevemos:
A - B = {x $ x ! A)ou)x ! B}.
A . B = {x $ x ! A ! x ! B}
A # B = {x $ x ! A ! x " B}
B & A A # B
B A
C B
A
= A # B = {x $ x ! A ! x " B}.
4. O produto cartesiano A × B é o conjunto formado por todos os pares
ordenados da forma (x,y), onde x ∈ A e y ∈ B. Esse conjunto é representado
por:
Vejamos alguns exemplos para entendermos tais conceitos.
Exemplo 1
Considere os conjuntos A = {0, 1, 3} e B = {−1, 0, 2, 3}. Vamos calcular:
Na união, tomamos todos os elementos que aparecem em cada conjunto.
Logo:
 ou 
Note que ou .
Como veremos posteriormente, sempre vale .
Na interseção, tomamos apenas os elementos em comum. Portanto:
 e 
A / B = {(x, y) $ x ! A ! y ! B}.
A - B, A . B, A # B, B # A, A / BeB / A
A - B = {x $ x ! A x ! B} = {#1, 0, 1, 2, 3}
B - A = {x $ x ! B x ! A} = {#1, 0, 1, 2, 3} = A - B
A - B = B - A
A . B = {x $ x ! A x ! B} = {0, 3}
Note que e 
Como veremos posteriormente, sempre vale .
Na diferença, tomamos apenas os elementos do primeiro conjunto que não
estão no segundo conjunto. Assim:
Note que , ou seja, nem sempre vale a igualdade.
No produto cartesiano, tomamos todos os pares ordenados, sendo que a
primeira coordenada pertence ao primeiro conjunto (conjunto da esquerda)
e a segunda coordenada pertence ao segundo conjunto (conjunto da
direta). Veja:
Como A = {0, 1, 3} e B = {−1, 0, 2, 3}, então:
Enquanto:
B . A = {x $ x ! B x ! A} = {0, 3} = A . B
A . B = B . A
(A # B) = {x $ x ! A)e)x " B} = {1}
(B # A) = {x $ x ! B)e)x " A} = {#1, 2}
A # B * B # A
A / B = {(x, y) $ x ! A)e)y ! B} =
= {(0, #1), (0, 0), (0, 2), (0, 3),
(1, #1), (1, 0), (1, 2), (1, 3), (3, #1),
(3, 0), (3, 2), (3, 3)}.
Note que , ou seja, nem sempre vale a igualdade.
Veja mais um exemplo envolvendo essas operações com três conjuntos
envolvidos.
Exemplo 2
Considere os conjuntos e 
. Calcule as seguintes operações:
Primeiramente, vamos explicitar os conjuntos para facilitar nossas operações:
B / A = {(x, y) $ x ! B)e)y ! A} =
= {(#1, 0), (#1, 1), (#1, 3), (0, 0),
(0, 1), (0, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 3),
(3, 0), (3, 1), (3, 3)}.
A / B * B / A
A = {x ! Z $ x , 4}, B = {x ! Z $ x > #2}
C = {x ! N $ x < 7}
A # (B . C), (A . B) # C, (A - C) . B, (B # A) - C
A = {x ! Z $ x , 4} = {… # 3, #2, #1, 0, 1, 2, 3, 4}
B = {x ! Z $ x > #2} = {#1, 0, 1, 2, …}
C = {x ! N $ x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Agora vamos realizar as operações desejadas.
Para solucionar - , primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
 e após .
Observando os conjuntos dados, temos que:
 Note que 
Logo:
Para solucionar , primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
Observando os conjuntos dados, temos que:
Logo:
A (B . C)
B . C A # (B . C)
B . C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} = C. ( C & B)
A # (B . C) = {… , #3, #2, #1}
(A . B) # C
A . B)e após)(A . B) # C.)
A . B = {#1, 0, 1, 2, 3, 4}
(A . B) # C = {#1}
Para solucionar , primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
Observando os conjuntos dados, temos que:
Logo:
Para solucionar , primeiro resolvemos a parte entre
parênteses separadamente, ou seja:
Observando os conjuntos dados, temos que:
Logo:
(A - C) . B
A - C)e após)(A - C) . B.
A - C = {… , #2, #1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(A - C) . B = {#1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(B # A) - C
B)- A e após)(B # A) - C.)
B # A = {5, 6, 7, …}
(B # A) - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
Note que as operações anteriores foram realizadas utilizando a forma explícita
dos elementos de cada conjunto envolvido. Mas, dependendo dos conjuntos
envolvidos, essa representação pode não ser conveniente.
Assim, vamos analisar agora outra forma de trabalhar com esses conjuntos,
utilizando figuras no diagrama de Venn.
Observe que, geometricamente, dados dois conjuntos A e B, podemos
representar a união, a interseção e a diferença pelos diagramas abaixo:
No caso particular em que , a diferença é representada
por:
Quando temos três ou mais conjuntos envolvidos, nossa representação
geométrica fica similar ao que realizaremos no exemplo a seguir.
Exemplo de representação geométrica
B & A A # B = C AB

Assista ao exemplo no vídeo:
Nos exemplos, desenvolvemos várias operações entre os conjuntos, mas
existem muitas outras que podem ser realizadas, conforme veremos
posteriormente. Agora, vamos listar algumas das principais propriedades que
envolvem as operaçõesentre conjuntos.
Propriedades dos conjuntos
Propriedades da união
Dados os conjuntos A, B, C e D, temos:
1. .
2. .
3. , ou seja, a operação união é comutativa.
4. , ou seja, a operação união é associativa.
5. e .
s. .
A - ! = A
A - A = A
A - B = B - A
(A - B) - C = A - (B - C)
A & B C & D % (A - C) & (B - D)
A - B = A 0 B & A
Propriedades da interseção
Dados os conjuntos A, B, C e D, temos:
1. .
2. 
3. , ou seja, a operação união é comutativa.
4. , ou seja, a operação união é associativa.
5. e .
s. .
Na linguagem matemática significa: se, somente se.
Propriedades da diferença
A . ! = A
A . A = A
A . B = B . A
(A . B) . C = A . (B . C)
A & B C & D % (A . C) & (B . D)
A . B = A 0 B & A
0
Considere os conjuntos e tais que . Temos:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
s. .
7. .
Você deve se lembrar que essas propriedades, como tantas outras afirmações
no campo da Matemática, não são meras determinações de algum cientista
matemático. Todas as propriedades podem ser provadas algebricamente.
No entanto, por conta do objetivo de nosso módulo, mostraremos
geometricamente a validade de algumas das propriedades apresentadas.
Vejamos a propriedade 5 da união e a propriedade 5 da interseção: em
ambas, temos que A e C . Isso pode ser representado
geometricamente na seguinte figura:
Assim, temos que:
A, B X A, B & X
A # ! = A
A # A = !
A # B = ! 0 A & B
A # B = A # (A . B)
A & B 0 C BX & C
A
X
C A-BX = C
A
X . C
B
X
C A.BX = C
A
X - C
B
X
& B & D
Isso nos mostra que .
E o diagrama a seguir nos mostra que .
A propriedade 4 da diferença pode ser vista da seguinte maneira:
representando os conjuntos A e B pelo diagrama, podemos observar que:
(A - C) & (B - D)
(A . C) & (B . D)
Para a propriedade 5 da diferença, temos que e que . Isso
pode ser representado por:
Assim, temos que:
Logo, nos mostra que .
Com essas propriedades, podemos explorar outros conceitos envolvendo
conjuntos, como, por exemplo, a quantidade de elementos que um conjunto
possui.
Saiba mais
Se você quiser ver as demonstrações dessas propriedades, confira o capítulo 1
do livro Curso de Análise v.1 (2007), de Elon Lages Lima.
Definição 2
A, B & X A & B
C BX & C
A
X
Seja A um conjunto finito qualquer (ou seja, um conjunto que possui uma
quantidade finita de elementos), a quantidade de elementos que o conjunto A
possui é denotada por:
Em algumas bibliografias, o número de elementos de um conjunto A é denotado
por #A.
Antes de vermos o exemplo que nos ajudará a compreender esse conceito,
queremos levantar dois questionamentos, os quais serão respondidos mais à
frente:
Dados dois conjuntos A, B quaisquer:
1. Será que vale ?
2. Será que vale ?
Vejamos agora um exemplo para nos ajudar a entender o conceito de n(A) e a
responder nosso questionamento.
Exemplo 3
Considere os conjuntos A = {−2, 1, 3, 4} e B = {−1,1, 3}. Calcule:
n(A).
n(A - B) = n(A) + n(B)
n(A # B) = n(A) # n(B)
n(A), n(B), n(A - B), n(A . B), n(A # B))e)n(B # A)
Note que:
n(A) = 4, pois o conjunto A possui 4 elementos.
n(B) = 3, pois o conjunto B possui 3 elementos.
Para responder aos demais questionamentos, vamos, primeiramente, determinar
o que são os conjuntos:
Sendo A = {−2, 1, 3, 4} e B = {−1, 1, 3}, então:
Então, você já pode responder aos nossos questionamentos?
Relembrando:
Dados dois conjuntos A, B quaisquer:
Será que vale n(A ∪ B) = n(A) + n(B)?
Será que vale n(A − B) = n(A) − n(B)?
Utilizando o exemplo 3, podemos perceber que:
 e 
A - B, A . B, A # B ! B # A
A - B = {#2, #1, 1, 3, 4}, logo, n(A - B) = 5
A . B = {1, 3}, logo, n(A . B) = 2
A # B = {#2, 4}, logo, n(A # B) = 2
B # A = {#1}, logo, n(B # A) = 1
n(A - B) * n(A) + n(B) n(A # B) * n(A) # n(B)
Portanto, as perguntas 1 e 2 realizadas anteriormente têm resposta negativa, ou
seja, nem sempre valem as igualdades apresentadas nos questionamentos.
Propriedades de n(A)
Utilizando as propriedades das operações vistas anteriormente, vamos
apresentar algumas das principais propriedades para a quantidade de
elementos de um conjunto.
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então, valem as seguintes propriedades:
1. .
2. .
3. 
4. Se então .
Observe que, para entendermos essas propriedades, vamos relembrar os
diagramas vistos anteriormente que representam as operações entre os
conjuntos A e B:
n(A - B) = n(A) + n(B) # n(A . B)
n(A # B) = n(A) # n(A . B)
n(B # A) = n(B) # n(A . B)
B & A1 n(C BA ) = n(A # B) = n(A) # n(B)
A propriedade decorre do fato
que, quando fazemos quantidade de elementos 
 da interseção é contada duas vezes (uma vez em e outra
em .
A propriedade decore da propriedade 4
da diferença de conjuntos, pois .
A propriedade também decore da
propriedade 4 da diferença de conjuntos, pois .
A propriedade 4 é dada por: se , então 
.
E pode ser interpretada pelo seguinte diagrama:
Exemplo de propriedades de n(A)
Veja agora alguns exemplos envolvendo essas propriedades.
n(A - B) = n(A) + n(B) # n(A . B)
n(A) + n(B), a
n(A . B) n(A)
n(B)
n(A # B) = n(A) # n(A . B)
A B = A # (A . B)
n(B # A) = n(B) # n(A . B)
B # A = B # (A . B)
B & A
n(C BA ) = n(A # B) = n(A) # n(B)

Observe que a operação de produto cartesiano tem mais aplicabilidade
geométrica quando trabalhamos com produto cartesiano entre intervalos da
reta. Isso será visto com mais detalhes no próximo módulo.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(UFSM-RS) Dados os conjuntos 
 e produto dos
elementos que formam o conjunto é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Inicialmente, vamos colocar os conjuntos de maneira explícita para podermos
manuseá-los mais facilmente:
Para descobrir - C, primeiro resolvemos os parênteses, ou seja:
A = {x ! N $ x)é ímpar},
B = {x ! Z $ #2 < x , 9} C = {x ! Z $ x 1 5}, 0
(A . B) # C
A 1
B 3
C 15
D 35
E 0
A = {x ! N $ x)é ímpar} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}.
B = {x ! Z $ #2 < x , 9} = {#1, 0, 1, 2, … , 9}.
C = {x ! Z $ x 1 5} = {5, 6, 7, 8, …}.
(A . B)
A . B = {1, 3, 5, 7, 9}
Agora fazemos
Portanto, o produto dos elementos de
 é 
Questão 2
Dados os conjuntos A, B e C não vazios, considere o diagrama:
A parte hachurada pode ser representada por:
(A . B) # C = {1, 3, 5, 7, 9} # {5, 6, 7, 8, …} = {1, 3}.
(A . B) # C = {1, 3} 1 / 3 = 3.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja que o diagrama não está hachurado. Isso significa que não está
fazendo parte do conjunto, assim temos:
É necessário colocar o , pois existem elementos de que em interseção
com o , e elementos de em interseção com o , e mesmo esses
elementos em interseção, não adentram em nosso conjunto, representado
pela área hachurada.
A (A . C) # B.
B (A # B) - C.
C (A - C) # B.
D AU(C # B).
E A - C.
B B
(A - C) # B
#B A
B C B
3 - Operações entre os intervalos da reta
Ao final deste módulo, você será capaz de resolver operações entre intervalos da reta.
Operações com os intervalos da
reta real
Neste módulo, trabalharemos exclusivamente com operações envolvendo os
intervalos da reta. Veremos que, para esses conjuntos particulares, as
representações geométricas na reta real são a melhor maneira de desenvolver
as operações. Lembramos a você que insistiremos em manter a estrutura de
definição e exemplos, por acreditarmos que ela facilita a compreensão dos
conceitos matemáticos.
Definição 1
Sejam . Os intervalos são tipos especiais de subconjuntos dos números
reais que são definidos por:
Intervalo fechado: 
Intervalo fechado à esquerda: 
Intervalo fechado à direita: 
Intervalo aberto: 
Semirreta direita fechada de origem 
Semirreta direita aberta de origem a: 
Semirreta esquerda fechada de origem 
Semirreta esquerda aberta de origem 
Reta real inteira: 
Note que os termos fechado e aberto na definição significam, respectivamente,
que:
a, b ! R
[a, b] = {x ! R $ a , x , b}
[a, b) = {x ! R $ a , x < b}
(a, b] = {x ! R $ a < x , b}
(a, b) = {x ! R $ a < x < b}
a : [a, +2) = {x ! R $ a , x}(a, +2) = {x ! R $ a < x}
b : (#2, b] = {x ! R $ x , b}
b : (#2, b) = {x ! R $ x < b}
(#2, +2) = R
O extremo do intervalo
pertence ao intervalo
considerado
Utiliza-se o termo fechado
na definição. O colchete
representa que o extremo
pertence ao intervalo.
O extremo do intervalo não
pertence ao intervalo
considerado
Utiliza-se o termo aberto na
definição. Os parênteses
representam que o extremo
não pertence ao intervalo.
Desse modo, para fazer operações entre intervalos da reta, é essencial
tomarmos o cuidado de destacar quando o extremo pertence ou não pertence ao
intervalo.
Representação dos intervalos na reta
Agora veremos como representar geometricamente cada um dos intervalos
apresentados na definição 1. Como a grande diferença situa-se no(s) extremo(s)
do intervalo, utilizaremos:
Bolinhas fechadas no
extremo
Quando ele pertence ao
intervalo.
Bolinhas abertas no extremo
Quando ele não pertence ao
intervalo.
Assim, a representação de cada intervalo será:


A seguir, apresentaremos vários exemplos de operações realizadas entre
intervalos.
Exemplo 1
Considere os intervalos e 
. Vamos calcular:
A resolução dessas operações ocorre do seguinte modo:
Representamos geometricamente os intervalos envolvidos na
operação um abaixo do outro (colocando os extremos do
intervalo seguindo a ordem crescente da reta, ou seja,
crescimento da esquerda para a direita) e abaixo da
representação desses dois intervalos colocamos uma terceira
reta real para marcar o resultado da operação.
Veja caso a caso.
: como a união é formada utilizando todos os elementos dos
conjuntos, temos a seguinte representação:
A = [#2, 3), B = (#1, 4), C = (#2, 2]
D = [#3, 1)
A - B, A . B, A # B, B # A, A . C, C # D, D # C.
A - B
Logo, .
A B: como a interseção é formada apenas pelos elementos comuns aos
dois conjuntos, temos a seguinte representação:
Note que as bolinhas em -1 e em 3 são abertas, pois , portanto, 
 e . Logo, .
A − B: vamos considerar apenas os elementos que estão em A, mas que
não pertencem a B. Temos a seguinte representação:
A - B = [#2, 4)
.
#1 " B, 3 " A
#1 3 " A . B A . B = (#1, 3)
Note que em a bolinha em é fechada, pois , mas .
Portanto, B. Logo, .
B - A: vamos considerar apenas os elementos que estão em B, mas que
não pertencem a A. Temos a seguinte representação:
Note que em B - A a bolinha em 3 é fechada, pois , mas . Portanto, 
. Logo, .
A C: como a interseção é formada apenas pelos elementos comuns aos
dois conjuntos, temos a seguinte representação:
Note que as bolinhas são fechadas em e 2, pois C.
Portanto, e . Logo, .
C − D: vamos considerar apenas os elementos que estão em C, mas que
não pertencem a D. Temos a seguinte representação:
A # B #1 #1 ! A #1 " B
#1 ! A# A # B = [#2, #1]
3 " A 3 ! B
3 ! B # A B # A = [3, 4)
.
#2 #2, 2 ! A ! #2, 2 !
#2 2 ! A .C A . C = [#2, 2]
Note que em temos duas partes onde a bolinha está aberta em , pois 
 e .
Logo, . A bolinha em fica fechada, pois e .
Portanto, . Como ficou dividido em duas partes, escrevemos 
 como a união das duas partes:
D - C: vamos considerar apenas os elementos que estão em D, mas que não
pertencem a C. Observe que, nesse caso, temos . Logo, todos os
elementos de D também estão em C, ou seja, não existem elementos que estão
em D, mas que não pertencem a C. Portanto:
D − C = { } (conjunto vazio).
Outra forma de ver que é utilizando a propriedade da diferença
vista no módulo 2:
Atenção!
Quando existem mais do que dois conjuntos envolvidos em operações,
analisamos as operações em etapas de dois a dois, sempre trabalhando
inicialmente de dentro dos parênteses para fora, como mostraremos no próximo
exemplo.
C # D #3
#3 ! C #3 ! D
#3 " C # D 1 1 ! C 1 " D
1 ! C # D C # D
C # D
C # D = (#2, #3) - [1, 2]
D & C
D # C = {}
D # C = {} 0 D & C
Exemplo 2
Vamos considerar os mesmos intervalos do exemplo 1, ou seja:
Agora calcularemos as seguintes operações entre esses conjuntos:
Para resolver - , primeiro resolvemos a parte entre parênteses
separadamente, ou seja:
Como já vimos no exemplo 1, sabemos que:
Assim, podemos realizar a operação desejada, , pela seguinte
figura:
Note que a bolinha em -1 é fechada, pois , mas .
A = [#2, 3), B = (#1, 4), C = (#2, 2])e)D = [#3, 1)
A # (A . B), (A - B) # (A . B), D # (C . A), (D # C) . A
A (A . B)
A . B)e após)A # (A . B).)
A . B = (#1, 3)
A # (A . B)
#1 ! A #1 " A . B
No exemplo 1, vimos que , ou seja, 
, conforme já havíamos visto nas
propriedades da diferença no módulo 
Para resolver , primeiro resolvemos as partes entre
parênteses separadamente, ou seja:
Como já fizemos essas operações no exemplo 1, sabemos que:
Agora podemos realizar a operação desejada, , pela
seguinte figura:
Note que, na última reta, e 3 estão com bolinha fechada, pois 
, mas . Logo,
Para resolver - , primeiro resolvemos a parte entre parênteses
separadamente, ou seja:
)Portanto,)1 ! A # (A . B). Logo,)A # (A . B) = [#2, #1].)
A # B = [#2, #1]
A # B = [#2, #1] = A # (A . B)
2.
(A - B) # (A . B)
A - B)e após)A . B.)
A - B = [#2, 4))e)A . B = (#1, 3)
(A - B) # (A . B)
#1
#1, 3 ! A - B #1, 3 " A . B
(A - B) # (A . B) = [#2, #1] - [3, 4)
D (C . A)
Pelo exemplo 1, sabemos que . Assim, como vimos no módulo
2, temos que:
Agora podemos realizar a operação desejada, , da seguinte forma:
Note que, na última reta, -2 está com bolinha aberta, pois e 
, então:
Logo:
Para resolver , primeiro resolvemos a parte entre parênteses
separadamente, ou seja:
 e após .
C . A)e após)D # (C . A)
A . C = [#2, 2]
C . A = A . C = [#2, 2]
D # (C . A)
#2 ! D
#2 ! A . C
#2 " D # (A . C)
D # (C . A) = [#3, #2)
(D # C) . A
D # C (D # C) . A
Pelo exemplo 1, sabemos que D − C = { }. Logo, como vimos no módulo 2, temos
que:
Logo, é vazio.
Observe que o exemplo anterior mostra claramente que:
Perceba que é muito importante respeitar e distinguir a ordem de resolução das
operações.
Exemplo 3
Veja o exemplo 3 no vídeo a seguir.
(D # C) . A = {} . A = {}.
(D # C) . A = {}
D # (C . A) = [#3, #2) * (D # C) . A = {}

Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Dados os intervalos podemos
afirmar que é dado por:
A = (#5, 2], B = [#6, 4], C = (#2, 2),
A - (B . C)
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para resolver primeiramente faremos a parte entre parênteses,
ou seja:
 e após 
Para resolver operamos utilizando a figura abaixo:
Note que, na última reta, o 2 aparece com bolinha aberta, pois mas 
 Logo, e temos que:
A [-6,2]
B [-6,2)
C (#2, 4]
D (#2, 4)
E (#2, 2]
A - (B . C),
B . C A - (B . C).
B . C,
2 ! B,
2 " C. 2 " B . C
Agora podemos calcular utilizando a representação abaixo:
Portanto, Resposta: (a).
Questão 2
Dados os intervalos A = [−1, 3) B = (1, 5) e C = (1, 3), qual dos itens abaixo
representa o conjunto (A − B) × C ?
B . C = [#6, 2)
A - (B . C)
A - (B . C) = [#6, 2].
Parabéns! A alternativa C está correta.
Antes de buscar a representação geométrica do conjunto (A − B) × C, vamos
determinar o conjunto A − B para então procurarmos a melhor representação
de (A − B) × C.
Para encontrarmos A−B, basta realizarmos a seguinte operação com os
intervalos:
Note que, na última reta, 1 aparece com bolinha fechada, pois mas 
 Logo, - B. Portanto:
A a.
B b.
C c.
D d.
E e.
1 ! A,
1 " B. 1 ! A
Logo, (A − B) × C = [−1, 1] × (1, 3) é representado geometricamente por:
Lembramos que, conforme vimos no vídeo do módulo, a bolinha do canto é
aberta quando este não pertence ao produto cartesiano como, por exemplo,
os cantos:
 e pois e e 
 pois Resposta: (c).
A # B = [#1, 1]
(1, 1) (#1, 1) " (A # B) / C, 1 " C, (#1, 3)
(1, 3) " (A # B) / C, 3 " C.
4 - Conjuntos e problemas do cotidiano
Ao final deste módulo, você será capaz de resolver problemas do cotidiano utilizando conjuntos.
Aplicações da teoria de conjuntos
Chegamos ao nosso último módulo. Como você sabe, nosso objetivo é a
aplicabilidadedos conceitos aprendidos anteriormente, seja no âmbito da
resolução de problemas cotidianos, ou na solução de questões geralmente
cobradas em concursos públicos.
Aqui você perceberá, portanto, a falta do item definição, já que vamos recuperar
os conceitos apresentados nos módulos anteriores mais alguns exemplos para
ajudá-lo a seguir em frente nesse processo de compreensão dos conjuntos
matemáticos.
Exemplo 1 - Adaptado da UNESP
Em um estudo de grupos sanguíneos humanos, realizado com 1000 pessoas,
constatou-se que 470 tinham o antígeno A, 230 tinham o antígeno B e 450 não
tinham nenhum dos dois antígenos. Determine o número de pessoas que
possuem os antígenos A e B simultaneamente.
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando de:
1. X o conjunto de todas as pessoas do estudo;
2. A o conjunto das pessoas com antígeno A;
3. B o conjunto das pessoas com antígeno B;
Podemos formar a seguinte figura:
Pelo enunciado, temos que:
4. X possui 1000 pessoas, A possui 470 pessoas, B possui 230 pessoas;
5. Dentro do conjunto X, mas fora de ambos os conjuntos A e B existem 450
pessoas.
Completando a figura com essas informações, temos:
Precisamos encontrar a quantidade de pessoas que possuem os antígenos A e
B, simultaneamente, ou seja:
s. Queremos saber a quantidade y de pessoas presentes no conjunto .
Colocando y na parte correspondente a e utilizando a figura anterior,
podemos formar o seguinte diagrama:
Note que o conjunto A está dividido em 2 partes. A parte correspondente à
interseção possui y pessoas. Como A tem 470 pessoas, então a
outra parte do conjunto A possuirá 470- y pessoas, fornecendo a figura a
seguir
Da mesma forma, o conjunto B está dividido em 2 partes. A parte
correspondente à interseção A B possui y pessoas. Como B tem 230
pessoas, então a outra parte do conjunto B possuirá 230 - y pessoas,
fornecendo a seguinte figura:
A . B
A . B
A . B
.
Assim, podemos ver que o conjunto X foi dividido em quatro partes:
Uma parte fora dos conjuntos A, B;
Duas partes dentro do conjunto A;
Mais uma parte dentro do conjunto B.
Logo, o total de pessoas do conjunto X (ou seja, 1000) é obtido somando a
quantidade de pessoas (números na cor preta) dessas quatro partes, por meio
do seguinte cálculo:
Portanto, y = 150 é a quantidade de pessoas desse grupo com os antígenos A e
B simultaneamente.
Exemplo 2
450 + (470 # y) + y + (230 # y) = 1000 %
920 # y + y + 230 # y = 1000 % 920 + 230 # y = 1000 %
1150 # y = 1000 % #y = 1000 # 1150 % #y = #150 %
y = 150
Em uma escola, foram oferecidas aulas de reforço para Física e Matemática.
Feito um levantamento em uma turma com 48 alunos, obteve-se que 22 alunos
querem reforço em Matemática, 28 querem reforço em Física e 10 querem
reforço em ambas as matérias. Para essa turma, determine:
1. Quantos alunos querem reforço apenas em Matemática?
2. Quantos alunos querem reforço apenas em Física?
3. Quantos alunos querem reforço em pelo menos uma matéria?
4. Quantos alunos não querem reforço em nenhuma matéria?
5. Quantos alunos querem reforço em, no máximo, uma matéria?
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando de:
X o conjunto de todos os alunos dessa turma;
F o conjunto dos alunos que querem reforço em Física;
M o conjunto dos alunos que querem reforço em Matemática.
Podemos formar a seguinte figura:
Pelo enunciado, temos que:
X possui 48 alunos, M possui 22 alunos, F possui 28 alunos e M F possui
10 alunos.
Completando a figura com essas informações, temos:
Assim como vimos no exemplo 1, podemos perceber que os conjuntos M e F
foram divididos em duas partes e o conjunto X foi dividido em quatro partes.
Utilizando os valores que temos na figura anterior, podemos completar os
conjuntos M e F da seguinte maneira:
.
Agora, vamos resolver os questionamentos.
1. Quantos alunos querem reforço apenas em Matemática?
12 alunos, pois observando a figura anterior, podemos ver que, dentre os 22
alunos que querem reforço de Matemática, somente 12 querem reforço apenas
em Matemática.
2. Quantos alunos querem reforço apenas em Física?
18 alunos, pois observando a figura anterior, podemos ver que, dentre os 28
alunos que querem reforço de Física, apenas 18 querem reforço apenas em
Física.
3. Quantos alunos querem reforço em pelo menos uma matéria?
Os alunos que querem reforço em pelo menos uma disciplina formam
exatamente o conjunto . Pela figura, essa união possui:
12 + 10 + 18 = 40 alunos.
4. Quantos alunos não querem reforço em nenhuma matéria?
Os alunos que não querem reforço em nenhuma matéria são exatamente
aqueles que estão fora de . Como tem 48 alunos e em M U F tem 40
alunos (como vimos na letra (c)), então a quantidade y que está fora de 
é:
y = 48 − 40 = 8 alunos.
M - F
M - F X
M - F
5. Quantos alunos querem reforço em, no máximo, uma matéria?
Dizer que o aluno quer reforço em no máximo uma matéria significa que o aluno:
ou quer reforço em apenas uma matéria, ou não quer reforço em nenhuma
matéria.
Analisando a figura, destacamos os alunos que querem reforço em apenas uma
matéria e os que não querem reforço em nenhuma matéria.
Assim, a quantidade de alunos que querem reforço em, no máximo, uma matéria,
é dada por:
12 + 18 + 8 = 38 alunos.
Outra forma de analisar esse caso é:
Os alunos que querem reforço em, no máximo, uma matéria, correspondem
ao total de alunos da turma , exceto aqueles que querem reforço
nas duas matérias :
48 − 10 = 38 alunos.
Nos exemplos anteriores, trabalhamos casos com apenas dois conjuntos dentro
do conjunto principal. Vamos analisar agora problemas com três ou mais
conjuntos dentro do conjunto X.
(X = 48)
(M . F = 10)
Exemplo 3
Uma população consome 3 marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma
pesquisa de mercado, colheram-se os seguintes resultados tabelados.
Sendo assim:
1. Determine o número de pessoas que consomem apenas a marca C.
2. Determine o número de pessoas que consomem apenas uma das marcas.
3. Determine o número de pessoas que consomem exatamente duas marcas.
4. Determine o número de pessoas consultadas.
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando de:
X o conjunto de todas as pessoas consultadas.
A, B e C os conjuntos das pessoas que consomem as marcas A, B e C,
respectivamente.
Assim, podemos formar a figura a seguir:
Observe que o conjunto X ficou dividido em várias partes, e os conjuntos A, B e C
estão divididos em quatro partes.
Pela tabela, temos as seguintes informações com relação ao número de
consumidores:
Para resolvermos problemas como este, vamos anotar inicialmente: a
quantidade nos conjuntos maiores e C), a quantidade fora da união 
 ) e a quantidade no menor conjunto que é a interseção dos 
.
Assim, utilizando o primeiro e o terceiro item acima, podemos preencher a figura
anterior da seguinte maneira:
X =?, A = 105, B = 200, C = 160
A . B = 25, B . C = 40, A . C = 25
A . B . C = 5eX # (A - B - C) = 120
(X, A, B
(X # (A - B - C)
3(A . B . C)
Agora, utilizando o segundo item acima 
, podemos completar os seguintes
espaços:
Como sabemos que A = 105, B = 200, C = 160, podemos finalizar a figura
analisando a quantidade que já está em cada conjunto e verificando quanto falta
em cada conjunto. Sendo assim, obtemos a figura:
(A . B = 25, B . C = 40, A . C = 25)
Agora, vamos resolver os questionamentos.
1. Determine o número de pessoas que consomem apenas a marca C.
100 pessoas, pois, dentre as 160 pessoas que consomem a marca C, podemos
ver na figura que 100 delas não consomem outra marca.
2. Determine o número de pessoas que consomem apenas uma das marcas.
Fazendo uma análise semelhante à letra (a), podemos ver que:
A quantidade de pessoas que só consomem a marca A é 60.
A quantidade de pessoas que só consomem a marca B é 140.
Pela letra (a), a quantidade de pessoas que só consomem a marca C é 100.
Logo, a quantidade de pessoas que consomem apenas uma das marcas é dada
por:
60 + 140 +100 = 300 pessoas.
3. Determine o número de pessoas que consomem exatamente duas marcas.
Para isso, temos que analisar a quantidade de pessoas presentes nas
interseções e em apenas dois conjuntos. Destacamos essas quantidades na
figura abaixo:
Logo, a quantidade de pessoas que consomem exatamente duas marcas é dada
por:
20 + 20 + 35 =75 pessoas.
4. Determine o número de pessoas consultadas.
A quantidade de pessoas consultadas é o total da soma de todos os valores da
figura, ou seja:
X = 120 + 60 + 20 + 5 + 20 + 140 + 35 + 100 = 500 pessoas.
Quando há 4 conjuntos (A, B, C, D) contidos em um conjunto X, a análise é similar
àquela que realizamos no exemplo 4.3, porém a análise geométrica é mais
sofisticada.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(FCC - 2019) Um grupo é formado por 410 ciclistas, dos quais 260 praticam
natação e 330 correm regularmente. Sabendo que 30 ciclistas não nadam e
não correm regularmente, o número de ciclistas que praticam natação e
correm regularmente é:
Parabéns! A alternativa E está correta.
Para resolver este problema não precisamos montar um diagrama de Venn na
verdade, nem temos informação para isso.
Perceba que, temos um total de 410 ciclistas, sendo que 30 não correm e
nem nada, logo os que correm e nadam são: 410 - 30 = 380.
Temos então 380 ciclistas,que correm ou nadam.Todavia,vemos que se
somarmos os 260 que praticam natação, com 330 que correm regularmente,
obteremos um valor de 590, que é maior que 410 ciclistas, que é nosso
número total de ciclistas. Isso indica que há uma interseção, ou seja, que
existem alguns ciclistas que nadam e correm regularmente, sendo assim,
vamos encontrar essa interseção fazendo a seguinte subtração: 590 - 380 =
210
Com essa subtração, percebemos o seguinte:
210 ciclistas, correm e nadam
170 ciclistas só correm ou só nada (380-210)
A 170
B 150
C 190
D 200
E 210
30 ciclistas não correm nem nadam
Veja que a soma resulta em 410: 210 + 170 + 30 = 410.
Questão 2
Em uma pesquisa realizada com todas as pessoas de uma pequena cidade
sobre a leitura dos jornais A, B e C, obteve-se que 28% das pessoas leem o
jornal A, 35% leem o jornal B, 23% leem o jornal C, 15% leem os jornais A e B,
8% leem os jornais B e C, 12% leem os jornais A e C e 5% leem os três jornais.
Qual é o percentual das pessoas dessa cidade não leem nenhum dos jornais?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Primeiramente, temos que saber que o total de pessoas que participaram da
pesquisa é 100%.
Para solucionar esse problema, teremos que montar um diagrama de Venn,
A 44%
B 43%
C 34%
D 33%
E 0%
mas para isso, precisamos separar os dados:
Montando o diagrama de Venn, temos:
Veja que, ao somarmos todas as porcentagens existentes no diagrama,
obtemos um total de 56%. Sendo assim, para chegarmos à 100%
(100%-56%=44%), restam 44%, que é a porcentagem de entrevistados que não
leem nenhum dos três jornais. A representação no diagrama de Venn é:
A . B = 15%
B . C = 8%
A . C = 12%
A . B . C = 5%
A = 28%
B = 35%
C = 23%
Considerações finais
Conforme vimos ao longo deste tema, existem várias maneiras de se trabalhar
com conjuntos, sendo que o melhor método a ser utilizado depende dos
conjuntos envolvidos. As operações realizadas entre conjuntos fornecem
diversas informações de dados pertinentes, de acordo com aquilo que se deseja
saber a respeito ou de acordo com o que se espera sobre determinadas
informações.
No caso particular em que os conjuntos são intervalos da reta, as operações
entre intervalos geram novos conjuntos, mas isso é assunto para outro momento
do seu estudo matemático! Finalmente, utilizamos todos os conceitos e todas as
operações de conjuntos para resolvermos vários problemas do cotidiano, assim
como questões comuns em concursos para diversos setores da sociedade.
Podcast
Agora com a palavra o professor Marcelo Rainha, contando um pouco mais
sobre a relação entre os conjuntos e o nosso cotidiano. Vamos ouvir!
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especialmente a Matemática.
Referências
GIOVANNI, J. R; BONJORNO, J.R; GIOVANNI Jr., J.R. Matemática Fundamental -
Uma Nova Abordagem. Volume único. São Paulo: FTD, 2002.
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2011.
LIMA, E. L. Curso de análise. v.1, 12. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007.
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