ATIVIDADES DE TRIGONOMETRIA- TEOROMA DE PITÁGORAS-Créditos Cristiane Tereza Fernandes

Prévia do material em texto

Trigonometria
Atividade Auxiliar – Segundo Ano do Ensino Médio
De acordo com o que já foi realizado em sala de aula, proponho as seguintes atividades de
revisão. Sugiro que sejam registradas em seu caderno e havendo dúvidas entrem em 
contato pelos canais de comunicação disponíveis.
Síntese Teórica
Teorema de Pitágoras- O Teorema de Pitágoras possui papel importante no 
desenvolvimento dos estudos trigonométricos, pois é através desse princípio que 
desenvolvemos fórmulas teóricas comumente usadas nos cálculos relacionados a 
situações práticas cotidianas.
Este Teorema estabelece que “A soma do quadrado das medidas dos catetos (lados que 
formam o ângulo de 90°) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (lado oposto ao 
ângulo de 90°)”.
Arcos – É a porção compreendida entre dois pontos extremos de uma curva, possuindo 
algumas definições que são utilizadas para suas medidas, a saber:
• Radiano, definido como a medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio 
da circunferência na qual estamos medindo o arco;
• Grau, que corresponde à medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da
circunferência na qual estamos medindo o arco;
• Grado, referente a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na
qual estamos medindo o arco.
Ângulos
É a região de um plano determinada pelo encontro de duas semirretas que possuem uma 
origem em comum, chamada vértice do ângulo.
Seno
Num triângulo retângulo, o seno de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o 
comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa.
Cosseno
Num triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o 
comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa.
Tangente
Num triângulo retângulo, a tangente de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o 
comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele.
Disponível em : https://www.colegioweb.com.br/matematica/conceitos-importantes-da-
trigonometria.html
Círculo Trigonométrico
O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência 
Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões 
trigonométricas.
https://www.colegioweb.com.br/matematica/conceitos-importantes-da-trigonometria.html
https://www.colegioweb.com.br/matematica/conceitos-importantes-da-trigonometria.html
Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas
De acordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo vertical 
corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Cada ponto dele está associado aos 
valores dos ângulos.
Ângulos Notáveis
No círculo trigonométrico podemos representar as razões trigonométricas de um ângulo 
qualquer da circunferência.
Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As razões 
trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente:
Relações 
Trigonométricas
30
°
45
°
60°
Seno
1/
2
√2
/2
√3/
2
Cosseno
√3
/2
√2
/2
1/2
Tangente
√3
/3
1 √3
Radianos do Círculo Trigonométrico
A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano 
(rad).
• 1° corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes 
iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde 
a 1°.
• 1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual 
ao raio da circunferência do arco que será medido.
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos
Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e radianos:
• π rad = 180°
• 2π rad = 360°
• π/2 rad = 90°
• π/3 rad = 60°
• π/4 rad = 45°
Obs: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-se a regra de 
três.
Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos?
π rad -180°
x – 30°
x = 30° . π rad/180°
x = π/6 rad
Quadrantes do Círculo Trigonométrico
Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os quatro 
quadrantes que o constituem. Para compreender melhor, observe a figura abaixo:
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
• 1.° Quadrante: 0º
• 2.° Quadrante: 90º
• 3.° Quadrante: 180º
• 4.° Quadrante: 270º
Círculo Trigonométrico e seus Sinais
De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno e tangente 
variam.
Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo.
Para compreender melhor, veja a figura abaixo:
Razões Trigonométricas
As razões trigonométricas estão associadas às medidas dos ângulos de um triângulo 
retângulo.
https://www.todamateria.com.br/razoes-trigonometricas/
Seno (sen)
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Cosseno (cos)
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Tangente (tan)
Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.
Atividade Proposta
1. Passe de grau para radiano:
A) 30º
b) 45º
c)120º
d) 300º
Resposta=
Neste caso utilizaremos a regra de três: pi= 180° 
a) 180_______pi      30_______x (Multiplicamos cruzado) 
180.x= 30.pi
 x = 30.pi/180 = pi/6 rad 
b) 180_____pi       45_____x 
180.x= 45.pi
 x = 45.pi/180 = pi/4 rad 
c) 180_______pi     120_______x
180.x = 120.pi
 x= 120.pi/180= 2.pi/3
d) 180______pi     300______x
180.x = 300.pi x = 300.pi/180= 5.pi/3     
• Encontre os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo do triângulo abaixo.
Observando a imagem, identificamos que o cateto oposto mede 5 cm, o 
cateto adjacente mede 12 cm e a medida da hipotenusa é igual a 13 cm. 
Assim, temos:
3) Determine o valor de x na figura abaixo.
Observe que temos a medida da hipotenusa (10 cm) e queremos descobrir a medida
de x, que é o cateto oposto ao ângulo de 45º. Desta forma, aplicaremos a fórmula do
seno.
De acordo com a tabela trigonométrica, o valor do seno de 45.º é aproximadamente 
igual a 0,7071. Assim:
Portanto, o lado x mede 7,071 cm.
4 ) Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao 
solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.
Nessa questão, a distância real percorrida pelo avião corresponde à 
hipotenusa e sua distância horizontal a um dos catetos. Assim como 
na questão 1, precisamos encontrar o valor de um dos catetos que, no 
caso, corresponde à altura desse avião.
https://www.gabarite.com.br/questoes-de-concursos/
50002 = 30002 + h2
25.000.000 = 9.000.000 + h2
16.000.000 = h2
h2 = 4000 m
A altura do avião é de 4000 metros.
Disponível em: Teorema de Pitágoras: Exercícios Resolvidos e Exemplos 
(gabarite.com.br) 
5) Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos,
dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a
distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua 
altura. 
30²=x²+15² 900= x²+225 900-225=x²
x²=675
x=√675
x=15√3
Disponível em: https://www.quiz.com.br/quiz/569/exercicios-de-teorema-de-pitagoras-i/
EgJz8oqg/#:~:text=Do%20topo%20de,x%3D15%E2%88%9A3
https://www.gabarite.com.br/dica-concurso/426-teorema-de-pitagoras-exercicios-resolvidos-e-exemplos
https://www.gabarite.com.br/dica-concurso/426-teorema-de-pitagoras-exercicios-resolvidos-e-exemplos
6) Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada
está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro. 
h² = a² + b² 12² = a² + 8² 144 = a² + 64a² = 144 - 64a² = 80a = 8,94 
 Disponível em:
7) Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as 
medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 
fios.  
O lado x do triângulo é: x² = 60²+80² x²= 10.000 x= raiz de 10.000 
x= 100m Perímetro = 100m+60m+80m = 240m Sendo uma cerca c/
4 fios, a metragem total será de 240m*4 = 960m de arame 
Disponível 
em: https://euquerosabertudo.com/perguntas-e-respostas/50322.html#:~:text=publicar%C3%A1%20no%20site%20%F0%9F%91%8D-,Calcule%20a%20metragem%20de
%20arame%20utilizado%20para%20cercar%20um%20terreno,a%20metragem%20total
%20ser%C3%A1%20de%20240m*4%20%3D%20960m%20de%20arame,-Eu%20gosto
 Obs: Após resolução em seu caderno, abaixo de cada exercício há o endereço de onde 
foram retirados para que possa acompanhar a resolução. Havendo dúvidas anote-as para 
que ao retornar discuta com seu professor.
Tratam-se de exercícios simples que estão no campo de domínio dos estudantes.
 Créditos: Professora, Cristiane Tereza Fernandes 
	Trigonometria
	Ângulos Notáveis
	Radianos do Círculo Trigonométrico
	Quadrantes do Círculo Trigonométrico
	Círculo Trigonométrico e seus Sinais
	Razões Trigonométricas
	Seno (sen)
	Cosseno (cos)
	Tangente (tan)