Bernoulli-1

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Equação de Bernoulli 
Equação de Bernoulli na forma de pressão: 
1 2 3 
1 
3 
2 
Pressão Estática 
Pressão Dinâmica 
(Energia Cinética) 
Carga devido à altura 
(Energia Potencial) 
2
2
2
21
2
1
1
22
gz
V
pgz
V
p 




Equação de Bernoulli 
A Equação de Bernoulli (Padrão) é 
válida para as seguintes condições: 
1) Escoamento Permanente 
2) Sem atrito 
3) Ao longo de uma linha de corrente 
4) Não pode haver equipamentos 
realizando trabalho entre 1 e 2 
5) Não pode haver transferência de 
calor entre 1 e 2 
 
Para mais: Consultar Pág. 221 Fox 
e McDonald 7ª Ed. 
Equação de Bernoulli 
Atrito com avião 
Propulsor gera calor 
Atrito com a parede 
Não pode gerar trabalho 
Ou retirar trabalho do sistema 
Atrito com a parede 
Geração de calor 
Equação de Bernoulli 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
V
g
p
z
g
V
g
p


Equação de Bernoulli na 
forma de altura equivalente: 
Linha hidráulica não leva em 
consideração a energia 
cinética, e não precisa se 
conservar; a linha de energia 
precisa se conservar. 
2
2
2
21
2
1
1
22
gz
V
pgz
V
p 




Exemplo 3 – Pág. 38 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p V p V
gz gz
 
    
A equação constitutiva que relaciona a queda de pressão de um fluido 
incompressível entre a entrada e a saída de um bocal em um 
escoamento permanente pode ser obtida pela equação de Bernoulli, 
e é representada por Δp=KQ², onde Q é a vazão do fluido através do 
bocal. Considerando as áreas de entrada (A1) e saída (A2), a constante 
K é expressa por: 








1
A
A
A 2
2
2
1
2
1








1
A
A
A2 2
2
2
1
2
1








1
A
A
A2
2
1
2
1








1
A
A
A
2
1
2
1





 
2
2
21
2
1
A
AA
A2
b) 
c) 
d) 
e) 
a) 
Na forma de energia 
Coeficiente de Perda de Carga: 
2Q
p
K


Da equação de Bernoulli:    2 22 1 2 1
2
p g z z V V

    
Da equação da Continuidade: 1 1 2 2
1 2
1 2
 
Q V A V A
Q Q
V V
A A
 
  
Queda de pressão: 
21
ppp  EscoamentodoDireçãopp 
21
Exemplo 3 – Pág. 38 
Substituindo a Eq. da Continuidade na Eq. De Bernoulli 
  22 1 2 2
2 1
1 1
Δp
2
g z z Q
A A


 
    
 
Considerando que z1 = z2 (bocal horizontal) 
2 2 2
2 2 21 2 1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2
1 1
1
2 2 2
A A A
p Q Q Q
A A A A A A
       
          
     
Então: 
2
1
2 2 2
1 2
1
2
Ap
K
Q A A
  
   
 
Alternativa b) 
Exemplo 3 – Pág. 38 
Exemplo 4 – Pág. 39 
Um bocal horizontal é alimentado com ar a uma determinada velocidade . 
O escoamento ocorre em regime permanente, e o ar é descarregado 
para a atmosfera a uma velocidade = 60 m/s. Na entrada do bocal, a 
área é 0,2 m² e na saída, 0,04 m². A massa específica do ar corresponde 
a 1,20 kg/m³, conforme esquematizado na figura abaixo. 
A pressão manométrica necessária na entrada 
do bocal, em kPa, vale, aproximadamente: 
 
a) 0,8 
b) 2,1 
c) 10,6 
d) 54,0 
e) 82,2 
Velocidade do som no ar (c) = 340 m/s (CNTP) 
60
0,176 0,3
340
V
Ma
c
    Escoamento Incompressível 
1 1 2 2
1
1
0, 2 60 0,04
60 0,04
12 m/s
0, 2
Q V A V A
V
V
 
  

 
Exemplo 4 – Pág. 39 
Equação de Bernoulli Pressão 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p V p V
gz gz
 
    
Os pontos estão à mesma altura  z1 = z2. 
 
 2 22 1
1
2
atm
V V
p p
 
 
 
 
2
12602,1
pp
22
atm1


  kPa1,2Pa2073pp
atm1
 Alternativa b) 
Exemplo 4 – Pág. 39 
Exercício extra 
59) Um fluido ideal, incompressível e sem viscosidade, é conduzido por 
um tubo horizontal fino (plano horizontal xy) que se bifurca, como 
mostrado na figura acima. As seções retas antes e depois da bifurcação 
são idênticas. A velocidade do fluido na posição de v1 é igual a 2,0 m/s. 
Qual a diferença de pressão ΔP = P1 – P2 (em Pa) entre a posição de v1 
e v2 (ou v3)? 
 
Dados: 
• Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2 
• Densidade do fluido: ρ = 1,0 × 103 kg/m3 
• As pressões e velocidades nas posições de v2 e v3 são idênticas 
 
(A) −1500 
(B) −750 
(C) 0 
(D) 750 
(E) 1500 
Resolução-Exercício extra 
Primeiro (I) vamos aplicar um balanço 
de massa (equação da continuidade) e 
depois a equação de Bernoulli (II): 
2 2 3 3 1 1
1 2 3 2 3
1
1 2 2
I) Balanço de Massa
0
( )
 como foi dado que V =V
2 ou 
2
II) Como o escoamento é:
1) incompressível;
2) sem atrito ( =0)
3) regime permanente (acúm
s eM M
V A V A V A
V V V
V
V V V
  

 
       
 
 
2
ulo=0)
Podemos utilizar Bernoulli:
2
p V
gz cte

  
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
1 2 1 1
2 2
1 1
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
8 2
8 2
2 2
1000
8 2
1 4
1000
2
1500 Pa
P V P V
gz gz
P P V V
V V
P P
P P
P P
P P
 


    

 
 
    
 
 
    
 
 
   
 
  
Alternativa a)