Resova a equação de Bernoulli dada: 1. x dy/dx + y = 1/y^2; 3. dy/dx = y(xy^3 − 1); 5. x^2 dy/dx + y^2 = xy; 1 3 5 Resolva a equação de Ber...

Vamos resolver a equação de Bernoulli dada: 1. x dy/dx + y = 1/y^2; Para resolver essa equação, vamos fazer a substituição y^(-1) = z. Então, temos: x dy/dx + y = 1/y^2; x dy/dx + y^2 = 1; x dy/dx + y^2/x^2 = 1/x^2; Agora, fazemos a substituição z = y^(-1): x dy/dx + y = 1/y^2; x dy/dx + z = z^2; x dy/dx = z^2 - z; Agora, fazemos a substituição v = z^(-1): x dy/dx = z^2 - z; x dy/dx = v - v^2; Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos multiplicar ambos os lados por x^(-2): dy/dx - (1/x) y = (1/x^2) - (1/x^3) y^2; Agora, usamos o fator integrante u(x) = e^(integral(-1/x dx)) = e^(-ln(x)) = 1/x: (1/x) dy/dx - (1/x^2) y = (1/x^3) - (1/x^4) y^2; d/dx (y/x) = (1/x^3) - (1/x^4) y^2; Agora, integramos ambos os lados: y/x = (1/2x^2) + (1/x) C; Portanto, a solução geral da equação é: y(x) = x((1/2x^2) + (1/x) C); Espero ter ajudado!