estatística 2.0

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Índice
Pág.
Introdução	4
Objectivos gerais	4
Objectivos específicos	4
Metodologia do trabalho	4
PARTE I	5
1.	Medidas de localização	5
2.	Medidas de dispersão ou variabilidade	6
3.	Medidas de Assimetria ou Curtose	7
4.	Distribuições Bidimensionais	8
5.	Noção intuitiva e frequencista das probabilidades	9
6.	Acontecimentos equiprováveis	9
7.	Probabilidade Condicional	10
PARTE II	12
Resolução de Exercícios	12
Conclusão	19
Referências Bibliográficas	20
Introdução 
Os jogos de azar que se praticam há milhares de anos, estão na origem das primeiras obras escritas sobre probabilidades e que começaram a surgir no século XVIII.
Por esta sua origem concreta, a teoria das probabilidades utiliza uma linguagem própria que é preciso conhecer.
Os conteúdos estatísticos a ser abordado neste trabalho são: medidas de localização, medidas de dispersão, medidas de assimetria, Noção Intuitiva e Frequencista das Probabilidades, Acontecimentos Equiprováveis e Probabilidade Condicional.
Assim com mediana é o valor que separa a quantidade de dados em duas partes iguais, existem tambem outros valores que separam os dados em partes iguais, podendo ser identificados melhor neste presente trabalho. 
Objectivos geral
· Desenvolver conteúdos da estatística descritiva 
Objectivos específicos
· Falar das medidas de localização, de dispersão e de simetria;
· Dar da noção da probabilidade;
· Resolver exercícios de conteúdos acima citado.
Metodologia do trabalho
A realização deste trabalho baseou se na leitura e análise de manuais e artigos publicados sobre a estistica, onde alguns matérias foram extraidos na internet com o objetivo de recolher subsidios de varios autores para constituir uma sustentação ao referente trabalho.
PARTE 1
1. Medidas de localização 
Quartis, Decis e Percentis 
A mediana é o valor que separa a quantidade de dados em duas partes iguais. 
De acordo com OLIVEIRA, F. E. (s/d) assim como a mediana, existem outros valores que separam os dados em partes iguais. Eles são chamados genericamente de quantis. Os quantis mais importantes e usados são: 
• Quartis: dividem os dados em quartas partes (cada parte tem 25% dos dados). São indicados por Q1, Q2 = Md e Q3. 
• Decis: dividem os dados em décimas partes (cada parte tem 10% dos dados). São indicados por D1, D2, ..., D9. 
• Percentis: dividem os dados em centésimas partes (cada parte tem 1% dos dados). São indicados por P1, P2, ..., P99. Um conjunto de dados pode ser dividido em 3 quartis, 9 decis e 99 percentis. Veja o exemplo a seguir para os quartis.
Por exemplo, sejam os 16 números ordenados: 0,5; 0,7; 0,7; 0,9; 1,0; 1,1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,3; 1,5; 1,8; 2,1; 2,2; 2,5; 2,5.
 Posto de Q1 = n/4 = 16/4 = 4. Toma-se a média entre o 4o e o 5o valores: Q1 = (0,9 + 1,0)/2 = 0,95. 
Posto de Q2 = n/2 = 16/2 = 8. Q2 = Md = (1,2 + 1,3)/2 = 1,25. 
Posto de Q3 = 3n/4 = 3.4 = 12. Q3 = (1,8 + 2,1)/2 = 1,95. 
Posto de D1 = n/10 = 16/10 = 1,6. Arredondando para 2, D1 = 0,7. 
Posto de D9 = 9.n/10 = 9.1,6 = 14,4. Arredondando para 15, D9 = 2,2. Posto de P95 = 95.n/100 = 95.0,16 = 15,2. Arredondando para 16, P95 = 2,5.
2. Medidas de dispersão ou variabilidade
Medidas de dispersão são parâmetros estatísticos usados para determinar o grau de variabilidade dos dados de um conjunto de valores (Gouveia. R, 2011).
· Amplitude
De acordo com Gouveia. R,( 2011) essa medida de dispersão é definida como a diferença entre a maior e a menor observação de um conjunto de dados, isto é:
A = Xmaior - Xmenor
Variância
Segundo Gouveia. R,( 2011) a variância é determinada pela média dos quadrados das diferenças entre cada uma das observações e a média aritmética da amostra. O cálculo é feito com base na seguinte fórmula:
Desvio Padrão
De acordo com Gouveia. R,( 2011) o desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância. Desta forma, a unidade de medida do desvio padrão será a mesma da unidade de medida dos dados, o que não acontece com a variância.
Coeficiente de Variação
Segundo Gouveia. R,( 2011) para encontrar o coeficiente de variação, devemos multiplicar o desvio padrão por 100 e dividir o resultado pela média. Essa medida é expressa em porcentagem.
3. Medidas de Assimetria ou Curtose
PINTO, Hele Soares; NEVES, Isabel Costa;(1994) a ASSIMETRIA é o grau de desvio ou afastamento da simetria de uma distribuição. Quando a curva é simétrica, a média, a mediana e a moda coincidem, num mesmo ponto, de ordenada máxima, havendo um perfeito equilíbrio na distribuição. Quando o equilíbrio não acontece, isto é, a média, a mediana e a moda recaem em pontos diferentes da distribuição esta será assimétrica; enviesada a direita ou esquerda. 
Distribuição Simétrica ⇒ Assimetria (S) = 0 
 e Q3 - Me = Me - Q1
Distribuição assimétrica Negativa ou enviesada a esquerda - quando os valores se concentram na extremidade superior da escala e se distribuem gradativamente em direção à extremidade inferior. Distribuição assimétrica Positiva ou enviesada a direita quando os valores se concentram na extremidade inferior da escala e se distribuem gradativamente em direção à extremidade superior (PINTO,.,et al;1994).
Cálculo da Assimetria: critério de Bowley
 (assimetria absoluta) 
 (assimetria relativa); sendo: -1 ≤ S ≤ 1
CURTOSE
Curtose é o menor ou maior grau de "achatamento” da Distribuição ou Curva de Frequência considerada em relação a uma Curva Normal representativa da Distribuição.
 
CÁLCULO DA CURTOSE
Baseado nos Quartis e Centis, obtém-se o valor da Curtose de uma Distribuição ou Curva de Frequência e que é dado pela expressão:
TIPOS DE CURTOSE
   a) Se o valor de K=0,263 então o Grau de "achatamento" ou Grau de Curtose é igual ao da Curva Normal (simétrica) de mesma área e denomina-se a este tipo de Curva MESOCÚRTICA.
   b) Se K > 0,263 a distribuição é mais achatada do que a Curva Normal de mesma área e diz-se que é uma Curva PLATICÚRTICA.
   c) Se K < 0,263 a distribuição é menos achatada (mais afilada) do que a Curva Normal de mesma área, denominando-se de Curva LEPTOCÚRTICA.
4. Distribuições Bidimensionais
 Segundo o OLIVEIRA, F. E. (s/d) em alguns estudos estatísticos há a incidência sobre dois caracteres da mesma população, análises bivariadas, com a intenção de os comparar e ver se há ou não algum tipo de relações entre eles, ou se pelo contrário, são independentes. Em situações normais a variação de um dos caracteres influência a variação do outro.
 
Exemplo:
· No boletim de saúde infantil e juvenil encontras pares de variáveis que são analisadas conjuntamente, tais como:
idade (em meses) e a massa corporal (em kg), dos 0 aos 24 meses;
idade (em meses) e o perímetro cefálico (em cm), dos 0 aos 36 meses;
idade (em anos) e a estatura (em cm), dos 2 aos 20 anos.
· O número de trabalhadores a executar uma obra e o tempo de execução.
· O rendimento mensal do agregado familiar e os gastos em lazer.
Coeficiente de correlação
De acordo com BARBETTA, PEDRO A (s/d) atravé do diagrama de dispersão é possível, intuitivamente, verificar se há correlação e se esta é positiva ou negativa. No entanto, é possível quantificar a correlação e concluir se é mais ou menos forte.
 
Uma das medidas estatísticas que permite estabelecer o grau de correlação existente entre as variáveis é denominada coeficiente de correlação, que se representa por r e toma valores pertencentes ao intervalo [-1,1] .
 
· Se r < 0 , a correlação é negativa. A variação das variáveis é feita em sentidos opostos, isto é, uma aumenta quando a outra diminui.
· Se r  > 0 , a correlação é positiva. A variação das variáveis é feita no mesmo sentido, isto é, uma aumenta quando a outra também aumenta.
· Se r = 0 , a correlação é nula.
 
Quando r=1 ou r=-1, os pontos no diagrama de dispersão estão sobre uma reta.  Essa reta tem declive positivo se r=1 e tem declive negativo se r  = -1 .
 
Na correlação positiva, quanto mais próximo de 1 for o valor de r e mais forte é a correlação.
Na correlação negativa, quanto mais próximo de -1for o valor de r mais forte é a correlação.
5. Noção intuitiva e frequencista das probabilidades
A probabilidade é o acto de atribuirmos pesos aos eventos. Entretanto, para que cada um não defina probabilidade de sua forma, vamos exigir que esta função peso tenha algumas propriedades intuitivas. Quando lançamos uma moeda não hesitamos em associar probabilidade  para o evento "cara" e também  para o evento "coroa". Da mesma forma, quando lançamos uma moeda  vezes todos os  possíveis resultados deste experimento tem a mesma probabilidade (OLIVEIRA, F. E. ,s/d).
6. Acontecimentos equiprováveis
Se um experimento tem como espaço amostral , com um número finito de elementos, dizemos que os eventos elementares  são equiprováveis, se todos tem a mesma probabilidade de ocorrer, isto é
	
	
 
Desta forma, podemos definir a probabilidade de um evento , composto por  elementos (com  menor que ), como sendo:
	
	
 
No lançamento de um dado honesto, os elementos do espaço amostral  são equiprováveis, pois cada elemento do espaço amostral tem a mesma chance de ocorrer, ou seja, a chance de sair 1 é a mesma de sair 2, que é a mesma de sair 3, e assim por diante. Portanto,
	
	
Com isso e da propriedade (3) de probabilidade, temos que, se  é o evento sair número par no lançamento de um dado, então
	
	
 
Com isso, obtemos que a probabilidade de ocorrer o evento  é igual ao número de elementos favoráveis a , que é 3 (pois  tem 3 elementos), dividido pelo número de elementos no espaço amostral , que é .
7. Probabilidade Condicional
Parece razoável defender que a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, gostar de Matemática, não é deve ser a mesma se a escolha for feita num grupo de Licenciatura em Ensino de Matemática ou num grupo de Liceniatura em ensino de Filosofia (OLIVEIRA, F. E. ,s/d).
De que maneira uma informação adicional afecta a probabilidade de um acontecimento, é o que vamos tratar.
Observação: P(B/A) diz-se probabilidade de B se A ou probabilidade de B se realizar dado que A se realizou.
De acordo com LIMA, Yolanda; GOMES, Francelino; Xeqmat,( 1994), de uma forma geral: Sendo A e B dois acontecimentos relativos a uma experiência aleatória e P(A) 0, chama-se probabilidade condicional de B, conhecendo A, ou mais simplesmente, probabilidade de B se A, ao quociente: P(B/A) = 
Observação: De igual modo, se P(B) 0, P(A/B) = 
Das relações anteriores obtém-se as formulas: 
Conhecidas por leis da multiplicação. probabilidade do acontecimento intersecção () é igual à probabilidade de um deles, suposta não nula, pela probabilidade do outro condicionada realização do anterior.
PARTE 2
Resolução de Exercícios
1. QUARTIS DA SÉRIE
· 
· 
· 
2. Quartis da tabela abaixo
	
Classes
	
Frequência
	Frequência absoluta
	
	4
	4
	
	9
	13
	
	11
	24
	
	8
	32
	
	5
	37
	
	3
	40
O primeiro quartil encontra-se na classe na classe 
O terceiro quartil encontra-se na classe na classe 
3. 
	Classe
	Intervalo de classe
	Ponto médio
	1
	
	2
	2
	
	6
	3
	
	10
	4
	
	14
a) Desvio padrão 
b) Coeficiente de variação 
Coeficiente de variação e classifique
Calcule o 1º coeficiente de assimetria e classifique.
4. Em um grupo de moradores de determinada região foi analisado a idade (em anos) e a altura (em metros) das pessoas. Deseja-se comparar a dispersão em termos relativos em torno da média dos dois conjuntos de dados, a fim de verificar qual deles é mais homogêneo. 
Resposta:
 o primeiro facto a se observar é que os dados analizados possuem unidades de medidas diferentes, dessa forma somente o desvio padtrao não é suficiente para compar os dois conjuntos nesse caso, é prociso calcular o coeficiente de variação para fazer a comparação para a variação em torno da media dos dados.
Calculando CV da idade:
Calculando CV da altura:
 Como o coeficiente de varicao da idade é menor que o da altura então pode se concluir que os dados da idade são mais homogéneo qiue os da altura.
5. Considere que um grupo de alunos tenha tirado as seguintes notas em uma determinada matéria: 2,0; 3,0; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0; 7,0; 8,0; 9,0; 10,0.
Para calcular essas medidas de dispersão, é útil conhecer a média desses valores:
 
· Variância 
· Desvio padrão
6. Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para baixo?
SOLUCAO: 
Sabendo que cada moeda pode produzir 2 resultados ou cara ou coroa, sendo 3 moedas produz 8 resultados (222=8)
7. No lançamento de dois dados, qual é o número total de possibilidades de resultados e qual é a probabilidade de obtermos soma igual a 8.
Resposta:
S={1,1; 1.2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,5; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 3,1; 3,2; 3,4; 3,5; 3,6; 4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5; 4,6; 5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 6,1; 6,2; 6,3; 6,4; 6,5; 6,6} =36
A=(2,6; 3,5; 4,4; 5,3; 6,2)=5
8. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1 a 50. Qual a probabilidade de ser
a) múltiplo de 5
b) divisível por 6 ou 8
c) número primo
Resposta: a) Os múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 e 50.
Logo, o número de casos favoráveis é igual a 10 e a probabilidade é igual a:
P = 10/50 = 0,2
P = 20%.
b) Os números divisíveis por 6 são: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48.
Já os números divisíveis por 8 são: 8, 16, 24, 32, 40 e 48.
Os números 24 e 48 são divisíveis por 6 e 8.
Logo, a probabilidade é igual a:
P = 6/50 + 8/50 - 2/50
P = 12/50 = 0,24
P = 24%.
c) Um número é primo quando possui dois divisores: 1 e ele mesmo.
São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47.
Portanto, a probabilidade é:
P = 15/50 = 0,3
P = 30%.
9. Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20℅. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no sexto mês.
Resposta: 
Probabilidade de engravidar = 0,6
Probabilidade de não engravidar = 1 – 0,6 = 0,4
A probabilidade (P) de ela engravidar só no 6º mês, então:
10. As probabilidades de três estudantes acertarem uma questão são: 2/3, 4/6, 7/10, respectivamente se cada um responder uma única vez, qual é a probabilidade de:
a) Todos acertarem
b) Todos errarem
c) Apenas um acertar
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
11. Calcule a probabilidade de obter a soma 8 no lançamento de 2 dados em que o resultado do lançamento foi dois números ímpares
Resposta:
(1, 3) (1,5) (3, 5) (3, 1) (5, 1) (3,3) (5,5) (1, 1) (5, 3)
Conclusão
Apos a execussão do presente trabalho deu para aprefeissoar os conhecimentos inerentes as difersas metodologias apresentadas asssim como no calculo das medidas de dispersão, assimetria e curtose. O trabalho ajudou a compreender melhor o significado e a importância do afastamento entre cada valor dos dados observados e sua respectiva medida de tendência central quando se trata de dispersão.
Quando a curva é simétrica, a média, a mediana e a moda coincidem, num mesmo ponto, de ordenada máxima, havendo um perfeito equilíbrio na distribuição. Quando o equilíbrio não acontece, isto é, a média, a mediana e a moda recaem em pontos diferentes da distribuição esta será assimétrica; enviesada a direita ou esquerda. 
Coeficiente de correlação é uma das medidas estatísticas que permite estabelecer o grau de correlação existente entre as variáveis.
Referências Bibliográficas 
· BARBETTA, PEDRO A (s/d). Estatística aplicada ás Ciências Sociais. Editora da UFSC. GÓES, LUIZ A. C. Estatística I e II. Editora Saraiva. DÍAZ, FRANCISCA; LOPES, FRANCISCO JAVIER. Bioestatística. Editora Thomson.
· Gouveia. R,( 2011). Medidas de Dispersão. . Editora da UFF. Estatistica. 
· RODRIGUES, P. C(S/d). Bioestatística. Universidade Federal Fluminense. FONSECA, JAIRO DA. Curso de Estatística. Editora Atlas. 
· OLIVEIRA, F. E. (s/d). Estatística e Probabilidade. Editora Atlas. TANAKA. Elementos de Estatística. Editora McGraw.
· PINTO, Hele Soares; NEVES, Isabel Costa;(1994) Métodos quantitativos, Edições ASA. Lisboa.
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