calculo2_cap04_resol

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Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1 
1.  0 {0}, espaço de dimensão zero, formado pelo único ponto 0. 
2. 1   (reta). 
1 2 3 40-1-2-3-4 x
P = ( )x
 
3.  2  (plano). 1 2 3 40-1-2-3-4
-1
-2
1
2
x
P = ( , )x yy
 
4.  3  (espaço tridimensional). 
1 2 3
0
2
x
P = ( , , )x y z
z
1
1
2
y
 
5. Em  3 , x  (
1x
,
2x
,
3x
) e | x |  
2
3
2
2
2
1 xxx 
. 
= ( )x ,x ,x 
x1
x2
x3
1 2 3
x
x
 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2 
Tome n  2 e considere d:  2  2 . Dado x, y  2 , sendo x  (9,4) e y  (3,12), 
calcule: 
6. d(x, y) 
Resolução: 
 
d(x, y) 
2
22
2
11 )()( yxyx 
 
22 )124()39( 
 
d(x, y) 
6436 
  10 
 
Resposta: 10 
7. d
M
(x, y) 
Resolução: 
 
d
M
(x, y) Máx{|
1x

1y
|, |
2x

2y
|} Máx{|93|, |412|} Máx{|6|, |8|}  8 
 
Resposta: 8 
8. d
S
(x, y) 
Resolução: 
 
d
S
(x, y)  |
1x

1y
|  |
2x

2y
|  |93|  |412|  |6|  |8|  6  8  14 
 
Resposta: 14 
9. Verifique as desigualdades entre as 3 distâncias. 
Resolução: 
 
|x  y|
M
 |x  y |  |x  y |
S
 n |x  y |
M
 
8  10  14  16 
d
M
(x, y)  d(x, y)  d
S
(x, y)  n d
M
(x, y) 
 
Resposta: 
10. Para n  2, as bolas no plano para as três distâncias podem ser representadas por: 
Resolução: 
 
 
a1
2a a
r
B
a1
2a a
r
B
a1
2a a
r
M BS
 
 
Resposta: 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 3 
11. Dado X  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9}, determine os conjuntos intX, extX e fronX. 
Resolução: 
 
X é uma bola aberta com centro 0 e raio 3, B(0,3) com 0  (0,0,0). 
intX  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9} 
extX  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9} 
fronX  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9} 
 
Resposta: 
12. O mesmo para X  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9}. 
Resolução: 
 
intX   
extX  {(x, y, z) 3 ; 2x  2y  2z  9 ou 2x  2y  2z  9} 
fronX  X 
 
 
Resposta: 
Tome um conjunto X   n . 
13. Se X é convexo, X é conexo? Justifique. 
Resolução: 
 
 
Sim. Tome [x, y] como segmento de reta cujos extremos pertençam a X, [x, y] pode ser 
também uma linha poligonal unindo x e y, totalmente contida em X. 
 
 
 
Resposta: 
14. Se X é conexo, X é convexo? Justifique. 
Resolução: 
 
Não. Na figura a seguir, X é conexo e não é convexo. 
 
2
X
yx
linha poligonal
segmento [ , ]x y
X R
 
 
 
Resposta: 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 4 
15. Dê um exemplo de X desconexo. 
Resolução: 
 
X  {(x, y) 2 ; 2x  2y  1 ou 2x  2y  9} 
Observando a figura abaixo, que representa X, tome u(0, 0) e v(3, 1). 

 linha poligonal 
unindo u e v contida em X. 
u
v(3, 1)
1 3
 
 
Resposta: 
Dado X   2 nos exercícios seguintes, analise X quanto aos itens a) e b) abaixo: 
a) Região aberta ou fechada; 
b) Conjunto aberto ou fechado. 
16. X  {(x, y) 2 ; x  y  1} 
Resolução: 
 
a) Região aberta; 
b) Conjunto fechado (X  X’). 
1
1
 
 
Resposta: 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 5 
17. X  {(x, y) 2 ; x  y  1} 
Resolução: 
 
a) Região aberta; 
b) Conjunto aberto (X  intX). 
1
1
 
 
Resposta: 
18. X  {(x, y) 2 ; 2x  2y  1} 
Resolução: 
 
a) Região fechada; 
b) Conjunto aberto (X  intX). 
 
1
1
 
 
 
Resposta: 
19. X  {(x, y) 2 ; 2x  2y  1} 
Resolução: 
 
a) Região fechada; 
b) Conjunto fechado (X  X’). 
 
1
1
 
 
 
Resposta: