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Cálculo Numérico Interpolação 
 Lauro / Nunes 
1 
1. Determine iL ( kx ) para i =0,1,2, k =0,1,2 e n =2. 
Resolução: 
i =0 Þ 0L ( x )= ))((
))((
2010
21
xxxx
xxxx
--
--
 
k =0 Þ 0L ( 0x )=1 
k =1 Þ 0L ( 1x )=0 
k =2 Þ 0L ( 2x )=0 
i =1 Þ 1L ( x )= ))((
))((
2101
20
xxxx
xxxx
--
--
 
k =0 Þ 1L ( 0x )=0 
k =1 Þ 1L ( 1x )=1 
k =2 Þ 1L ( 2x )=0 
· i =2 Þ 2L ( x )= ))((
))((
1202
10
xxxx
xxxx
--
--
 
k =0 Þ 2L ( 0x )=0 
k =1 Þ 2L ( 1x )=0 
k =2 Þ 2L ( 2x )=1 
Cálculo Numérico Interpolação 
 Lauro / Nunes 
2 
2. Interpolar o ponto x =1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de 
Lagrange. 
i 0 1 2 3 
ix -1 0 1 2 
iy 1 3 1 1 
Resolução: n =3 é o grau máximo de 3P ( x ). 
3P ( x )=å
=
3
0i
ii xLy )( Þ 3P ( x )=1× 0L ( x )+3× 1L ( x )+1× 2L ( x )+1× 3L ( x ) 
iL ( x )=Õ
¹
= -
-3
0
ij
j ji
j
xx
xx
)(
)(
 
0L ( x )= ))()((
))()((
302010
321
xxxxxx
xxxxxx
---
---
=
))()((
))()((
211101
210
------
--- xxx
=
6
23 23
-
+- xxx
 
1L ( x )= ))()((
))()((
312101
320
xxxxxx
xxxxxx
---
---
=
))()((
))()((
201010
211
--+
--+ xxx
=
2
22 23 +-- xxx
 
2L ( x )= ))()((
))()((
321202
310
xxxxxx
xxxxxx
---
---
=
))()((
))()((
210111
201
--+
--+ xxx
=
2
223
-
-- xxx
 
3L ( x )= ))()((
))()((
231303
210
xxxxxx
xxxxxx
---
---
=
))()((
))()((
120212
101
--+
--+ xxx
=
6
3 xx -
 
Logo: 
3P ( x )= 6
23 23
-
+- xxx
+3×
2
22 23 +-- xxx
+
2
223
-
-- xxx
+
6
3 xx -
 
Þ 3P ( x )=
3x -2 2x - x +3 
3P (1,5)= 3P ( 2
3 )= 32
3 )( -2 22
3 )( - 2
3 +3 
3P (1,5)= 8
27
- 2×
4
9
-
2
3
+3 
3P (1,5)= 8
3
 Þ 3P (1,5)=0,375 
y
x
x( )P
1
3
-1 2
2
1
3
3
2
3
8
0 
Cálculo Numérico Interpolação 
 Lauro / Nunes 
3 
3. Interpolar o ponto x =1,5 na tabela abaixo, empregando a forma de Newton. 
i 0 1 2 3 
ix -1 0 1 2 
iy 1 3 1 1 
Resolução: n =3 é o grau máximo de 3P ( x ). Tabela de diferenças divididas: 
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 
-1 1 
 
)( 10
13
--
-
=2 
0 3 
)( 11
22
--
--
=-2 
 
01
31
-
-
=-2 
)(
)(
12
21
--
--
=1 
1 1 
02
20
-
-- )(
=1 
 
12
11
-
-
=0 
2 1 
 
3P ( x )= f [ 0x ]+( x - 0x )× f [ 0x , 1x ]+( x - 0x )×( x - 1x )× f [ 0x , 1x , 2x ]+ 
 +( x - 0x )×( x - 1x )×( x - 2x )× f [ 0x , 1x , 2x , 3x ] 
3P ( x )=1+( x +1)×2+( x +1)×( x )×(-2)+( x +1)×( x )×( x -1)×(1) 
3P ( x )=1+2 x +2-2
2x -2 x + 3x - x 
3P ( x )=
3x -2 2x - x +3 
Cálculo Numérico Interpolação 
 Lauro / Nunes 
4 
4. Seja f ( x ) dada em forma de tabela de valores, como segue: 
x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72 
f ( x ) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37 
· a) Obter f (0,47) usando um polinômio de grau 2; 
· b) Dar uma estimativa para o erro. 
Resolução: Tabela de diferenças divididas: 
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 
0,2 0,16 
 0,4286 
0,34 0,22 2,0235 
 0,8333 -17,8963 
0,4 0,27 -3,7033 
 0,1667 18,2494 
0,52 0,29 1,0415 
 0,375 -2,6031 
0,6 0,32 0,2085 
 0,4167 
0,72 0,37 
Deve-se escolher 3 pontos próximos de 0,47 para a obtenção de 2P ( x ). 
2P ( x )= f [ 0x ]+( x - 0x )× f [ 0x , 1x ]+( x - 0x )×( x - 1x )× f [ 0x , 1x , 2x ] 
2P ( x )=0,27+( x -0,4)×0,1667+( x -0,4)×( x -0,52)×1,0415 
2P ( x )=1,0415
2x -0,79148 x +0,419952 
· a) 2P (0,47)=0,278» f (0,47) 
· b) | nE (0,47)|»|(0,47-0,4)(0,47-0,52)(0,47-0,6)|×|18,2492| 
| nE (0,47)|»8,303×
310- . 
Cálculo Numérico Interpolação 
 Lauro / Nunes 
5 
5. Prove a igualdade seguinte. 
1P ( x )= f ( 0x )×
10
1
xx
xx
-
-
+ f ( 1x )×
01
0
xx
xx
-
-
= f [ 0x ]+( x - 0x )× f [ 0x , 1x ] 
Resolução: 
x ordem 0 ordem 1 
0x f [ 0x ]= 0y 
 f [ 0x , 1x ]=
01
01
xx
yy
-
-
 
 
1x f [ 1x ]= 1y Þ 1P ( x )= f [ 0x ]+( x - 0x )× f [ 0x , 1x ] 
1P ( x )= f [ 0x ]+( x - 0x )× f [ 0x , 1x ] 
Û 1P ( x )= 0y +( x - 0x )×
01
01
xx
yy
-
-
 
Û 1P ( x )= 0y + 1y ×
01
0
xx
xx
-
-
- 0y ×
01
0
xx
xx
-
-
 
Û 1P ( x )= 0y - 0y ×
01
0
xx
xx
-
-
+ 1y ×
01
0
xx
xx
-
-
 
Û 1P ( x )= 0y × çç
è
æ
1- ÷÷
ø
ö
-
-
01
0
xx
xx
+ 1y ×
01
0
xx
xx
-
-
 
Û 1P ( x )= 0y × ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
+--
01
001
xx
xxxx
+ 1y ×
01
0
xx
xx
-
-
 
Û 1P ( x )= 0y ×
01
1
xx
xx
-
-
+ 1y ×
01
0
xx
xx
-
-
 
 Û 1P ( x )= f ( 0x )×
10
1
xx
xx
-
-
+ f ( 1x )×
01
0
xx
xx
-
-
 
6. Encontre x tal que f ( x )=2 pela tabela abaixo: 
x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
f ( x ) 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72 
Resolução: 
Fazendo interpolação linear por 0x =0,6 e 1x =0,7: 
1P ( x )= f ( 0x )×
10
1
xx
xx
-
-
+ f ( 1x )×
01
0
xx
xx
-
-
 
1P ( x )=1,82× 10
70
,
,
-
-x
+2,01×
10
60
,
,-x
 
1P ( x )=-1,82 x +12,74+20,1 x -12,06 Þ 1P ( x )=1,9 x +0,68. 
1P ( x )=2 Û 1,9 x +0,68=2 Û x = 91
6802
,
,-
 
x =0,6947368. 
Cálculo Numérico Interpolação 
 Lauro / Nunes 
6 
7. Considere a tabela a seguir: 
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 
y = xe 1 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487 
Obter x , tal que xe =1,3165, usando um processo de interpolação quadrática. Usar a 
forma de Newton para obter 2P ( y ). Construir a tabela de diferenças divididas. 
Resolução: 
y ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 
1 0 
 0,9506 
1,1052 0,1 -0,4065 
 0,8606 0,1994 
1,2214 0,2 -0,3367 
 0,7782 0,1679 
1,3499 0,3 -0,2718 
 0,7047 0,1081 
1,4918 0,4 -0,2256 
 0,6373 
1,6487 0,5 
2P ( y )= g [ 0y ]+( y - 0y )× g [ 0y , 1y ]+( y - 0y )×( y - 1y )× g [ 0y , 1y , 2y ] 
2P ( y )=0,2+( y -1,2214)×0,7782+( y -1,2214)×( y -1,3499)×(-0,2718) 
2P (1,3165)=0,27487. 
Assim, 274870,e »1,3165 Na calculadora = 1,316359. 
Erro cometido: 
| 2E ( y )| £ |( y - 0y )×( y - 1y )×( y - 2y )|× !3
3M 
| 2E (1,3165)| £ |(1,3165-1,2214)×(1,3165-1,3499)×(1,3165-1,4918)|× !3
3M 
| 2E (1,3165)| £ 5,5681×
410- ×
!3
3M Þ 3M = )('''max yg , y Î[ 0y , 2y ]. 
· 1o Caso: 
!3
3M pode ser aproximado por 0,1994 (tabela de diferenças divididas de ordem 3). 
| 2E (1,3165)| » 5,5681×
410- ×0,1994 Þ | 2E ( y )| » 1,11028×
410- . 
· 2o Caso: f ( x )= xe Þ g ( y )= 1-f ( y )= yln 
Þ 'g ( y )=
y
1
 Þ "g ( y )=-
2
1
y
 Þ '"g ( y )=
3
2
y
 
Logo: 3M = 322141
2
),(
 Þ 3M =1,0976, então !3
3M =
!
,
3
09761
=0,18293. 
| 2E (1,3165)| £ 5,5681×
410- ×0,18293 Þ | 2E ( y )| £ 1,0186×
410- (limite superior). 
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 Lauro / Nunes 
7 
8. Achar a função spline linear que interpola a função f ( x ) tabelada a seguir. 
 0x 1x 2x 3x 
x 1 2 5 7 
y = f ( x ) 1 2 3 2,5 
y
x
x( )s
1
1
1
0
x( )f
2 3 4 5 6 7
3
2
2,5 x( )s2
x( )s3
 
Resolução: Pela definição, pode-se definir 3 splines lineares para os 4 pontos: 1s ( x ), 
2s ( x ) e 3s ( x ). 
· 1s ( x )= 0y
01
1
xx
xx
-
-
+ 1y
01
0
xx
xx
-
-
 
1s ( x )=1 12
2
-
- x
+2
12
1
-
-x
=2- x +2 x -2= x Þ 1s ( x )= x , x Î[1,2]. 
· 2s ( x )= 1y
12
2
xx
xx
-
-
+ 2y
12
1
xx
xx
-
-
 
2s ( x )=2 25
5
-
- x
+3
25
2
-
-x
=
3
2
(5- x )+ x -2=
3
1
( x +4) Þ 2s ( x )= 3
1
( x +4) , x Î[2,5]. 
· 3s ( x )= 2y
23
3
xx
xx
-
-
+ 3y
23
2
xx
xx
-
-
 
3s ( x )=3 57
7
-
- x
+2,5
57
5
-
-x
 Þ 3s ( x )= 2
1 (-0,5 x +8,5) , x Î[5,7]. 
Então, no intervalo [a ,b ]=[1,7], a spline linear 1S ( x ) é dada por: 
1S ( x )=
ï
î
ï
í
ì
Î
Î
Î
.75se ,
;52se ,
;21se ,
3
2
1
],[)(
],[)(
],[)(
xxs
xxs
xxs
 tal que 
ï
ï
î
ïï
í
ì
+-=
+==
.5850
2
1
 e
4
3
1
 ,
3
21
),,()(
)()()(
xxs
xxsxxs
 
Cálculo Numérico Interpolação 
 Lauro / Nunes 
8 
9. Encontrar uma aproximação para f (0,25) por spline cúbica natural, interpolando a 
tabela: 
 0x 1x 2x 3x 4x 
x 0 0,5 1,0 1,5 2,0 
y = f ( x ) 3 1,8616 -0,5571 -4,1987 -9,0536 
Resolução: n =4, logo, procura-se 1s ( x ), 2s ( x ), 3s ( x ) e 4s ( x ). 
Spline Natural Þ k =1,2,¼,( n -1) Þ k =1,2,3 Þ Utilizando a (15), segue que: 
Þ 1-kk gh +2( kh + 1+kh ) kg + 11 ++ kk gh =6 ç
ç
è
æ -
+
+
1
1
k
kk
h
yy
- ÷
÷
ø
ö- -
k
kk
h
yy 1 
kh = kx - 1-kx Þ kh =0,5 k" . Þ kh = h =0,5 . 
Equação (15) Þ h 1-kg +4h kg + h 1+kg = h
6
( 11 2 -+ +- kkk yyy ) , com k =1,2,3.Desenvolvendo o sistema A g =b : 
( )
( )
( )
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
+-=++
+-=++
+-=++
234432
123321
012210
2
6
4
2
6
4
2
6
4
yyy
h
hghghg
yyy
h
hghghg
yyy
h
hghghg
 
0g = 4g =0 (Spline Natural). 
Então, 
A g = b Þ 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
hh
hhh
hh
40
4
04
×
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
3
2
1
g
g
g
=
h
6
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+-
+-
+-
234
123
012
2
2
2
yyy
yyy
yyy
. 
Substituindo os valores: 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
2500
50250
0502
,
,,
,
×
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
3
2
1
g
g
g
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
559814
674814
363615
,
,
,
 Þ g =
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
2526
1114
65416
,
,
,
. 
Forma geral de is ( x ) Þ is ( x )= ia ( x - ix )
3+ ib ( x - ix )
2+ ic ( x - ix )+ id , com i =1,2,3,4. 
f (0,25) » 1s (0,25) 
1a = h
gg
6
01 - =
3
65416,-
 Þ 1a =-2,218 
1b = 2
1g =-3,327 Þ 1b =-3,327 
1c = h
yy 01 - +
6
2 01 hghg + =-3,3858 Þ 1c =-3,3858 
1d = 1y =1,8616 Þ 1d =1,8616 
Logo, 1s (0,25)=-2,218(-0,25)
3-3,327(-0,25)2-3,3858(-0,25)+1,8616 
Þ 1s (0,25)=2,5348 » f (0,25) . 
 
 
 
Cálculo Numérico Interpolação 
 Lauro / Nunes 
9 
Considerando os próximos 5 exercícios, encontrar uma aproximação para f ( x ) por 
spline cúbica natural, interpolando a tabela: 
 0x 1x 2x 3x 4x 
x 0 0,5 1,0 1,5 2,0 
y = f ( x ) 3 1,8616 -0,5571 -4,1987 -9,0536 
n =4, logo, procura-se 1s ( x ), 2s ( x ), 3s ( x ) e 4s ( x ). 
Do exercício anterior, a forma geral de is ( x ) é dada por: 
is ( x )= ia ( x - ix )
3+ ib ( x - ix )
2+ ic ( x - ix )+ id , com i =1,2,3,4. 
10. f (0,8). 
Resolução: 
f (0,8) » 2s (0,8) 
2a = h
gg
6
12 - =0,8477 Þ 2a =0,8477 
2b = 2
2g =-2,0555 Þ 2b =-2,0555 
2c = h
yy 12 - +
6
2 12 hghg + =-6,0771 Þ 2c =-6,0771 
2d = 2y =-0,5571 Þ 2d =-0,5571 
Logo, 2s (0,8)=0,8477(-0,2)
3-2,0555(-0,2)2-6,0771(-0,2)-0,5571 
Þ 2s (0,8)=0,5693 » f (0,8) . 
11. f (1,1). 
Resolução: 
f (1,1) » 3s (1,1) 
3a = h
gg
6
23 - =-0,7137 Þ 3a =-0,7137 
3b = 2
3g =-3,1260 Þ 3b =-3,1260 
3c = h
yy 23 - +
6
2 23 hghg + =-8,6678 Þ 3c =-8,6678 
3d = 3y =-4,1987 Þ 3d =-4,1987 
Logo, 3s (1,1)=-0,7137(-0,4)
3-3,1260(-0,4)2-8,6678(-0,4)-4,1987 
Þ 3s (1,1)=-1,1861 » f (1,1) . 
Cálculo Numérico Interpolação 
 Lauro / Nunes 
10 
12. f (1,2). 
Resolução: 
f (1,2) » 3s (1,2) 
3a = h
gg
6
23 - =-0,7137 Þ 3a =-0,7137 
3b = 2
3g =-3,1260 Þ 3b =-3,1260 
3c = h
yy 23 - +
6
2 23 hghg + =-8,6678 Þ 3c =-8,6678 
3d = 3y =-4,1987 Þ 3d =-4,1987 
Logo, 3s (1,2)=-0,7137(-0,3)
3-3,1260(-0,3)2-8,6678(-0,3)-4,1987 
Þ 3s (1,2)=-1,8604 » f (1,2) . 
13. f (1,3). 
Resolução: 
f (1,3) » 3s (1,3) 
3a = h
gg
6
23 - =-0,7137 Þ 3a =-0,7137 
3b = 2
3g =-3,1260 Þ 3b =-3,1260 
3c = h
yy 23 - +
6
2 23 hghg + =-8,6678 Þ 3c =-8,6678 
3d = 3y =-4,1987 Þ 3d =-4,1987 
Logo, 3s (1,3)=-0,7137(-0,2)
3-3,1260(-0,2)2-8,6678(-0,2)-4,1987 
Þ 3s (1,3)=-2,5845 » f (1,3) . 
14. f (1,7). 
Resolução: 
f (1,7) » 4s (1,7) 
4a = h
gg
6
34 - =2,0840 Þ 4a =2,0840 
4b = 2
4g =0 Þ 4b =0 
4c = h
yy 34 - +
6
2 34 hghg + =-10,2308 Þ 4c =-10,2308 
4d = 4y =-9,0536 Þ 4d =-9,0536 
Logo, 4s (1,7)=2,0840(-0,3)
3+0(-0,3)2-10,2308(-0,3)-9,0536 
Þ 4s (1,7)=-6,0406 » f (1,7) .