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Cálculo Numérico Integração Numérica 
 Lauro / Nunes 
1 
1. Calcular ò -
9
1
56x dx , usando a regra dos trapézios. 
Resolução: 
a =1, b =9 e f ( x )= 56 -x 
h = b - a Þ h =9-1 Þ h =8. 
ò
b
a
dxxf )( » 
2
h
[ f (a )+ f (b )] = TI 
 f (a )= f (1)=1 
 f (b )= f (9)=7 
 
ò -
9
1
56x dx » 
2
8
[1+7] Þ TI =32. 
O erro cometido será, no máximo: 
| TE |£ 12
3h
],[
max
baxÎ
| "f ( x )| 
 "f ( x )= 23569 /)( --- x 
| TE |£ 12
83
],[
max
91Îx
| 23569 /)( --- x | 
 x =1 Þ | TE |£ 384 
 x =9 Þ | TE |£ 1,119 
Logo, | TE |£ 384. 
2. Calcular ò -
9
1
56x dx empregando o método dos trapézios com 8 repetições. 
Determine uma aproximação para o erro cometido. 
Resolução: 
ò
9
1
dxxf )( = ò -
9
1
56x dx »
2
h
[ f ( 0x )+ f ( 8x )+2×å
=
7
1i
ixf )( ] 
h =
n
ab -
=
8
19 -
 Þ h =1 
x 0x =1 1x =2 2x =3 3x =4 4x =5 5x =6 6x =7 7x =8 8x =9 
f ( x ) 1 2,65 3,61 4,36 5 5,57 6,08 6,56 7 
ò -
9
1
56x dx » 
2
1
[1+7+2×(2,65+3,61+4,36+5+5,57+6,08+6,56)] = 37,83. 
ò -
9
1
56x dx » 37,83. 
Erro cometido será, no máximo: 
| TRE |£ 2
3
12n
ab )( -
],[
max
baxÎ
| "f ( x )| = 2
3
812
8
×
×
],[
max
91Îx
|-(6 x -5)-3/2 | = 6. 
Neste caso em particular, f ( x ) pode ser integrada de forma exata: 
ò -
9
1
56x dx = ò
49
1
u
6
du
 = 
49
1
23
9
/u = 
9
749 ×
-
9
1
 = 
9
1343 -
 = 38. 
Cálculo Numérico Integração Numérica 
 Lauro / Nunes 
2 
3. Seja I = ò
1
0
dxex . Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra 
dos trapézios repetida. Estimar o erro cometido. 
Resolução: 
h =
n
ab -
=
10
1
 Þ h =0,1 Þ ix = 10
i
, com i =0,1,¼,10. 
ò
1
0
dxxf )( = ò
1
0
dxex »
2
10,
[ f ( 0x )+ f ( 10x )+2×å
=
9
1i
ixf )( ] 
ò
1
0
dxex »
2
10,
[ 0e + 1e +2×( 10,e + 20,e + 30,e + 40,e + 50,e + 60,e + 70,e + 80,e + 90,e )] = 1,7197. 
ò
1
0
dxex » 1,7197. 
Erro cometido será, no máximo: 
| TRE |£ 2
3
12n
ab )( -
],[
max
baxÎ
| "f ( x )| = 2
3
1012
01
×
- )(
×
],[
max
10Îx
| xe | » 0,00227. 
4. Seja I = ò
1
0
dxex . Qual o número mínimo de subdivisões, para a regra dos trapézios 
repetida aplicada em I , de modo que o erro seja inferior a 10-3? 
Resolução: | TRE |£ 2
3
12n
ab )( -
],[
max
baxÎ
| "f ( x )| Þ 
],[
max
10Îx
| xe |= e . 
10-3£ 212
1
n×
×e Þ 2n ³ 31012 -×
e
 Þ n ³15,05 
n =16. 
5. Seja I = ò
1
0
dxex . Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com 
m =10. Estime o erro cometido. 
Resolução: 
Sendo m =10, h =1/10 Þ h =0,1. 
ò
1
0
dxex »
3
10,
( 00,e +4 10,e +2 20,e +4 30,e +2 40,e +¼+2 80,e +4 90,e + 01,e ) 
ò
1
0
dxex »1,71828278. 
Estimativa do erro: 
SRE £ 4
5
52880
01
×
- )(
×
],[
max
10Îx
| xe | 
SRE £ 452880 ×
e
 Þ SRE £1,51016×10
-6 . 
Observe que SRE £0,00000151 e TRE £0,00227. 
Cálculo Numérico Integração Numérica 
 Lauro / Nunes 
3 
6. Seja I = ò
1
0
dxex . Para que valor de m teríamos erro inferior a 10-3? 
Resolução: 
SRE £ 4
5
2880n
ab )( -
×
],[
max
baxÎ
| )(xf 4 | Obs: m =2n Þ n =
2
m
 
4
5
2880
01
n
)( -
×e £10-3 Þ 4n ³ 3102880 -×
e
 
4n ³0,943848 Þ n ³0,9856563. 
m =2n ³1,9713 
m =2 Þ Para um erro inferior a 10-3 seriam necessários 2 subintervalos. 
Obs: na regra dos trapézios com repetição são necessários 16 intervalos. 
7. Seja I = ò
10
6
xdxlog . Aproxime I com a regra dos trapézios com 8 repetições. Estime o 
erro cometido. 
Resolução: 
h =
n
ab -
=
8
610 -
 Þ h =0,5. 
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
ix 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 
)( ixf 0,7781513 0,8129134 0,8450980 0,8750613 0,9030900 0,9294189 0,9542425 0,9777236 1,0 
Obs:
dx
xd log
=
10
1
lnx
 2
2
dx
xd log
=-
10
101
22 ln
ln
×
×
x
=
10
1
2 ln×
-
x
 
 Þ 2
2
dx
xd log
=-
2x
elog
. 
ò
10
6
xdxlog »
2
50,
[0,77815125+1,0+2×(0,81291336+¼+0,97772361)]=3,59331166. 
ò
10
6
xdxlog »3,59331166. 
Estimativa do erro: 
TRE £ 2
3
812
610
×
- )(
×
],[
max
106Îx 2
2
dx
xd log Þ TRE £ 2
3
812
4
×
×
26
elog
 
Þ TRE £0,0010053113. 
Cálculo Numérico Integração Numérica 
 Lauro / Nunes 
4 
8. Seja I = ò
10
6
xdxlog . Aproxime I com a regra de Simpson com 8 subintervalos. Estime 
o erro cometido. 
Resolução: 
h =
m
ab -
=
8
610 -
 Þ h =0,5. m =8 e n =4. 
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
ix 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 
)( ixf 0,7781513 0,8129134 0,8450980 0,8750613 0,9030900 0,9294189 0,9542425 0,9777236 1,0 
Obs:
dx
xd log
=
10
1
lnx
 2
2
dx
xd log
=-
10
101
22 ln
ln
×
×
x
=
10
1
2 ln×
-
x
 
 Þ 2
2
dx
xd log
=-
2x
elog
. 
 Þ 
3
3
dx
xd log
=
3
2
x
ex log
. 
 Þ 
4
4
dx
xd log
=
6
26
x
xe ×- log
=
4
6
x
elog-
. 
ò
10
6
xdxlog »
2
50,
[0,77815125+1,0+2×(0,84509804+0,90308999+0,95424251) 
+4×(0,81291336+0,87506126+0,92941893+0,97772361)]=3,5939135. 
ò
10
6
xdxlog »3,5939135. 
Estimativa do erro: 
SRE £ 4
5
2880
610
n×
- )(
×
],[
max
106Îx
| )(xf 4 | Þ TRE £ 4
5
42880
4
×
×
46
6 elog
 
Þ SRE £0,0000027925.