Cálculo II

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03/06/2021 IESB
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Introdução da disciplina
Olá, estudantes! Sejam todos(as) muito bem-vindos(as) ao curso de Cálculo 2!
O principal objetivo deste custo é continuar o desenvolvimento das ferramentas matemáticas necessárias
que serão utilizadas no curso de Engenharia Civil. Como de praxe, este curso foi dividido em quatro partes
bem de�nidas: sequências e séries, funções de mais de uma variável, integrais múltiplas e aplicações das
integrais múltiplas.
Serão trabalhadas as sequências e séries. As séries in�nitas são muito úteis na matemática, pois, a partir
delas, conseguimos representar tanto funções como apenas números em uma forma mais conveniente para
se trabalhar dependendo do contexto. Estudaremos as séries de Taylor e Fourier, que são duas formas
diferentes de representar funções. As séries de Taylor são utilizadas quando estamos interessados em
escrever uma função f(x) em um formato polinomial, enquanto as séries de Fourier são utilizadas,
usualmente, em um contexto que se envolvem ondas, pois ela é capaz de representar uma função f(x) apenas
com a informação das frequências envolvidas na onda.
As funções de mais de uma variável, cujo assunto dominará todas as unidades restantes, surgem a todo
momento no nosso dia a dia, ainda que não percebamos.
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Talvez você nunca tenha notado, mas uma fotogra�a digital em escala de cinza, por exemplo, nada mais é que
a representação da intensidade de luz sobre um plano, isto é,
fotogra�a=I(x,y)
em que I representa a intensidade e os pontos x e y localizam aquela intensidade sobre a foto. Para funções
como essa, iremos realizar um estudo semelhante àquele feito na disciplina Cálculo 1, com limites,
continuidade, derivadas, localização de máximos e mínimo e também integração.
A integral no contexto das funções de múltiplas variáveis tem um papel muito importante no
desenvolvimento cientí�co. Dessa forma, iremos ver algumas aplicações simples e também interessantes
sobre as integrais múltiplas. Veremos, por exemplo, como calcular a força de sustentação em uma asa que é o
princípio básico de funcionamento de um avião.
Desejamos a você, então, um ótimo percurso. Rico em aprendizagens e enriquecimento intelectual. Bons
estudos!
A disciplina de "Cálculo Numérico e Programação” é uma das mais importantes para os alunos que ingressam
em um curso superior de Tecnologia da Informação e Comunicação (TIC), pois os conhecimentos adquiridos
nela vão in�uenciar diretamente o desempenho das demais disciplinas correlatas durante o restante do
curso.
O objetivo principal dessa disciplina é garantir que o discente possa desenvolver um algoritmo, que é uma
sequência �nita de ações para resolver um problema estabelecido.
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Essa sequência �nita de ações será traduzida em um conjunto de instruções de uma linguagem de
programação (o programa ou software) que o computador executará para a solução do problema.
O processo de desenvolvimento do algoritmo e a sua tradução para uma linguagem de programação é
denominado de construção de programa de computador e é uma das principais tarefas dos pro�ssionais da
área de Tecnologia da Informação (TI).
No entanto, é importante entender que o estudo de Lógica de Programação não pode ser restrita ao estudo
de uma linguagem de programação que é a ferramenta de concretização do produto de software, mas deve-
se preocupar com o desenvolvimento das seguintes habilidades:
Conhecimento dos conceitos básicos que estejam relacionadas com algoritmos.
Entendimento das técnicas básicas de construção de algoritmos.
Análise de algoritmos.
Entendimento dos problemas de acordo com a sua complexidade.
As habilidades acima listadas serão adquiridas por meio do conhecimento proveniente de estudos e da
destreza proveniente da prática que virá com o tempo e com a prática.
Bons estudos!
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Unidade 01
Aula 01
Sequências e Séries Numéricas
Olá, estudante, bem-vindo(a) à primeira Unidade. Estudaremos aqui sequências e séries, começando, nesta
aula, pelas sequências. Boa aula e bons estudos!
Uma sequência é uma lista in�nita de números ordenados na forma    em que cada um
dos é um número real. Dessa forma, podemos dizer que uma sequência é uma função  que, a
cada , associa um número 
Existem várias formas de representar uma sequência. Nesta disciplina, usaremos a notação do termo geral.
Por exemplo,
representa a lista
No entanto, a sequência
representa o conjunto
, , , ⋯ , , ⋯a1 a2 a3 an
an f : N → R
n ∈ N = f (n) .an
=an
1
2n
, , , … , , …
1
2
1
4
1
6
1
2n
=bn (−1)
n
−1, 1, −1, … , , …(−1)n
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Para nós, existirão dois tipos de sequências importantes: as que se aproximam de algum valor quando o 
aumenta e as que não se aproximam de nenhum número. Nas duas sequências anteriores, podemos ver
claramente esse comportamento. Os termos da sequência diminuem sempre que o valor de aumenta,
se ele aumentar sem nenhum controle, os termos da sequência �carão cada vez mais próximos de zero.
Entretanto, a sequência só possui dois valores: e . Independente se o aumentar ou não, a
sequência estará ou em ou em . Dessa forma, �ca claro que a sequência não se aproxima de ninguém.
Quando uma sequência se aproxima de um número quando o aumenta arbitrariamente, diremos que
a sequência converge e, assim, escreveremos
Como a noção de aproximação está sempre relacionada ao , então, a segunda notação faz bastante
sentido. Usaremos as duas nestas aulas.
Em outro caso, quando a sequência não se aproxima de nenhum valor, dizemos que ela diverge. Nessa
situação, podemos ter uma sequência como a do exemplo acima, , que �ca alternando entre -1 e
1 e também uma sequência como , que sempre aumenta quando . No segundo caso,
escrevemos, então,
A seguir, veremos alguns exemplos de algumas sequências que convergem ou não.
Exemplo 1:
 basta notar que, apesar de alternar entre valores positivos e negativos, o número �ca
cada vez menor quando se aumenta o .
, pois, manipulando o termo geral da sequência, podemos escrever
n
an n
bn −1 1 n
−1 1 bn
an L n
= L ou  → Llim
n→∞
an an
n → ∞
an
=bn (−1)
n
=cn n
−−√ n → ∞
= ±∞ ou  → ±∞lim
n→∞
cn
= → 0,an
(−1)n
n2
n
= → − ,bn
3 + +1n3 n2
2−7n3
3
7
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e, nesse caso, quando cada um dos termos no numerador e denominador e . Dessa
forma, temos que
, ou seja, diverge, pois, claramente, cada parcela da soma aumenta quando 
.
 também é uma sequência divergente. Nesse caso, não podemos escrever que ou 
, pois, para su�cientemente grande, a sequência sempre estará entre um número muito grande
positivo ou outro negativo. Dizemos apenas que é divergente.
Em muitos casos, é possível associar a convergência de uma sequência à convergência de uma função real.
Na prática, o cálculo do limite no in�nito de uma função real se faz de forma semelhante ao cálculo do limite
de uma sequência. O teorema a seguir nos dá uma ótima ferramenta para determinar limites de algumas
sequências.
Exemplo 2:
Podemos aplicar o resultado do Teorema 1 na sequência
Temos que é uma função contínua. Além disso, é claro que
= = ,
3 + + 1n3 n2
2 − 7n3
(3 + + )n3 1n
1
n3
( − 7)n3 2n3
3 + +1n
1
n3
− 72n3
n → ∞ ,1n
1
n3 → 0
2
n3
= → = − .
3 + + 1n3 n2
2 − 7n3
3 + +1n
1
n3
− 72n3
3 + 0 +0
0 − 7
3
7
= 3 + n + 1 → ∞cn n2
n → ∞
=dn (−1)
n
n2 → ∞dn
→ −∞dn n
= cos(π − ).an
2
3n
f (x) = cos(x)
SAIBA MAIS
Teorema: Sejam uma função real contínua e uma sequência tal que está bem
de�nida. Se
Em outras palavras,
f (x) an = f ( )bn an
= L ⇒ f ( ) = f (L) .lim
n→∞
an limn→∞
an
f ( ) = f ( ) = f (L) .lim
n→∞
an limn→∞
an
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Portanto, a sequência será convergente e temos
Outro teorema importante, utilizado para veri�car limite de sequências, é o Teorema do Sanduíche ou
Teorema do Confronto. No Cálculo 1, também tínhamos uma versão desse teorema. Ele era muito útil
quando podíamos comparar a sequência de interesse com outras conhecidas e também convergentes.
Exemplo 3:
Considere a sequência
Temos que a para qualquer . Dessa forma, temos
Sabemos que a sequência e também que Portanto, pelo Teorema do Sanduíche,
a sequência 
Apesar de que, por um momento, o próximo teorema possa parecer com o Teorema 1, eles são, de fato,
distintos. Veja!
= π − → π − 0 = π.bn
2
3n
an
cos(π − ) = cos( (π − )) = cos(π) = −1.lim
n→∞
2
3n
lim
n→∞
2
3n
= .an
se (n)n2
3n
0 ≤ se (n) ≤ 1n2 n
0 ≤ ≤ .
se (n)n2
3n
1
3n
= 0 → 0zn = → 0.gn 13n
→ 0.an
SAIBA MAIS
Teorema do Sanduíche: Sejam   , e  sequências tais que   para todo   . Se  
, então,  
an bn cn ≤ ≤an bn cn n ∈ N
, → Lan cn → L.bn
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A vantagem desse teorema é que podemos usar as regras do Cálculo 1, como a regra de l’Hôpital, para
calcular o limite de alguma sequência.
Exemplo 4:
Considere a sequência
.
Observe que fazendo , temos uma indeterminação do tipo . Então, transformando a sequência
numa função de é conveniente utilizar a regra de l’Hôpital. Assim, temos
Exemplo 5:
Considere a sequência
= .an
tg (1/n)
ln(sen( ))1n
n → ∞ .0∞
x
=lim
x→∞
tg( )1x
ln(sen( ))1x
lim
x→∞
[tg( )]1x
′
[ln(sen( ))]1x
′
= lim
x→∞
( ) ⋅ (− )sec2 1x
1
x2
[ ] ⋅ cos( ) ⋅ (− )1
sen( )1x
1
x
1
x2
= ( ) tg( )lim
x→∞
sec2
1
x
1
x
= 0.
SAIBA MAIS
Teorema 3: Suponha que seja uma função real tal que a sequência é de�nida como 
 Então,  
f (x) an
= f (n) .an
f (x) = L ⇒ = L.lim
x→∞
lim
n→∞
an
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Claramente, há uma indeterminação quando fazemos . Dessa forma, considere a sequência
Para ela, temos
Novamente, temos uma indeterminação quando fazemos . No entanto, se considerarmos que
quando temos uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}. Dessa forma, podemos aplicar a regra de
l’Hôpital no limite
Se , então, . Levando em consideração a função podemos
aplicar o Teorema 1 para obter
= .an (1 + )
1
n
n
n → ∞
= ln( ).bn an
= n ln(1 + ).bn
1
n
n → ∞
n ln(1 + ) = ,
1
n
ln(1 + )1n
1
n
n → ∞
=lim
x→∞
ln(1 + )1x
1
x
lim
x→∞
[ln(1 + )]1x
′
[ ]1x
′
= lim
x→∞
[ ](− )1
1+ 1x
1
x2
(− )1x2
= lim
x→∞
1
1 + 1x
= 1.
x ln(1 + ) → 11x = n ln(1 + ) → 1bn
1
n e
x
= → .ebn (1 + )
1
n
n
e1
VÍDEO
No vídeo a seguir, é possível assistir uma videoaula sobre sequências.
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Uma série numérica nada mais é que uma soma de in�nitos termos na forma
em que é uma sequência de termos positivos, de�nidos com a mesma forma vista na aula anterior.
Bem, mas qual o interesse de estudar uma soma de in�nitos números?
Na verdade, nós já trabalhamos com somas in�nitas várias vezes na nossa vida sem ao menos nos darmos
conta. Por exemplo, o famoso número como vocês já devem saber é um número irracional, ou seja, sua
representação decimal não fornece nem uma dízima periódica e nem �nita. Normalmente, quando nós
tratamos desse número, o escrevemos assim
Às vezes, com mais casas decimais, às vezes, com menos. Mas o interessante é perceber que
O número , na verdade, pode ser representado como uma soma in�nita e o mais impressionante é que essa
soma in�nita nos fornece um número �nito, no caso o , pois
em que o número varia entre e .
= + + + ⋯ + + ⋯ ,∑
n=1
∞
an a1 a2 a3 an
an
π
π = 3, 1415926535 ⋯ .
π = 3, 1415926535 ⋯ = 3 + + + + + + + ⋯ .
1
10
4
102
1
103
5
104
9
105
2
106
π
π
π = 3 +∑
n=1
∞
an
10n
an 0 9
VÍDEO
A sequência de Fibonacci é uma sequência não convergente, mas ela possui um grande interesse na
Matemática. Assista a um vídeo sobre isso a seguir.
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Claramente, nem sempre uma soma in�nita como essas vai resultar em um número �nito. Não é difícil
encontrarmos exemplo desse fato, como a série
Assim, um dos nossos objetivos daqui em diante é veri�car quando uma série in�nita fornece ou não um
número �nito. Para tal, dada uma série
de termos positivos, vamos criar uma sequência que é a soma dos primeiros termos dessa série. Isto é, a
sequência é dada por
Observe que essa é uma sequência in�nita e que os seus termos são
Quando essa sequência for convergente, isto é, diremos que a série converge. Quando a
sequência não for convergente, diremos que a série diverge. A sequência é chamada de sequência das
somas parciais da série
Exemplo 6:
A série geométrica é uma série que surge com muita frequência na matemática, ela é dada por
em que e . Vamos mostrar nesse exemplo quando essa série é convergente e qual o valor que
essa série converge. Para tal, vamos olhar para a sequência das somas parciais. Considere, então, como
sendo a soma dos primeiros termos da série, isto é,
Multiplicando por os dois lados da última equação, temos
n = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n + ⋯ = ∞.∑
n=1
∞
= + + + ⋯ + + ⋯∑
n=1
∞
an a1 a2 a3 an
Sk k
= = + + + ⋯ + .Sk ∑
n=1
k
an a1 a2 a3 ak
, ( + ) , ( + + ) , … , , …a1 a1 a2 a1 a2 a3 ∑
n=1
k
an
Sk → S,Sk
Sk Sk
= + + + ⋯ + + ⋯ .∑
n=1
∞
an a1 a2 a3 an
a + ar + a + ⋯ + a + ⋯ = a ,r2 rn ∑
n=0
∞
rn
a ≠ 0 r > 0
Sk
k
= a + ar + a + a + ⋯ + a .Sk r
2 r3 rk
r
r = ar + a + a + a + ⋯ + a .Sk r
2 r3 r4 rk+1
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Fazendo a diferença entre as duas últimas equações, percebe-se que vários termos irão se cancelar, dessa
forma, teremos
ou seja,
Nesse caso, em particular, obtemos uma expressão para as somas parciais da série e é ela quem nos indicará
quando a série geométrica irá convergir ou não. Percebe-se que , caso contrário, a série será
divergente, pois ela será nada mais que a soma do número aa in�nitas vezes. O número também não pode
ser maior que , caso seja teremos que a sequência
quando . A nossa chance para a convergência é que o número . De fato, a série será
convergente nesse caso, pois
quando se . Portanto, a série geométrica é convergente quando e a soma da
série é dada por
Finalmente, temos que
quando .
Exemplo 7:
Outra série famosa na Matemática que podemos determinar o seu limite utilizando as somas parciais é a
série telescópica, dada por
Vamos olhar para as sua sequência de somas parciais, que é dada por
− r = a − a ,Sk Sk r
k+1
= a .Sk
1 − rk+1
1 − r
r ≠ 1
r
1
→ ∞rk+1
k → ∞ 0 < r < 1
→ 0rk+1
k → ∞ 0 < r < 1 0 < r < 1
= aSk
1 − rk+1
1 − r
→ a =
1 − 0
1 − r
a
1 − r
a = ,∑
n=0
∞
rn
a
1 − r
0 < r < 1
+ + + ⋯ + + ⋯ = .
1
2
1
6
1
12
1
n (n + 1)
∑
n=1
∞ 1
n (n + 1)
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Perceba que o termo geral da série se decompõe da forma
para qualquer . Dessa forma, podemos reescrever a sequência de somas parciais, como
Assim, fazendo , temos
pois
Portanto, a série telescópica é convergentee
Não é difícil perceber que a tentativa de encontrar uma fórmula para as somas parciais nem sempre irá ser
bem-sucedida. Um exemplo simples é a série
A busca por uma fórmula para a sequência de somas parciais certamente será um trabalho considerável. Por
isso, em várias situações, é conveniente saber quando uma determinada série converge ou não sem precisar
encontrar o seu respectivo valor. Começamos, então, a nossa busca pelos testes de convergência. Dada uma
série
= + + + ⋯ +Sk
1
2
1
6
1
12
1
k (k + 1)
= + + + ⋯ + .
1
1 ⋅ 2
1
2 ⋅ 3
1
3 ⋅ 4
1
k (k + 1)
= − ,
1
k (k + 1)
1
k
1
k + 1
k
= + + + ⋯ +Sk
1
1 ⋅ 2
1
2 ⋅ 3
1
3 ⋅ 4
1
k (k + 1)
= ( − ) + ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − )
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
k
1
k + 1
= 1 − .
1
k + 1
k → ∞
→ 1,Sk
→ 0.
1
k + 1
= 1.∑
n=1
∞ 1
n (n + 1)
.∑
n=1
∞ 1
n!
∑
n=0
∞
an
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podemos escrever o termo geral dessa série utilizando a sequência de somas parciais na seguinte forma
Suponha que essa série seja convergente, isto é, quando   . Então, no in�nito, temos que
Portanto, se uma série for convergente, então, o limite do termo geral é sempre zero. Com isso, escrevemos
o nosso primeiro teste de convergência.
Exemplo 8:
A série
é divergente, pois seu termo geral satisfaz
Portanto, a série é divergente.
S_k
= − .ak Sk Sk−1
→ SSk k → ∞
= − → S − S = 0.ak Sk Sk−1
∑
n=1
∞
n + 1
n
= (1 + ) = 1.lim
k→∞
k + 1
k
lim
k→∞
1
k
SAIBA MAIS
Teste do Termo Geral: Dada a série  
se ela é convergente, então quando . No entanto, se  
 quando , então a série
diverge.
∑
n=0
∞
an
→ 0ak k → ∞
↛ 0ak
k → ∞
∑
n=0
∞
an
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Exemplo 9:
A série
também é divergente, pois seu termo geral satisfaz
Portanto, a série também diverge.
É importante observar que o fato de uma série ser tal que quando não garante sua
convergência, como veremos no exemplo a seguir.
Exemplo 10:
O exemplo mais conhecido de uma série divergente cujo seu termo geral se anula no in�nito é a série
harmônica
O seu termo geral claramente vai a zero, no entanto, vamos mostrar que essa série é divergente. Observe
que
quando . Portanto, a sequência das somas parciais quando , portanto a série
harmônica é divergente.
∑
n=1
∞ 1 + n + 3n2
2 + 3n2
= = =lim
k→∞
1 + k + 3k2
2 + 3k2
lim
k→∞
( + + 3)k2 1
k2
1
k
(2 + )k2 3
k2
lim
k→∞
+ + 31
k2
1
k
2 + 3
k2
3
2
∑an → 0an n → ∞
.∑
n=1
∞ 1
n
=S2n+1
1 + + + + + … + + + … + + … + + … +
1
2
1
3
1
4
1
5
1
8
1
9
1
16
1
2n
1
+ 12n
1
2n+1
> 1 + + + + + … + +
1
2
+
1
4
1
4  
2 vezes
+ … +
1
8
1
8  
4 vezes
+ … +
1
16
1
16  
8 vezes
1
2n
+ … +
1
2n+1
1
2n+1  
 vezes2n
= 1 + +
1
2
+ + … +
1
2
1
2
1
2  
n vezes
= 1 + → ∞
n + 1
2
n → ∞ → ∞Sk k → ∞
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Unidade 01
Aula 02
Testes de Convergência
Começa aqui a primeira parte do nosso conteúdo sobre Testes de Convergência. Após vermos sequências e
séries numéricas, chegou a hora de estudarmos mais assuntos. Boa aula!
VÍDEO
Para uma aula introdutória sobre séries numéricas, assista ao vídeo a seguir.
VÍDEO
Uma explicação em videoaula do porquê da série harmônica ser divergente pode ser vista a seguir.
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É possível notar, pelos exemplos realizados nas aulas anteriores, que determinar o valor que uma série tem
não é uma tarefa fácil. Nem sempre é possível, de uma forma direta, calcular o limite das somas parciais e,
então, encontrar o valor da série. No entanto, é possível, com bem menos esforço, veri�car ao menos se uma
determinada série é convergente ou não. Isso não nos dá o valor da série, mas pelo menos temos uma noção
qualitativa do comportamento da série.
Na aula anterior, vimos o nosso primeiro teste de convergência: dada uma série , se , então a
série diverge. Esse não é um teste muito bom, pois existem séries divergentes, tais que o termo geral
converge para zero, como, por exemplo, a série harmônica
De qualquer forma, é uma primeira abordagem para veri�car a convergência sem precisar calcular o valor da
série.
Nesta aula, começaremos com o teste mais e�ciente de todos, isto é, que funciona 100% das vezes. Parece
ótimo ter um teste que funciona sempre, mas, como veremos, as coisas nem sempre são tão boas quanto
parecem. Fique atento!
Para uma noção de como utilizar o teste da razão, vamos a alguns exemplos.
Exemplo 11:
Vamos provar utilizando o teste da comparação que a série
é convergente. Observamos que cada termo da série anterior satisfaz , pois
∑an ↛ 0an
= ∞.∑
n=1
∞ 1
n
= 1 + + + + ⋯ + + ⋯∑
n=1
∞ 1
n!
1
2!
1
3!
1
4!
1
n!
≤an 12n−1
SAIBA MAIS
Teste da Comparação: Considere as séries e , então: 
(i) se a , para todo , e a série   converge, então a série também converge; 
(ii)  e a , para todo , e a série   diverge, então a série também diverge.
∑an ∑ bn
≤an bn n ∑ bn ∑
an
≤bn an n ∑ bn ∑
an
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A série formada pelos termos é a chamada série geométrica que é convergente, como vimos na
aula anterior. Essa série é convergente, pois
Dessa forma, pelo teste da razão, temos que a série é convergente.
Exemplo 12:
Utilizando a mesma estratégia do exemplo anterior, podemos mostrar que a série
também é convergente. Note que o número , para todo . Assim, temos que
,
para todo . Mas, já sabemos, do exemplo anterior que,
Portanto, pelo teste da comparação, a série também é convergente.
1 = ≤ = 1a1
1
20
= = ≤ =
1
2
1
2!
a2
1
21
1
2
= = ≤ =
1
6
1
3!
a3
1
22
1
4
= = ≤ =
1
24
1
4!
a4
1
23
1
8
⋮
=bn 12n−1
= 1 + + + + ⋯∑
n=1
∞ 1
2n−1
1
2
1
22
1
23
=
1
1 − ( )12
= 2.
∑
n=1
∞
1
n!
= + + + ⋯ + ⋯∑
n=1
∞ 1
+2n−1 n−−√
1
+20 1–√
1
+21 2–√
1
+22 3–√
1
+2n−1 n−−√
+ > ,2n−1 n−−√ 2n−1 n
= < ,an
1
+2n−1 n−−√
1
2n−1
n
= 2.∑
n=1
∞ 1
2n−1
∑
n=1
∞
1
+2n−1 n√
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Exemplo 13:
Vamos agora ver que a série
é divergente.
Observe que o termo geral dessa série pode ser reescrito na seguinte forma
Claramente, temos que Além disso, temos que
ou seja,
para todo . A série formada pelos termos , conhecida como série harmônica, conforme vimos na
aula anterior, é divergente. Dessa forma, a série formada pelos termos também é, pois
Agora, �nalmente, utilizando o teste da comparação, podemos a�rmar que a série
é divergente, pois , para todo , e a série é divergente.
Apesar de ser um teste fantástico, por funcionar em todos os casos, �ca claro que nem sempre seremos
capazes de utilizá-lo. Nem sempre será fácil determinar uma comparação entre duas séries.
Por exemplo, qual seria o termo geral apropriado que deveria ser usado para veri�car a convergência da
série
= + + + ⋯∑
n=1
∞ 2n + 1
−n2 14
2 ⋅ 1 + 1
−12 14
2 ⋅ 2 + 1
−22 14
2 ⋅ 3 + 1
−32 14
=an
2n + 1
−n2 14
=
2(n + )12
(n − )(n + )12
1
2
= .
2
n − 12
→ 0an
<
n − 12
2
n
2
< =
2
n
2
n − 12
an
n =b∗n 1n
=bn 2n
= 2 = 2 ⋅ ∞.∑
n=1
∞
bn ∑
n=1
∞
b∗n
= + + + ⋯∑
n=1
∞ 2n + 1
−n2 14
2 ⋅ 1 + 1
−12 14
2 ⋅ 2 + 1
−22 14
2 ⋅ 3 + 1
−32 14
<bn an n ∑
bn
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Reparem que , nesse caso, então existe a possibilidade dessa série ser convergente. Voltaremos a
essa série depois, vamos agorafalar sobre um outro teste que, apesar de ter sua e�ciência restrita, oferece
uma ótima ferramenta para veri�car a convergência, já que ele não necessita do conhecimento de outras
séries.
Novamente, com o intuito de veri�car a convergência de uma série utilizando o teste da razão, vamos a
alguns exemplos.
Exemplo 14:
Vamos considerar a mesma série do Exemplo 11 anterior e veri�car como o teste da razão se aplica.
Considerando a série
temos que o seu termo geral é dado por . Precisamos apenas veri�car o limite , assim
sen( ) ?∑
n=1
∞∣
∣
∣
1
n2
∣
∣
∣
→ 0an
= 1 + + + + ⋯ + + ⋯∑
n=1
∞ 1
n!
1
2!
1
3!
1
4!
1
n!
=an 1n!
an+1
an
=
an+1
an
1
(n+1)!
1
n!
=
n!
(n + 1)!
SAIBA MAIS
Teste da Razão: Considere a série e suponha que , então: 
i.   se a série converge; 
ii.   se a série diverge; 
iii.   se o teste é inconclusivo, isto é, não há como saber utilizando este teste
se a série é convergente ou divergente.
∑an → Lan+1an
L < 1
L > 1
L = 1
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quando . Como , então, a série é convergente, pelo teste da razão.
Exemplo 15:
Considere agora a série
que possui termo geral . Para essa série, temos
quando . Portanto, como , então, a série é divergente, pelo teste da razão.
Exemplo 16:
Finalmente, veremos um caso em que o teste da razão é inconclusivo. Considere agora a série
=
n!
(n + 1)n!
= → 0
1
n + 1
n → ∞ → 0 < 1an+1an ∑
1
n!
= 2 + + + ⋯ + + ⋯∑
n=1
∞ (2n)!
(n!)2
4!
(2!)2
6!
(3!)2
(2n)!
(n!)2
=an
(2n)!
(n!)2
=
an+1
an
(2(n+1))!
[(n+1)!]2
(2n)!
(n!)2
= ⋅
(n!)2
[(n + 1)!]2
(2n + 2)!
(2n)!
= ⋅
(n!)2
(n + 1)2(n!)2
(2n + 2) (2n + 1) (2n)!
(2n)!
=
(2n + 2) (2n + 1)
(n + 1)2
=
4 + 5n + 2n2
+ 2n + 1n2
=
(4 + + )n2 5n
1
n2
(1 + + )n2 2n
1
n2
= → 4
4 + +5n
1
n2
1 + +2n
1
n2
n → ∞ → 4 > 1an+1an ∑
(2n)!
(n!)2
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o termo geral dessa série é dado por . Aplicando o teste da razão, temos
quando . Dessa forma, como , então, pelo teste da razão, nada se pode dizer sobre a
convergência da série .
= 1 + + + ⋯ + + ⋯∑
n=1
∞ 1
n2
1
22
1
32
1
n2
=an 1n2
=
an+1
an
1
(n+1)2
1
n2
=
n2
(n + 1)2
=
n2
+ 2n + 1n2
=
(1)n2
(1 + + )n2 2n
1
n2
= → 1
1
1 + +2n
1
n2
n → ∞ → 1an+1an
∑ .1n2
VÍDEO
Assista a uma videoaula produzida pelo portal omatematico.com com outros exemplos da aplicação do
teste da comparação.
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Na aula anterior, estudamos dois testes de convergência: o teste da comparação e o teste da razão. Vimos
que ambos são úteis para veri�car a convergência de uma série, mas ambos também podem apresentar
algumas limitações práticas. Por exemplo, vamos considerar a série
de imediato é difícil pensar em uma série simples, convergente ou divergente, que possamos utilizar para
aplicarmos o teste da comparação. Então, o teste da razão surge como uma alternativa óbvia nesse
momento. Sendo o termo geral dessa série dado por , se quisermos aplicar o teste da
razão, temos que veri�car a convergência desse limite
Caro(a) estudante e leitor(a), o que você acha? Para mim, que escrevo, esse limite não parece nem um pouco
simples de ser calculado!
= + + ⋯ + + ⋯ ,∑
n=1
∞
( + )
2
n2
1
n3
n
( + )
2
12
1
13
1
( + )
2
22
1
23
2
( + )
2
n2
1
n3
n
=an ( + )2n2
1
n3
n
= .
an+1
an
( + )2
(n+1)2
1
(n+1)3
n+1
( + )2n2
1
n3
n
VÍDEO
Assista à vídeo aula a seguir:
VÍDEO
E a seguir há outros exemplos do teste da razão. Neste, usamos o Teste da Razão para determinar a
convergência/divergência de uma série em função de um parâmetro real.
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Portanto, acrescentamos ao nosso arsenal de testes um teste que é excelente para casos como esses, em que
aparecem potências -ésimas no termo geral.
Para o exemplo que introduziu a aula, temos
quando . Isto é, pelo teste da raiz, a série
é convergente, pois 
Exemplo 17:
Vamos brincar mais um pouco com o teste da raiz. Considere, assim, a seguinte série
O seu termo geral é dado por , então, calculando o limite sobre , temos
n
=an−−√n ( + )
2
n2
1
n3
n− −−−−−−−−−−
√n
= + → 0
2
n2
1
n3
n → ∞
∑( + )
2
n2
1
n3
n
→ 0 < 1an−−√n
= + + + ⋯ + + ⋯ .∑
n=1
∞ 4n+1
n3
42
43
23
44
33
4n+1
n3
=an 4
n+1
n3 an
−−√n
=an−−√n
4n+1
n3
− −−−
√n
SAIBA MAIS
Teste da Raiz: Considere a série e suponha que , então: 
i.   se a série converge; 
ii.   se a série diverge; 
iii.   se o teste é inconclusivo, isto é, não há como saber utilizando este teste se a série é
convergente ou divergente.
∑an → Lan−−√n
L < 1
L > 1
L = 1
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como vimos na primeira aula, e também . Assim, e, portanto, a série em
questão é divergente pelo teste da raiz. Observem que, nesse caso, poderíamos utilizar também o teste da
razão e ele também seria conclusivo com relação à divergência dessa série.
Exemplo 18:
Considere agora a seguinte série
cujo termo geral é dado por . Temos para esse termo geral
quando . Nesse caso, o teste da raiz é inconclusivo, pois . Se quisermos, então, veri�car a
convergência dessa série, precisamos de outro método.
Para tal, considere a sequência , se , então, signi�ca que . Pois, e 
 somente se . Então,
=
4( )4–√n
( )n−−√n 3
→ 1n−−√n → 14
–√n → 4 > 1an−−√n
= 0 + + ⋯ + + ⋯∑
n=1
∞
2n( )
n − 1
n + 32–√
2n
22( )
2 − 1
2 + 32–√
4
2n( )
n − 1
n + 32–√
2n
=an 2n( )
n−1
n+32√
2n
=an−−√n 2
n( )
n − 1
n + 32–√
2n− −−−−−−−−−−−−−
√n
=
2(n − 1)2
( n + 3)2–√
2
=
2( − 2n + 1)n2
2 + 6 n + 9n2 2–√
=
2 (1 − + )n2 2n
1
n2
2 (1 + + )n2 3 2√n
9
2n2
= → 1
1 − +2n
1
n2
1 + +3 2√n
9
2n2
n → ∞ → 1an−−√n
= lnbn an ↛ −∞bn ↛ 0an =an ebn
→ 0an → −∞bn
= ln[ ]bn 2
n( )
n − 1
n + 32–√
2n
= ln ( ) + ln[ ]2n ( )
n − 1
n + 32–√
2n
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como , então signi�ca que . Logo, quando ,
Como, nesse caso, , então, . Isto é, o termo geral não vai para zero quando 
aumenta; logo, a série diverge.
Finalmente, um último teste que é muito útil para veri�car a convergência de algumas séries numéricas é o
chamado teste da integral.
Esse teste é baseado no teste da comparação e a sua demonstração, assim como a dos demais testes,
será omitida. O leitor é convidado a pesquisar em alguma das referências a demonstração desde teste e
também dos demais.
Antes de apresentarmos o teste, é importante lembrarmos o que é uma integral imprópria, pois o teste
funciona a partir da convergência dessas integrais.
Uma integral na forma
é conhecida como integral imprópria. Esse tipo de integral é calculada como sendo
Quando o limite do lado direito existe, isto é, é um número real, dizemos que a integral imprópria é
convergente. Quando esse limite não existe, isto é, , dizemos que a integral
imprópria é divergente.
Teste da Integral: Considere uma função contínua e decrescente no intervalo , tal que o termo
geral da série satisfaça . Então,
1. se a série converge;
2. se a série diverge.
Exemplo 19:
Voltemos ao exemplo da aula anterior em que o teste da razão não pôde concluir nada sobre a convergência
da série
= n ln(2) + 2n ln( )
n − 1
n + 32–√
→n−1
n+32√
1
2√ ln( ) → ln( )
n−1
n+32√
1
2√ n → ∞
→ ∞ ⋅ ln(2) + 2 ⋅ ∞ ⋅ ln( ) = ∞.bn
1
2–√
→ ∞bn = → ∞an ebn n
∑2n( )n−1
n+32√
2n
f (x)dx∫
∞
a
f (x)dx = f (x)dx.∫
∞
a
lim
m→∞
∫
m
1
f (x)dx = ±∞lim
m→∞
∫m1
f (x) [1, ∞)
∑an = f (n)an
f (x)dx < ∞∫ ∞1 ∑an
f (x)dx = ∞∫
1
∞
∑an
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O termo geral dessa série nada mais é que a imagem da função sobre os números
naturais. Precisamos agora apenas calcular uma integral relativamente simples para veri�car a convergência
dessa série. Assim,
Como a integral imprópria existe, então, pelo teste da integral, a série é convergente.
Exemplo 20:
Vamos fazer agora um exemplo semelhante em que a série será provada divergente pelo teste da integral.
Considere
Nesse caso, o termo geral dessa série é dado por , que é a imagem da função sobre os
números naturais. Novamente, precisamos apenas calcular a seguinte integral imprópria
= 1 + + + ⋯ + + ⋯ .∑
n=1
∞ 1
n2
1
22
1
32
1
n2
=an 1n2 f (x) =
1
x2
dx = dx∫
∞
1
1
x2
lim
m→∞
∫
m
1
1
x2
= dxlim
m→∞
∫
1
m
x−2
= lim
m→∞
[ ]
x−2+1
−2 + 1
m
1
= lim
m→∞
[− ]
1
x
m
1
= [− − (− )]lim
m→∞
1
m
1
1
= [1 − ]lim
m→∞
1
m
= 1.
∑ 1n2
= 1 + + + ⋯ + + ⋯ .∑
n=1
∞ 1
n−−√
1
2–√
1
3–√
1
n−−√
=an 1n√ f (x) =
1
x√
dx = dx∫
∞
1
1
x−−√
lim
m→∞
∫
1
m
1
x−−√
= dxlim
m→∞
∫
1
m
x−1/2
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Como a integral imprópria diverge, então, pelo teste da integral, a série também diverge.
Considere a série
em que o número é uma constante. Podemos utilizar o teste da integral para veri�car para quais valores de 
 essa série é convergente. Observe que as séries dos Exemplos 19 e 20 são séries nesse formato, com 
 e , respectivamente. Essa série é conhecida como série , ou -série. Essa série é:
1. convergente para valores de ;
2. e divergente para valores de 
É um ótimo exercício veri�car, para esses valores da constante , a convergência da série.
= lim
m→∞
[ ]
x−1/2+1
−1/2 + 1
m
1
= lim
m→∞
[2 ]x−−√
m
1
= [2 − 2 ]lim
m→∞
m−−√ 1
–√
= ∞.
∑ 1n√
= 1 + + ⋯ + + ⋯∑
n=1
∞ 1
np
1
2p
1
3p
1
np
p
p
p = 2 p = 1/2 p p
p > 1
p ≤ 1.
p
VÍDEO
Uma videoaula para relembrar integral imprópria pode ser acessada a seguir. Não deixe de assistir e
exercitar sua curiosidade!
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Unidade 01
Aula 03
Series de Taylor e Fourier
VÍDEO
Assista à vídeo aula a seguir:
SAIBA MAIS
Clicando aqui, você poderá acessar um artigo, escrito em inglês, mas que traz uma prova bem
interessante sobre a série ∑ = .1n2
π2
6
http://www.academia.edu/3669174/Basel_Problem_Proof
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Estudantes, nesta nossa quinta aula, estudaremos a Série de Taylor. Essa noção é essencial para o
estudioso(a) da área. Bons estudos!
Talvez alguns de vocês já tenham se perguntado sobre como uma calculadora cientí�ca funciona. Bem,
calculadoras funcionam apenas com as quatro operações: soma, subtração, divisão e multiplicação.
Sabendo isso, como será que uma calculadora cientí�ca consegue determinar o valor de por
exemplo?
Geometricamente falando, o é, na verdade, uma divisão, ela é a razão entre o cateto oposto e a
hipotenusa (unitária) de um triângulo retângulo que se encontra dentro do chamado círculo trigonométrico
(se lembra?). De qualquer forma, não parece ser um argumento válido no funcionamento de uma calculadora,
pois dessa forma a máquina teria que estar preparada para interpretar e entender essas noções geométricas
e realizar as medidas apropriadas.
O que acontece na verdade é que funções como , ou , por exemplo, são aproximadas por
outras funções que se parecem bastante com as originais. E essas funções são relativamente simples em sua
estrutura, elas utilizam apenas as operações básicas citadas. Um exemplo de uma classe de funções simples
que se utilizam apenas das operações fundamentais são os polinômios
para algum natural. Se conseguíssemos escrever, por exemplo, o na forma polinomial, nosso
problema de programar a calculadora estaria resolvido, a�nal um polinômio só se utiliza de duas operações,
soma e multiplicação. Obviamente, o não é um polinômio, caso fosse, certamente, nesse ponto da
vida você já saberia. No entanto, vou insistir nessa representação polinomial do . Nós já imaginamos
que a função seja
cos (π/7) ,
cos (π/7)
sen (x) cos(x) ex
p (x) = + x + + ⋯ + ,a0 a1 a2x
2 anx
n
n > 1 cos (x)
cos (x)
cos (x)
cos (x)
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isto é, diferente de um polinômio �nito usual. Mas será que conseguimos representar essa função no
formato de um "polinômio" in�nito
A resposta é sim! E é sobre essa representação esta aula.
De forma geral, dada uma função in�nitamente diferenciável , queremos determinar a sua
representação na forma
A série que aparece acima é conhecida como uma série de potências, e o nosso objetivo nesta aula é
determinar uma forma de encontrar a representação em série de potências de diversas funções conhecidas.
Para começarmos, considere a seguinte série de potências
Como você já deve ter percebido, essa série se parece em muito com a conhecida série geométrica. No caso
desta série, quando , temos que ela é convergente e
ou seja, a representação em série de potências da função é
Voltemos ao nosso caso mais geral: representar a função na forma
Essa representação se faz, na verdade, determinando os coe�cientes apropriados para cada função. Supondo
que essa igualdade seja verdade e que podemos derivar os dois lados, então, temos
cos (x) ≠ + x + + ⋯ + ,a0 a1 a2x
2 anx
n
cos (x) = + x + + ⋯ + + + + ⋯?a0 a1 a2x
2 anx
n an+1x
n+1 an+2x
n+2
f (x)
f (x) = + (x − ) + + … + + …a0 a1 x0 a2(x − )x0
2 an(x − )x0
n
= (x − )∑
n=0
∞
an x0
n
= 1 + x + + + ⋯ + + ⋯ .∑
n=0
∞
xn x2 x3 xn
0 < x < 1
1 + x + + + ⋯ + + ⋯ = ,x2 x3 xn
1
1 − x
f (x) = 11−x
= .
1
1 − x
∑
n=0
∞
xn
f (x)
f (x) = + (x − ) + + ⋯ + + ⋯ .a0 a1 x0 a2(x − )x0
2
an(x − )x0
n
(x) = + 2 (x − ) + 3 + … + n + …f ′ a1 a2 x0 a3(x − )x0
2
an(x − )x0
n−1
(x) = 2 + 2 ⋅ 3 (x − ) + 3 ⋅ 4 + … + n (n − 1) + …f ′′ a2 a3 x0 a4(x − )x0
2
an(x − )x0
n−2
(x) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 (x − ) + … + n (n − 1) (n − 2) + …f ′′′ a3 a4 x0 an(x − )x0
n−3
⋮
(x) = n (n − 1) (n − 2) … 3 ⋅ 2 + (n + 1)n (n − 1) … 3 ⋅ 2 (x − ) + …f (n) an an+1 x0
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Observe, agora, que, substituindo em cada uma dessas equações, teremos
Portanto, o coe�ciente pode ser calculado a partir das derivadas da função e, logo, temos que os
coe�cientes da representação da função em séries de potências são dados por
Finalmente, podemos escrever a função como sendo uma série de potências na forma
que é conhecida como fórmula de Taylor da função .
Vamos agora determinar as formas mais usuais das séries de Taylor para algumas funções conhecidas.
Exemplo 21:
Um ótimo exemplo para começarmos a escrever a série de Taylor de uma função é para 
com . Esse é um ótimo exemplo, pois as derivadas de qualquer ordem da função exponencial são a
própria exponencial, . Dessa forma, temos que , para todo . Assim, a série
de Taylor da função exponencial pode ser escrita como
Exemplo 22:
Vamos considerar e Para determinarmos a representação em série de Taylor para o
seno, basta calcularmos as suas derivadas no ponto . Temos
x = x0
f ( ) =x0 a0
( ) =f ′ x0 a1
( ) = 2f ′′ x0 a2
( ) = 2 ⋅ 3f ′′′ x0 a3
⋮
( ) = 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ (n − 1)nf (n)x0 an
an
f (x)
= .an
(x_0)f (n)
n!
f (x)
f (x) = ∑
n=0
∞ ( )f (n)x0
n!
(x − )x0
n
f (x)
f (x) f (x) = ex
= 0x0
(x) =f (n) ex (0) = = 1f (n) e0 n
=ex ∑
n=0
∞ 1
n!
xn
= 1 + x + + + + ⋯ + + ⋯ .
x2
2!
x3
3!
x4
4!
xn
n!
f (x) = sen (x) = 0x0
= 0x0
f (0) = sen (0) = 0
(0) = cos(0) = 1f ′
(0) = −sen (0) = 0f ′′
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Observe que a derivada do seno se repete sempre de quatro em quatro derivadas, isto é, 
 e . Dessa forma, podemos escrever a série de Taylor do seno
como sendo
Portanto, a série de Taylor do seno quando é dada por
Exemplo 23:
Para a função cosseno, o procedimento é muito parecido. Considere agora
e . Para determinarmos a representação em série de Taylor dessa função, basta novamente calcular
as suas derivadas no ponto . Temos
Assim como o seno se repete sempre de quatro em quatro derivadas, o cosseno também o faz, logo 
 , e e assim por diante. Dessa forma, podemos
escrever a série de Taylor do cosseno como sendo
(0) = − cos(0) = −1.f ′′′
(0) = 0,f (4)
(0) = 1f (5) (0) = 0f (6) (0) = −1.f (7)
f (x) = f (0) + (0)x + + + + + ⋯f ′
(0)f ′′
2!
x2
(0)f ′′′
3!
x3
(0)f (4)
4!
x4
(0)f (5)
5!
= 0 + (1)x + + + + + ⋯
0
2!
x2
(−1)
3!
x3
0
4!
x4
1
5!
x5
= x − + − + ⋯
x3
3!
x5
5!
x7
7!
= .∑
n=1
∞ (−1)n+1
(2n − 1)!
x2n−1
= 0x0
sen (x) = .∑
n=1
∞ (−1)n+1
(2n − 1)!
x2n−1
f (x) = cos (x)
= 0.x0
= 0x0
f (0) = cos (0) = 1
(0) = −sen (0) = 0f ′
(0) = −cos (0) = −1f ′′
(0) = sen (0) = 0.f ′′′
(0) = 1,f (4) (0) = 0f (5) (0) = −1f (6) (0) = 0f (7)
f (x) = f (0) + (0)x + + + + + ⋯f ′
(0)f ′′
2!
x2
(0)f ′′′
3!
x3
(0)f (4)
4!
x4
(0)f (5)
5!
= 1 + (0)x + + + + + ⋯
(−1)
2!
x2
(0)
3!
x3
(1)
4!
x4
(0)
5!
x5
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Portanto, a série de Taylor do cosseno quando é dada por
É interessante observar que o , que é uma função ímpar na sua representação em série de potências,
possui apenas as potências ímpares e o que é uma função par possui apenas potências pares.
Uma pergunta que podemos fazer agora é: será que essas séries que encontramos até agora para as funções
convergem para todo ? A resposta é nem sempre!
Basta olharmos para a série da função
que não converge para valores de , por exemplo. Podemos veri�car, então, para quais valores de 
uma série converge utilizando uma versão modi�cada do teste da razão. O conjunto de todos os valores para
o qual a série converge será chamado de raio de convergência da série.
Exemplo 24:
Vamos determinar o raio de convergência da série de potências
= 1 − + − + ⋯
x2
2!
x4
4!
x6
6!
= .∑
n=0
∞ (−1)n
(2n)!
x2n
= 0x0
cos (x) = .∑
n=0
∞ (−1)n
(2n)!
x2n
sen (x)
cos(x)
x
=
1
1 − x
∑
n=0
∞
xn
x > 1 x
SAIBA MAIS
Raio de Convergência: Considere a série de potências , a série será convergente para
valores de que satisfazem 
∑an(x − )x0
n
x
|x − | → L |x − | < 1.∣∣
an+1
an
∣∣ x0 x0
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Nesse caso, temos e precisamos calcular o limite
pois o limite não depende de . O raio de convergência, então, é dado por
isto é,
Não é difícil veri�car, e é um ótimo exercício, que o raio de convergência para as séries do , e 
 é todo o conjunto dos números reais .
Voltamos agora à pergunta do começo da aula, que é como a calculadora é capaz de calcular o cosseno de um
número real. Vimos que é possível escrever a função cosseno como um polinômio in�nito. Mas, infelizmente,
não podemos programar uma soma in�nita na calculadora. Podemos, no entanto, programar uma versão
�nita do polinômio in�nito. Vamos chamar a versão �nita da série do cosseno de
observe, no grá�co a seguir, como os polinômios �nitos aproximam do cosseno até certo ponto. Assim,
quanto mais termos utilizarmos, mais próximos estaremos da função cosseno por um intervalo maior de
tempo.
Figura 1: Aproximação da função cosseno pelas somas parciais de sua série de Taylor
.( )∑
n=1
∞
e
π
n
(x − 1)n
=an ( )eπ
n
|x − 1| = |x − 1| = |x − 1| = |x − 1| ,lim
n→∞
∣
∣
∣
an+1
an
∣
∣
∣ lim
n→∞
( )eπ
n+1
( )eπ
n limn→∞
e
π
e
π
|x − 1|lim
n→∞
e
π n
|x − 1| < 1,
e
π
1 − < x < 1 + .
π
e
π
e
sen (x) cos (x)
ex R
(x) = 1 − + + ⋯ + ,P2k
x2
2!
x4
4!
(−1)nx2k
(2k)!
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A música nunca esteve tão presente no dia a dia das pessoas como nos tempos atuais. Por causa disso, vários
de nós tocam algum instrumento musical, ou ao menos já brincou com um. Eu mesmo, que vos escrevo, sou
um músico entusiasta.
VÍDEO
Uma vídeo aula bem detalhada sobre a série de Taylor pode ser vista a seguir.
VÍDEO
As séries de potências podem ser utilizadas para encontrar soluções de equações diferenciais
ordinárias (EDO). Essas equações surgem naturalmente na física em diversos contextos. Nesse vídeo,
é possível ver a aplicação das séries de potências no contexto das EDOs.
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Nesse contexto, a minha pergunta favorita aos alunos quando o assunto é série de Fourier é: vocês sabem o
faz com que dois instrumentos musicais diferentes, mesmo quando a�nados da mesma forma, soem
diferentes?
Certamente, alguns de vocês responderão que o que muda é o timbre. O timbre, de fato, é uma característica
dos instrumentos musicais, e vários fatores in�uenciam nele. Por exemplo, em uma guitarra, o calibre das
cordas, as madeiras utilizadas na construção, os captadores, entre outras coisas, fazem com que inclusive
duas guitarras diferentes tenham um som diferente entre si, como, por exemplo, uma Fender Telecaster e
uma Gibson Les Paul.
No �nal das contas, o que é o timbre?
Prometo que respondo essa pergunta ao �nal desta aula. Mas posso adiantar que a resposta dessa nossa
pergunta reside no fato que uma onda sonora, que nada mais é que uma função periódica, será representada
através de uma série in�nita conveniente.
Vimos, na aula anterior, que, dada uma função  que possui in�nitas derivadas, podemos reescrevê-la de
uma outra forma em termos de uma série de polinômios
f (x)
SAIBA MAIS
Convido o leitor a procurar a diferença entre essas duas guitarras! Clique aqui e saiba mais um pouco
sobre essa curiosidade.
https://kikipedia.wordpress.com/2009/05/30/fender-stratocaster-e-gibson-les-paul-%E2%80%93-o-projeto-da-guitarra-e-a-producao-industrial/
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Para uma classe de funções mais especí�ca, as funções periódicas, existe uma outra representação mais
interessante do que a representação em série de potências. Uma função é dita periódica se existe um
número positivo , chamado período, tal que para todo . Os exemplos mais
conhecidos de funções periódicas são as funções seno e cosseno, que possuem período .
Queremos aproximar uma função periódica no intervalo por uma soma in�nita de senos e
cossenos, isto é,
Observe que, nesse caso, não usamos a igualdade, pois teremos igualdade em apenas alguns casos
(voltaremos nesse ponto depois). Para esse tipo de série, o cálculo dos coe�cientes é um pouco diferente do
que foi feito para as séries de Taylor, e eles são determinados utilizando as seguintes relações
Exemplo 25:
Vamos encontrar a série de Fourier da função triangular
de�nida de forma a ser periódica com período . Para tal, precisamos calcular as integrais para , e .
Assim, temos
f (x) = .∑
n=0
∞ (a)f (n)
n!
(x − a)n
f (x)
p f (x) = f (x + p) x ∈ R
2π
f (x) [0, 2π]
f (x) ∼ + [ cos(nx) + sen (nx)].a0 ∑
n=1
∞
an bn
= f (x)dxa0
1
2π
∫
2π
0
= f (x) cos(nx)dxan
1
π
∫
2π
0
= f (x) sin (nx)dxbn
1
π
∫
2π
0
f (x) =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
x, 0 ≤ x ≤ π
1
π
(2π − x) ,π < x ≤ 2π
1
π
2π a0 an bn
= f (x)dxa0
1
2π
∫
2π
0
= xdx + (2π − x)dx
1
2π
∫
π
0
1
π
1
2π
∫
2π
π
1
π
= +
1
4π2
x2∣∣
π
0
1
2π2
(2πx − )
x2
2
2π
π
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Para o coe�ciente , temosaqui precisaremos utilizar uma integração por partes para resolver as integrais, que são dadas por
Finalmente, para o coe�ciente , os cálculos são semelhantes, se não idênticos, aos para o coe�ciente .
Assim, temos
= ( − ) + [(2π (2π) − )−(2π (π) − )]
1
4π2
π2 02
1
2π2
(2π)2
2
(π)2
2
= + [2 − ]
1
4
1
2π2
π2
3π2
2
= .
1
2
an
= f (x) cos(nx)dxan
1
π
∫
2π
0
= x cos(nx)dx + (2π − x) cos(nx)dx,
1
π
∫
π
0
1
π
1
π
∫
2π
π
1
π
= x cos(nx)dx + (2π − x) cos(nx)dx
1
π
∫
π
0
1
π
1
π
∫
2π
π
1
π
= [ − 1 ⋅ ( )dx] + [ − (−1) ⋅ ( )d
1
π2
xsen (nx)
n
∣
∣
∣
π
0
∫
π
0
sen (nx)
n
1
π2
(2π − x)sen (nx)
n
∣
∣
∣
2π
π
∫
2π
π
sen (nx)
n
= [ − − dx] + [ −
1
π2
πsen (nπ)
n
0 ⋅ sen (n ⋅ 0)
n
∫
0
π sen (nx)
n
1
π2
(2π − 2π)sen (2πn)
n
(2π − π)sen (πn)
n
= − sen (nx)dx + sen (nx)dx
1
nπ2
∫
0
π 1
nπ2
∫
2π
π
= −cos(nx)
1
π2n2
∣
∣
∣
π
0
cos(nx)
1
π2n2
∣
∣
∣
2π
π
= (cos(nπ) − 1) − (cos(2πn) − cos(nπ))
1
π2n2
1
π2n2
= (cos(nπ) − 1) .
2
π2n2
bn an
= f (x) sen (nx)dxbn
1
π
∫
2π
0
= xsen (nx)dx + (2π − x) sen (nx)dx
1
π
∫
0
π 1
π
1
π
∫
2π
π
1
π
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pois Portanto, temos
Dessa forma, a série de Fourier da função triangular dada é
Acho que a pergunta imediata após fazer esse exemplo é: quando é que temos a igualdade entre a função 
 e a série de senos e cossenos?
Uma vantagem da série de Fourier é que ela admite representar funções que não são contínuas. Sendo os
coe�cientes de�nidos a partir de integrais, temos a possibilidade de permitir alguns tipos de funções
descontínuas. Isso não é possível com a série de Taylor. Para que uma função possa ser escrita como série de
Taylor, é necessário que ela seja in�nitamente diferenciável; logo, sempre contínua. Esse é o motivo pelo qual
não colocamos de imediato a igualdade entre uma função e sua série de Fourier. Se a função for descontínua,
vai existir uma incompatibilidade entre o lado direito e esquerdo, principalmente pelo lado esquerdo ser
formado apenas por funções contínuas. A seguir, enunciaremos o teorema de Fourier, que diz sobre quais
condições a série converge para a função.
= [− − 1 ⋅ (− )dx] + [− − (−1) ⋅ (−
1
π2
xcos (nx)
n
∣
∣
∣
π
0
∫
0
π cos (nx)
n
1
π2
(2π − x) cos (nx)
n
∣
∣
∣
2π
π
∫
2π
π
cos (nx)
n
= [− + + dx]
1
π2
πcos (nπ)
n
0 ⋅ cos (n ⋅ 0)
n
∫
π
0
cos (nx)
n
+ [− + − dx]
1
π2
(2π − 2π) cos (2πn)
n
(2π − π) cos (πn)
n
∫
2π
π
cos (nx)
n
= [− + ] + [− + ] ,
1
π2
πcos (nπ)
n
0 ⋅ cos (n ⋅ 0)
n
1
π2
(2π − 2π) cos (2πn)
n
(2π − π) cos (nπ)
n
dx = dx = 0.∫ π0
cos(nx)
n ∫
2π
π
cos(nx)
n
= 0.bn
f (x) ∼ + (cos(nπ) − 1) cos(nx).
1
2
∑
n=1
∞ 2
π2n2
f (x)
SAIBA MAIS
Teorema de Fourier: Seja uma função de tal forma que e sejam seccionalmente contínuas
no intervalo . Então, é igual a sua série de Fourier em todos os pontos em que é contínua.
Em um ponto dd onde tem uma descontinuidade, a série de Fourier converge para 
f (x) f f ′
[0, 2π] f f
f
[ f (x) + f (x)] .12 limx→d−
lim
x→d+
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Observamos que uma função seccionalmente contínua é aquela que é contínua por partes, como, por
exemplo, a função
Ela não é contínua em no entanto, ela é a função constante para os positivos, ou seja,
contínua. É também constante para os não negativos, contínua também.
No caso do Exemplo 25, como a função triangular é contínua, temos que a série de fato converge para a
função e, nesse caso, podemos escrever
para
de�nida periódica de período .
Voltando ao assunto da música. Digamos que uma onda sonora possa ser representada por uma função 
. Vamos, então, olhar a sua representação em série de Fourier
Observando cada um dos termos , podemos fazer duas considerações.
Primeiramente, chamamos cada uma das funções de um harmônico da onda. Segundo, a frequência
de cada uma das ondas é exatamente . Dessa forma, na série in�nita, os termos de alta frequência
são os primeiros, e os de baixa frequência são os mais distantes do início. Em um dado harmônico ,
além da sua frequência ser diferente das demais frequências dos outros harmônicos, as intensidades desses
harmônicos também mudam, ou podem mudar. A intensidade de cada um dos harmônicos é controlado pelos
coe�cientes e . Sobre um outro ponto de vista, uma onda sonora é determinada, então, pela
superposição dos seus harmônicos, cada um com suas respectivas intensidades.
Neste ponto, já �cou claro o que faz com que um instrumento tenha um som diferente do outro. Quando
olhadas as séries de Fourier das ondas de cada um dos instrumentos, você verá que as intensidades dos
harmônicos em cada uma delas é diferente, e é isso que de�ne o timbre.
f (x) = {
1,x > 0
− 1,x ≤ 0
x = 0, f (x) = 1 x
f (x) = −1 x
f (x)
f (x) = + (cos(nπ) − 1) cos(nx)
1
2
∑
n=1
∞ 2
π2n2
f (x) =
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
x, 0 ≤ x ≤ π
1
π
(2π − x) ,π < x ≤ 2π
1
π
2π
f (x)
f (x) ∼ + [ cos(nx) + sen (nx)].a0 ∑
n=1
∞
an bn
(x) = cos(nx) + sen (nx)fn an bn
(x)fn
(x)fn .2πn
(x)fn
an bn f (x)
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Unidade 01
Aula 04
Funções, Limite, Continuidade e
Derivadas Parciais
Olá, estudante, bem-vindo(a) à segunda Unidade. Falaremos aqui sobre as Funções de Mais de uma Variável.
Nesta primeira aula da unidade, falaremos especi�camente sobre as funções. Boa aula!
SAIBA MAIS
Um link interessante sobre as relações entre as séries de Fourier e a teoria musical está disponível aqu
i.
VÍDEO
Já neste vídeo, tem-se uma abordagem diferente para a série de Fourier. Não deixe de assistir.
http://www.mat.ufrgs.br/~brietzke/music/music.html
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O conceito de função de duas ou várias variáveis reais é bastante similar ao de funções de uma única
variável. Por exemplo, considere as equações a seguir:
Elas exprimem como uma função das variáveis e . Em ambos os casos, a variável depende das variáveis
  e . Dessa forma, dizemos que é uma variável dependente, e e são chamadas de variáveis
independentes. São diversas as aplicações das funções de várias variáveis reais, tanto na Matemática quanto
nas demais ciências.
Por exemplo:
1. O volume de um cilindro circular reto depende de seu raio e da sua altura , pois sendo o volume é dad
o pelo produto entre a área da base do cilindro e a altura dele. Assim, temos
1. na lei do gás ideal, temos que a pressão que um gás exerce na parede de uma região de volume é dir
etamente proporcional à sua temperatura e inversamente proporcional ao volume da região
em que é o número de mols do gás e  é a constante dos gases ideais.
De�nimos, então, uma função de duas variáveis como sendo uma relação que a cada ponto em um
subconjunto associe um número real, isto é,
O conjunto é chamado de domínio da função e o subconjunto dos reais é chamado de imagem. Em geral,
o domínio de uma função é de�nido pelo contexto do problema.
Exemplo 1:
1. Considere a função
Nosso objetivo, neste exemplo, é determinar o domínio dessa função. Para que essa função esteja bem
de�nida, é necessário que o número dentro da raiz quadrada seja não negativo, isto é,
z = π + 2x − youz = 1 − 1 − 2 + 3x2 y2
− −−−−−−−−−−
√
z x y z
x y z x y
r h
V (r,h) =  π hr2
P V
T
P (T ,V ) = ,
nRT
V
n R
f (x,y)
D ⊆ R2
f : D ⊆ → R.R2
D f
f (x,y) = .1 − −x2 y2
− −−−−−−−−
√
1 − − ≥ 0 ⋅ + ≤ 1.x2 y2 x2 y2
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Dessa forma, para que a função esteja bem de�nida, os pontos (x,y)(x,y) devem estar no interior do círculo de
raio unitário , como podemos ver na�gura a seguir.
Figura 1: Função bem de�nida
1. Considere agora a função
Essa função só estará bem de�nida se o denominador da fração for diferente de zero, isto é,
Então, o domínio da função é qualquer ponto no plano que esteja fora das duas retas mostradas no grá�co a
seguir. Além disso, podemos escrever o domínio como
Figura 2: Domínio da função, qualquer ponto no plano que esteja fora das duas retas
Os grá�cos das funções de duas variáveis são superfícies no espaço tridimensional. Normalmente, é muito
difícil esboçar tais grá�cos. Será possível, de forma simples, fazer esboços quando a nossa função estiver
vinculada a algumas superfícies bem conhecidas, como, por exemplo, planos ou esferas. Essas superfícies são
D = {(x,y) ∈ :   + ≤ 1}R2 x2 y2
g (x,y) = .
x2y2
−x2 y2
− ≠ 0 ⋅ ≠ ⋅ y ≠ ±x.x2 y2 y2 x2
D = {(x,y) ∈ : y ≠ ±x}R2
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chamadas de quádricas e elas tem o formato
em que são constantes reais. A seguir, traremos as equações das quádricas mais conhecidas.
Elipsoide
A equação geral do elipsoide é dada por
em que representa o centro do elipsoide e os seus semieixos. A seguir, temos um esboço
do grá�co de um elipsoide.
Figura 3: Grá�co de um elipsoide
O elipsoide nada mais é que a versão tridimensional de uma elipse. Além disso, é importante observar que,
quando , o elipsoide vira uma esfera de raio e centro em .
Cone Elíptico
A equação geral do cone é dada por
A seguir, temos um esboço da equação do cone elíptico.
Figura 4: Esboço da equação do cone elíptico
Nesse caso, quando diremos que o cone é circular.
Hiperboloide de Uma Folha
A quádrica correspondente a um hiperboloide de uma folha é dada pela equação
A + B + C + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0,x2 y2 z2
A, ⋯ ,J
+ + = 1,
(x − )x0
2
a2
(y − )y0
2
b2
(z − )z0
2
c2
( , , )x0 y0 z0 a, b, c
a = b = c = r r ( , , )x0 y0 z0
+ = .
(x − )x0
2
a2
(y − )y0
2
b2
(z − )z0
2
c2
a = b
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O esboço do hiperboloide pode ser visto na �gura a seguir.
Figura 5: Esboço do hiperboloide
Hiperboloide de Duas Folhas
A quádrica correspondente a um hiperboloide de duas folhas é dada pela equação
O esboço desse tipo de hiperboloide pode ser visto na �gura a seguir.
Figura 6: Esboço do hiperboloide
Paraboloide Elíptico
A equação geral do paraboloide elíptico é dada por
a seguir, temos um esboço dessa superfície quádrica.
+ − = 1.
(x − )x0
2
a2
(y − )y0
2
b2
(z − )z0
2
c2
− − + = 1.
(x − )x0
2
a2
(y − )y0
2
b2
(z − )z0
2
c2
+ = ,
(x − )x0
2
a2
(y − )y0
2
b2
z − z0
c
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Figura 7: Esboço – superfície quádrica
Paraboloide Hiperbólico
Por �m, a nossa última superfície quádrica conhecida é o paraboloide hiperbólico, dado pela equação a
seguir:
Seu esboço é dado pela �gura seguinte.
Figura 8: Esboço – paraboloide hiperbólico
O paraboloide hiperbólico é interessante, pois se assemelha a uma sela de cavalo. Além disso, nesse tipo de
superfície, temos de imediato um exemplo do que é conhecido como ponto de sela, que será estudado nas
aulas a seguir.
Como você pode ter percebido, estudante, várias dessas quádricas se apresentam como versões
tridimensionais de algumas �guras planas. Por exemplo, o elipsoide é a versão da elipse, assim como o
paraboloide é uma versão da parábola.
Como dito anteriormente, di�cilmente conseguiremos esboçar o grá�co de funções de duas variáveis
quando estamos em um caso diferente das quádricas que foram citadas anteriormente. No entanto, com o
objetivo de facilitar o entendimento do comportamento de uma determinada função de duas, ou mais,
variáveis, utilizamos um recurso que é conhecido como curvas de nível. Dada uma função de duas variáveis 
, as curvas de nível correspondem aos pontos no plano no qual a função é igual uma constante 
. Como, por exemplo, podemos observar na �gura a seguir.
− = .
(x − )x0
2
a2
(y − )y0
2
b2
z − z0
c
f (x,y) (x,y)
c
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Figura 9: Curvas de nível
Ao cortar a função por um plano constante, obtemos uma curva circular no plano.
Exemplo 2:
Dada a função
vamos determinar as suas curvas de nível. Para tal, fazemos constante e obtemos que as curvas
de nível da função são dadas por
Dessa forma, as curvas de nível da função são parábolas que vão se abrindo à medida que o aumenta, como
podemos ver nas �guras a seguir. À esquerda, temos o grá�co da função e, à direita, temos algumas curvas de
nível.
Figura 10: À esquerda, grá�co da função; à direita, algumas curvas de nível
Exemplo 3:
Por �m, considere a função
f (x,y) z = c
f (x,y) = ,
y
x2
f (x,y) = c
c = ⋅ y = c .
y
x2
x2
z
f (x,y) = arctg( ) .y1+ +x2 y2
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Para encontrarmos suas curvas de nível, faremos, novamente, constante. Assim, temos
Para escolha conveniente da constante , por exemplo , temos que as curvas de nível são círculos em
que os seus centros e raios variam dependendo da constante. A seguir, temos um esboço de como seria o
grá�co à esquerda e as suas respectivas curvas de nível.
Figura 11: À esquerda, esboço; à direita, curvas de nível
f (x,y) = c
c = arctg( ) ⇒ tg(c) =
y
1 + +x2 y2
y
1 + +x2 y2
⇒ 1 + x2 + y2 − = 0
y
tg(c)
⇒ + − + = − 1 completando quadradosx2 y2
y
2tg  (c)
1
4 t (c)g2
1
4 t (c)g2
⇒ + = − 1x2 (y − )
1
2tg  (c)
2 1
4t   (c)g2
c c ≠ 0
SAIBA MAIS
Um ótimo site para podermos esboçar os grá�cos de funções de duas variáveis é o site do Wolfram
Alpha. Esse site funciona para o nosso interesse especí�co como uma grande calculadora e,
certamente, será muito útil ao longo desta disciplina. O site pode ser acessado clicando aqui. 
Você precisará aprender alguns comandos para poder utilizar o site anterior, dessa forma, é
interessante clicar aqui.
https://www.wolframalpha.com/
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG568/nova_novo/documents/5d0d2a60945f9b5dc890e15e_texto1.pdf
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Antes de começarmos a falar de limite e continuidade para funções de mais de uma variável, vamos lembrar
como era o limite de uma função de uma variável. Dizemos que
quando a função se aproxima do número sempre que se aproxima do ponto na reta .
Para as funções de duas, ou mais, variáveis a ideia é similar. Diremos que
quando a função de duas variáveis se aproximar arbitrariamente do número sempre que o par 
 estiver su�cientemente próximo de 
Exemplo 1:
1. Temos que
pois, claramente, a função se aproxima da soma entre os números e sempre que está perto de e está
perto de .
1. De forma semelhante, temos que
pois, quando , a soma .
Nos dois exemplos anteriores, usamos uma noção intuitiva de como se calcula o limite, no entanto, para
grande parte dos casos, os nossos limites serão calculados utilizando as propriedades a seguir.
Teorema (Propriedades do Limite): Sejam e funções tais que
f (x)
f (x) = Llim
x→a
f (x) L x a
f (x,y) = Llim
(x,y)→( , )x0y0
f (x,y) L
(x,y) ( , ) .x0 y0
x + y = 3lim
(x,y)→(1,2)
1 2 x 1 y
2
= 1lim
(x,y)→(0,0)
1
1 + +x2 y2
(x,y) → (0, 0) + → 0x2 y2
f (x,y) g (x,y)
VÍDEO
Apesar de não ter sido falado nesta aula, todo o conteúdo apresentado é estendido de forma imediata
para três variáveis. Dessa forma, a seguinte videoaula pode ser interessante no entendimento das
funções de duas e três variáveis.
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Então, valem as seguintes propriedades:
1. se .
Perceba que, no Exemplo 1, essas propriedades foram utilizadas intuitivamente. Além disso, uma outra
característica da função que pode ser utilizada no cálculo do limite é a continuidade. A de�nição é
semelhante a das funções de uma variável. Como vemos a seguir.
De�nição: Dizemos que uma função é contínua no ponto se:
1. existe;
2. .
Para uma função contínua, o teorema que trata das propriedades do limite pode ser reescrito na seguinte
forma:
Propriedades do Limite para Funções Contínuas: Sejam e funções contínuas no ponto 
, então, valem as seguintes propriedades:
1. .
Exemplo 2:
1. Podemos calcular o
utilizando o teorema anterior simplesmente substituindo os valores e na função, pois tanto o
numerador e o denominador são funções contínuas no ponto . Assim, temos
1. Novamente, podemos calcular o limite
f (x,y) = L e  g (x,y) = M .lim(x,y)→( , )x0y0 lim(x,y)→( , )x0y0
f (x,y) ± g (x,y) = L ± M ;lim
(x,y)→( , )x0y0
f (x,y) ⋅ g (x,y) = L ⋅ M ;lim
(x,y)→( , )x0y0
f (x,y) /g (x,y) = L/M ,lim
(x,y)→( , )x0y0
M ≠ 0.
f (x,y) ( , )x0 y0
f ( , )x0 y0
f (x,y) = f ( , )lim
(x,y)→( , )x0y0
x0 y0
f (x,y) g (x,y)
( , )x0 y0
f (x,y) ± g (x, y) = f ( , ) ± g ( , ) ;lim
(x,y)→( , )x0y0
x0 y0 x0 y0
f (x,y) ⋅ g (x,y) = f ( , ) ⋅ g ( , ) ;lim
(x,y)→( , )x0y0
x0 y0 x0 y0
f (x,y) /g (x,y) = f ( , ) /g ( , ) ,lim
(x,y)→( , )x0y0
x0 y0 x0 y0
lim
(x,y)→(1,2)
2x − 3y
+ 2x2 y2
x = 1 y = 2
(1, 2)
= = .lim
(x,y)→(1,2)
2x − 3y
+ 2x2 y2
2 (1) − 3 (2)
+ 2(1)2 (2)2
4
9
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utilizando as propriedades do limite para funções contínuas. Observe que a função é
contínua e que .
Portanto,
Nos próximos exemplos, o nosso objetivo é veri�car o limite da função para o ponto em denominador se
anula. Em alguns casos, ocorrerá desse limite ser �nito e podemos de�nir a função nesse ponto; em outros
casos, esse limite não existirá.
Exemplo 3:
Considere a função
Essa função é de�nida como sendo o quociente de duas funções contínuas. Tendo em vista que 
quando , este é o único ponto no qual essa função pode não ser contínua. No caso, ela não será e
vamos veri�car que o limite
não existe. A ideia é utilizar a ideia de que se um limite existe, ele é único. Se conseguirmos mostrar que a
função dada se aproxima de dois valores diferentes quando se aproxima do , então, podemos a�rmar
que o limite não existe. No caso de uma função de uma variável, existiam poucas formas de se aproximar de
um determinado ponto, normalmente, usávamos os limites laterais à esquerda e à direita. No caso das
funções de duas variáveis, existem in�nitas maneiras de se aproximar de um ponto no plano. O que faremos
é nos aproximarmos do ponto de duas formas diferentes. Podemos, por exemplo, nos aproximarmos
desse ponto através da reta . Nesse caso, reescrevemos o limite
Entretanto, podemos também nos aproximarmos da origem através da reta e o limite, nesse caso, é
reescrito como
lim
(x,y)→( ,0)π2
sen (x + y)
− 2 + 4yπ2 x2
− 2 + 4yπ2 x2
− 2 + 4 (0) ≠ 0π2 (π/2)2
= = .lim
(x,y)→( ,0)π2
sen (x + y)
− 2 + 4yπ2 x2
sen( + 0)π2
− 2 + 4 (0)π2 ( )π2
2
2
π2
f (x,y) = .
xy
+x2 y2
+ = 0x2 y2
x = y = 0
lim
(x,y)→(0,0)
xy
+x2 y2
(0, 0)
(0, 0)
y = x
=lim
(x,y)→(0,0)
xy
+x2 y2
lim
x→0
x (x)
+x2 (x)2
= lim
x→0
x2
2x2
= 1.
y = −x
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Sobre dois caminhos diferentes que vão para a origem, os limites são diferentes. Portanto, o limite não pode
existir, pois, se existisse, seria único.
Exemplo 4:
Considere agora a função
Assim como no exemplo anterior, essa função também é de�nida como sendo o quociente de duas funções
contínuas com o denominador se anulando no único ponto em que talvez a função não seja contínua, no caso 
. Nesse caso, vamos novamente veri�car que o limite
não existe utilizando a regra dos dois caminhos. Vamos escolher o seguinte caminho para se aproximar da
origem: com constante. Dessa forma, teremos
Perceba que, para diferentes valores da constante , teremos diferentes valores do limite. Assim, podemos
dizer que o limite depende do caminho para qual o ponto se aproxima da origem. Portanto, o limite
não existe.
Exemplo 5:
Finalmente, vamos veri�car se o limite
=lim
(x,y)→(0,0)
xy
+x2 y2
lim
x→0
x (−x)
+x2 (−x)2
= −lim
x→0
x2
2x2
= −1.
g (x,y) = .
x4
+x4 y2
(x,y) = (0, 0)
lim
(x,y)→(0,0)
x4
+x4 y2
y = kx2 k
=lim
(x,y)→(0,0)
x4
+x4 y2
lim
x→0
x4
+x4 (k )x2 2
= lim
x→0
x4
+x4 k2x4
= lim
x→0
1
1 + k2
= .
1
1 + k2
k
(x,y)
lim
(x,y)→(0,0)
4x2y2
+x2 y2
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existe ou não. Novamente, o intuito é veri�car se a função é contínua no ponto que é único ponto que
não pertence ao domínio dessa função. E, claramente, fora desse ponto a função é contínua. Ao tentarmos a
regra dos dois caminhos nesse exemplo, vamos chegar a uma conclusão interessante: que todos os caminhos
que tentarmos utilizar o resultando será sempre o mesmo, o limite será nulo. Por exemplo, se escolhermos a
espiral e como sendo um caminho que vai para a origem quando .
Substituindo no limite, temos
Agora, se escolhermos o caminho , por exemplo, não é difícil perceber que chegaremos ao mesmo
resultado. No entanto, isso não quer dizer que o limite existe e é igual a zero. Para mostrarmos que o limite
existe e, de fato, vai para zero, precisamos de um pouco mais. Vamos utilizar algumas desigualdades para
veri�car que o tal limite é zero.
Perceba que, independentemente dos valores de e , temos que
Dessa forma, temos que
Quando , temos que . Portanto,
(0, 0) ,
x (t) = t cos(t) y (t) = t sen (t) t → 0
=lim
(x,y)→(0,0)
4x2y2
+x2 y2
lim
t→0
4(t cos(t))2(t   sen (t))2
+(t cos(t))2 (t sin(t))2
= lim
t→0
4 (t)se (t)t4cos2 n2
t2
= 4 (t)se (t)lim
t→0
t2cos2 n2
= 0.
x = y
x y
≥ 0(x − y)2
⇒ − 2xy + ≥ 0x2 y2
⇒ 2xy ≤ + elevando os dois lados ao quadradox2 y2
⇒ 4 ≤ .x2y2 ( + )x2 y2
2
0 ≤ ≤ ≤ + .
4x2y2
+x2 y2
( + )x2 y2
2
+x2 y2
x2 y2
(x,y) → (0, 0) + → 0x2 y2
= 0.lim
(x,y)→(0,0)
4x2y2
+x2 y2
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O cálculo em função de mais de uma variável é muito semelhante ao cálculo para as funções de uma variável
que estudamos com cuidado no Cálculo 1. Da mesma forma que podemos de�nir limite e continuidade para
funções de mais de uma variável, podemos também de�nir derivadas para essas funções.
Dada uma função de duas variáveis , vamos começar escolhendo um ponto no domínio
dessa função. Ao �xarmos a variável , temos que esse corte do grá�co da função de duas variáveis
representa na verdade uma função de uma única variável . Podemos ver na Figura 1 o
grá�co da curva no plano de�nida por 
f (x,y) ( , )x0 y0
y = y0
g (x) = f (x, )y0
y = y0 g (x) .
VÍDEO
Exemplos nunca são demais! Nestes vídeos, disponíveis no link a seguir, o autor faz alguns exemplos de
como mostrar que um limite não existe.
VÍDEO
Esta é mais uma videoaula sobre o conteúdo estudado nesta aula. Assista ao vídeo a seguir.
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Figura 12: Inclinação da reta tangente a curva no ponto
Para essa curva, podemos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Temos, do Cálculo 1,
que a inclinação no ponto é dada por
Perceba que estamos calculando a derivada da função com relação apenas à variável . Dessa
forma, chamaremos o limite
de derivada parcial da com relação a .
Exemplo 1:
Considere a função e o ponto . Vamos calcular a derivada parcial da 
 com relação a no pontoutilizando a de�nição. Assim,
g (x) = f (x, )y0
( , ) .x0 y0
x0
( ) =g′ x0 lim
h→0
g ( + h) − g ( )x0 x0
h
= .lim
h→0
f ( + h, ) − f ( , )x0 y0 x0 y0
h
f (x,y) x
( , ) =
∂f
∂x
x0 y0 lim
h→0
f ( + h, ) − f ( , )x0 y0 x0 y0
h
f x
f (x,y) = 3 y + 1x2 P = (2, 1) .
f (x,y) x P
(2, 1) =
∂f
∂x
lim
h→0
f (2 + h, 1) − f (2, 1)
h
= lim
h→0
[3 (1) + 1]− [3 (1) + 1](2 + h)2 (2)2
h
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De forma equivalente, considerando função de duas variáveis e o ponto no domínio dessa
função. Ao �xarmos a variável , temos que esse corte do grá�co da função de duas variáveis
representa, na verdade, a curva no plano dada por . Podemos ver, na Figura 12, o
grá�co dessa curva.
Novamente, para a curva , podemos calcular a inclinação da reta tangente no ponto e temos
Chamaremos o limite
de derivada parcial da com relação a .
= lim
h→0
3 − 12(2 + h)2
h
= lim
h→0
3(4 + 4h + ) − 12h2
h
= lim
h→0
12 + 12h + 3 − 12h2
h
= lim
h→0
12h + 3h2
h
= (12 + 3h)lim
h→0
= 12.
f (x,y) ( , )x0 y0
x = x0
x = x0 h (y) = f ( ,y)x0
h (y) ( , )x0 y0
( ) =h′ y0 lim
k→0
h ( + k) − h ( )y0 y0
k
= .lim
k→0
f ( , + k) − f ( , )x0 y0 x0 y0
k
( , ) =
∂f
∂y
x0 y0 lim
k→0
f ( , + k) − f ( , )x0 y0 x0 y0
k
f y
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Figura 13: Inclinação da reta tangente a curva no ponto .
Exemplo 2:
Vamos considerar a mesma função e o ponto do Exemplo 1 desta aula.
Novamente, iremos calcular a derivada parcial da , nesse caso, com relação no ponto pela
de�nição. Assim,
Apesar da coincidência, nem sempre o valor das derivadas parciais com relação a e são iguais. Além disso,
conforme podemos veri�car pela de�nição, a derivada parcial com relação a nada mais é que calcular a
derivada da função , considerando a variável como sendo uma constante. Por exemplo, no caso da
função dos Exemplos 1 e 2, temos
h (y) = f ( , y)x0 ( , )x0 y0
f (x,y) = 3 y + 1x2 P = (2, 1)
f (x,y) y, P
(2, 1) =
∂f
∂y
lim
k→0
f (2, 1 + k) − f (2, 1)
k
= lim
k→0
[3 (1 + k) + 1]− [3 (1) + 1](2)2 (2)2
k
= lim
k→0
12 (1 + k) − 12
k
= lim
k→0
12 + 12k − 12
k
= lim
k→0
12k
k
= 12lim
k→0
= 12.
x y
x
f (x,y) y
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Se substituirmos o ponto dado no exemplo, teremos o mesmo resultado.
De forma equivalente, ao fazermos a derivada parcial da com relação a , iremos considerar a
variável como constante e calcularemos a derivada ordinária com relação à variável . Que, no caso da
mesma função, teríamos
Dessa forma, todas as regras de derivação do Cálculo 1 – regra da soma, multiplicação por constante, regra
do produto e regra do quociente – se aplicam no caso das derivadas parciais. Como veremos nos exemplos a
seguir.
Exemplo 3:
(a) A derivada parcial da função com relação a utiliza uma regra do produto. Temos
(b) Na derivada parcial da função com relação a , devemos utilizar a regra do quociente.
Temos
= (3 y + 1)
∂f
∂x
∂
∂x
x2
= 3y ( ) + (1) pois  y  é constante na derivada com relação a  x
∂
∂x
x2
∂
∂x
= 3y(2x) + 0
= 6xy.
f (x,y) y
x y
= (3 y + 1)
∂f
∂y
∂
∂y
x2
= 3 (y) + (1) pois  x  é constante na derivada com relação a  yx2
∂
∂y
∂
∂x
= 3 (1) + 0x2
= 3 .x2
f (x,y) = x cos (xy) x
= (xcos(xy))
∂f
∂x
∂
∂x
= (x)cos(xy) + x (cos(xy))
∂
∂x
∂
∂x
= (1)cos(xy) + x(−sen(xy)) (xy)
∂
∂x
= cos(xy) − xysen(xy).
f (x,y) = yx+y2 y
= ( )
∂f
∂y
∂
∂y
y
x + y2
=
(y)(x + ) − y (x + )∂∂y y
2 ∂
∂y y
2
(x + )y2 2
=
(1)(x + ) − y (2y)y2
(x + )y2 2
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Podemos calcular derivadas de ordens mais altas de uma função de duas variáveis também. Em breve, nos
será muito útil o conhecimento da derivada segunda de algumas funções. Por exemplo, para uma função de
duas variáveis , temos as quatro possibilidades de derivadas segundas:
Observe que distinguimos e , pois, de fato, elas nem sempre serão iguais. Para os nossos exemplos
usuais, com funções sempre muito bem comportadas, veremos que essas derivadas coincidem, mas tenha em
mente que isso nem sempre é verdade.
Exemplo 4:
Vamos calcular as derivadas segundas para a função 
Temos,
Então, a segunda derivada com relação a é
A segunda derivada mista com relação a e é
Agora, a derivada da com relação a é
= .
x − y2
(x + )y2 2
f (x,y)
,     ,        e    .
f∂2
∂x2
f∂2
∂x∂y
f∂2
∂y∂x
f∂2
∂y2
f∂2
∂x∂y
f∂2
∂y∂x
f (x,y) = (2x + y) .ex−y
= ((2x + y) )
∂f
∂x
∂
∂x
ex−y
= ((2x + y)) + (2x + y) ( )
∂
∂x
ex−y
∂
∂x
ex−y
= 2 + (2x + 1) .ex−y ex−y
x
= ( )
f∂2
∂x2
∂
∂x
∂f
∂x
= (2 + (2x + 1) )
∂
∂x
ex−y ex−y
= 4 + (2x + 1) .ex−y ex−y
x y
= ( )
f∂2
∂y∂x
∂
∂y
∂f
∂x
= (2 + (2x + 1) )
∂
∂y
ex−y ex−y
= −2 − (2x + 1) .ex−y ex−y
f y
03/06/2021 IESB
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Finalmente, a segunda derivada mista com relação a e depois é
Como era de se esperar, as derivadas mistas são iguais para um caso de uma função contínua e derivável em
todos os pontos.
É muito comum utilizar algumas notações diferentes para as derivadas parciais com o intuito de diminuir o
trabalho ao escrevê-las. A notação mais comum que iremos utilizar é escrever a derivada parcial como um
subscrito na função
. Por exemplo,
e assim por diante.
Finalmente, para encerrarmos, toda a discussão feita aqui para duas variáveis pode ser estendida sem
di�culdades para três variáveis ou mais. Por exemplo, dada a função , a derivada
parcial da com relação a é calculada da mesma forma feita em duas variáveis. Consideramos e como
constantes e derivamos ordinariamente com relação a , dessa forma, temos
= ((2x + y) )
∂f
∂y
∂
∂y
ex−y
= (2x + y) ( )
∂
∂x
ex−y
= − (2x + 1) .ex−y
y x
= ( )
f∂2
∂x∂y
∂
∂x
∂f
∂y
= (− (2x + 1) )
∂
∂x
ex−y
= −2 − (2x + 1) .ex−y ex−y
f (x,y)
= ,     = ,     = ,     =
∂f
∂x
fx
∂f
∂y
fy
f∂2
∂x2
fxx
f∂2
∂x∂y
fxy
f (x,y,z) = 3 y − zx3 z2
f z x y
z
= (3 y − z)fz
∂
∂z
x3 z2
= 3 y ( ) − (z)x3
∂
∂z
z2
∂
∂z
= 3 y2z − 1x3
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Unidade 01
Aula 05
Regra da Cadeia, Derivada Direcional,
Máximos e Mínimos e Multiplicadores de
Lagrange
VÍDEO
Como as derivadas de ordem superior foram tratadas rapidamente aqui, recomendamos que vocês
assistam à videoaula a seguir.
VÍDEO
Uma aula introdutória sobre derivadas parciais pode ser assistida a seguir. Assista!
03/06/2021 IESB
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Estudantes, nesta aula, falaremos sobre a Regra da Cadeia e Derivada Direcional. Continue estudando para
desenvolver as competências e habilidades necessárias a essa área de atuação e do conhecimento.
Dadas duas funções diferenciáveis de uma variável e , podemos, utilizando a regra da cadeia já
conhecida, determinar a derivada, por exemplo, da função composta que é dada por
Para funções de duas ou mais variáveis, temos também uma versão da regra da cadeia. Começaremos com a
versão para duas variáveis.
Regra da Cadeia (duas variáveis): Seja uma função com derivadas parciais contínuas, e 
 funções diferenciáveis de e . Então, a função composta 
 é derivável em e sua derivada é dada por
em que
e
Exemplo 1:
Vamos considerar inicialmente a função e a curva de�nida por e .
Então, a derivada da função com relação à variável , utilizando a Regra da Cadeia, é dada por
f (x) x (t)
h (t) = f (x (t))
= ⋅ .
dh
dt
df
dx
dx
dt
z = f (x,y) x (t)
y (t) t ( , ) = (x ( ) ,y (