SLIDES - AULA - MATEMÁTICA - ANÁLISE COMBINATÓRIA

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@prof.aruadias
ANÁLISE 
COMBINATÓRIA
➢Análise Combinatória:
a) Princípio Aditivo:
b) Princípio Multiplicativo:
[Princípio Fundamental da 
Contagem (PFC)]:
✓ Exemplo 1 – Numa lanchonete, 
existem as seguintes opções de 
sanduíches e sucos:
• Sanduíches: Presunto, Queijo e 
Atum.
• Sucos: Uva, Morango.
De quantas maneiras podemos 
ter um lanche optando por:
a) Um sanduíche ou um suco?
b) Um combo de sanduíche e suco?
➢Análise Combinatória:
a) Princípio Aditivo:
b) Princípio Multiplicativo:
[Princípio Fundamental da 
Contagem (PFC)]:
✓ Exemplo 2 – De quantas 
maneiras distintas podemos ir da 
cidade A para a cidade C, 
utilizando as estradas x, y, z, w, 
k, m e n ? 
A B C
x
y
z
w
k
m
n
➢Análise Combinatória:
a) Princípio Aditivo:
b) Princípio Multiplicativo:
[Princípio Fundamental da 
Contagem (PFC)]:
➢Análise Combinatória:
a) Princípio Aditivo:
b) Princípio Multiplicativo:
[Princípio Fundamental da 
Contagem (PFC)]:
✓ Exemplo 3 – Quantos números 
podemos formar com 3 
algarismos?
✓ Exemplo 4 – Quantos números 
distintos podemos formar com 3 
algarismos?
✓ Exemplo 5 – Quantos números 
ímpares de três algarismos 
distintos podemos obter, 
utilizando os algarismos
0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ?
(ENEM – 2017)
Resp.: E
Exemplo 1: Resolva os fatoriais abaixo.
a) 5!
b) 3! . 2!
c) 
𝟔!
𝟓!𝟑!
➢ O fatorial de um número natural 𝒏, 
sendo 𝒏 > 𝟏 é indicado por:
𝒏! = 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 ∙ … ∙ 𝟏
Obs.: 𝟎! = 𝟏! = 𝟏
Fatorial 
d) 
𝟔!+𝟓!
𝟒!
Fatorial 
➢ O fatorial de um número natural 𝒏, 
sendo 𝒏 > 𝟏 é indicado por:
𝒏! = 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 ∙ … ∙ 𝟏
Obs.: 𝟎! = 𝟏! = 𝟏
Exemplo 2 – Resolva a equação fatorial abaixo:
𝐧!
𝐧 − 𝟐 !
= 𝟏𝟐
Exemplo 3 - Resolva a equação fatorial 
abaixo:
𝒏! 𝒏 + 𝟏 !
𝒏 − 𝟏 !𝒏!
= 𝟐𝟎
Fatorial 
➢ O fatorial de um número natural 𝒏, 
sendo 𝒏 > 𝟏 é indicado por:
𝒏! = 𝒏 ∙ 𝒏 − 𝟏 ∙ 𝒏 − 𝟐 ∙ … ∙ 𝟏
Obs.: 𝟎! = 𝟏! = 𝟏
➢Análise Combinatória:
❑ Permutação simples:
Dado um conjunto com n
elementos distintos, qualquer 
sequência obtida pela troca de 
posição dos n elementos é uma 
permutação desses n elementos.
✓ Exemplo 1 – De quantas 
maneiras distintas podemos 
colocar 3 pessoas x, y e z em 
fila?
✓ Exemplo 2 – Utilizando o 
Princípio Fundamental da 
Contagem, de quantas de 
maneiras podemos permutar n 
elementos distintos?
❖ Observação:
Um tipo especial de permutação 
são os anagramas, que são 
palavras ou frases, escritas com 
as mesmas letras, porém 
trocando-as de posição.
Os anagramas podem fazer 
sentido ou não.
Ex.: RATO
✓ Exemplo 3 – Determine o número 
de anagramas:
a) Existentes na palavra FUNÇÃO.
b) Existentes na palavra FUNÇÃO 
que iniciam com F e terminam 
com O.
c) Existentes na palavra FUNÇÃO 
desde que as vogais A e O 
apareçam juntas nessa ordem 
(ÃO).
𝑷𝒏 = 𝒏!
➢Análise Combinatória:
❑ Permutação simples:
Dado um conjunto com n
elementos distintos, qualquer 
sequência obtida pela troca de 
posição dos n elementos é uma 
permutação desses n elementos.
✓ Exemplo 4 – Cinco pessoas (A, B, 
C, D e E) irão tirar uma foto um 
ao lado do outro, determine:
a) O número de fotos possíveis de 
serem tiradas.
b) O número de fotos possíveis de 
serem tiradas com A e B lado a 
lado.
𝑷𝒏 = 𝒏!
➢Análise Combinatória:
❑ Permutação com 
elementos repetidos:
A permutação com repetição é 
um tipo de permutação em que 
existem elementos repetidos.
Onde 𝜶 ,𝜷 ,… , 𝜽 são a 
quantidade de repetições.
✓ Exemplo 1 – Determine a 
quantidade de anagramas das 
seguintes palavras:
a) PATO
b) BOLO
c) BANANA
𝑷𝒏
(𝜶 , 𝜷 , … , 𝜽)
=
𝒏!
𝜶 !. 𝜷!. … . 𝜽!
(ENEM digital – 2020)
Resp.: D
PS
(ENEM)
Resp.: B
PS
Exemplo:
6 pessoas disputam os Cargos de
Presidente e Vice-Presidente.
• 𝑷 ≠ 𝑽𝑷
• A ordem importa
𝑨𝒏, 𝒑 =
𝒏!
𝒏 − 𝒑 !
∙
(P) (VP)
6 5
𝑨𝟔, 𝟐 =
𝟔!
𝟔 − 𝟐 !
𝑨𝟔, 𝟐 =
𝟔. 𝟓. 𝟒!
𝟒!
𝑨𝟔, 𝟐 = 𝟔. 𝟓
𝑨𝟔, 𝟐 = 𝟑𝟎
= 𝟑𝟎
𝑨𝒏
𝒑
=
𝒏!
𝒏 − 𝒑 !
*
Arranjo Simples
Exemplo:
Em certo jogo, 6 pessoas precisam
formar duplas. Quantas duplas serão
formadas?
• 𝐀𝐁 = 𝑩𝑨
• A ordem não importa
𝑪𝒏, 𝒑 =
𝒏!
𝒑! 𝒏 − 𝒑 !
∙
(A) (B)
6 5
𝑪𝟔, 𝟐 =
𝟔!
𝟐! 𝟔 − 𝟐 !
𝑪𝟔, 𝟐 =
𝟔. 𝟓. 𝟒!
𝟐. 𝟏. 𝟒!
𝑪𝟔, 𝟐 =
𝟔. 𝟓
𝟐
=
𝟑𝟎
𝟐
= 𝟏𝟓
= 𝟑𝟎
𝑪𝒏
𝒑
=
𝒏!
𝒑! 𝒏 − 𝒑 !
*
÷ 𝟐! = 𝟏𝟓
Combinação Simples
QUESTÕES
ANÁLISE COMBINATÓRIA
(STRIX – EBMSP – MEDICINA – FASE ÚNICA – MATEMÁTICA – 2021.2)
(STRIX – EBMSP – MEDICINA – FASE ÚNICA – MATEMÁTICA – 2021.2)
(STRIX – EBMSP – MEDICINA – 1ª FASE – MATEMÁTICA – 2017.1)
(STRIX – EBMSP – MEDICINA – 1ª FASE – MATEMÁTICA – 2017.1)
(ENEM – 2016)
Resp.: E
(ENEM – 2016)
Resp.: E
(ENEM – 2020)
Resp.: E
PR
FUVEST/2013
Uma equipe de trabalho é formada por 6 mulheres e 5 homens. Eles
pretendem se organizar em grupos de 6 pessoas, com 4 mulheres e 2
homens, para compor uma comissão. Quantas comissões podem ser
formadas?
a) 100 comissões
b) 250 comissões
c) 200 comissões
d) 150 comissões
Uma equipe de trabalho é formada por 6 mulheres e 5 homens. Eles
pretendem se organizar em grupos de 6 pessoas, com 4 mulheres e 2
homens, para compor uma comissão. Quantas comissões podem ser
formadas?
a) 100 comissões
b) 250 comissões
c) 200 comissões
d) 150 comissões
(ENEM – 2020)
Resp.: C
PR
(ENEM – 2020)
Resp.: C
PR
QUESTÕES EXTRAS
ANÁLISE COMBINATÓRIA
(ENEM – 2017)
Resp.: E
(ENEM – 2017)
Resp.: E
PFC
1 -
2 -
3 - Quantas senhas com 4
algarismos diferentes podemos
escrever com os algarismos 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 e 9?
a)1 498 senhas
b)2 378 senhas
c)3 024 senhas
d)4 256 senhas
Resolução:
A ordem importa ⇒ Arranjo
𝑨𝒏, 𝒑 =
𝒏!
𝒏 − 𝒑 !
𝑨𝟗, 𝟒 =
𝟗!
𝟗 − 𝟒 !
𝑨𝟗, 𝟒 =
𝟗!
𝟓!
𝑨𝟗, 𝟒 =
𝟗 . 𝟖 . 𝟕 . 𝟔 . 𝟓!
𝟓!
𝑨𝟗, 𝟒 = 𝟗 . 𝟖 . 𝟕 . 𝟔 = 𝟑𝟎𝟐𝟒
4 -
5 -
6 - Determine o número de anagramas:
a) Existentes na palavra FUNÇÃO.
b) Existentes na palavra FUNÇÃO que
iniciam com F e terminam com O.
c) Existentes na palavra FUNÇÃO desde
que as vogais A e O apareçam juntas
nessa ordem (ÃO).
Resolução:
a) 
𝐏𝟔 = 𝟔!
= 𝟔 . 𝟓 . 𝟒 . 𝟑 . 𝟐 . 𝟏
= 𝟕𝟐𝟎
b) 
F . ___ . ___ . ___ . ___ . O
𝑷𝟒 = 𝟒!
= 𝟒 . 𝟑 . 𝟐 . 𝟏
= 𝟐𝟒
6 - Determine o número de anagramas:
a) Existentes na palavra FUNÇÃO.
b) Existentes na palavra FUNÇÃO que
iniciam com F e terminam com O.
c) Existentes na palavra FUNÇÃO desde
que as vogais A e O apareçam juntas
nessa ordem (ÃO).
Resolução:
c)
ÃO . ___ . ___ . ___ . ___
𝑷𝟓 = 𝟓!
= 𝟓 . 𝟒 . 𝟑 . 𝟐 . 𝟏
= 𝟏𝟐𝟎
8 - Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos
de uma turma?
a)4 845 comissões
b)2 345 comissões
c)3 485 comissões
d)4 325 comissões
8 - Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos
de uma turma?
a)4 845 comissões
b)2 345 comissões
c)3 485 comissões
d)4 325 comissões
Resolução:
A ordem não importa ⇒ Combinação
𝑪𝒏, 𝒑 =
𝒏!
𝒑! 𝒏 − 𝒑 !
𝑪𝟐𝟎, 𝟒 =
𝟐𝟎!
𝟒! 𝟐𝟎 − 𝟒 !
𝑪𝟐𝟎, 𝟒 =
𝟐𝟎!
𝟒! 𝟏𝟔!
𝑪𝟐𝟎, 𝟒 =
𝟐𝟎 ∙ 𝟏𝟗 ∙ 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟕 ∙ 𝟏𝟔!
𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏𝟔!
𝑪𝟐𝟎, 𝟒 = 𝟓 ∙ 𝟏𝟗 ∙ 𝟑 ∙ 𝟏𝟕
𝑪𝟐𝟎, 𝟒 = 𝟒𝟖𝟒𝟓
5 3
9 - Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que
podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu
time, composto de 6 jogadores.
a) 4 450 maneiras
b) 5 210 maneiras
c) 4 500 maneiras
d) 5 005 maneiras
Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que
podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu
time, composto de 6 jogadores.
a) 4 450 maneiras
b) 5 210 maneiras
c) 4 500 maneiras
d) 5 005 maneiras
10 - Uma equipe de trabalho é formada por 6 mulheres e 5 homens.
Eles pretendem se organizar em grupos de 6 pessoas, com 4
mulheres e 2 homens, para compor uma comissão. Quantas
comissões podem ser formadas?
a) 100 comissões
b) 250 comissões
c) 200 comissões
d) 150 comissões
Uma equipe de trabalho é formada por6 mulheres e 5 homens. Eles
pretendem se organizar em grupos de 6 pessoas, com 4 mulheres e 2
homens, para compor uma comissão. Quantas comissões podem ser
formadas?
a) 100 comissões
b) 250 comissões
c) 200 comissões
d) 150 comissões
Resolução:
No grupo de 6 pessoas, temos:
𝑪𝒏, 𝒑 =
𝒏!
𝒑! 𝒏 − 𝒑 !
Mulheres Homens
𝑪𝟔,𝟒 ∙ 𝑪𝟓,𝟐
𝟔!
𝟒! (𝟔 − 𝟒)!
∙
𝟓!
𝟐! (𝟓 − 𝟐)!
𝟔!
𝟒! 𝟐!
∙
𝟓!
𝟐! 𝟑!
𝟔 ∙ 𝟓 ∙ 𝟒!
𝟒! ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
∙
𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
𝟐 ∙ 𝟏 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟐 = 𝟏𝟓𝟎
23
E
EBMSP - 2018.2 
E
EBMSP - 2018.2 
(UNIFACS - CONSULTEC - 2019.2)
UNIME - CONSULTEC 
UNIME - CONSULTEC - 2014.2 
FUVEST/2013