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1 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Relações Material Propriedade Lei de Hooke Generalizada Supor que o material está sujeito a um estado triaxial de tensões num ponto. zyx e, σσσ ⇒ zyx e, εεε As tensões são relacionadas às deformações 1- Relação de Poisson longlat νεε −= 2- Lei de Hooke aplicada na direção uniaxial E σε = 3- Princípio da superposição Figura 1. Aplicação das tensões, superposição. Deformação normal do elemento na direção x, provocada pela aplicação separada de cada tensão normal, Figura 1. 1- Aplicação de xσ E x' x σε = (1) 2- Aplicação de yσ E y'' x σνε −= (2) 2 3- Aplicação de zσ E z''' x σνε −= (3) Forma geral da Lei de Hooke A superposição das deformações normais fornecem as seguintes equações: ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]yxzz zxyy zyxx E 1 E 1 E 1 σσνσε σσνσε σσνσε +−= +−= +−= (4) Suposições 1- Material Linear e elástico 2- Pequenas deformações 3- Material isotrópico, o elemento permanecerá um bloco retangular quando submetido a tensões normais. Lei de Hooke para Tensão de Cisalhamento Se aplicarmos uma tensão de cisalhamento ao elemento, observações experimentais indicam que o material se deformará devido somente a uma deformação por cisalhamento. xzxzyzyzxyxy G 1, G 1, G 1 τγτγτγ === (5) Figura 2- Aplicação da tensão de cisalhamento 3 Relação entre E, ν e G ( )ν+= 12 EG (6) Dilatação e Módulo de compressibilidade Quando um material é submetido à tensão normal, o seu volume muda. Considere o elemento da Figura 3. Figura 3.a. Elemento original. Figura3.b. Elemento após a aplicação da tensão. Figura3. A mudança volume é dada por: ( )( )( ) dxdydzdxdydz111V zyx −+++= εεεδ (7) Desprezando o produto das deformações, uma vez que são muito pequenos. ( )dxdydzV zyx εεεδ ++= (8) A mudança de volume por unidade de volume (Deformação volumétrica ou dilatação e) zyxdV Ve εεεδ ++== (9) As deformações por cisalhamento não mudam o volume do elemento,mas apenas seu formato retangular. Usando a lei de hooke generalizada definida pelas equações (4), poderemos escrever a dilatação em termos da tensão aplicada. ( )zyxE21e σσσν ++−= (10) Elemento de volume do material submetido à pressão uniforme p A pressão do corpo é a mesma em todas as direções. Não há tensões de cisalhamento uma vez que a resistência de um liquido é nula. 4 Figura 4. Dessa forma ( )ν213 E e p −−= (11) O termo da direita da Eq. (11) é chamado de módulo de elasticidade do volume ou módulo de compressibilidade. Ele tem as mesmas unidades de tensão e será simbolizado pela letra k, isto é: ( )ν213 Ek −= (12) Exercício. 1. A barra de cobre da Figura 5 está submetida a um carregamento uniforme ao longo de suas bordas como mostrado. Se ela tiver comprimento a=300 mm, largura b=50 mm e espessura t= 20 mm antes de a carga ser aplicada, determinar seus novos comprimento, largura e espessura após o carregamento. Adotar Ecu= 120 GPa, 34,0cu =ν . Figura 5. Resposta: a’ =302,4 mm, b’ = 49,68 mm, t’ = 19,98 mm 5 Referências Bibliográficas: 1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995. 2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning 3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000. Observações: 1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.
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