TCC - Projeto Estrutural de Concreto Armado

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UNIVERSIDADE DE UBERABA 
KARLA CRISTINA ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO ESTRUTURAL DE CONCRETO ARMADO PARA EDIFICAÇÃO 
RESIDENCIAL: LAJES, VIGAS E PILARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UBERLÂNDIA – MG 
2020 
 
KARLA CRISTINA ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO ESTRUTURAL DE CONCRETO ARMADO PARA EDIFICAÇÃO 
RESIDENCIAL: LAJES, VIGAS E PILARES S 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado à Universidade de 
Uberaba, como parte das exigências à 
conclusão do componente Projeto de 
Engenharia II, da 10ª etapa, do curso de 
Graduação em Engenharia Civil, da UNIUBE, 
Campus Uberlândia. 
 
Orientador: Prof. Me. Rodrigo Reis de Rezende 
Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UBERLÂNDIA – MG 
2020 
 
 
 
PROJETO ESTRUTURAL DE CONCRETO ARMADO PARA EDIFICAÇÃO 
RESIDENCIAL: LAJES, VIGAS E PILARES 
 
 
Karla Cristina Alves 
kacrisa@yahoo.com.br 
Rodrigo Reis de Rezende Costa 
rodrigo.costa@uniube.br 
 
 
RESUMO 
O presente trabalho tem como objetivo projetar os elementos estruturais de concreto armado de 
uma edificação residencial. O lançamento, pré-dimensionamento das seções de concreto, 
cálculos dos quantitativos das barras de aço longitudinais e transversais com seus respectivos 
diâmetros e espaçamentos necessários para as instalações nas estruturas, a averiguação do 
Estado Limite de Serviço e o detalhamento de lajes, vigas e pilares fez com que o projetista se 
deparasse com um projeto completo de estruturas de concreto armado e, dessa forma, com a 
necessidade de correlacionar os parâmetros estabelecidos nas NBRs à prática. O projeto 
estrutural de concreto armado se faz imprescindível para garantir a qualidade, segurança e 
estabilidade das estruturas, a fim de impedir tanto possíveis falhas ou rupturas no concreto 
comprimido quanto deformações excessivas na armadura tracionada. 
 
Palavras-chave: Dimensionamento. Estrutura. Laje. Viga. Pilar. 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 3 
2 CONCRETO ARMADO E SEGURANÇA ............................................................................ 4 
3 LAJES MACIÇAS .................................................................................................................. 5 
4 VIGAS ................................................................................................................................... 13 
5 PILARES ............................................................................................................................... 22 
6 CONCLUSÕES ..................................................................................................................... 28 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 29 
 
 3 
1 INTRODUÇÃO 
 
 As estruturas são responsáveis por darem sustentação à construção, têm a capacidade de 
resistirem às ações atuantes que produzem estados de tensão ou de deformações, transferindo 
as cargas (peso próprio, revestimentos e cargas acidentais) da construção para o solo como um 
sistema: as lajes descarregam as cargas nas vigas que descarregam nos pilares e estes nas 
fundações que as transferem para o solo. E é nesse sentido que o concreto armado se encaixa 
perfeitamente como elemento estrutural com a função de proporcionar resistência à maioria das 
solicitações, choques e vibrações, efeitos térmicos e desgastes mecânicos, além de ter outras 
vantagens como uma boa trabalhabilidade, durabilidade e facilidade de se encontrar mão de 
obra qualificada em todo o país. 
Para se iniciar uma construção, o projetista deve atentar-se à elaboração de um bom 
projeto que atenda às normas, exigências e recomendações relativas tanto ao planejamento 
quanto a execução, a fim de garantir segurança, estabilidade, qualidade, produtividade, redução 
de custos, durabilidade e desempenho. Pensando-se nisso, este trabalho tem por objetivo 
projetar os elementos estruturais de concreto armado de uma edificação residencial de 105,78 
m2 com três quartos, sala, cozinha e banheiro, lançando, dimensionando e detalhando as lajes, 
vigas e pilares, tendo como embasamento teórico a Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT) Norma Brasileira (NBR) 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento, a ABNT NBR 6120:2019 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações, 
ABNT NBR 8681:2003 – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento, o livro Cálculo e 
Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado: segundo a NBR 6118:2014 dos 
autores Roberto Chust Carvalho e Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho de 2016. 
Inicialmente, a partir da montagem da planta baixa, será feita a concepção da estrutura 
de concreto armado com demonstração do lançamento das estruturas, apresentando a divisão 
das lajes a serem dimensionadas e a locação de vigas e pilares. Em seguida, após serem 
nomeadas e numeradas as lajes, vigas e pilares, será feito o pré-dimensionamento de todas as 
peças estruturais com os cálculos das cargas e esforços atuantes (momentos, cortantes e forças 
normais). Posteriormente ao dimensionamento das seções de concreto, serão feitos os cálculos 
das barras de aço longitudinais e estribos com seus respectivos diâmetros e espaçamentos 
necessários para as instalações nas estruturas. Em sequência, será conferido o Estado Limite de 
Serviço (ELS): Formação de Fissuras (ELS-F), Abertura de Fissuras (ELS-W) e Deformação 
excessiva (ELS-DEF). E, finalmente, será feito o detalhamento em escala 1:25 dos cortes e 1:50 
de todas as peças estruturais com as indicações de posição, quantidade, diâmetro e comprimento 
 4 
de todas as armaduras longitudinais e transversais (estribos), além das distâncias entre as 
camadas das armaduras. Além disso, todos os espaçamentos serão arredondados para baixo em 
caso de dimensionamento com decimais para facilitar à execução. Para tanto, as plantas 
arquitetônicas e estruturais serão elaboradas com o auxílio do software AutoCAD, os momentos 
das vigas serão adquiridos com a utilização do programa Ftool e para os cálculos das cargas, 
esforços e momentos serão desenvolvidas fórmulas no Excel e seus resultados serão expostos 
em tabelas neste trabalho. 
Considerando-se que o projeto estrutural em questão é de uma residência urbana e que, 
portanto, tenha um risco pequeno em relação a deterioração da estrutura, teve-se que aderir a 
Classe II (Agressividade Moderada) como Classe de Agressividade Ambiental (CAA) de 
acordo com a tabela 6.1 da ABNT NBR 6118:2014 e que, assim, foram atendidos os requisitos 
estabelecidos na tabela 7.1, quanto a resistência característica do concreto à compressão (fck) 
ser maior ou igual a 25 MPa, sendo adotada a classificação do concreto de 25 MPa (C25) e a 
resistência característica de escoamento do aço (fyk) de 50 kN/cm
2, classificado na categoria 
CA-50. O estádio de tensão, que determina o seu nível de deformação adotado, será o Estádio 
III1, o cobrimento nominal (cnom) que é a camada de concreto que protege a armadura será de 
2,5 cm para as lajes e 3,0 cm para vigas e pilares, de acordo com a tabela 7.2 da ABNT 
NBR6118:2014, brita 1 de 19 mm e o diâmetro (∅) das barras de aço de 6,3 mm para as lajes e 
estribos das vigas e pilares e 10 mm para a armadura longitudinal de vigas e pilares. 
 
 
2 CONCRETO ARMADO E SEGURANÇA 
 
O concreto armado (CA) é formado por concreto e aço. Aquele é obtido através da 
mistura de cimento, água, agregados miúdos e graúdos, em proporções adequadas aos diferentes 
usos na construção, proporções essas conhecidas na engenharia como traço (relação da 
quantidade de todos os materiais constituintes da mistura que forma o concreto). Esteé disposto 
em barras de aço, o qual é composto por uma liga metálica de ferro e carbono (de 0,03 a 2,04%), 
conferindo-lhe maior ductibilidade2, sendo elástico e moldável sem se romper até certa tensão 
de tração. 
O concreto garante alta resistência à compressão, enquanto o aço é resistente à tração. 
 
1 Corresponde ao limite último (ações majoradas, resistências minoradas), para resistir sem chegar ao colapso. 
2 A ductilidade é a propriedade que um material possui de deformação elástica, suportada até o momento de seu 
rompimento/fratura. Sendo considerado frágeis os materiais que pouco suportam o processo de ensaio de tração. 
 5 
Essa combinação do concreto com armadura é eficaz, uma vez que trabalham juntos devido às 
forças de aderência entre a superfície do aço e o concreto, comportando-se, assim, como 
material estrutural, de tal modo que ambos resistam solidariamente aos esforços solicitantes. 
Para obter qualidade e segurança na confecção do projeto estrutural, execução e controle 
de obras e materiais é necessário ter um parâmetro. Essa padronização é listada nas NBRs 
garantidas pela ABNT, as quais definem os critérios e requisitos básicos que regem este projeto 
estrutural de CA como um todo. Além de dar um norte ao projetista, as NBRs propiciam um 
adequado comportamento estrutural dos elementos de CA, conferindo-lhe resistência e 
desempenho para suportar as cargas determinadas pelo projeto ao longo de sua vida útil e, 
consequentemente, evitando futuras fissuras, rupturas, falhas e incompatibilidades no processo 
de produção. 
O dimensionamento é imprescindível para garantir a segurança e estabilidade da 
estrutura, a fim de impedir tanto possíveis falhas ou rupturas do concreto comprimido quanto 
deformações excessivas da armadura tracionada, consequentes da não resistência às solicitações 
que a estrutura se submeteu durante sua execução e utilização. "Em outras palavras, a finalidade 
do cálculo estrutural é garantir, com segurança adequada, que a estrutura mantenha certas 
características que possibilitem a utilização satisfatória da construção, durante sua vida útil, 
para as finalidades às quais foi concebida." (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2016, p. 
46). Portanto, a partir do próximo capítulo, inicia-se a demonstração das etapas de todo o projeto 
estrutural de CA em estudo, incluindo-se o pré-dimensionamento de todas as peças estruturais 
com seus respectivos cálculos. 
 
 
3 LAJES MACIÇAS 
 
Os elementos estruturais são peças com mais de uma dimensão que são arranjadas por 
um sistema estrutural. A laje é uma estrutura plana, usualmente planejada na forma de uma 
retângulo, sendo bem maior no plano horizontal em relação ao vertical, sendo sua espessura 
relativamente pequena sobre as demais dimensões. 
Neste trabalho, atear-se-á laje moldada no local, laje de CA denominada maciça, 
seguindo-se os critérios estabelecidos no item 13.2.4.1 pela NBR 6118:2014 que determina um 
limite mínimo de 7 cm para cobertura não em balanço. A partir da montagem da planta baixa 
arquitetônica (Figura 1), a residência em estudo foi dividida em quatro lajes maciças com altura 
 6 
de 10 cm cada (L1, L2, L3 e L4); foi feita a numeração e o posicionamento das vigas (V1 a 
V15) e pilares (P1 a P12), conforme apresentado na Figura 2. 
 
Figura 1: Planta baixa arquitetônica da residência 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Figura 2: Divisão das lajes e posicionamento das vigas e pilares 
 
Fonte: Autora (2020) 
 7 
Este tipo de laje distribui suas cargas em todas as vigas de contorno nas quais serão 
apoiadas. Pode ser armada em uma ou duas direções, isto é: 
 
Quando a relação entre o vão maior e o menor da laje é menor ou igual a dois, 
costuma-se considerar, para efeito de cálculo, que essa laje trabalha em duas direções; 
quando essa relação é maior que dois, a laje é considerada trabalhando em apenas uma 
direção (a de menor vão) e é armada apenas nessa direção (sem levar em conta 
armaduras construtivas ou mínimas exigidas). (CARVALHO; FIGUEIREDO 
FILHO, 2016, p. 320). 
 
A direção da armadura da laje (Eq. 1) é determinada pelo resultado do parâmetro 𝜆: 
 λ =
ℓ𝑦
ℓ𝑥
 (1) 
ℓx = menor vão da laje; 
ℓy = maior vão da laje; 
𝜆 > 2, a laje será calculada em 1 direção; 
𝜆 ≤ 2, a laje será calculada em 2 direções. 
 
No entanto, para determinar a direção da laje é preciso encontrar os vãos efetivos ℓx e 
ℓy, efetuando-se o cálculo da Equação 2 disposta no item 14.6.2.4 da NBR 6118:2014: 
ℓef = ℓ + a1 + a (2) 
ℓ = é a distância entre as faces internas de dois apoios consecutivos; 
a1 e a2 = menor valor entre (t1ou2/2 e 0,3h), sendo t a seção menor da viga e h a altura da laje 
(cálculo de laje) ou t a seção menor do pilar e h a seção menor da viga (cálculo de viga). 
 
Através dos vãos efetivos foram obtidas as direções das quatro lajes, conforme os 
resultados apresentados na Tabela 1. 
 
Tabela 1: Determinação das direções das lajes 
laje ℓx (cm) ℓy (cm) 𝜆 direção 
L1 370,00 380,00 1,03 2 direções 
L2 320,00 735,00 2,30 1 direção 
L3 380,00 735,00 1,93 2 direções 
L4 320,00 370,00 1,16 2 direções 
Fonte: Autora (2020) 
 
Para o pré-dimensionamento das quatro lajes, inicialmente, calculou-se as cargas 
distribuídas uniformemente (Tabela 2) através da somatória do peso próprio da estrutura + 
regularização + cobertura + ação variável + peso próprio do reservatório de água (somente 
acrescido na carga da laje L3). As ações permanentes e variáveis devem estar de acordo com 
os valores característicos nominais mínimos estabelecidos na NBR 6120, levando-se em 
 8 
consideração que para obter o cálculo do peso próprio da laje de CA, deve-se multiplicar a 
altura da laje em m2 que é de 0,1 pelo peso específico aparente (𝛶) do CA que é de 25 kN/m3; 
para obter o cálculo da regularização, deve-se multiplicar a espessura da regularização que é de 
2 cm pelo 𝛶 da argamassa de cal, cimento e areia que é de 19 kN/m3; somar a cobertura da laje 
em telha colonial com 𝛶 de 0,85 kN/m2 e a ação variável3 para edifícios residenciais que é de 
0,1 kN/m2. Dessa forma, foram obtidas as ações atuantes nas lajes, conforme os resultados 
apresentados na Tabela 2: 
 
Tabela 2: Determinação das cargas atuantes nas lajes 
laje h(cm) 
peso próprio 
laje CA (kN/m²) 
regularização 
(kN/m²): 0,02*19 
cobertura 
(kN/m²) 
ação variável 
(kN/m²) 
peso próprio 
reservatório 2000L 
(kN/m²) 
Total característico 
(kN/m²) 
L1 10,00 2,50 0,38 0,85 0,10 0,00 3,83 
L2 10,00 2,50 0,38 0,85 0,10 0,00 3,83 
L3 10,00 2,50 0,38 0,85 0,10 0,63 4,46 
L4 10,00 2,50 0,38 0,85 0,10 0,00 3,83 
 Fonte: Autora (2020) 
 
Após determinar as cargas atuantes na laje, calculou-se as reações de apoio e os 
momentos fletores. Para o cálculo das reações de apoio na laje foi preciso identificar o tipo de 
vinculação existente em cada laje a partir de seu bordo: livre, apoiado ou engastado. 
Todas as lajes da residência do projeto se encaixam no caso 3, tendo duas bordas 
engastadas e duas apoiadas, situação que ocorre onde há continuidade entre duas lajes vizinhas. 
Para se encontrar as reações de apoio e momentos fletores da laje armada em uma direção, L2, 
deve-se utilizar as seguintes equações (Figura 3), considerando-se a laje como uma viga que 
está apoiada de um lado e engastada do outro. 
 
Figura 3: Reações de apoio e Momentos 
 
Fonte: Cálculo de apoio e flecha adaptada pela autora4 
 
p = carga uniforme da laje em kN/m2; 
ℓx = menor vão em m; 
 
3 Para o cálculo da ação variável atuante nas lajes, foi considerado o valor característico nominal da carga variável 
como forros acessíveis apenas para manutenção e sem estoque de materiais em edifícios residenciais, que constana tabela 10 da NBR 6120, anteriormente à revisão da norma. 
4 Disponível em: <https://www.slideshare.net/RafaelVieiraCorreia/calculo-de-apoio-e-flecha-103992337>. 
Acesso em 13 abril 2020 
1) A=(3/8)pℓx 4) M+máx = (pℓx 2)/14,22 
2) B=(5/8)pℓx 5) M-máx = (pℓx 2)/8 
3) A,B maior vão = 0,15pℓx 
 
https://www.slideshare.net/RafaelVieiraCorreia/calculo-de-apoio-e-flecha-103992337
 9 
 
A direção principal é a menor dimensão da laje. Já que o menor vão da L2 está entre os 
apoios V10 e V13 e V11 e V14, as equações (Figura 3) utilizadas para calcular as reações de 
apoio são as de número: 1) para as vigas de borda engastada V10 e V11, 2) para a vigas de 
borda apoiada V13 e V14; já para as vigas paralelas (maior vão da L2) à direção principal, a 
equação (Figura 3) utilizada para calcular as reações de apoio é a de número: 3) para as vigas 
V2 e V4. Como a L2 é em apenas uma direção, os momentos máximos são calculados pelas 
equações (Figura 3) de números: 4) para o momento máximo positivo e 5) para o momento 
máximo negativo. 
Para as lajes calculadas em 2 direções (L1, L3 e L4), foi utilizada a teoria das placas. Os 
valores dos momentos fletores (Eq. 3) na direção do vão ℓx e ℓy e reações de apoio (Eq. 4) foram 
baseados pelo emprego dos coeficientes adimensionais tabelados (µx , µ'x, µy , µ'y e vx , v'x, vy, 
v'y), a partir do resultado do parâmetro 𝜆 e da laje do tipo 3 com carga uniformemente 
distribuída, obtendo-se as soluções expressas na Tabela 3: 
 𝑀 = μ =
pℓ𝑥
 2
10
 𝑉 = ν =
pℓ𝑥
10
 (3) (4) 
 
Tabela 3: Reações de apoio e momentos fletores 
 L1 L3 L4 L2 
p (kN/m²) 3,83 4,46 3,83 p (kN/m²) 3,83 
ℓx (m) 3,70 3,20 3,20 ℓx (m) 3,20 
𝜆 usado 1,05 1,95 1,20 𝜆 usado 1,05 
Vx (kN/m) 3,22 5,46 3,10 V2 (kN/m) 1,84 
V'x (kN/m) 4,70 7,98 4,53 V4 (kN/m) 1,84 
Vy (kN/m) 3,08 3,68 2,66 V10 V11(kN/m) 4,60 
V'y (kN/m) 4,49 5,37 3,89 V13 V14(kN/m) 7,66 
Mx (kN.m) 1,67 3,63 1,43 M+ máx (kN.m) 2,76 
M'x (kN.m) 4,13 7,59 3,41 M-máx (kN.m) 4,90 
My (kN.m) 1,40 1,05 1,03 
M'y (kN.m) 3,86 5,27 2,99 
Fonte: Autora (2020) 
 
 Antes do dimensionamento da armadura, foi preciso fazer a compatibilização dos 
momentos fletores atuantes em duas lajes, utilizando-se as equações 5,6 e 7, conforme obteve-
se os resultados do projeto (Tabela 4): 
𝑀𝑐
 − ≥ {
0,8. 𝑀𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 (1𝑜𝑢2) 
− 
𝑀1
 − +𝑀2
 −
2
 (5) 
 𝑀𝑐
1 + = 𝑀1 + (
𝑀1
 −− 𝑀𝑐
 − 
2
) ≥ 𝑀1 𝑜𝑢 𝑀𝑐
1 + = 𝑀1 (6) 
 𝑀𝑐
2 + = 𝑀2 + (
𝑀2
 −− 𝑀𝑐
 − 
2
) ≥ 𝑀2 𝑜𝑢 𝑀𝑐
2 + = 𝑀2 (7) 
 10 
𝑀𝑐
 − = Maior momento negativo de compatibilização obtido no engaste das lajes; 
𝑀𝑐
1 += Maior momento positivo corrigido da primeira laje; 
𝑀𝑐
2 += Maior momento positivo corrigido da segunda laje. 
 
Tabela 4: Compatibilização dos momentos fletores e seus respectivos resultados 
 L1 e L3 L1 e L2 L3 e L4 L3 e L2 
Mc- (kN/m) 4,22 3,92 6,07 6,07 
Mc- (kN/m) 4,70 4,38 5,50 6,24 
Mc- (>) (kN/m) 4,70 4,38 6,07 6,24 
Mc1 (+) (kN/m) 1,39 1,14 4,38 4,30 
Mc1 (>) (kN/m) 1,67 1,40 4,38 4,30 
Mc2 (+) (kN/m) 1,34 3,02 0,10 2,09 
Mc2 (>) (kN/m) 1,34 3,02 1,43 2,76 
 
Resultados L1 e L3 L1 e L2 L3 e L4 L3 e L2 
Mc- (>) (kN/m) 4,70 4,38 6,07 6,24 
Mc1 (>) (kN/m) 1,67 1,40 4,38 4,30 
Mc2 (>) (kN/m) 1,34 3,02 1,43 2,76 
Fonte: Autora (2020) 
 
Para os cálculos dos quantitativos das barras de aço com seus respectivos diâmetros e 
espaçamentos necessários para as instalações nas estruturas, considerou-se o 𝑐𝑛𝑜𝑚 de 2,5 cm, a 
largura (𝑏𝑤) de 100 cm, o ∅ adotado da armadura de flexão de 6,3 mm (menor do que o ∅ 
máximo permitido h/8); a armadura longitudinal mínima de 1,5 cm2/m (0,0015. 𝑏w. h) e a 
máxima de 40 cm2/m (0,04. 𝑏w. h); o espaçamento máximo da armadura principal de 20 cm 
(Eq. 8) e o mínimo de 2,28 cm (Eq. 9) e a área de aço mínima da armadura secundária de 0,90 
cm2/m (Eq. 10), determinados pela NBR 6118:2014: 
𝑆𝑚á𝑥 ≥ {
20 
2. ℎ 
𝑐𝑚 𝑆𝑚í𝑛 ≥ {
2
∅
1,2. 𝑑𝑚á𝑥.𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
cm2/m 𝐴𝑠𝑚í𝑛
𝑠𝑒𝑐. ≥ {
0,9
0,2. 𝐴𝑠
0,5.0,0015. bw. ℎ
cm2/m 
(8) (9) (10) 
 
Em seguida, calculou-se o coeficiente Kc (Eq. 11), correlacionou-se o valor de Kc com 
βx tabelado, encontrando-se o coeficiente Ks tabelado. Posteriormente, determinou-se a área de 
aço (Eq. 12) e estabeleceu-se a correspondência entre o diâmetro da armadura e a área de aço 
(As) adotada em cm2/m, considerando-se que a As segue as exigências da NBR 6118:2014 
quanto à Asmínima e Asmáxima, conforme os resultados, quantitativos de barras, os diâmetros e 
seus respectivos espaçamentos apresentados na Tabela 5: 
𝐾𝑐 =
 bw.𝑑2 
𝑀𝑑
 𝐴𝑆 =
 𝐾𝑆.𝑀𝑑 
𝑑
 (11) (12) 
 11 
Tabela 5: Área de aço, número de barras, diâmetros e seus respectivos espaçamentos 
P/ Mx L1 L3 L4 
Kc 22,05 8,41 25,76 
βx (tabela) 0,03 0,08 0,03 
Ks (CA-50)tab. 0,023 0,024 0,023 
As calc. (cm2/m) 0,750 0,655 1,965 
As adot. (cm2/m) 1,500 1,500 1,965 
nº barras 19 19 21 
 
ꬾ 6,3 
c/ 20,0 
ꬾ 6,3 
c/ 20,0 
ꬾ 6,3 
c/ 15,5 
 
P/ Mx' L1 L3 L4 
Kc 7,84 5,91 6,08 
βx (tabela) 0,10 0,14 0,14 
Ks (CA-50)tab. 0,024 0,024 0,024 
As calc. (cm2/m) 2,198 2,049 2,838 
As adot. (cm2/m) 2,198 2,049 2,838 
nº barras 26 25 30 
 
ꬾ 6,3 
c/ 14,0 
ꬾ 6,3 
c/ 15,0 
ꬾ 6,3 
c/ 10,5 
 
P/ My' L1 L3 L4 
Kc 8,42 7,84 6,08 
βx (tabela) 0,10 0,10 0,14 
Ks (CA-50)tab. 0,024 0,024 0,024 
As calc. (cm2/m) 2,198 2,049 2,838 
AS adot. (cm2/m) 2,198 2,049 2,838 
nº barras 27 49 35 
 
ꬾ 6,3 
c/ 14,0 
ꬾ 6,3 c/ 
15,0 
ꬾ 6,3 
c/ 10,5 
 
P/ My L1 L3 L4 
Kc 21,92 7,00 21,44 
βx (tabela) 0,03 0,12 0,03 
Ks (CA-50)tab. 0,023 0,024 0,023 
As calc. (cm2/m) 0,822 0,718 2,154 
As adot. (cm2/m) 1,500 1,500 2,154 
nº barras 25 46 26 
 
ꬾ 6,3 
c/ 20,0 
ꬾ 6,3 c/ 
20,0 
ꬾ 6,3 
c/ 14,0 
 
 
P/ M+ máx. L2 
Kc 12,21 
βx (tabela) 0,06 
Ks (CA-25)tab. 0,024 
AS calc. (cm2/m) 0,000 
AS adot. (cm2/m) 1,500 
nº barras 16 
 ꬾ 6,3 c/ 20,0 
 
 
P/ M- máx. L2 
Kc 5,91 
βx (tabela) 0,14 
Ks (CA-25)tab. 0,024 
AS (cm2/m) 2,049 
AS adot. (cm2/m) 2,049 
nº barras 21 
 ꬾ 6,3 c/ 15,0 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Após o dimensionamento das lajes, calculadas no Estado Limite Último (ELU), 
verificou-se o Estado Limite de Serviço (ELS) que, diferentemente do ELU5, é relacionado ao 
conforto, aparência, durabilidade e funcionalidade, visto que tais verificações são critérios de 
segurança estabelecidos pela ABNT NBR 6118:2014 para estruturas de concreto. 
Os estádios do ELS-F e ELS-DEF são definidos pelo Estádio I e Estádio II (Eq. 13), 
através do momento de fissuração (𝑀𝑟) e momento fletor relativo à combinação rara de serviço 
na seção crítica do vão considerado (𝑀𝑑,𝑟𝑎𝑟𝑎): 
𝑀𝑟 =
𝛼. 𝑓𝑐𝑡. 𝐼𝑐
𝑦𝑡
=
 1,5. 0,7.0,3. 𝑓𝑐𝑘
2
3.
 𝑏𝑤 . h
3
12 
 
ℎ
2
≥ 𝑀𝑑,𝑟𝑎𝑟𝑎 = 𝑀𝑑(𝑘𝑛. 𝑐𝑚) → 𝐸𝑠𝑡á𝑑𝑖𝑜 𝐼 ( 𝐼𝑐), 
𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑀𝑟 < 𝑀𝑑,𝑟𝑎𝑟𝑎 → 𝐸𝑠𝑡á𝑑𝑖𝑜 𝐼𝐼 (𝐼𝑒𝑞) (13) 
 
 
5 O ELU está relacionado ao colapso (esgotamento da capacidade de resistência e risco à segurança). 
 12 
𝛼 = 1,5 para seções retangulares; 
𝑓𝑐𝑡 = resistência à tração direta do concreto; 
𝐼𝑐 = momento de inércia da seção bruta: 𝐼𝑐 = 
𝑏.ℎ3
12
; 
𝑦𝑡 = distância do centro de gravidade da seção á fibra mais tracionada: 𝑦𝑡 =
ℎ
2
; 
𝐼𝑒𝑞= momento de inércia equivalente: 𝐼𝑒𝑞 = (
𝑀𝑟
𝑀𝑑,𝑟𝑎𝑟𝑎
 ) . 𝐼𝑐 + [1 − (
𝑀𝑟
𝑀𝑑,𝑟𝑎𝑟𝑎
)
3
] . 𝐼2 ; 
𝐼2 = momento de inércia da seção fissurada. 
 
Para verificação das flechas (deslocamento máximo) das lajes apoiadas-engastadas, 
consideram-se as ações atuantes por combinação quase permanente(𝐹𝑑 = ∑ 𝑓𝑔𝑘 + ∑ 𝜓2 ∗
𝑓𝑞𝑘, sendo o fator de redução 𝜓2=0,3) e as flechas: imediata 𝑎𝑖 (deslocamento inicial), diferida 
𝑎𝑓 (a partir do deslocamento inicial) e total 𝑎𝑡 (soma das flechas imediata e diferida, com 
deslocamento limitado 𝑎𝑙𝑖𝑚 pela NBR 6118:2014), conferidas pelas Equações 14,15,16 e 17 
para as lajes L1, L3 e L4 e para a L2 foi utilizada a equação da elástica 𝑎𝑖 =
3𝑝ℓ4
554
. 𝐸. 𝐼: 
𝑎𝑖 =
α.𝑏𝑤 .p.ℓ𝑥
 4
100.12.𝐸𝑐𝑠.𝐼𝑐
 𝑎𝑓 = 𝑎𝑖. α𝑓 𝑎𝑡 = 𝑎𝑖 + α𝑓 𝑎𝑙𝑖𝑚 =
ℓ𝑥
 
500
 (14) (15) (16) (17) 
 
α = coeficiente tabelado de acordo com o λ em Flechas em Lajes com Carga uniforme; 
p = combinação de cargas quase permanente; 
𝐸𝑐𝑠 = módulo de elasticidade:𝐸𝑐𝑠 = α𝑖 . 𝐸𝑐𝑖; sendo α𝑖 = 0,8 + 0,2. (
𝑓𝑐𝑘
80
) ≤ 1 e 𝐸𝑐𝑖 =
1,2.5600. √𝑓𝑐𝑘 , ambos com 𝑓𝑐𝑘em MPa; 
𝐼𝑐 = momento de inércia; 
α𝑓= fator: α𝑓 =
∆Ę
1+50𝜌′
 ; ∆Ę = Ę(𝑡) − Ę(𝑡0) → Ę(𝑡) = 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠; 𝜌
′ =
𝐴𝑠′
𝑏𝑑
= 0 ; 
 
As análises feitas do ELS-F e ELS-DEF nas lajes em estudo (Tabela 6), demonstraram 
que, com o dimensionamento realizado, não ocorrerão fissuras e que as possíveis flechas estarão 
dentro dos limites estabelecidos pela norma, uma vez que 𝑎𝑙𝑖𝑚 não ultrapassou o valor de 𝑎𝑡, 
não atingindo o ELS-DEF. 
 
 
 13 
 
Tabela 6: Resultados dos ELS-F, ELS-DEF e flechas 
Momento de 
fissuração ELS-F 
L1 L3 L4 L2 
Fck (Mpa) 25 25 25 25 
Fct (kN.cm2) 0,18 0,18 0,18 0,18 
Ic (cm4) 8333,33 8333,33 8333,33 8333,33 
Mr (kN.cm) 448,87 448,87 448,87 448,87 
Md,rara (kN.cm) 167,26 438,45 143,15 301,89 
Estádio I ou II I (sem fissura) I (sem fissura) I (sem fissura) I (sem fissura) 
 
Deformação excessiva 
ELS-DEF 
L1 L3 L4 L2 
Fck (Mpa) 25 25 25 25 
Fct (kN.cm2) 0,26 0,26 0,26 0,26 
Ic (cm4) 8333,33 8333,33 8333,33 8333,33 
Mr (kN.cm) 641,24 641,24 641,24 641,24 
Md,rara (kN.cm) 167,26 438,45 143,15 301,89 
Estádio I ou II I I I I 
 
Flechas ELS-DEF L1 L3 L4 L2 
P quase perm 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 
αi 0,86 0,86 0,86 0,86 
Eci (Mpa) 33600,00 33600,00 33600,00 33600,00 
Ecs (Mpa) 2898,00 2898,00 2898,00 2898,00 
αf 1,32 1,32 1,32 1,32 
α 2,72 5,41 3,40 - 
Flec. Imediata: ai (cm) 0,07 0,17 0,05 0,0001 
Flec. Diferida: af (cm) 0,09 0,23 0,06 0,0001 
Flecha total: at (cm) 0,15 0,40 0,11 0,0002 
a lim (cm) 0,74 0,76 0,64 0,64 
 
Não atinge 
ELS-DEF 
Não atinge 
ELS-DEF 
Não atinge 
ELS-DEF 
Não atinge 
ELS-DEF 
Fonte: Autora (2020) 
 
4 VIGAS 
 
 Vigas são elementos estruturais lineares feitas, no projeto em estudo, de concreto 
armado com comprimento longitudinal superior em pelo menos três vezes a sua seção 
transversal. Considerando que as vigas são apoios na direção vertical das lajes e os pilares são 
apoios para as vigas, estas devem ser dimensionadas para resistirem à flexão6, uma vez que 
suportam todas as cargas advindas do seu peso próprio e as descarregadas na laje. 
Conforme ABNT NBR 6118:2014, as vigas foram dimensionadas com 𝑐𝑛𝑜𝑚 de 3 cm, 
 
6 É uma solicitação em um elemento estrutural alongado em direção perpendicular ao seu eixo longitudinal. 
 14 
𝑓𝑦𝑘 de 50 kN/cm
2, o ∅t das barras de aço de 6,3 mm para os estribos (5mm ≤ ∅𝑡 ≤
𝑏𝑤
10
) e ∅ de 
10 mm para a armadura longitudinal (10mm ≤ ∅ ≤
𝑏𝑤
8
). Inicialmente as vigas foram pré-
dimensionadas (Tabela 7) com a altura (h) calculada, sendo 10% do vão interno com variações 
nas médias entre os vãos contínuos, considerando-se h adotado com arredondamento para 40 
cm para todas as vigas e a base (𝑏𝑤) de 14 cm. Os vão efetivos foram encontrados pela Equação 
2 já descrita no capítulo Laje maciça. 
 
Tabela 7: Pré-dimensionamento das vigas 
 
Viga 𝓵ef (cm) 𝐛𝐰 (cm) h calc (cm) h média (cm) h adotado (cm) 
V1 368,40 14,00 36,00 
33,00 
40,00 
V2 308,40 14,00 30,00 40,00 
V3 368,40 14,00 36,00 36,00 40,00 
V4 308,40 14,00 30,00 30,00 40,00 
V5 368,40 14,00 36,00 
33,00 
40,00 
V6 308,40 14,00 30,00 40,00 
V7 358,40 14,00 35,00 
35,50 
40,00 
V8 365,90 14,00 35,75 40,00 
V9 365,90 14,00 35,75 40,00 
V10 358,40 14,00 35,00 
35,50 
40,00 
V11 365,90 14,00 35,75 40,00 
V12 365,90 14,00 35,75 40,00 
V13 365,90 14,00 35,75 
35,50 
40,00 
V14 365,90 14,00 35,75 40,00 
V15 358,40 14,00 35,00 40,00 
Fonte: Autora (2020) 
 
Em seguida, foram feitos os cálculos das armaduras positivas (Tabela 8) e negativas 
(Tabela 9) longitudinais. Para tanto, determinou-se: as cargas das vigas (p = 𝑏𝑤*h* 𝛶CA + 
reações de apoio vx , v'x, vy, v'y); os momentos fletores característicos positivos e negativos pelo 
Ftool, os quais foram majorados, multiplicando-se pelo fator de segurança; os valores de 𝑑 e 
𝑑′; Kc e As (Eq. 11 e 12); Ks e βx (segundo Bastos, 2017); número de barras calculado (Eq. 
20) e adotado; 𝑏𝑤 mínimo (Eq. 22); a área mínima de aço (Asmín) de 0,84 cm
2 (0,0015. 𝑏𝑤.h), 
a As máxima de 22,4 cm2 (0,04. 𝑏𝑤.h); e As adotado (Eq.21); o espaçamento mínimo da 
armadura longitudinal na direção vertical (𝑆𝑣,𝑚í𝑛 ) de 2 cm e horizontal (𝑆ℎ,𝑚í𝑛) de 2,28 cm 
(Eq. 18 e 19), determinados pela ABNT NBR 6118:2014: 
𝑆𝑣,𝑚í𝑛 ≥ {
2
∅
0,5. 𝑑𝑚á𝑥.𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
cm 𝑆ℎ,𝑚í𝑛 ≥ {
2
∅
1,2. 𝑑𝑚á𝑥.𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
cm (18) (19) 
 
 15 
𝑛°𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 =
𝐴𝑠 
π.∅2
4
 Asadot = 𝑛º𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑜𝑡
𝜋𝑑2
4
 {
> Asmín 
< Asmáx
 (20) (21) 
 
 𝑏𝑤,𝑚í𝑛 = 2. 𝑐𝑛𝑜𝑚 + 2. ∅t + 𝑛º𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠. ∅ + (𝑛º𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1). Shmín (22) 
 
Tabela 8: Dimensionamento das armaduras positivas longitudinais das vigas 
 
Viga 
p 
(kN/m) 
Mk+ 
(kN.m) 
Md+ (Mk*1,4) 
(kN.m) 
Kc 
(cm2/kN) 
Ks (tab) 
(cm2/kN) 
βx 
(tab) 
As,calc 
(cm2) 
n°barras 
calc 
n°barras 
adotado 
V1 4,62 3,60 5,04 35,74 0,023 0,04 0,32 0,41 2 
V2 3,24 1,40 1,96 91,90 0,023 0,02 0,13 0,16 2 
V3 11,48 10,10 14,14 12,74 0,024 0,12 0,95 1,20 2 
V4 7,12 6,20 8,68 20,75 0,023 0,04 0,56 0,71 2 
V5 5,08 3,90 5,46 32,99 0,023 0,04 0,35 0,45 2 
V6 4,06 1,80 2,52 71,48 0,023 0,02 0,16 0,21 2 
V7 4,48 2,90 4,06 44,37 0,023 0,04 0,26 0,33 2 
V8 6,86 3,90 5,46 32,99 0,024 0,06 0,37 0,47 2 
V9 6,86 4,90 6,86 26,26 0,024 0,06 0,46 0,58 2 
V10 10,49 6,90 9,66 18,65 0,024 0,10 0,65 0,82 2 
V11 13,98 7,80 10,92 16,50 0,025 0,16 0,76 0,97 2 
V12 13,92 10,00 14,00 12,87 0,024 0,14 0,94 1,19 2 
V13 9,06 6,20 8,68 20,75 0,024 0,10 0,58 0,74 2 
V14 9,06 5,30 7,42 24,28 0,024 0,10 0,50 0,63 2 
V15 4,50 2,80 3,92 45,95 0,023 0,04 0,25 0,32 2 
 
 Viga 𝐛𝐰, 𝒎í𝒏 
As,min 
(cm2) 
As,tração 
(cm2) 
As,adot 
(cm2) 
As,máx 
(cm2) 
Disposição 
(longitudinal) 
V1 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V2 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V3 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V4 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V5 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V6 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V7 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V8 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V9 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V10 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V11 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V12 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V13 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V14 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V15 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
Fonte: Autora (2020) 
Tabela 9: Dimensionamento das armaduras negativas longitudinais das vigas 
Viga 
p 
(kN/m) 
Mk- 
(kN.m) 
Md- (Mk*1,4) 
(kN.m) 
Kc 
(cm2/kN) 
Ks (tab) 
(cm2/kN) 
βx 
(tab) 
As,calc 
(cm2) 
n°barras 
calc 
n°barras 
adotado 
V1 4,62 5,50 7,70 23,39 0,023 0,02 0,494 0,63 2 
V2 3,24 5,50 7,70 23,39 0,023 0,02 0,494 0,63 2 
V3 11,48 9,40 13,16 13,69 0,024 0,14 0,881 1,12 2 
V4 7,12 5,80 8,12 22,18 0,024 0,06 0,543 0,69 2 
 
 16 
 
Tabela 9: Continuação 
Viga 
p 
(kN/m) 
Mk- 
(kN.m) 
Md- (Mk*1,4) 
(kN.m) 
Kc 
(cm2/kN) 
Ks (tab) 
(cm2/kN) 
βx 
(tab) 
As,calc 
(cm2) 
n°barras 
calc 
n°barras 
adotado 
V5 5,08 6,10 8,54 21,09 0,024 0,06 0,571 0,73 2 
V6 4,06 6,10 8,54 21,09 0,0230,04 0,548 0,70 2 
V7 4,48 7,00 9,80 18,38 0,023 0,04 0,628 0,80 2 
V8 6,86 8,90 12,46 14,46 0,024 0,08 0,834 1,06 2 
V9 6,86 8,90 12,46 14,46 0,024 0,08 0,834 1,06 2 
V10 10,49 14,80 20,72 8,69 0,024 0,12 1,386 1,77 2 
V11 13,98 17,90 25,06 7,19 0,025 0,16 1,747 2,22 3 
V12 13,92 17,90 25,06 7,19 0,025 0,16 1,747 2,22 3 
V13 9,06 11,40 15,96 11,29 0,024 0,10 1,068 1,36 2 
V14 9,06 8,90 12,46 14,46 0,024 0,10 0,834 1,06 2 
V15 4,50 8,90 12,46 14,46 0,023 0,04 0,799 1,02 2 
 
 
Viga 𝐛𝐰, 𝒎í𝒏 
As,min 
(cm2) 
As,comp 
(cm2) 
As,adot 
(cm2) 
As,máx 
(cm2) 
Disposição 
(longitudinal) 
V1 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V2 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V3 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V4 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V5 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V6 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V7 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V8 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V9 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V10 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V11 13,26 0,84 2,36 2,36 22,4 3 ϕ 10mm 
V12 13,26 0,84 2,36 2,36 22,4 3 ϕ 10mm 
V13 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V14 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
V15 11,26 0,84 1,57 1,57 22,4 2 ϕ 10mm 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Para o cálculo da armadura transversal foi utilizado o modelo de cálculo I, apresentado 
no item 17.4.2.2 da ABNT NBR 6118:2014. Primeiramente, foi feita a verificação da biela de 
compressão, calculando-se a força cortante resistente de cálculo (Eq. 23) das diagonais 
comprimidas de concreto, a parcela de força cortante (Eq. 24) e o cortante mínimo (Eq. 25): 
(VRd2 = 0,27. αV2. fcd . 𝑏𝑤 . d) > (Vsd = 1.4.
𝑝.𝓵𝐞𝐟 
𝟐
) > Vsd,mín = Vc0 + Vsw,mín (23) 
Vc0 = 0,6. fctd . 𝑏𝑤 . d (24) 
 Vsw,mín = ρ𝑠𝑤,𝑚í𝑛. 𝑏𝑤. 0,9. 𝑑. 𝑓𝑦𝑑 (25) 
Sendo: α𝑣2 = 1 − 
fck 
250
 com fck em MPa; 
 17 
 fctd =
0,7∗0,3∗fck
2
3 
𝛶𝑐
 ; 
 ρ𝑠𝑤,𝑚í𝑛 =
0,2.0,3.fck
2
3
𝑓𝑦𝑤𝑘
 com 𝑓𝑦𝑤𝑘 limitada ao valor 𝑓𝑦𝑘 
 
E a área de aço necessária (Eq. 26) em cm2/m, correlacionando-a com o diâmetro do 
estribo, que resultou no espaçamento tabelado (S tab.), conforme Tabela 10: 
A𝑠𝑤 =
Vsd− Vc0
0,9.𝑑.𝑓𝑦𝑤𝑘
.100
 𝑛º𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜
 (26) 
 
Tabela 10: Verificação da biela e cálculo da área de aço necessária 
Viga 
Vrd2 
(kN) 
Vsd 
(kN) 
Vrd2>Vsd Vc0 (kN) 
Vsw mín 
(kN) 
Vsd mín 
(kN) 
Asw (ramo) 
(cm2/m) 
S tab 
(cm) 
V1 217,91 11,91 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V2 217,91 6,99 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V3 217,91 29,60 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V4 217,91 15,38 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V5 217,91 13,09 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V6 217,91 8,76 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V7 217,91 11,23 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V8 217,91 17,56 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V9 217,91 17,56 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V10 217,91 26,31 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V11 217,91 35,80 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V12 217,91 35,65 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V13 217,91 23,21 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V14 217,91 23,21 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
V15 217,91 11,29 ok 38,64 20,16 58,80 0,72 33,00 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
O espaçamento máximo entre os estribos foi de 21,52 cm (Eq. 27) e o mínimo de 4 cm 
(Eq. 28); o espaçamento máximo entre ramos verticais foi de 21,52 cm (Eq. 29), sendo adotado 
6,74 cm (𝑏𝑤 − 2. 𝑐𝑛𝑜𝑚 − 2. ∅𝑡), conforme resultados na tabela 11, determinados pelo item 
18.3.3.2 da NBR 6118:2014: 
𝑆𝑚á𝑥 {
0,6. d ≤ 30cm se Vsd ≤ 0,67. VRd2 
0,3. d ≤ 20cm se Vsd ≥ 0,67. VRd2 
 𝑐𝑚 𝑆𝑚í𝑛{∅𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑙ℎ𝑎 + 1 cm (27) (28) 
 
𝑆𝑡𝑚á𝑥 {
 d ≤ 80cm se Vsd ≤ 0,2. VRd2 
0,6. d ≤ 35cm se Vsd > 0,2. VRd2 
 𝑐𝑚 (29) 
 18 
 
Tabela 11: Espaçamentos e disposição dos estribos 
Vsd/Vrd2 
Smáx ∅t 
(cm) 
Smín ∅t 
(cm) 
S adot 
(cm) 
Stmáx 
(cm) 
Stadot 
 (cm) 
Disposição dos 
estribos 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
0,27 21,52 4,00 21,52 21,52 6,74 ϕ 6,3mm c/ 21,52 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
A ancoragem das armaduras das vigas garante a resistência das bielas diagonais 
comprimidas submetidas ao esforço cortante. No projeto, a ancoragem deu-se por aderência, 
segundo o item 9.4.1.1 da NBR 6118:2014. Como as nervuras na barra aumentam 
significativamente a resistência de aderência, as barras de aço empregadas foram as nervuradas 
(parâmetro de rugosidade ɳ1=2,25), posicionadas em zonas de boa e má aderência durante a 
concretagem (para h<60cm, ɳ2=1,0 para boa aderência ocasionada por barra tracionada e ɳ2=0,7 
para má aderência ocasionada por barra comprimida), com parâmetro que considera o diâmetro 
da barra (ɳ3=1,0 para ∅ < 3,2 cm), barras com gancho de 90º (𝛼1 = 0,7 para c𝑛𝑜𝑚 ≥ 3∅) e 
diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de tração de 5 cm, de 
acordo com a Tabela 9.1 da ABNT NBR 6118:2014. 
O comprimento de ancoragem de uma barra de aço com gancho 90º necessário (Tabela 
12) para ancorar a força-limite Asfyd com resistência de aderência uniforme e igual a fbd é 
determinado pelo item 9.4.2.4 da NBR 6118:2014 (Eq. 30): 
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝛼. ℓ𝑏 .
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑎𝑑𝑜𝑡
≥ ℓ𝑏,𝑚í𝑛 ≥ {
0,3. ℓ𝑏
10∅
10
𝑐𝑚 (30) 
Sendo: ℓ𝑏=comprimento de ancoragem básico: ℓ𝑏 =
∅
4
.
𝑓𝑦𝑑
𝑓𝑏𝑑
≥ 25∅; 
𝑓𝑏𝑑= resistência de aderência: 𝑓𝑏𝑑 = ɳ1. ɳ2. ɳ3. 𝑓𝑐𝑡𝑑 ; 
 ℓ𝑏,𝑑𝑖𝑠𝑝=comprimento de ancoragem básico disponível: ℓ𝑏,𝑑𝑖𝑠𝑝 = ℓ𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐ã𝑜 𝑣𝑖𝑔𝑎 − 𝑐𝑛𝑜𝑚 
 19 
Tabela 12: Ancoragem das barras de aço das vigas 
ancoragem das barras tracionadas (inferiores) 
ancoragem reta ancoragem com gancho 90º 
Viga lb,nec (cm) lb,disp (cm) lb,nec (cm) lb,adot (cm) ganchos 
V1 7,75 27,00 5,42 11,30 ganchos 
V2 3,01 27,00 2,11 11,30 ganchos 
V3 22,69 11,00 15,88 15,88 ganchos 
V4 13,35 11,00 9,34 11,30 ganchos 
V5 8,40 27,00 5,88 11,30 ganchos 
V6 3,87 27,00 2,71 11,30 ganchos 
V7 6,24 11,00 4,37 11,30 ganchos 
V8 8,76 27,00 6,13 11,30 ganchos 
V9 11,01 11,00 7,70 11,30 ganchos 
V10 15,50 11,00 10,85 11,30 ganchos 
V11 18,25 27,00 12,78 12,78 ganchos 
V12 22,46 11,00 15,72 15,72 ganchos 
V13 13,93 11,00 9,75 11,30 ganchos 
V14 11,91 27,00 8,33 11,30 ganchos 
V15 6,03 11,00 4,22 11,30 ganchos 
 
ancoragem das barras comprimidas (superiores) 
ancoragem reta ancoragem com gancho 90º 
Viga lb,nec (cm) lb,disp (cm) lb,nec (cm) lb,adot (cm) ganchos 
V1 16,91 27,00 11,84 11,84 ganchos 
V2 16,91 27,00 11,84 11,84 ganchos 
V3 30,16 11,00 21,12 21,12 ganchos 
V4 18,61 11,00 13,03 13,03 ganchos 
V5 19,57 27,00 13,70 13,70 ganchos 
V6 18,76 27,00 13,13 13,13 ganchos 
V7 21,53 11,00 15,07 15,07 ganchos 
V8 28,56 27,00 19,99 19,99 ganchos 
V9 28,56 11,00 19,99 19,99 ganchos 
V10 47,49 11,00 33,25 33,25 ganchos 
V11 39,89 27,00 27,92 27,92 ganchos 
V12 39,89 11,00 27,92 27,92 ganchos 
V13 36,58 11,00 25,61 25,61 ganchos 
V14 28,56 27,00 19,99 19,99 ganchos 
V15 27,37 11,00 19,16 19,16 ganchos 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Após o dimensionamento das vigas calculadasno ELU, verificou-se o ELS-F (Tabela 
13) do mesmo modo como foi feita a verificação das lajes, sendo Estádio I (sem fissura) e 
Estádio II (com fissura), através do momento de fissuração (𝑀𝑟) e momento fletor relativo à 
combinação rara de serviço na seção crítica do vão considerado (𝑀𝑑,𝑟𝑎𝑟𝑎 ≥ [𝑀
+𝑜𝑢 𝑀−]): 
 20 
 
Tabela 13: Estádios das vigas (ELS-F) 
Viga 
Fct 
(kN.cm2) 
Ic (cm4) 
Mr 
kN.cm) 
Md,rara 
(kN.cm) 
Estádio I ou II 
V1 0,18 74666,7 1005,47 770,00 I (sem fissura) 
V2 0,18 74666,7 1005,47 770,00 I (sem fissura) 
V3 0,18 74666,7 1005,47 1414,00 II (com fissura) 
V4 0,18 74666,7 1005,47 868,00 I (sem fissura) 
V5 0,18 74666,7 1005,47 854,00 I (sem fissura) 
V6 0,18 74666,7 1005,47 854,00 I (sem fissura) 
V7 0,18 74666,7 1005,47 980,00 I (sem fissura) 
V8 0,18 74666,7 1005,47 1246,00 II (com fissura) 
V9 0,18 74666,7 1005,47 1246,00 II (com fissura) 
V10 0,18 74666,7 1005,47 2072,00 II (com fissura) 
V11 0,18 74666,7 1005,47 2506,00 II (com fissura) 
V12 0,18 74666,7 1005,47 2506,00 II (com fissura) 
V13 0,18 74666,7 1005,47 1596,00 II (com fissura) 
V14 0,18 74666,7 1005,47 1246,00 II (com fissura) 
V15 0,18 74666,7 1005,47 1246,00 II (com fissura) 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Nos casos do Estádio II (Tabela 14), calculou-se a abertura de fissura (Eq. 31), com 
limite (𝑤𝑘 = 0,3 𝑚𝑚) determinado pela Tabela 13.4 da NBR 6118:2014 para CAA II. Para 
tanto, considerou-se a carga por combinação frequente de serviço (𝐹𝑑 = ∑ 𝑓𝑔𝑘 + ∑ 𝜓1 ∗ 𝑓𝑞𝑘, 
sendo o fator de redução𝜓1=0,4) e o momento fletor relativo à combinação frequente (𝑀𝑑,𝑓𝑟𝑒𝑞) 
apurado no Ftool: 
𝑤 ≤ {
𝑤1 = (
∅𝑖.𝜎𝑠𝑖
12,5.ɳ1.𝐸𝑠𝑖
) .
3𝜎𝑠𝑖
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑤2 = (
∅𝑖.𝜎𝑠𝑖
12,5.ɳ1.𝐸𝑠𝑖
) . (
4
𝜌𝑟𝑖
+ 45)
≥ 𝑤𝑘 (31) 
Sendo: 𝜎𝑠𝑖 =
𝑀𝑑,𝑓𝑟𝑒𝑞
0,8.𝑑.𝐴𝑠
 ; 
ɳ1=2,25; 
 𝐸𝑠𝑖 = 21000 kN/cm2; 
 𝜌𝑟𝑖 =
𝐴𝑠𝑖
𝑏𝑤.(𝑑′+7,5.∅)
 
 
Tabela 14: Cálculo de abertura de fissuras nas vigas 
Viga 
P freq 
(kN/cm) 
Md,freq 
(kN.cm) 
𝝈𝒔𝒊 
(kN.cm2) 
𝝆𝒓𝒊 
Wk, 
(mm) 
W1 
(mm) 
W2 
(mm) 
Wadot 
(mm) 
Verificação 
V3 0,12 1020,00 22,63 0,0096 0,30 0,10 0,18 0,10 
Não atinge 
ELS-W 
V8 0,07 890,00 19,74 0,0096 0,30 0,08 0,15 0,08 
Não atinge 
ELS-W 
V9 0,07 890,00 19,74 0,0096 0,30 0,08 0,15 0,08 
Não atinge 
ELS-W 
 
 21 
Tabela 14: Continuação 
Viga 
P freq 
(kN/cm) 
Md,freq 
(kN.cm) 
𝝈𝒔𝒊 
(kN.cm2) 
𝝆𝒓𝒊 
Wk, 
(mm) 
W1 
(mm) 
W2 
(mm) 
Wadot 
(mm) 
Verificação 
V10 0,11 1490,00 33,06 0,0096 0,30 0,22 0,26 0,22 
Não atinge 
ELS-W 
V11 0,14 1750,00 40,15 0,0096 0,30 0,32 0,30 0,31 
Não atinge 
ELS-W 
V12 0,14 1750,00 40,15 0,0096 0,30 0,32 0,30 0,31 
Não atinge 
ELS-W -W 
V13 0,09 1150,00 25,51 0,0096 0,30 0,13 0,20 0,13 
Não atinge 
ELS-W 
V14 0,09 1150,00 25,51 0,0096 0,30 0,13 0,20 0,13 
Não atinge 
ELS-W 
V15 0,05 890,00 19,74 0,0096 0,30 0,08 0,15 0,08 
Não atinge 
ELS-W 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Os estádios do ELS-DEF (Tabela 15) também são definidos pelo Estádio I e Estádio II 
(Eq. 13). 
 
Tabela 15: Verificação do estádio para análise de flecha 
Viga Fct (kN.cm2) Ic (cm4) Mr (kN.cm) Md,rara (kN.cm) Estádio I ou II 
V1 0,26 74666,7 1436,38 504,00 I 
V2 0,26 74666,7 1436,38 196,00 I 
V3 0,26 74666,7 1436,38 1414,00 I 
V4 0,26 74666,7 1436,38 868,00 I 
V5 0,26 74666,7 1436,38 546,00 I 
V6 0,26 74666,7 1436,38 252,00 I 
V7 0,26 74666,7 1436,38 406,00 I 
V8 0,26 74666,7 1436,38 546,00 I 
V9 0,26 74666,7 1436,38 686,00 I 
V10 0,26 74666,7 1436,38 966,00 I 
V11 0,26 74666,7 1436,38 1092,00 I 
V12 0,26 74666,7 1436,38 1400,00 I 
V13 0,26 74666,7 1436,38 868,00 I 
V14 0,26 74666,7 1436,38 742,00 I 
V15 0,26 74666,7 1436,38 392,00 I 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Para verificação das flechas das vigas (Tabela 16), consideram-se as ações atuantes por 
combinação quase permanente (𝐹𝑑 = ∑ 𝑓𝑔𝑘 + ∑ 𝜓2 ∗ 𝑓𝑞𝑘, sendo o fator de redução 𝜓2=0,3) e 
as flechas: imediata 𝑎𝑖, diferida 𝑎𝑓 e total ( 𝑎𝑡 = 𝑎𝑖 + 𝑎𝑓 ≤ 𝑎𝑙𝑖𝑚) determinadas pela ABNT 
NBR 6118:2014, conferidas pelas Equações 14, 15, 16 e 17. 
 
 
 22 
 
Tabela 16: Flechas ELS-DEF nas vigas 
Viga 
Pqp 
(kN/cm) 
αi 
Eci 
(Mpa) 
Ecs 
(kN/cm2) 
αf 
ai 
(cm) 
af 
(cm) 
at 
(cm) 
a lim 
(cm) 
Verificação 
V1 0,05 0,8625 33600 2898 1,32 0,05 0,07 0,12 0,74 
Não atinge 
ELS-DEF 
V2 0,03 0,8625 33600 2898 1,32 0,02 0,02 0,04 0,62 
Não atinge 
ELS-DEF 
V3 0,12 0,8625 33600 2898 1,32 0,13 0,17 0,30 0,74 
Não atinge 
ELS-DEF 
V4 0,07 0,8625 33600 2898 1,32 0,04 0,05 0,09 0,62 
Não atinge 
ELS-DEF 
V5 0,05 0,8625 33600 2898 1,32 0,06 0,07 0,13 0,74 
Não atinge 
ELS-DEF 
V6 0,04 0,8625 33600 2898 1,32 0,02 0,03 0,05 0,62 
Não atinge 
ELS-DEF 
V7 0,04 0,8625 33600 2898 1,32 0,04 0,06 0,10 0,72 
Não atinge 
ELS-DEF 
V8 0,07 0,8625 33600 2898 1,32 0,07 0,10 0,17 0,73 
Não atinge 
ELS-DEF 
V9 0,07 0,8625 33600 2898 1,32 0,07 0,10 0,17 0,73 
Não atinge 
ELS-DEF 
V10 0,11 0,8625 33600 2898 1,32 0,10 0,14 0,24 0,72 
Não atinge 
ELS-DEF 
V11 0,14 0,8625 33600 2898 1,32 0,15 0,20 0,35 0,73 
Não atinge 
ELS-DEF 
V12 0,14 0,8625 33600 2898 1,32 0,15 0,20 0,35 0,73 
Não atinge 
ELS-DEF 
V13 0,09 0,8625 33600 2898 1,32 0,10 0,13 0,23 0,73 
Não atinge 
ELS-DEF 
V14 0,09 0,8625 33600 2898 1,32 0,10 0,13 0,23 0,73 
Não atinge 
ELS-DEF 
V15 0,05 0,8625 33600 2898 1,32 0,04 0,06 0,10 0,72 
Não atinge 
ELS-DEF 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
 
5 PILARES 
 
Pilares são apoios indeslocáveis na vertical para as vigas e visam absorver todas as 
cargas transmitidas por ações dessas vigas mais o seu peso próprio, resistindo mais às forças 
normais compressivas que atuam sobre ele e desprezando os outros pequenos esforços. 
Conforme ABNT NBR 6118:2014, os pilares foram dimensionados com 𝑐𝑛𝑜𝑚 de 3 cm, 
𝑓𝑦𝑘 de 50 kN/cm
2, coeficiente adicional (γn) de 1,25, o ∅t das barras de aço de 6,3 mm para os 
estribos (5mm ≤ ∅𝑡 ≤ ∅𝑓𝑒𝑖𝑥𝑒) e ∅ de 10 mm para a armadura longitudinal (10mm ≤ ∅ ≤
𝑏
8
). 
Inicialmente os pilares foram pré-dimensionados (Tabela 17) considerando-se a área mínima 
transversal do pilar de 360 cm2, sendo a seção menor (14𝑐𝑚 ≤ 𝑏 ≤ 19𝑐𝑚) de 14 cm e o lado 
maior (a) calculada de 25,71 cm, adotando-se a de 30 cm devido ao tamanho da forma de 
concretagem e altura do vão interno (ℓ0 ) de 280 cm. Para o pré-dimensionamento dos pilares, 
 23 
foi considerado seu posicionamento na planta de forma (Figura 4), sendo encontrados os vãos 
efetivos (Eq. 32): 
 
Figura 4: Direção dos pilares conforme seu posicionamento na planta de forma 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
ℓ𝑒 (𝑥 𝑜𝑢 𝑦) ≤ {
ℓ0 + a1 + a2
ℓ0 + ℎ(𝑥 𝑜𝑢 𝑦) 
 (32) 
Sendo:ℓ = é a distância entre as faces internas de dois apoios consecutivos (vão interno); 
a1 e a2 = t1ou2/2, sendo t a altura da viga (viga baldrame e viga apoiada no pilar); 
h = seção do pilar (na direção de x para ℓ𝑒𝑓 𝑥 e na direção de y para ℓ𝑒𝑓 𝑦) 
 
Tabela 17: Pré-dimensionamento dos pilares 
Viga 𝓵0 (cm) 
𝓵e x 
(cm) 
𝓵e y 
(cm) 
b 
(cm) 
a min 
(cm) 
a adotado 
(cm) 
P1 280,00 310,00 294,00 14,00 25,71 30,00 
P2 280,00 310,00 294,00 14,00 25,71 30,00 
P3 280,00 310,00 294,00 14,00 25,71 30,00 
P4 280,00 294,00 310,00 14,00 25,71 30,00 
P5 280,00 294,00 310,00 14,00 25,71 30,00 
P6 280,00 294,00 310,00 14,00 25,71 30,00 
P7 280,00 294,00 310,00 14,00 25,71 30,00 
P8 280,00 294,00 310,00 14,00 25,71 30,00 
P9 280,00 294,00 310,00 14,00 25,71 30,00 
P10 280,00 310,00 294,00 14,00 25,71 30,00 
P11 280,00 310,00 294,00 14,00 25,71 30,00 
P12 280,00 310,00 294,00 14,00 25,71 30,00 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Primeiramente, foram classificadas as posições dos pilares (canto, extremidade e 
intermediário) e obtidos os índices de esbeltez do pilar (Eq. 33) e os esforços descarregados 
pelas vigas através do Ftool, determinando-se, assim, as cargas finais (somando-se as forças 
cortantes no mesmo pilar (Vs)+ peso próprio do pilar (a.b.𝓵0. 𝛶𝐶𝐴), conforme Tabela 18: 
 24 
 λ =
ℓ𝑒𝑥 𝑜𝑢 𝑦
√
I
𝐴
 = {
λ < 35 (robusto)
35 < λ ≤ 90 (intermediário) 
90 < λ ≤ 140 (esbelto ) 
140 < λ ≤ 200 (excessivamente esbelto )
 (33) 
 
Sendo:I = momento de inércia da seção bruta na direção de x e y em cm4: 𝐼= 
𝑏.ℎ3
12
 ; 
A = área da seção transversal do pilar em cm2 
 
Tabela 18: Classificação, carga e esbeltez dos pilares 
Pilar Posição 𝜆x 𝜆y 
Vs (kN) 
Ftool 
Peso próprio 
do pilar 
(kN) 
Carga total 
característica 
(kN) 
P1 canto 35,80 72,75 15,00 2,94 15,00 
P2 extremidade 35,80 72,75 31,70 2,94 31,70 
P3 canto 35,80 72,75 18,80 2,94 18,80 
P4 extremidade 72,75 35,80 42,30 2,94 42,30 
P5 extremidade 72,75 35,80 67,00 2,94 67,00 
P6 intermediário 72,75 35,80 35,00 2,94 35,00 
P7 intermediário 72,75 35,80 26,60 2,94 26,60 
P8 extremidade 72,75 35,80 67,10 2,94 67,10 
P9 extremidade 72,75 35,80 38,50 2,94 38,50 
P10 canto 35,80 72,75 19,90 2,94 19,90 
P11 extremidade 35,80 72,75 40,40 2,94 40,40 
P12 canto 35,80 72,75 12,40 2,94 12,40 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Em seguida, foram encontrados os momentos mínimos (Eq. 34) e seus reais valores de 
projeto pelo Ftool (M𝑑), conforme Tabela 19: 
M1𝑑,𝑚í𝑛 = 𝑁𝑠𝑑 . (0,015 + 0,03. ℎ) (34) 
 
Sendo: 𝑁𝑠𝑑=força normal solicitante de cálculo: 𝑁𝑠𝑑 = 𝑝. 1,4. γn ; 
h = altura transversal do pilar em x e y, conforme disposição na planta de forma; 
 
Tabela 19: Momentos dos pilares 
Pilar 
Nsd 
(kN) 
M1dx, min 
(kN/m) 
M1dy, min 
(KN/m) 
Mdxa 
(kN/m) 
Mdxb 
(kN/m) 
Mdya 
(kN/m) 
Mdyb 
(kN/m) 
P1 31,40 0,60 0,60 3,78 -1,96 4,34 -1,96 
P2 60,62 1,16 1,16 8,96 -4,48 2,10 -1,26 
P3 38,05 0,73 0,73 7,70 -3,64 1,82 -1,12 
P4 79,17 1,90 1,90 1,26 -0,70 13,16 -6,44 
P5 122,40 2,94 2,94 1,40 -0,84 13,16 -6,44 
P6 66,40 1,59 1,59 0,84 -0,56 1,59 -1,59 
P7 51,70 1,24 1,24 0,98 -0,56 1,24 -1,24 
P8 122,57 2,94 2,94 1,96 -1,12 8,12 -4,06 
 25 
Tabela 19: Continuação 
Pilar 
Nsd 
(kN) 
M1dx, min 
(kN/m) 
M1dy, min 
(KN/m) 
Mdxa 
(kN/m) 
Mdxb 
(kN/m) 
Mdya 
(kN/m) 
Mdyb 
(kN/m) 
P9 72,52 1,74 1,74 2,66 -1,40 8,12 -4,06 
P10 39,97 0,77 0,77 6,30 -2,94 2,38 -1,40 
P11 75,85 1,46 1,46 12,74 -6,02 2,10 -1,26 
P12 26,85 0,52 0,52 3,78 -1,96 2,38 -1,40 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Foi determinada a esbeltez limite (Eq. 35) em relação ao eixo x e y, para se fazer a 
análise de ordem local, sendo necessário o cálculo do dimensionamento da armadura em 
determinada direção (x ou y) caso o resultado conste 2º ordem local (Tabela 20): 
λ1 =
25+12,5.(
𝑒1
ℎ
)
𝛼𝑏
 ≥ 35 {≥ λ
 (1ª 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚)
≤ λ (2ª 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚)
 (35) 
Sendo: 𝑒1 =
M𝑑𝑎
𝑁𝑠𝑑
 ; 
𝛼𝑏 (𝑒𝑚 𝑥 𝑒 𝑦) =
M𝑑𝑎 (𝑒𝑚 𝑥 𝑒 𝑦)
𝑁𝑠𝑑
 
 
Tabela 20: Análise de 2a ordem 
Pilar αbx αby e1x (m) e1y (m) 𝜆1x 𝜆1y 𝜆x 𝜆y 
P1 0,99 1,02 0,12 0,14 35,00 36,56 2ªordem 2ªordem 
P2 1,00 0,97 0,15 0,03 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
P3 1,01 0,96 0,20 0,05 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
P4 1,00 1,00 0,02 0,17 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
P5 1,00 1,00 0,01 0,11 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
P6 1,00 0,90 0,01 0,02 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
P7 1,00 0,90 0,02 0,02 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
P8 1,00 1,00 0,02 0,07 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
P9 0,99 1,00 0,04 0,11 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
P10 1,01 0,97 0,16 0,06 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
P11 1,01 1,00 0,17 0,03 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
P12 0,99 0,97 0,14 0,09 35,00 35,00 2ªordem 2ªordem 
Fonte: Autora (2020) 
 
 Como a análise de 2º ordem local foi necessária para todos os pilares, calculou-se os 
momentos de projeto total que devem ser maiores que os Md (Tabela 21) em relação ao eixo x 
e y (Eq. 36). 
M𝑠𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝛼𝑏 . 𝑀 + 𝑁𝑠𝑑 .
 ℓ𝑒𝑥 𝑜𝑢 𝑦
10
.
1
𝑟
{
𝑠𝑒 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 < 𝑀𝑑𝑎
 (𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑜 𝑀𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑀 ) ≥ 𝑀𝑑𝑎
𝑠𝑒 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 > 𝑀𝑑𝑎
 (𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑜 𝑀1𝑑 𝑛𝑜 𝑀 ) ≥ 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛
 (36) 
 
Sendo: 
1
𝑟
=
0,005
ℎ.(ѵ+0,5)
≤
0,005
ℎ
 em que ѵ =
𝑁𝑠𝑑
𝑏.ℎ.
𝑓𝑐𝑘
1,4
 
 26 
Tabela 21: Momento de projeto total dos pilares em x e y 
Pilar ѵ 1/r 0,005/h 1/r adot Msdx total (kN/m) Msdx>Md1x ou Mdxa 
P1 0,04 0,03 0,02 0,02 4,25 ok 
P2 0,08 0,03 0,02 0,02 9,93 ok 
P3 0,05 0,03 0,02 0,02 8,41 ok 
P4 0,11 0,06 0,04 0,04 4,34 ok 
P5 0,16 0,05 0,04 0,04 6,72 ok 
P6 0,09 0,06 0,04 0,04 3,64 ok 
P7 0,07 0,06 0,04 0,04 2,84 ok 
P8 0,16 0,05 0,04 0,04 6,73 ok 
P9 0,10 0,06 0,04 0,04 4,85 ok 
P10 0,05 0,03 0,02 0,02 7,04 ok 
P11 0,10 0,03 0,02 0,02 14,12 ok 
P12 0,04 0,03 0,02 0,02 4,18 ok 
 
Pilar ѵ 1/r 0,005/h 1/r adot Msdy total (kN/m) Msdy>Md1y ou Mdya 
P1 0,04 0,07 0,04 0,04 5,42 ok 
P2 0,08 0,06 0,04 0,04 3,84 ok 
P3 0,05 0,06 0,04 0,04 2,88 ok 
P4 0,11 0,03 0,02 0,02 14,49 ok 
P5 0,16 0,03 0,02 0,02 15,19 ok 
P6 0,09 0,03 0,02 0,02 2,39 ok 
P7 0,07 0,03 0,02 0,02 1,86 ok 
P8 0,16 0,03 0,02 0,02 10,08 ok 
P9 0,10 0,03 0,02 0,02 9,28 ok 
P10 0,05 0,06 0,04 0,04 3,51 ok 
P11 0,10 0,06 0,04 0,04 4,44 ok 
P12 0,04 0,07 0,04 0,04 3,11 ok 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Para o dimensionamento da armadura de seção simétrica em relação ao eixo x e y 
(Tabela 22 e 23), considerou-se a posição do pilar para o cálculo da força normal adimensional 
(Eq. 37) e momento fletor adimensional (Eq. 38). A taxa mecânica de armadura (𝜔) é obtida 
segundo Venturini (1987) para d'/h>0,20 e tabelas de Araújo (2014), correlacionando-se ω para 
d'/h e ѵ com 𝜇1x e 𝜇2y (pilar de canto) e ω para d'/h com ѵ e 𝜇 (pilar de extremidade e 
intermediário) determinando-se, assim, a área de aço (Eq. 39) em que seu valor deve estar entre 
a área mínima de aço (𝐴𝑠,𝑚í𝑛 ≥ {
0,15.𝑁𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑
0,004. 𝑏. ℎ
) de 1,68 cm2 e a As máxima de 33,60 cm2 (0,08.b.h); 
e o espaçamento mínimo de 2,28 cm e máximo da armadura longitudinal de 40 cm (Eq. 40 e 
41), determinados pela ABNT NBR 6118:2014: 
ѵ =
𝑁𝑠𝑑
𝑏.ℎ.𝜎𝑐𝑑
 𝜇 =
𝑀𝑠𝑑
𝑏.ℎ2.𝜎𝑐𝑑
 𝐴𝑠 =
𝜔.𝑏.ℎ.𝜎𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 (37) (38) (39) 
 
Sendo: 𝜎𝑐𝑑 = 0,8.
𝑓𝑐𝑘
1,4
 (pilar de canto) e 𝜎𝑐𝑑 = 0,85.
𝑓𝑐𝑘
1,4
 (pilar de extremidade e intermediário) 
 27 
𝑆𝑚í𝑛 ≥ {
2
∅
1,2. 𝑑𝑚á𝑥.𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
cm 𝑆𝑚á𝑥 ≤ {
2. 𝑏
40
 cm (40) (41) 
 
Tabela 22: Armadura longitudinal do pilar na direção x 
Pilar ѵ μ1x 
d'/h 
(x) 
ω 
(tab) 
As 
(cm2) 
As 
mín 
(cm2) 
As 
máx 
(cm2) 
As 
calc 
(cm2) 
nº 
barras 
nº 
barras 
adot 
As 
adot 
(cm2) 
Disposição 
(longitudinal) 
P1 0,1 0,0 0,1 0,05 0,69 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P2 0,1 0,1 0,1 0,15 2,20 1,68 33,60 2,20 2,80 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P3 0,1 0,0 0,1 0,05 0,69 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P4 0,1 0,0 0,3 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P5 0,2 0,1 0,3 0,05 0,73 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P6 0,1 0,0 0,3 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P7 0,1 0,0 0,3 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P8 0,2 0,1 0,3 0,05 0,73 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P9 0,1 0,1 0,3 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P10 0,1 0,0 0,1 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P11 0,1 0,1 0,1 0,15 2,20 1,68 33,60 2,20 2,80 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P12 0,0 0,0 0,1 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
Tabela 23: Armadura longitudinal do pilar na direção y 
Pilar ѵ μ1y 
d'/h 
(y) 
ω 
(tab) 
As 
(cm2) 
As 
mín 
(cm2) 
As 
máx 
(cm2) 
As 
calc 
(cm2) 
nº 
barras 
nº 
barras 
adot 
As 
adot 
(cm2) 
Disposição 
(longitudinal) 
P1 0,1 0,1 0,3 0,05 0,69 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P2 0,1 0,0 0,3 0,04 0,59 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P3 0,1 0,0 0,3 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P4 0,1 0,1 0,1 0,15 2,20 1,68 33,60 2,20 2,80 4 3,14 4 ϕ 10mmP5 0,2 0,1 0,1 0,06 0,88 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P6 0,1 0,0 0,1 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P7 0,1 0,0 0,1 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P8 0,2 0,1 0,1 0,06 0,88 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P9 0,1 0,0 0,1 0,15 2,20 1,68 33,60 2,20 2,80 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P10 0,1 0,0 0,3 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P11 0,1 0,0 0,3 0,17 2,49 1,68 33,60 2,49 3,17 4 3,14 4 ϕ 10mm 
P12 0,0 0,0 0,3 0,00 0,00 1,68 33,60 1,68 2,14 4 3,14 4 ϕ 10mm 
 
Fonte: Autora (2020) 
Para a armadura transversal de pilares (Tabela 24) foram utilizados o ∅t das barras de 
aço de 6,3 mm e espaçamento longitudinal de 12 cm (Eq. 42), conforme o item 18.4.3 da ABNT 
NBR 6118:2014: 
𝑆𝑚á𝑥 ≤ {
2
𝑏
12. ∅ (CA − 50)
 cm (42) 
 
 28 
Tabela 24: Disposição da armadura transversal 
Pilar Disposição dos estribos 
P1 ϕ 6,3mm c/ 12 
P2 ϕ 6,3mm c/ 12 
P3 ϕ 6,3mm c/ 12 
P4 ϕ 6,3mm c/ 12 
P5 ϕ 6,3mm c/ 12 
P6 ϕ 6,3mm c/ 12 
P7 ϕ 6,3mm c/ 12 
P8 ϕ 6,3mm c/ 12 
P9 ϕ 6,3mm c/ 12 
P10 ϕ 6,3mm c/ 12 
P11 ϕ 6,3mm c/ 12 
P12 ϕ 6,3mm c/ 12 
 
Fonte: Autora (2020) 
 
 
6 CONCLUSÕES 
 
Fazer um projeto e os cálculos de seus elementos estruturais desde o início é o ponto 
de partida essencial para que o projetista coloque em prática os seus conhecimentos. O 
lançamento, pré-dimensionamento e detalhamento de lajes, vigas e pilares de CA demanda 
bastante tempo e atenção tanto para o planejamento quanto para a execução dos cálculos e 
detalhamento dos elementos estruturais, devido aos aspectos arbitrados pela própria projetista, 
aos critérios e requisitos básicos regidos pelas NBRs, além das verificações dos resultados dos 
dimensionamentos e a grande quantidade de detalhes a ser considerada. 
O projeto da edificação residencial foi dimensionado com 4 lajes (10 cm de espessura), 
15 vigas (14 x 40 cm) e 12 pilares (14 x 30 cm). Não houve formação de fissuras e as flechas 
se mantiveram dentro do limite na verificação das lajes (não atingiram ELS – F e nem ELS – 
DEF). As vigas foram mensuradas com resistência à tração, estando no Estádio I e suas flechas 
abaixo do limite estabelecido na ABNT NBR 6118:2014 (não atingiram ELS – DEF). Já na 
verificação do ELS-F, as vigas V3 e V8 a V15 tiveram formação de fissuras, porém a abertura 
dessas fissuras se manteve abaixo do limite estimado na norma. Os pilares tiveram suas 
armaduras dispostas em duas camadas e também se mantiveram em condição de equilíbrio. 
Conclui-se, portanto, que para se obter qualidade e prezar pela segurança na elaboração 
de um projeto estrutural é necessário ter conhecimento da estrutura como um todo, desenvolver 
os cálculos e verificá-los, sempre atendo-se aos parâmetros estabelecidos. Tudo isso se faz 
imprescindível para um desempenho adequado e bons resultados. 
 29 
REFERÊNCIAS 
 
ARAÚJO, J.M.de. Curso de concreto armado. V.3, 4ed. Rio Grande/RS: Dunas, 2014. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas 
estruturas - Procedimento, NBR 8681. Rio de Janeiro, RJ, 2003. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações para o cálculo de 
estruturas de edificações, NBR 6120:2019. Rio de Janeiro, RJ, 2019. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projetos de estrutura de 
concreto - Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, RJ, 2014. 
 
BASTOS, P.S.S. Flexão normal simples. Disciplina 2117 – Estruturas de Concreto I. 
Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual 
Paulista (UNESP), nov/2010, 88p. Disponível em: 
<http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3922/material/UNESP_
Bauru-SP_Flexao_Simples_Vigas_Notas_de_Aula_Paulo_Bastos_nov_2010.pdf>. Acesso 
em: 10 de abril de 2020 
 
CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. de. Cálculo e Detalhamento de Estruturas 
Usuais de Concreto Armado: segundo a NBR 6118:2014. 4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 
2016. 
 
VENTURINI, W.S. (1987). Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado 
solicitadas à flexão reta. São Carlos, EESC-USP. 
Araújo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3922/material/UNESP_Bauru-SP_Flexao_Simples_Vigas_Notas_de_Aula_Paulo_Bastos_nov_2010.pdf
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3922/material/UNESP_Bauru-SP_Flexao_Simples_Vigas_Notas_de_Aula_Paulo_Bastos_nov_2010.pdf