Inferência Estatística: População, Amostra e Distribuição Amostral

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INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
 
 
Amostragem: amostra e população; 
Distribuição amostral da média; 
Distribuição amostral da proporção. 
 
 
 
 
 
 
Professora: Juliana de Almeida Costa 
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Objetivo: 
• Entender amostragem, distribuição amostral da média 
• Entender distribuição amostral proporção 
• Ao final do conteúdo ser capaz de fazer os exercícios; 
 
 
 
 
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Iremos ver os argumentos estatísticos para fazer afirmações sobre as 
características de uma população, com base em informações dadas 
por amostras. 
O uso de informações de uma amostra para concluir sobre o todo faz 
parte da atividade diária da maioria das pessoas. Basta observar 
como uma cozinheira verifica se o prato que ela está preparando 
tem ou não a quantidade adequada de sal. Ou, ainda, quando um 
comprador, após experimentar um pedaço de laranja numa banca 
de feira, decide se vai comprar ou não as laranjas. Essas são decisões 
baseadas em procedimentos amostrais. 
Nosso objetivo é procurar dar a conceituação formal a esses 
princípios intuitivos do dia-a-dia para que possam ser utilizados 
cientificamente em situações mais complexas. 
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Dois conceitos básicos são, portanto, necessários para o 
desenvolvimento da Inferência Estatística: população e 
amostra. 
 
Definição: 
 População é o conjunto de todos os elementos ou 
resultados sob investigação. 
Amostra é qualquer subconjunto da população. 
 
Exemplos para melhor entender essas definições: 
 
Conceitos Básicos 
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Exemplo 1 - Consideremos uma pesquisa para estudar os salários dos 
500 funcionários da Companhia MB. Seleciona-se uma amostra de 36 
indivíduos, e anotam-se os seus salários. A variável aleatória a ser 
observada é “salário”. A população é formada pelos 500 funcionários 
da companhia. A amostra é constituída pelos 36 indivíduos 
selecionados. Na realidade, estamos interessados nos salários, 
portanto, para sermos mais precisos, devemos considerar como a 
população os 500 salários correspondentes aos 500 funcionários. 
Consequentemente, a amostra será formada pelos 36 salários dos 
indivíduos selecionados. Podemos estudar a distribuição dos salários 
na amostra, e esperamos que esta reflita a distribuição de todos os 
salários, desde que a amostra tenha sido escolhida com cuidado. 
 
Conceitos Básicos 
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Exemplo 2 -Queremos estudar a proporção de indivíduos na 
cidade A que são favoráveis a certo projeto governamental. Uma 
amostra de 200 pessoas é sorteada, e a opinião de cada uma é 
registrada como sendo a favor ou contra o projeto. A população 
consiste de todos os moradores da cidade, e a amostra é formada 
pelas 200 pessoas selecionadas. Podemos, definir a variável X, que 
toma o valor 1, se a resposta de um morador for favorável, e o valor 
0, se a resposta for contrária ao projeto. Assim, nossa população 
pode ser reduzida à distribuição de X, e a amostra será constituída 
de uma sequência de 200 zeros e uns. 
Conceitos Básicos 
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Distribuição Amostral 
 
 
Uma estatística é uma variável aleatória e 
sua distribuição de probabilidade é 
chamada de distribuição amostral. 
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Um aspecto crítico das estatísticas é a estimativa de 
parâmetros com estatísticas a partir da amostra. 
Estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores dos 
parâmetros correspondentes do modelo de população. Por 
exemplo, a média e o desvio padrão da amostra são utilizadas 
como estimativas da média e do desvio padrão populacional, 
correspondentes aos parâmetros μ e σ. Existem textos na área 
de estatística que dedicam um esforço considerável para definir 
quais os procedimentos para encontrar boas estimativas de 
parâmetros. 
Distribuição Amostral 
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Para tentar resumir os conceitos de parâmetros e 
estimativas e suas relações, apresentamos o seguinte 
esquema a seguir: 
Distribuição Amostral 
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Com base na população temos os parâmetros (θ). Entretanto 
muitas vezes trabalhar com a população pode ser muito caro e 
difícil, então a solução é selecionar uma amostra representativa. 
Em outras palavras, podemos inferir algumas características 
dessa população ao selecionar uma amostra representativa 
desta. Com essa amostra podemos encontrar os estimadores 
(𝜃 ) dos parâmetros da população (θ). Como por exemplo, 
suponha que estivéssemos interessados em saber o tempo 
médio de trabalho dos empregados de uma empresa. Neste 
caso, o valor que se quer conhecer é o parâmetro média 
populacional μ (tempo médio de trabalho a partir das 
informações de todos os empregados da empresa). 
Distribuição Amostral 
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Trabalhar com todos os componentes da população nem sempre 
é a solução mais viável, seja por conta de recursos financeiros ou 
devido a dificuldades operacionais. Então, a solução é trabalhar 
com uma amostra representativa da população que se está 
estudando. Após selecionar uma amostra, é possível encontrar o 
estimador do parâmetro, ou seja, do tempo médio de trabalho na 
empresa em anos. Neste exemplo, o estimador é a média 
amostral 𝑿 , isto é, a média do tempo de trabalho na empresa 
calculada a partir das informações dos empregados selecionados 
na amostra. 
 
Distribuição Amostral 
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Toda a variável aleatória é chamada de uma estatística. Logo, 
uma estatística é qualquer função das observações em uma 
amostra aleatória. Consideremos todas as amostras possíveis de 
tamanho n que podem ser retiradas de uma população de 
tamanho N (com ou sem reposição). Para cada amostra, 
podemos calcular uma grandeza estatística, como a média, o 
desvio padrão etc., que varia de amostra para amostra. Com os 
valores obtidos para determinada grandeza, podemos construir 
uma distribuição de probabilidades, que será denominada de 
distribuição amostral. 
Distribuição Amostral 
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O quadro abaixo mostra as notações mais utilizadas para 
algumas medidas: 
Distribuição Amostral 
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Na distribuição Amostral de uma estatística, em vez de 
concentramos na população original, desejamos nos 
valores de estatísticas( tais como médias e proporções 
amostrais). 
 
A distribuição Amostral de uma estatística é a distribuição 
de todos os valores da estatística quando são extraídas, da 
mesma população, todas as amostras possíveis de mesmo 
tamanho n. 
 
 
Distribuição Amostral 
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Distribuição Amostral 
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Na distribuição Amostral da média amostral é a 
distribuição de todas as possíveis médias amostrais(ou a 
distribuição amostral da variável 𝑥 ), com todas as 
amostras de mesmo tamanho 𝑛 extraídas da mesma 
população.(A distribuição amostral da média é 
tipicamente, representada como uma distribuição de 
probabilidade no formato de uma tabela, histograma de 
probabilidade ou formula) 
 
 
Distribuição Amostral da Média 
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Distribuição Amostral da Média 
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Distribuição Amostral da Média 
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Desvio padrão da distribuição amostral das médias ou erro padrão 
da média. 
Distribuição Amostral da Média 
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Distribuição Amostral da Média 
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Distribuição Amostral da Média 
Sobre o fator de Correção: É usado para 
uma população finita. Ou a correção é 
insignificante e pode ser omitida sempre que 
isto é, quando o tamanho da 
amostra for menor do que 5% do tamanho da 
população. 
 
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Exemplo 3: 
Distribuição Amostral da Média 
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Exemplo 4: 
Distribuição Amostral da Média 
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Distribuição Amostral da Média 
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Exemplo 5: 
 
Distribuição Amostral da Média 
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Distribuição Amostral da Média 
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Exemplo 6: 
 
Numa prova de Matemática e Física, constante de 80 questões, 
referente a um vestibular simulado realizado no Rio de Janeiro, 
observou-se que a média de acertos foi de 24,12 com desvio 
padrão de 9,78. Dos 22.102 vestibulandos que participaram da 
prova, retirou-se - aleatoriamente - uma amostra de 200 
concorrentes. 
Determinar: 
 
a) a probabilidade de que a média dessa amostrase localize 
entre 25 e 26; 
b) a probabilidade de que a média dessa amostra apresente um 
valor inferior a 22. 
Distribuição Amostral da Média 
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A distribuição amostral da proporção amostral é a 
distribuição das proporções amostrais, com todas as 
amostras de mesmo tamanho 𝑛 extraídas da mesma 
população. 
 
 Distribuição Amostral 
da Proporção 
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Seja uma população da qual se investiga a proporção ou a 
frequência relativa de uma determinada característica de 
interesse. Suponha que seja possível selecionar desta população 
todas as amostras possíveis de tamanho n>30. Para cada 
amostra obtida, verifica-se a proporção da realização da 
característica de interesse. Se as proporções observadas nas 
amostras coletadas forem apuradas e descritas em uma 
distribuição de frequência, o resultado de tal operação será a 
Distribuição Amostral da Proporção. 
 
 Distribuição Amostral 
da Proporção 
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 Distribuição Amostral 
da Proporção 
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 Distribuição Amostral 
da Proporção 
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Distribuição Amostral 
da Proporção 
Sobre o fator de Correção: É usado para 
uma população finita. Ou a correção é 
insignificante e pode ser omitida sempre que 
isto é, quando o tamanho da 
amostra for menor do que 5% do tamanho da 
população. 
 
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Exemplo 7: 
 
 Distribuição Amostral 
da Proporção 
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Exemplo 8: 
 
 Distribuição Amostral 
da Proporção 
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Exemplo 9: 
O percentual de acessos mal sucedidos a determinada página da Internet é de 
5%. Se forem observados 100 acessos: 
(a) qual probabilidade de que no máximo 3% deles sejam mal sucedidos? 
(b) qual será essa probabilidade se a população for finita, com 500 acessos? 
 
 Distribuição Amostral 
da Proporção