01 MMC e MDC e Divisibilidade

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 Raciocínio Lógico Matemático p/ PRF
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Aula 01
21 de Janeiro de 2021
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Sumário 
MMC e MDC .................................................................................................................................................... 2 
1. Introdução ................................................................................................................................................ 2 
2. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) .......................................................................................................... 2 
2.1. Métodos para determinar o MMC ................................................................................................ 3 
3. Máximo Divisor Comum (MDC) ............................................................................................................ 6 
3.1. Métodos para determinar o MDC ................................................................................................. 7 
4. Propriedades .......................................................................................................................................... 10 
5. Aplicações .............................................................................................................................................. 13 
Questões Comentadas ................................................................................................................................. 17 
CESPE .......................................................................................................................................................... 17 
Questões Complementares ..................................................................................................................... 35 
Lista de Questões .......................................................................................................................................... 55 
CESPE .......................................................................................................................................................... 55 
Questões Complementares ..................................................................................................................... 60 
GABARITO ....................................................................................................................................................... 68 
 
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MMC E MDC 
1. Introdução 
Na aula anterior, analisamos os alicerces da matemática básica. 
Neste tópico, faremos pleno uso das ferramentas até aqui apresentadas, analisadas e aprendidas. Isso 
acontecerá porque estudaremos os tópicos Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum 
(MDC), em que os cálculos matemáticos elementares serão imprescindíveis, em especial quanto à 
decomposição de um número em fatores primos. 
Nesse sentido, abordaremos o conceito de MMC e MDC, os métodos aplicados para a sua determinação, as 
propriedades envolvidas e, principalmente, as aplicações que esses números apresentam na resolução de 
problemas da matemática, funcionando como verdadeira ferramenta estratégica para encontrar a saída 
adequada para desafios presentes em nosso cotidiano. 
Em cada tópico abordado, solucionaremos exercícios para um melhor entendimento e fixação da matéria. 
Além disso, resolveremos diversas questões que já foram cobradas em concursos públicos, do nível mais 
básico até os de maior dificuldade. Dessa forma, você será capaz de perceber como o tema pode ser exigido 
nas provas e terá sucesso ao enfrentar tais questões. 
2. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
Sejam m e n dois números inteiros. Dizemos que n é múltiplo de m se existir um número k, inteiro, tal que: 
𝒏 = 𝒌 . 𝒎 
Em outras palavras, os múltiplos de um número X são aqueles valores que podem ser obtidos 
multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare 
que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por, respectivamente, 1, 2, 3, 4 e 5. 
Quando temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em 
comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12: 
▪ Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 
▪ Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. 
 
Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em 
comum desses 2 números. O menor deles, neste caso o 24, é chamado de Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
entre 8 e 12. 
 
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2.1. Métodos para determinar o MMC 
Existem basicamente dois métodos para se calcular o MMC entre n números. 
1º Método: decomposição isolada em fatores primos 
Neste método, cumpriremos basicamente duas etapas: 
 
Por exemplo, vamos encontrar o MMC entre 36, 45 e 60. 
Para determinar o MMC entre dois ou mais números por meio do método da decomposição isolada em 
fatores primos cumprimos as seguintes etapas: 
1º passo: Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos. 
 
2º passo: O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos números, de maior 
expoente. 
▪ 36 = 22 x 32 
▪ 45 = 32 x 5 
▪ 60 = 22 x 3 x 5 
• Denominamos Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números
inteiros e não nulos ao menor número positivo que seja múltiplo de todos
os números dados.
ANOTE!!!
1º) Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos
2º) Multiplicar os fatores comuns e não comuns de maior expoente
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Assim, temos que o MMC (36, 45, 60) = 22 x 32 x 5 = 180. 
BIZU 
Lembre-se de que no MMC não tem conversa: Todo mundo entra e com o maior expoente! 
Agora, vamos encontrar o MMC entre 16.500, 368.550, 3.583.125. 
Inicialmente fazemos a decomposição de cada número: 
 
Em seguida, multiplicamos os fatores comuns e não comuns dos dois números, de maior expoente: 
 
MMC (16500, 368550, 3583125) = 22 x 34 x 54 x 72 x 11 x 13. 
2º método: decomposição simultânea em fatores primos (processo simplificado) 
Este é o principal, mais simplificado e prático método para determinar o MMC entre dois ou mais números. 
Basicamente, aplicaremos os seguintes passos: 
 
 
Por exemplo, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 15, 24 e 60. 
Para determinar o MMC entre dois ou mais números por meio do método da decomposição simultânea 
em fatores primos cumprimos as seguintes etapas: 
1º) fazer a decomposição em fatores primos simultaneamente, até achar tudo 1. 
1º) Decompor todos os números em fatores primos 
simultaneamente até achar tudo 1
2º) Multiplicar todos os fatores primos utilizados
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Para este procedimento, decompomos, simultanemente, os números, dividindo sucesivamente pelo menor 
fator primo e, no caso de algum dos números não ser divisível pelo fator primo, ele deve ser repetido no 
algoritmo. 
 
 
 
 
2º) Depois é só multiplicar os fatores, pois o MMC será o produto de todos os números primos encontrados 
à direita. 
Portanto, o MMC (15, 24, 60) = 23 x 3 x 5 = 120 
Agora, seja x um número natural de três algarismos que deixa o mesmo resto 3 nas divisões por 6, por 8 e 
por 10. Qual é o menor valor possível para x? 
Sabendo que x deixa resto 3 nas três divisões, concluímos que x – 3 é divisível por 6, por 8 e por 10. Assim, x 
– 3 é um múltiplo comum de 6, 8 e 10, e que tem três algarismos. 
Então, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum entre 6, 8 e 10: 
 
Dessa forma, o MMC (6, 8, 10) = 23 x 3 x 5 = 120, que possui três algarismos. 
Portanto, o menor valorpossível para x é 120 + 3 = 123. 
 
(SUSEP/2006) Obtenha o mínimo múltiplo comum entre 6, 10 e 15. 
a) 30 b) 60 c) 90 d) 120 e) 150 
 
RESOLUÇÃO: 
Vamos resolver esta questão aplicando os dois métodos que foram apresentados. 
1º Método: decomposição em fatores primos. 
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1º passo: Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos: 
 
2º passo: O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos dois números, de 
maior expoente. 
 
Assim, MMC(6, 10, 15) = 2 x 3 x 5 = 30. 
2º método: decomposição simultânea em fatores primos 
(processo simplificado) 
Fazemos a decomposição em fatores primos simultaneamente, até achar tudo 1. Depois, é só multiplicar os 
fatores, pois o MMC será o produto de todos os números primos encontrados á direita. 
 
Gabarito: A. 
3. Máximo Divisor Comum (MDC) 
Os divisores de um número são todos aqueles números que ao dividirem tal número, deixam resto “0” . 
Por exemplo, 5 é divisor de 25, pois 25 ÷ 5 = 5 e resto 0. É uma divisão exata. Para saber a quantidade de 
divisores de um número qualquer, basta fazer a multiplicação de todos os expoentes da sua 
decomposição em fatores primos, adicionado, cada um de + 1. Assim, o número total de divisores de 
4.200 é ( 3 + 1) x (1 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 48, pois 4.200 = 23 x 3 x 52 x 7. 
 
 
•Denominamos Máximo Divisor Comum (MDC) de dois ou mais
números inteiros e não nulos ao maior dos divisores comum a
todos eles.
ANOTE!!!
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3.1. Métodos para determinar o MDC 
Existem basicamente três métodos para se calcular o MDC entre n números. 
1º Método: decomposição isolada em fatores primos 
Neste método, cumpriremos basicamente duas etapas: 
 
Para exemplificar, vamos encontrar o MDC entre 120, 140 e 200. 
1º passo: Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos: 
 
2º passo: O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor expoente. 
▪ 120 = 23 x 3 x 5 
▪ 140 = 22 x 5 x 7 
▪ 200 = 23 x 52 
Portanto, o MDC (120, 140, 200) = 22 x 5 = 20. 
BIZU 
Lembre-se de que no MDC só entram os fatores comuns e com o menor expoente! 
Agora, podemos calcular o MDC entre 16.500, 368.550 e 3.583.125. Inicialmente decompomos os números 
em uma multiplicação de fatores primos: 
 
1º) Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos
2º) Multiplicar os fatores comuns de menor expoente
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Na sequência multiplicamos apenas os fatores comuns de menor expoente: 
 
Pronto! Assim, o MDC (16500, 368550, 3583125) = 3 x 52. 
 
 
2º método: decomposição simultânea em fatores primos (processo simplificado) 
O método da decomposição simultânea em fatores primos é a principal e mais prática forma para 
determinar o MDC entre dois ou mais números, razão pela qual também é conhecido por processo 
simplificado. Basicamente, aplicaremos os seguintes passos: 
 
Para exemplificar, podemos encontrar o MDC entre 360, 420 e 600. 
Vamos decompor os números em fatores primos, simultaneamente: 
 
Em seguida, precisamos verificar em quais linhas houve divisão em todos os elementos: 
 
•O MMC é o produto de todos os fatores com os maiores expoentes.
•O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.
FIQUE LIGADO!!!
1º) Decompor todos os números em fatores primos 
simultaneamente até achar tudo 1
2º) Multiplicar os fatores nas linhas onde houve divisão 
em TODOS os elementos.
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Muito bem, agora basta multiplicarmos os fatores presentes nessas linhas, encontrando o MDC: 
MDC (360, 420, 600) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 
Agora, vamos calcular os menores números naturais pelos quais devem ser divididos os números 72 e 120 
de forma a se obter divisões exatas com quocientes iguais. O quociente comum às duas divisões propostas 
corresponde ao Máximo Divisor Comum entre os números envolvidos. Logo: 
 
Dessa maneira, o MDC (72, 120) = 2 x 2 x 2 x 3 = 24. Agora, dividimos o MDC por 72 e por 120: 
72 ÷ 24 = 3 e 120 ÷ 24 = 5 
Portanto, os números procurados são 3 e 5. 
 
(Câm Mun de São C. do Sul/2012) Considere M o menor múltiplo comum e D o maior divisor comum dos 
números 30 e 70. O quociente da divisão de M por D é: 
a) 32. b) 10. c) 50. d) 21. 
RESOLUÇÃO: 
Fazendo a decomposição em fatores primos de 30 e 70, temos: 
 
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M = MMC (30, 70) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 (produto de todos os fatores) 
D = MDC (30, 70) = 2 x 5 = 10 (produto dos fatores comuns) 
Agora dividimos M por D: 
𝑀
𝐷
=
210
10
= 𝟐𝟏 
Gabarito: D. 
4. Propriedades 
Existem propriedades do MDC e do MMC que podem facilitar o seu cálculo em diversas situações, razão 
pela qual se torna importante que estejamos familiarizados com tais relações. 
1) O MDC entre dois ou mais números primos entre si será sempre igual a 1. 
Por exemplo, ao calcularmos o MDC (25, 36) encontramos como resultado 1. Assim, os números 25 e 36 são 
primos entre si. Similarmente, concluímos que os números 49 e 64 são primos entre si, pois o MDC (49,64) 
= 1 
2) O MMC de dois ou mais números primos entre si será sempre igual ao produto entre eles. 
Por exemplo, ao determinarmos o MMC (4, 5, 9) obtemos o resultado 180. Note que esse valor corresponde 
ao produto entre os números envolvidos. (4 x 5 x 9 = 180). Podemos, então, concluir que 4, 5 e 9 são primos 
entre si. Isso fica especialmente evidente no método da decomposição simultânea em fatores primos, pois 
em nenhuma das operações realizadas o fator primo dividirá mais de um dos números. Pela mesma razão, 
encontramos que o MMC (2,5,7) = 2 x 5 x 7 = 70, de modo que 2, 5 e 7 são primos entre si. 
 
 
O MDC entre números primos é igual a 1.
O MMC entre números primos é igual ao
produto entre eles.
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3) Dados dois ou mais números naturais diferentes de 0, se o maior deles é o múltiplo dos 
outros, então esse número será o MMC dos números dados. 
𝑀𝑀𝐶 (𝑎, 𝑛 × 𝑎) = 𝑛 × 𝑎 
Por exemplo: 
▪ MMC (20, 40) = 40, pois 40 = 2 x 20. 
▪ MMC (8, 16) = 16, já que 16 = 2 x 8. 
 
4) Dados dois números naturais diferentes de 0, se o menor deles é divisor do maior, então o 
menor número será o MDC dos números dados. 
𝑴𝑫𝑪 (𝒃, 𝒏 × 𝒃) = 𝒃 
Por exemplo: 
▪ MDC (20, 40) = 20, pois 40 = 2 x 20. 
▪ MDC (8, 16) = 8, pois 16 = 2 x 8. 
 
 
5) O produto do MDC pelo MMC de dois números deferentes de 0 é igual ao produto desses 
mesmos números. Ou seja: 
𝑀𝐷𝐶 (𝑎, 𝑏) × 𝑀𝑀𝐶 (𝑎, 𝑏) = 𝑎 × 𝑏. 
Por exemplo, o MMC (57, 60) é igual a 1.140 e o MDC (57, 60) é 3. Por sua vez, o produto entre MMC (57, 
60) e o MDC (57, 60) corresponde ao produto entre 57 e 60, ou seja, 3.420. Veja que esse é o mesmo 
resultado se eu tivesse multiplicado os resultados individuais do MMC e do MDC. Da mesma forma, temos 
que MMC (19, 88) x MDC (19, 88) = 19 x 88 = 1.672. 
6) O resultado do MMC e do MDC é afetado pelas operações de multiplicação e de 
divisão efetuadas nos valores iniciais. 
𝑀𝐷𝐶 (𝑎, 𝑏) = 𝑦 então 𝑀𝐷𝐶 (𝑞𝑎, 𝑞𝑏) = 𝑞𝑦 (𝑞 ≠ 0) 
𝑀𝑀𝐶 (𝑐, 𝑑) = 𝑤, então 𝑀𝑀𝐶 (𝑞𝑐, 𝑞𝑑) = 𝑞𝑤 (𝑞 ≠ 0) 
MMC(a, nxa) = nxa
(o maior deles) MDC(a, nxa) = a
(o menor deles)
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Para exemplificar, se sabemos que o MMC entre 8 e 12 é igual a 24, então não precisaríamos efetuar ocálculo 
para determinar o MMC entre 80 (= 8 x 10) e 120 (= 12 x 10), pois pela propriedade que estamos analisando 
concluímos que o resultado seria 240, que é o cálculo de 24 x 10. 
De modo similar, sabendo que o MDC (6,8) = 2, afirmamos que o MDC (60,80) = 20 (que é o cálculo de 2 x 
10). 
7) Dois números consecutivos são sempre primos entre si. Logo: 
𝑀𝐷𝐶 (𝑎, 𝑎 + 1) = 1 
𝑀𝑀𝐶 (𝑎, 𝑎 + 1) = 𝑎 𝑥 (𝑎 + 1) 
Por exemplo: 
▪ MDC (9, 10) = 1 
▪ MMC (9, 10) = 9 x 10 = 90 
 
 
(Pref de Grão Pará/2016) Considere as proposições: 
I) 𝒎𝒎𝒄 (𝟑, 𝟕𝟐𝟗) = 𝟕𝟐𝟗 
II) 𝒎𝒎𝒄 (𝟏, 𝟏𝟓𝟐𝟕) = 𝟏 
III) 𝒎𝒅𝒄(𝟏, 𝟐𝟓) = 𝟏 
IV) 𝒎𝒅𝒄(𝟏𝟐, 𝟏𝟖) = 𝟔 
Assinale a alternativa que apresenta a quantidade de assertiva(s) CORRETA(S) 
a) 4 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 
RESOLUÇÃO: 
Já sabemos que o MMC de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo comum a todos 
eles. Por sua vez, o MDC de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro comum a todos eles. 
A presente questão trata da aplicaçao das propriedades que acabamos de estudar. Então, vamos analisar 
cada alternativa, julgando o seu conteúdo. 
I) 𝑚𝑚𝑐 (3,729) = 729. Certa, pois o MMC entre números múltiplos entre si é o maior deles. 
II) 𝑚𝑚𝑐 (1,1527) = 1. Errada, visto que o MMC entre números múltiplos entre si é o maior deles. 
III) 𝑚𝑑𝑐 (1,25) = 1. Certa, pois o MMC entre números múltiplos entre si é o menor deles. 
IV) 𝑚𝑑𝑐 (12,18) = 6. Certa, já que realmente o máximo divisor comum entre 12 e 18 é realmente 6. 
Gabarito: E. 
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(Pref de Tanguá – RJ/2017) Tomando três números primos entre si, é obtido o mínimo múltiplo comum 
desses números como sendo 435. Sabendo que dois desses números são 3 e 5, qual é o valor do número 
que falta? 
a) 37 b) 29 c) 23 d) 31 
RESOLUÇÃO: 
Aplicando a propriedade que afirma que o MMC de dois ou mais números primos entre si será sempre igual 
ao produto entre eles, temos: 
𝑀𝑀𝐶(3, 5, 𝑥) = 3 × 5 × 𝑥 = 435 
𝒙 =
435
15
= 𝟐𝟗 
Assim, 29 é o número primo que falta e atende às condições estabelecidas no enunciado, de modo que a 
alternativa correta é a letra B. 
Gabarito: B. 
5. Aplicações 
Até aqui aprendemos a efetuar o cálculo do MDC e do MMC e vimos algumas propriedades envolvidas. 
Entretanto, tarefa ainda mais importante é conseguir aplicar esse conhecimento a casos concretos, cobrados 
em provas de concursos públicos. Isto é, diante de uma questão proposta, quando se deve usar o MMC ou 
o MDC? 
Assim, torna-se necessário sabermos as principais características dos valores a que estão relacionados o 
MMC e o MDC, as quais detalharemos a partir de agora. 
Em relação ao Máximo Divisor Comum (MDC), é possível perceber que nos seus valores está presente a ideia 
de divisão. Além disso, o objetivo da questão consistirá em repartir uma quantidade em partes iguais ou 
determinar o maior tamanho possível de determinado item. 
Por sua vez, nos números relativos ao Mínimo Multiplo Comum (MMC) é marcante a ideia de tempo ou 
período. De fato, é comum que os enunciados exijam do condidato o reconhecimento de coincidência 
temporal ou mesmo quando determinado evento irá acontecer novamente. 
 
 
 
MDC
Ideia de divisão
Repartir em partes iguais
Maior tamanho possível!
MMC
Ideia de tempo
Coincidência
Quando irá acontecer novamente?
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A fim de esquematizar o que foi analisado e propor um roteiro a ser observado diante de uma questão, 
apresentamos o diagrama a seguir: 
 
Suponha que dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. 
João costuma realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo 
que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão 
novamente? 
Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra 
daqui a 27, e assim por diante. 
Já a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. 
Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser um múltiplo de 9 e também de 15, isto é, 
múltiplos comuns de 9 e 15. Ou seja, estamos diante da necessidade de reconhecer uma coincidência 
temporal ou quando determinado evento irá acontecer novamente, de modo que a estratégia de resolução 
envolve uma aplicação do MMC. 
De fato, a próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 
15, que é 135. 
Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 135 dias. 
Agora, digamos que temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de 
cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor 
número de grupos possível? 
Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30 pelo maior número possível. 
Note que o objetivo da questão consiste em repartir uma quantidade em partes iguais ou determinar o 
maior tamanho possível de determinado item, de forma que a estratégia de resolução envolve uma 
aplicação do MDC. 
Realmente, este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem deixar resto, é justamente o Máximo 
Divisor Comum entre 20 e 30. 
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22 x 5. Temos também que 30 = 2 x 3 x 5. Portanto, MDC 
(20,30) = 2 x 5 = 10. 
Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 
10 gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5. 
1º passo) Analisar as informações do enunciado
2º passo) Verificar se a questão é de MDC ou de MMC
3º Passo) Efetuar os cálculos necessários
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Considere que uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes 
necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 
centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário 
cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação? 
Foi dito que o funcionário deveria cortar o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Fica 
claro, portanto, que precisamos encontrar o MDC entre 156 e 254, pois tal valor corresponderá à medida do 
comprimento desejado. 
 
Então, a decomposição em fatores primos fica: 
▪ 234 = 2 * 3 * 3 * 13 
▪ 156 = 2 * 2 * 3 * 13 
Assim, o MDC (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78 
Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento. 
 
(Pref de Barretos – SP/2018) Em um tanque há 3 torneiras, A, B e C, todas com defeito e que pingam sem 
parar. A torneira A pinga a cada 20 segundos, a torneira B pinga a cada 35 segundos e a torneira C pinga a 
cada 15 segundos. Sabendo que as 3 torneiras pingaram juntas às 8 horas e 54 minutos, e que 
permaneceram assim o dia todo, sem que alguém tivesse mexido nelas, então, o próximo horário em que 
as 3 torneiras voltarão a pingar juntas será às 
A) 8 horas e 58 minutos. 
B) 9 horas e 01 minuto. 
C) 9 horas e 06 minutos. 
D) 9 horas e 12 minutos. 
E) 9 horas e 15 minutos. 
RESOLUÇÃO: 
O nosso objetivo consiste em determinar quando as 3 torneiras voltarão a pingar juntas. Ou seja, estamos 
diante da necessidade de reconhecer uma coincidência temporal ou quando determinado evento irá 
acontecer novamente, de modo que a estratégia de resolução envolve uma aplicação do MMC. 
Assim, o MMC entre os valores das frequências que cada torneira pinga é dado por: 
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Ou seja, as três torneiras voltarão a pingar juntas 420 segundos ou 7 minutos após a primeira vez em que 
isso ocorre. Dessa forma, o próximo horário em que as 3 torneiras voltarão a pingar juntas será às: 
8h e 54 min + 7 minutos= 9 h e 01 min 
Gabarito: B. 
 
(IFF/2018) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de bordo de 
determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8 dias; o 
comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias. Nesse caso, se os três tiverem trabalhado 
juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente juntos nesse voo 
ocorrerá daqui a 
A) 30 dias. 
B) 74 dias. 
C) 120 dias. 
D) 240 dias. 
E) 960 dias. 
RESOLUÇÃO: 
Estamos diante da necessidade de reconhecer uma coincidência temporal, de modo que a estratégia de 
resolução envolve uma aplicação do MMC. 
Assim, o MMC entre os valores dos tempos em que cada comissário trabalha no voo é dado por: 
 
Assim, após 120 dias os comissários trabalharão juntos novamente. 
Gabarito: C. 
 
 
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 QUESTÕES COMENTADAS 
CESPE 
1. (CESPE/SEFAZ-RS/2018) Os ponteiros de dois relógios foram ajustados em determinado dia, às 12 h 0 
min, de acordo com o horário oficial de Brasília. Após esse ajuste, a cada dia, um dos relógios atrasava 
2 minutos, e o outro adiantava 1,6 minuto, ambos em relação ao horário oficial. Caso esses relógios 
não sejam reajustados, seus ponteiros voltarão a marcar 12 h 0 min no mesmo instante em 
A) 60 dias. 
B) 400 dias. 
C) 720 dias. 
D) 900 dias. 
E) 3.600 dias. 
 
RESOLUÇÃO: 
Ponteiro que atrasa 2 min ao dia: 
 
 - Para atrasar 60min: =60/2= 30 dias 
 - Para atrasar 12h =12 x 30 dias = 360 dias 
 
Ponteiro que adianta 1,6 min ao dia: 
 
 - Para adiantar 60 min: =60/1,6 = 37,5 dias 
 - Para adiantar 12h =12 x 37,5= 450 dias 
 
Fazendo 𝑀𝑀𝐶(360,450) para saber em quantos dias coincidirão 
 
 
 
𝑀𝑀𝐶(360,450) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 1800 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
Como não há 1800 no gabarito, o seu múltiplo seria 3600, que equivaleria há um segundo encontro dos 
relógios. 
 
Gabarito: E. 
 
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2. (CESPE/BNB/2018) A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue o item que se 
segue. Situação hipotética: Sandra selecionou questões de concursos públicos passados para resolver 
e, assim, se preparar para o concurso em que pretende concorrer. Ela selecionou 98 questões de 
matemática, 70 questões de português, 56 questões de informática e 42 questões de direito, que 
deverão ser resolvidas em determinada quantidade de dias. Ela estabeleceu as seguintes regras de 
estudo: 
 
• em todos os dias, ela deve resolver questões de todas essas disciplinas; 
• de cada uma dessas disciplinas, ela deve resolver, diariamente, sempre a mesma quantidade de 
questões; 
• essas quantidades de questões a serem resolvidas diariamente de cada disciplina devem ser as 
máximas possíveis para que, no período determinado, ela consiga resolver todas as questões de todas 
as disciplinas. 
 
Assertiva: Nessa situação, de todas as disciplinas, Sandra deverá resolver 19 questões por dia durante 14 
dias. 
 
RESOLUÇÃO: 
A questão versa sobre MMC. 
Diante do enunciado, vamos calcular o MMC. 
 
98, 70, 56, 42 | 2 
49, 35, 28, 21 | 
 
A partir daqui já podemos identificar que em dois dias podemos concluir a questão obedecendo o 
número máximo de questões. Assim, observe que: 
 
1º Dia 
 
49 de Matemática 
35 de Português 
28 de Informática 
21 de Direito 
 
2º Dia 
 
49 de Matemática 
35 de Português 
28 de Informática 
21 de Direito 
 
Portanto, concluímos que para atender as regras do número máximo de questões, temos que Sandra 
deverá resolver 133 questões por dia durante 2 dias. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
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3. (CESPE/BNB/2018) A respeito de números reais e de funções de variáveis reais, julgue o item que se 
segue. Situação hipotética: Carlos possui uma quantidade de revistas que é maior que 500 e menor 
que 700. Separando as revistas em conjuntos de 8 revistas, Carlos verificou que sobrou um grupo com 
3 revistas. O mesmo acontecia quando ele separava as revistas em conjuntos de 14 ou em conjuntos 
de 20 revistas: sempre sobrava um conjunto com 3 revistas. 
 
Assertiva: Nesse caso, é correto afirmar que Carlos possui 563 revistas. 
 
RESOLUÇÃO: 
A questão versa sobre Mínimo Múltiplo Comum. 
 
Observe que para garantirmos que a quantidade de revistas seja comum aos número 8, 14, 20 com resto 
igual a 3, temos que calcular o MMC desses números, assim: 
 
8 , 14 , 20 | 2 
4 , 7 , 10 | 2 
2 , 7, 5 | 2 
1 , 7, 5 | 5 
1 , 7, 1 | 7 
1 , 1, 1 
 
𝑀𝑀𝐶(8,14,20) = 280 
 
O nosso MMC é igual a 280 e seus múltiplos também são: 
 
280 x 2 = 560 
 
Observe que a questão afirmar que quantidade de revistas é maior que 500 e menor que 700 com resto 
igual a 3. 
 
Assim, temos que 560 + (resto = 3). 
 
Portanto podemos afirmar que Carlos possui 563 revistas. 
 
Gabarito: CERTO. 
 
4. (CESPE/TRE-ES/2013) Os garotos João e Pedro vão passear de bicicleta em uma pista circular, seguindo 
sempre em uma mesma direção, com velocidades diferentes. Eles iniciaram o passeio partindo, no 
mesmo instante, de um mesmo ponto e combinaram encerrar o passeio quando se encontrarem pela 
primeira vez no ponto de partida. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 
 
Se, para completar cada volta na pista, João gasta 20 minutos e Pedro 24, então o passeio dos garotos 
durará menos de 2 horas. 
 
RESOLUÇÃO: 
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O primeiro encontro de ambos no ponto inicial será no mínimo múltiplo comum de 20 minutos e 24 
minutos. 
 
Logo, o tempo total de passeio é 𝑚𝑚𝑐(20, 24). 
 
Agora, vemos que, decompondo em fatores primos, 
 
20 = 5 x 2² 
24 = 3 x 2³ 
 
Assim, 𝑚𝑚𝑐(20, 24) = 5 𝑥 3 𝑥 2³ = 120 minutos. 
 
Como 1 h = 60 minutos, o tempo total de passeio é exatamente de 2h, e a assertiva é incorreta. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
5. (CESPE/PC-DF/2013) Considerando que 300 pessoas tenham sido selecionadas para trabalhar em locais 
de apoio na próxima copa do mundo e que 175 dessas pessoas sejam do sexo masculino, julgue o 
seguinte item. 
 
É impossível dividir as 300 pessoas em grupos de modo que todos os grupos tenham a mesma quantidade 
de mulheres e a mesma quantidade de homens. 
 
RESOLUÇÃO: 
Para que os grupos sejam uniformes, ou seja, para que as quantidades de homens e mulheres em cada 
um sejam as mesmas (e não que a quantidade de homens seja igual à quantidade de mulheres), o número 
de grupos formado deve ser um divisor comum das quantidades de pessoas de cada sexo. Há 300 – 175 
= 125 mulheres. Fatorando 125 e 175 ao mesmo tempo, temos: 
 
 
 
Divisores comuns = 1, 5, 5 × 5 = 25 
 
Assim, se forem formados 5 ou 25 grupos, eles poderão ter a mesma quantidade de homens em todos 
os grupos, assim como a mesma quantidade de mulheres. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
6. (CESPE/TCE-RS/2013) A respeito do controle e manutenção dos 48 veículos de um órgão público, julgue 
o item seguinte. 
Considere que um veículo desse órgão tenha percorrido x km no primeiro ano, isto é, no ano que foi 
comprado, e que, em cada um dos 4 anos seguintes, tenha percorrido x/2 km, x/3 km, x/4 km e x/5 km. 
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Nesse caso, se nesses 5 anos, esse veículo percorreu 68.500 km, então, no primeiro ano, ele percorreu 
mais de 28.000 km. 
 
RESOLUÇÃO: 
Inicialmente,não se sabe a quantidade de km percorridos no primeiro ano, assim, foi atribuída a 
incógnita “X” para representar este valor desconhecido. Como foi informado o total percorrido em todos 
os 5 anos, uma possível forma de resolver a questão é somar as distâncias percorridas em cada ano (em 
termos de “x”) e igualar ao total percorrido que conhecemos. 
 
Assim, montamos a seguinte equação matemática: 
 
𝑥 +
𝑥
2
 +
𝑥
3
+
𝑥
4
+
𝑥
5
= 68.500 
 
Como temos frações com denominadores diferentes, precisamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum 
(MMC) entre os denominadores 1, 2, 3, 4 e 5. Com isso, temos as novas equações abaixo desenvolvidas: 
 
60𝑥 + 30𝑥 + 20𝑥 + 15𝑥 + 12𝑥
60
= 68.500 
 
137𝑥
60
= 68.500 
 
Para encontrarmos o valor de “x”, que é a quantidade de km percorridos no primeiro ano, devemos 
“isolar” a incógnita: 
 
𝑥 =
68.500 ∗ 60
1370
 
 
𝑥 = 30.000 
 
Logo, no primeiro ano, o veículo perfez um total de 30.000, tornado correta a questão, visto que 30.000 
é superior a 28.000. 
Gabarito: CERTO. 
 
7. (CESPE/MPU/2013) Ao distribuir entre 5 técnicos do MPU determinada quantidade de processos para 
análise, de modo que todos recebessem quantidades iguais de processos, o chefe da unidade verificou 
que sobrava um processo; ao tentar distribuir igualmente entre 6 técnicos, novamente sobrou um 
processo, situação que se se repetiu quando ele tentou distribuir os processos igualmente entre 7 
técnicos. Considerando que N > 1 seja a quantidade de processos que serão analisados pelos técnicos, 
julgue o item seguinte, com base nas informações apresentadas. 
 
Se P é o mínimo múltiplo comum entre 5, 6 e 7, então N é múltiplo de P. 
 
RESOLUÇÃO: 
Se a quantidade de processos N, dividida por 5, 6, e 7, tem 1 como resto da divisão nos três casos, significa 
que N – 1 é múltiplo de 5, de 6 e de 7. Em outras palavras, N – 1 é múltiplo comum de 5, 6 e 7. 
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O menor múltiplo comum (mmc) de 5, 6 e 7 é dado por: 
 
 
Logo, P = 5 × 6 × 7 = 210. 
 
Se P é o mínimo múltiplo comum entre 5, 6 e 7, P = 210 e N − 1 = 210 → N = 211. 
 
Logo, se P = 210 e N = 211, N não é múltiplo de P. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
8. (CESPE/CORREIOS/2011) O Programa Nacional do Livro Didático e o Programa Nacional do Livro 
Didático para o Ensino Médio são realizados pela ECT em parceria com o Fundo Nacional de 
Desenvolvimento da Educação. A operação consiste na entrega, todos os anos, de 100 milhões de livros 
didáticos a escolas públicas de ensino fundamental e médio de todo o Brasil, volume equivalente à 
metade de toda a produção gráfica do Brasil. Para a distribuição desses livros, são realizadas viagens 
de carretas das editoras para os centros de tratamento da empresa instalados em pontos estratégicos 
do país. Nessas unidades, as encomendas são tratadas e, depois, entregues nas escolas. 
 
Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e um 
centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso 
de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem 
simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após 
A) 45 dias. 
B) 60 dias. 
C) 10 dias. 
D) 15 dias. 
E) 30 dias. 
 
RESOLUÇÃO: 
Trata-se de uma questão de MMC (mínimo múltiplo comum): 
 
 
 
60 é o MMC de 4, 5 e 6 e essa é a resposta do problema, correspondente à alternativa B. 
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Proponho aqui um raciocínio alternativo... Mas ainda é importante saber calcular o MMC, ok? 
 
A ideia é analisar dois a dois dos números dados. Por exemplo, 4 e 5: percebe-se que eles coincidem de 
20 em 20. 
 
Em seguida, analisa-se esse 20 com outro número do conjunto. No caso, 6: ora, se o 4 e o 5 só coincidem 
a cada 20, não faz sentido analisar qualquer número que não seja um múltiplo de 20, pois pode ser 
múltiplo de 6, mas nunca será de 4 e de 5 ao mesmo tempo. Logo: 
 
• 20: não é múltiplo de 6; 
• 40: não é múltiplo de 6; 
• 60: é múltiplo de 6. 
 
A explicação claramente é longa, mas a resolução é rápida. 
Gabarito: B. 
 
9. (CESPE/CORREIOS/2011) Em um bairro onde as casas foram todas construídas de acordo com um 
projeto padrão, os lotes têm 12 metros de frente, em cada lote a caixa de correspondências fica sempre 
na mesma posição e os postes de iluminação pública são espaçados em 50 metros. O carteiro que 
entrega correspondências nesse bairro percebeu que a caixa de correspondências da primeira casa de 
uma rua bastante longa fica exatamente atrás de um poste de iluminação. Nesse caso, caminhando 
nessa rua e desconsiderando os possíveis espaços entre dois lotes vizinhos, até que encontre a próxima 
caixa de correspondências atrás do poste de iluminação, o carteiro deverá percorrer uma distância 
igual a 
A) 210 metros. 
B) 255 metros. 
C) 300 metros. 
D) 120 metros. 
E) 165 metros. 
 
RESOLUÇÃO: 
O mínimo múltiplo comum é o menor inteiro positivo que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo 
tempo. Ele é calculado como o produto dos fatores comuns e não comuns aos números fatorados, cada 
um elevado ao maior expoente encontrado. O enunciado nos pede para descobrir a distância percorrida 
por um carteiro para encontrar uma caixa de correspondência, sendo que as caixas estão colocadas de 
12 m em 12 m e os postes estão distribuídas de 50 m em 50 m. Isso significa que precisamos do MMC 
entre 12 e 50. Então, temos: 
 
 
50 = 2 × 5² × 1 
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12 = 2² × 3 × 1 
 
O MMC entre 12 e 50 é, então: 
 
𝑀𝑀𝐶 = 1 × 2² × 3 × 5² 
𝑀𝑀𝐶 = 12 × 25 
𝑀𝑀𝐶 = 300 
 
Assim, o carteiro percorrerá 300 m até encontrar a próxima caixa de correspondências atrás do poste de 
iluminação. 
 
Gabarito: E. 
 
10. (CESPE/CORREIOS/2011) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com 
ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos 
vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível. Na situação 
apresentada, o lado do ladrilho deverá medir 
A) mais de 30 cm. 
B) menos de 15 cm. 
C) mais de 15 cm e menos de 20 cm. 
D) mais de 20 cm e menos de 25 cm. 
E) mais de 25 cm e menos de 30 cm. 
 
RESOLUÇÃO: 
Dois números naturais sempre possuem um divisor comum (pode ser 1). Para encontrar o máximo divisor 
comum, devemos fatorar cada número em fatores primos. O MDC será o produto dos fatores comuns. 
Para encontrarmos o maior tamanho possível para os ladrilhos quadrados, devemos encontrar o máximo 
divisor comum entre 3,52 m e 4,16 m. Porém, não podemos utilizar números decimais para isso, e por 
isso trabalharemos com as dimensões em centímetros (352 cm e 416 cm). 
 
 
Vemos que o MDC entre 352 e 416 é 32. Assim, o maior ladrilho possível para cobrir a sala deverá ter 32 
cm (mais que 30 cm). 
 
Gabarito: A. 
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11. (CESPE/CORREIOS/2011) Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B para presentear seus 
clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e um do tipo B, 350 g. Os catálogos foram organizados em 
pacotes, contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo. Com base nas informações do 
texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes tiverem o mesmo peso e se esse peso for inferior a 
10 kg, então cada pacote pesará. 
A) 8,3 kg 
B) 8,4 kg 
C) 8 kg 
D) 8,1 kg 
E) 8,2 kg 
 
RESOLUÇÃO: 
O problema pede o valor do peso de cada pacote dados os critérios a serem obedecidos. 
 
Para que os pacotes tenham o mesmo peso, este peso deve ser múltiplo dos pesos de cada catálogo. E 
para que ele seja múltiplo deambos os pesos, ele deve ser múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC) 
dos valores de 240 g e 350 g. 
 
Podemos obter o mínimo múltiplo comum de um conjunto de números pelo método da fatoração 
simultânea, onde multiplicamos os maiores fatores presentes em pelo menos um dos números. 
 
Fatorando os números, temos: 
 
 
Logo: 
 
 
Sendo assim, o peso de cada pacote deve ser múltiplo de 8.400 g. 
 
Convertendo para quilogramas, temos: 
1.000 g = 1 kg 
8.400 g = 8.400 ÷ 1.000 kg = 8,4 kg 
 
Como o peso deve ser inferior a 10 kg, então cada pacote deverá pesar 8,4 kg. 
 
Gabarito: B 
 
12. (CESPE/PREF. RIO BRANCO/2007) Julgue o item a seguir. 
 
Considere que um taxista lave o seu veículo a cada 10 dias e calibre os pneus a cada 15 dias. Se hoje é 
dia de ele lavar seu veículo e calibrar os pneus, então, daqui a 30 dias, ele realizará novamente essas duas 
tarefas no mesmo dia. 
 
RESOLUÇÃO: 
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Um taxista lava o seu veículo a cada 10 dias e calibre os pneus a cada 15 dias. 
 
Se hoje é dia de ele lavar seu veículo e calibrar os pneus, então, vamos calcular o MMC de 10 e 15 para 
saber o próximo dia que as duas tarefas serão realizadas juntas: 
 
 
O MMC é: 2 x 3 x 5 = 30 dias 
 
Gabarito: CERTO. 
 
13. (CESPE/PREF. RIO BRANCO/2007) Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 de copaíba para 
plantar em uma região de sua fazenda. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 
 
Considere que, para o plantio, as mudas tenham sido repartidas entre os empregados da fazenda, de 
forma que todos os empregados tenham recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a mesma 
quantidade de mudas de copaíba e que nenhuma muda tenha sobrado. Nessa situação, é correto afirmar 
que o número máximo de empregados da fazenda é 4. 
 
RESOLUÇÃO: 
Para não sobrar muda de açaí, o número de empregados precisa ser um número divisor de 180. Para não 
sobrar muda de copaíba, o número de empregados precisa ser um número divisor de 84. 
 
E queremos que as duas coisas ao mesmo tempo, ou seja, um divisor comum a 180 e 84. Além disso, a 
questão menciona o MÁXIMO n° de empregados. Logo, estamos procurando o MAIOR DIVISOR COMUM 
de 180 e 84 = 𝑀𝐷𝐶(180,84). Fazendo a decomposição em fatores primos 
 
180 = 2². 3². 5 
84 = 2². 3.7 
 
Para achar o MDC, selecionamos os números primos comuns aos números escolhidos e pegamos o menor 
expoente encontrado: 
 
𝑀𝐷𝐶(180, 84) = 2². 3 
𝑀𝐷𝐶(180, 84) = 12 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
14. (CESPE/PREF. RIO BRANCO/2007) Julgue o item que se segue, a respeito dos números naturais e das 
operações fundamentais com números naturais. 
Considere que, para curar uma infecção bastante grave, o médico receitou a um paciente 3 tipos de 
antibióticos, em comprimidos, A, B e C, que deverão ser ingeridos, respectivamente, de cinco em cinco 
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horas, de doze em doze horas e de quinze em quinze horas. No sábado, às seis horas da manhã, o 
paciente ingeriu os três comprimidos juntos. Nessa situação, o paciente ingerirá os três comprimidos 
juntos novamente às dezoito horas de segunda-feira. 
 
RESOLUÇÃO: 
3 tipos de antibióticos A, B e C deverão ser ingeridos, respectivamente, de cinco em cinco horas, de doze 
em doze horas e de quinze em quinze horas. 
 
Vamos calcular o MMC entre 5, 12 e 15 para saber em quantas horas os três remédios serão tomados 
juntos: 
 
O MMC será: 2 * 2 * 3 * 5 = 60 horas 
 
60 horas = 2,5 dias ou 2 dias e 12 horas 
 
Se os 3 foram ingeridos juntos no sábado às 6hs da manhã, somando 2 dias, chegamos à segunda. 
 
Somando 6hs + 12hs = 18hs da segunda-feira 
 
Gabarito: CERTO. 
 
15. (CESPE/MPE-TO/2006) A respeito dos números 72 e 108, é correto afirmar que o mínimo múltiplo 
comum entre eles é igual a 512. 
 
RESOLUÇÃO: 
Para calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) de 72 e 108, devemos decompô-los 
 
72 = 23 × 32 
108 = 22 × 33 
 
Em seguida, para encontrar o mmc multiplicamos os fatores primos que aparecem nas decomposições 
com seus maiores expoentes: 
 
23 × 33 = 8 × 27 = 216 
 
O mmc de 72 e 108 é 216. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
16. (CESPE/MPE-TO/2006) A respeito dos números 72 e 108 é correto afirmar que o máximo divisor comum 
entre eles é igual a 12. 
 
RESOLUÇÃO: 
O máximo divisor comum de dois números é o maior fator por qual ambos podem ser divisíveis. Para 
encontrarmos o MDC de dois números devemos seguir alguns passos, veja abaixo a resolução: 
 
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 Primeiro devemos decompor os números e encontrar suas formas fatoradas: 
 
72 = 23 × 32 
108 = 22 × 33 
 
Por último, devemos identificar os fatores primos presentes em ambas as fatorações, depois 
multiplicamos esses fatores comuns com os seus menores expoentes. Veja abaixo: 
 
𝑀𝐷𝐶(72, 108) = 22 × 32 = 4 × 9 = 36 
 
Gabarito: ERRADO. 
17. (CESPE/HEMOPA/2004) Do porto de Belém, de 4 em 4 horas parte um navio para Manaus e, de 6 em 6 
horas, um para Santarém. À zero hora do dia 8 de março partirão simultaneamente, do porto de Belém, 
um navio para Manaus e outro para Santarém. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
 
A próxima partida simultânea de navios do porto de Belém para Manaus e Santarém ocorrerá ao meio-
dia do dia 8 de março. 
 
RESOLUÇÃO: 
Trata-se de uma questão de MMC (mínimo múltiplo comum): 
 
 
 
Em outras palavras: 4 e 6 coincidem de 12 em 12. Entre as diversas aplicações do MMC, um exemplo é a 
decomposição de frações para que tenham denominadores (partes de baixo) iguais. 
 
12 horas após zero hora do dia 8 de março é meio-dia do mesmo dia. Logo, a assertiva está certa. 
 
Gabarito: CERTO. 
 
18. (CESPE/TRT-10/2004) Um juiz deve julgar 52 processos, que estão separados, por assunto, em 3 grupos. 
Sabe-se que o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números de 
processos em cada um dos grupos são 4 e 48, respectivamente. Acerca desses grupos de processos, 
julgue o item seguinte. 
 
Dois dos grupos contêm, juntos, 36 processos. 
 
RESOLUÇÃO: 
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29 
 
A questão versa sobre Máximo Divisor Comum (M. D. C.) e Mínimo Múltiplo Comum (M. M. C.). 
 
Temos 52 processos separados em grupos de 3. O Máximo Divisor Comum é 4, e o Mínimo Múltiplo 
Comum é 48. Devemos analisar se dois dos grupos contêm, juntos 36 processos. 
 
Primeiro vamos descobrir os divisores do número 48. 
𝐷(48) = {1, 2, 3, 4, 8, 12, 16, 24, 48} 
 
Devemos analisar qual dos grupos resultam em 52, portanto, vamos agrupar somando os divisores que 
achamos: 
 
12 + 16 + 24 = 52 
e o 4 é o M.D.C. deles 
 
Agora devemos analisar se a soma de dois desse grupo que somamos resultam em 36, logo: 
12 + 24 = 36 
 
Gabarito: CERTO. 
 
19. (CESPE/TERRACAP/2004) Marcelo é um marceneiro que trabalha por conta própria fabricando e 
consertando móveis. Ele adquiriu uma chapa de compensado, retangular, medindo 2,20 m de 
comprimento por 1,80 m de largura e 2 cm de espessura. Com relação a esse compensado e aos móveis 
que podem ser fabricados por Marcelo a partir dessa peça, julgue o item que se segue. 
 
Se Marcelo quiser fabricar painéis quadrados, todos iguais, do maior tamanho possível e de forma que, 
desprezando as perdas com os cortes, não sobre material, então ele fabricará mais de 100 painéis. 
 
RESOLUÇÃO: 
A questão pode ser solucionada por meio da aplicação de conhecimentos de MDC (Máximo Divisor 
Comum). 
 
Assim, o maior comprimento possível de lado para o quadrado que podemos cortar a chapa de 
compensado de forma a não desperdiçar material corresponde ao MDC entre seus tamanhos iniciais (1.8 
m e 2.2 m). 
 
Calculando o MDC em centímetros (1 metro = 100 cm), temos 
 
 
 
(Lembrando queMDC = 2 x 2 x 5 = 20) 
 
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Assim, a medida do lado dos Painéis quadrados no maior tamanho possível sem que haja desperdício é 
igual a 20 centímetros. 
 
Podemos calcular a quantidade total de quadrados verificando quantas vezes cada um dos lados será 
dividido para obter partes iguais de 20 centímetros. 
 
Logo: 
 
 Número de Divisões no Lado 1 (180 cm): 180 / 20 = 9 divisões 
 Número de Divisões no Lado 2 (220 cm): 220 / 20 = 11 divisões 
 
 Número total de painéis = 9 × 11 = 99 
 
Logo, sob as condições dadas, Marcelo produzirá 99 painéis, quantia esta que é INFERIOR à citada pelo 
enunciado. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
20. (CESPE/TERRACAP/2004) Um terreno retangular, medindo 504 m de largura por 2.940 m de 
comprimento, vai ser loteado para atender a um programa de assentamento de famílias de baixa 
renda. Para evitar problemas de medição, todos os lotes terão dimensões — largura e comprimento 
— inteiras. Além disso, cada família receberá apenas um lote. Com relação a esse loteamento, julgue 
o item a seguir. 
 
Para não haver reclamação de favorecimentos, as autoridades resolveram que todos os lotes seriam 
quadrados, de mesma área, da maior área possível e de forma que o terreno seja totalmente ocupado. 
Nesse caso, sem considerar as ruas e calçadas, será possível atender a apenas 210 famílias inscritas no 
programa 
 
RESOLUÇÃO: 
A questão pode ser solucionada por meio da aplicação de conhecimentos de MDC (Máximo Divisor 
Comum). 
 
Assim, o maior comprimento possível de medida de lado para obtermos lotes quadrados no maior 
tamanho possível corresponde ao MDC entre as dimensões do terreno retangular (504 m e 2940 m). 
 
Calculando o MDC em metros, temos: 
 
 
 
(Lembrando que o MDC = 2 x 2 x 3 x 7 = 84) 
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Assim, o a medida do lado dos Lotes quadrados no maior tamanho possível é igual a 84 metros. 
 
Podemos calcular a quantidade total de quadrados verificando quantas vezes cada um dos lados será 
dividido para obter partes iguais de 84 metros. 
 
Logo: 
 
 Lado 1 (504 m): 504 / 84 = 6 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠õ𝑒𝑠 
 
 Lado 2 (2940 m): 2940 / 84 = 35 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠õ𝑒𝑠 
 
 Número total de lotes = 6 × 35 = 210 𝐿𝑜𝑡𝑒𝑠 
 
Nesse caso, sem considerar as ruas e calçadas, será possível atender a apenas 210 famílias inscritas no 
programa. 
 
Gabarito: CERTO. 
 
21. (CESPE/HEMOPA/2004) Três sarrafos medem, respectivamente, 12 m, 18 m e 30 m. Um carpinteiro 
quer dividi-los em partes menores de forma que todas tenham o mesmo comprimento e sejam do 
maior tamanho possível. Além disso, ele não quer que sobre nenhum pedaço de madeira. 
 
Nessa situação, o carpinteiro deve dividir os sarrafos em partes que tenham 6 m de comprimento cada. 
 
RESOLUÇÃO: 
Precisamos achar o MDC entre 12,18 e 30. Para isso vamos fatorar os números simultaneamente: 
 
 
 
Temos, então, que os pedaços vão ser cortados em tamanhos de 6 m. 
 
Gabarito: CERTO. 
 
22. (CESPE/HEMOPA/2004) Três sarrafos medem, respectivamente, 12 m, 18 m e 30 m. Um carpinteiro 
quer dividi-los em partes menores de forma que todas tenham o mesmo comprimento e sejam do 
maior tamanho possível. Além disso, ele não quer que sobre nenhum pedaço de madeira. 
 
Nessa situação, o carpinteiro obterá mais de 10 pedaços de madeira após as divisões corretas dos 
sarrafos. 
 
RESOLUÇÃO: 
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Temos que encontrar o máximo divisor comum (MDC) entre esses valores. Assim, fatoramos os números 
simultaneamente: 
 
 
 
Assim, foram cortados 6 pedaços de madeira de cada sarrafo. Assim: 
12/6 = 2 pedaços de madeira originado do sarrafo de 12 m. 
18/6 = 3 pedaços de madeira originado do sarrafo de 18 m. 
30/6 = 5 pedaços de madeira originado do sarrafo de 30 m. 
 
A soma dos pedaços de madeira são 10. 
Logo, ele não obteve mais de 10 pedaços, obteve exatamente 10. 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
23. (CESPE/FUNCAP-PA/2004) Julgue o item seguinte. 
 
Considere que os tempos gastos por uma lancha e por um barco para atravessar um rio e iniciar o retorno 
ao ponto de partida são, respectivamente, iguais a 50 min e 30 min. Se a lancha e o barco saem do mesmo 
ponto às 7 horas da manhã, então, eles chegarão juntos do outro lado do rio, pela primeira vez, quando 
a lancha completar a sua terceira travessia. 
 
RESOLUÇÃO: 
A questão exige conhecimento sobre mínimo múltiplo comum (MMC). Do enunciado, temos: 
 
- Uma lancha e um barco atravessam um rio e iniciam o retorno ao ponto de partida e gastam, 
respectivamente, 50 min e 30 min. 
- A lancha e o barco saem do mesmo ponto às 7 horas da manhã. 
 
Organizando as informações: 
- A lancha demora 50 minuto para atravessar o rio, logo, para ir e voltar, a lancha gastará 100 minutos. 
- O barco demora 30 minuto para atravessar o rio, logo, para ir e voltar, o barco gastará 60 minutos. 
 
Para encontrarmos o ponto de encontro da lancha e do barco, temos que calcular o MMC de 100 e 60: 
 
 
 
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Logo, demorará 300 minutos para eles encontrarem. E 300 minutos é o tempo gasto pela lancha para 
atravessar 3 vezes o rio. 
 
Gabarito: CERTO. 
 
24. (CESPE/PREF. ARACAJU/2003) Julgue o item que se segue. 
 
Márcia, Cláudia e Laura, enfermeiras de um hospital, dão plantões em regime de rodízio. Márcia dá 
plantão a cada 3 dias, Cláudia, a cada 4 dias e Laura, a cada 5 dias. Se as três enfermeiras deram plantão 
hoje, então a próxima data em que as três darão plantão juntas novamente será daqui a mais de 50 dias. 
 
RESOLUÇÃO: 
Os plantões serão a cada: 
 
Márcia ----> 3, 6, 9, 12, 15 .... dias 
Cláudia ---> 4, 8, 12, 16, 20 ... dias 
Laura ------> 5, 10, 15, 20, 25 ... dias 
 
Se queremos que os plantões coincidam, devemos achar um número múltiplo de 3, 4 e 5 
simultaneamente. A próxima vezes que isso irá ocorrer é no menor múltiplo comum ---------> MMC (3,4,5) 
 
Fatorando 
 3 = 3 
 4 = 2² 
 5 = 5 
 
- selecionamos todos os fatores primos com o maior expoente 
𝑀𝑀𝐶(3,4,5) = 2². 3.5 
𝑀𝑀𝐶(3,4,5) = 60 
 
Assim, a próxima vez que terá plantão dos três juntos será em 60 dias. 
 
60 dias > 50 dias 
 
Gabarito: CERTO 
 
25. (CESPE/PREF. ARACAJU/2003) Em uma farmácia existem 90 frascos do remédio A e 198 do remédio B, 
que devem ser guardados em caixas. Cada caixa deve conter remédio de um só tipo e todas elas, o 
mesmo número de frascos. As caixas devem conter o maior número possível de frascos. Com base 
nessas informações, julgue o item a seguir. 
 
O número de frascos que serão guardados em cada caixa é inferior a 15. 
 
RESOLUÇÃO: 
n° caixas = n° remédios / n° frascos por caixa 
 
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Seja 
n° frascos por caixa = n 
 
REMÉDIO A 
n° caixas com remédio A = 90/n 
 
REMÉDIO B 
n° caixas com remédio B = 198/n 
 
Como n° caixas é um número natural, precisamos que n seja divisor de 90 e 198 simultaneamente, além 
disso queremos que n seja o maior possível. 
 
Estamos buscando o máximo divisor comum MDC entre 90 e 198: n = MDC (90,198) 
 
Fatorando 
90 = 2.3². 5 
198 = 2.3². 11 
 
- selecionamos os fatores primos iguais com menor expoente 
𝑀𝐷𝐶 (90,198) = 2.3² 
𝑀𝐷𝐶 (90,198) = 18 -------------> 𝑛 = 18 frascos por caixa 
 
18 > 15 
 
Gabarito: ERRADO. 
 
 
26. (CESPE/PREF. ARACAJU/2003) Em uma farmácia existem 90 frascos do remédio A e 198 do remédio B, 
que devem ser guardados em caixas. Cada caixa deve conter remédio de um só tipo e todas elas, o 
mesmo número de frascos. As caixas devem conter o maior número possível de frascos. Com base 
nessas informações, julgue o item a seguir. 
 
A quantidade de caixasnecessárias para guardar todos os frascos dos remédios A e B é superior a 15. 
 
RESOLUÇÃO: 
Se precisamos dividir 90 e 198 em caixas com n° de frascos iguais, o n° frascos é um múltiplo comum a 
90 e 198 --------> n° frascos por caixa é o MDC entre 90 e 198 
 
90 = 2.3². 5 
198 = 2.3². 11 
 
- selecionamos os fatores primos iguais com menor expoente 
𝑀𝐷𝐶 (90,198) = 2.3² 
𝑀𝐷𝐶 (90,198) = 18 -------------> n° frascos por caixa = 18 
 
n° caixas com remédios A = 90/18 
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n° caixas com remédios A = 5 
 
n° caixas com remédios A = 198/18 
n° caixas com remédios B = 11 
 
Total de Caixas = 5 + 11 
Total de Caixas = 16 
 
17 > 15 
 
Gabarito: CERTO. 
Questões Complementares 
27. (FCC/SABESP/2018) Um novo filme será lançado em 3 cinemas de uma cidade do oeste paulista. Devido 
à popularidade mundial do filme, os 3 cinemas irão exibir sessões continuamente pelos próximos dias, 
inclusive de madrugada e de manhã, assim como nos domingos e feriados. O lançamento ocorre 
simultaneamente nos 3 cinemas, às 23h de um sábado. A partir daí as próximas exibições seguem o 
seguinte padrão: 
 
− Cinema A: a partir do instante de lançamento, uma nova sessão a cada 4 horas; 
− Cinema B: a partir do instante de lançamento, uma nova sessão a cada 5 horas; 
− Cinema C: a partir do instante de lançamento, uma nova sessão a cada 12 horas. 
 
Dessa forma, pode-se concluir que a primeira vez em que os três cinemas irão iniciar uma sessão 
simultaneamente, sem contar o lançamento, se dará às 
A) 23h de uma segunda-feira. 
B) 23h de uma terça-feira. 
C) 11h de uma terça-feira. 
D) 16h de um domingo. 
E) 11h de uma quarta-feira. 
 
RESOLUÇÃO: 
Estamos diante da necessidade de reconhecer uma coincidência temporal ou quando determinado 
evento irá acontecer novamente, de modo que a estratégia de resolução envolve uma aplicação do 
MMC. Assim, o MMC entre os valores das frequências de apresentação do filme em cada cinema é dado 
por: 
 
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Ou seja, os três cinemas irão iniciar uma sessão simultaneamente 60 horas, o que corresponde a 2 dias 
e 12 horas, após a primeira vez em que isso ocorre. Dessa forma, como o lançamento ocorre 
concomitantemente nos 3 cinemas às 23h de um sábado, a próxima exibição simultânea será às 11h de 
uma terça-feira. 
 
Gabarito: C. 
 
28. (FCC/TRT 9ª Região/2015) Para um evento promovido por uma determinada empresa, uma equipe de 
funcionários preparou uma apresentação de slides que deveria transcorrer durante um momento de 
confraternização. Tal apresentação é composta por 63 slides e cada um será projetado num telão por 
exatos 10 segundos. Foi ainda escolhida uma música de fundo, com duração de 4min40s para 
acompanhar a apresentação dos slides. Eles planejam que a música e a apresentação dos slides 
comecem simultaneamente e “rodem” ciclicamente, sem intervalos, até que ambas finalizem juntas. 
A fim de estudar a viabilidade desse plano, eles calcularam que a quantidade de vezes que a música 
teria de tocar até que seu final coincidisse, pela primeira vez depois do início, com final da 
apresentação seria 
a) 5. 
b) 42. 
c) 12. 
d) 35. 
e) 9. 
 
RESOLUÇÃO: 
Se a apresentação é composta por 63 slides e cada um será projetado por 10 segundos, então toda a 
apresentação vai durar 63 x 10 = 630 segundos. Por sua vez, a música de fundo que vai acompanhar a a 
apresentação dos slides tem a duração de 4min40s, ou 4min + 40s = 280 segundos. Em seguida, é dito 
que a equipe de funcionários planeja que a música e a apresentação dos slides comecem 
simultaneamente e “rodem” ciclicamente, sem intervalos, até que ambas finalizem juntas. Para isso, 
precisamos descobir o Mínimo Múltiplo Comum entre 630 (tempo da apresentação) e 280 (tempo da 
música): 
 
 
 
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Assim, após 2.520 segundos haverá coincidência entre o final da música e o final da apresentação dos 
slides pela primeira vez. Agora, para descobrirmos quantas vezes terá de tocar a música neste intervalo 
de tempo, basta dividirmos o MMC pelo tempo da música: 
 
2.520
280
= 𝟗 
 
Gabarito: E. 
 
29. (FCC/TRT 9ª Região/2015) Uma empresa é composta por quatro setores distintos, que têm, 
respectivamente, 300, 180, 120 e 112 funcionários. Todos esses funcionários participarão de um 
treinamento e receberam as seguintes orientações para a preparação: 
− Devem ser formados grupos com a mesma quantidade de funcionários em cada um. 
− Cada grupo deve incluir apenas funcionários de um mesmo setor. 
− Os grupos, respeitando as condições anteriores, devem ser os maiores possíveis. 
Desse modo, a quantidade total de grupos formados para o treinamento será 
a) 178. 
b) 75. 
c) 114. 
d) 32. 
e) 253. 
 
RESOLUÇÃO: 
A empresa é composta por quatro setores, que têm, respectivamente, 300, 180, 120 e 112 funcionários. 
Precisamos dividi-los em grupos que devem ser os maiores possíveis. Então, precisamos calcular o MDC: 
 
Note que já podemos parar a fatoração porque a partir desse ponto não haverá mais fatores que dividam 
simultaneamente todos os números. Logo: 
MDC (300, 180, 120, 112) = 2 x 2 = 4 
Dessa maneira, teremos 4 funcionários em cada grupo. Todavia, o nosso objetivo consiste em calcular 
a quantidade total de grupos formados para o treinamento, sendo que em cada um deles deve incluir 
apenas funcionários de um mesmo setor. Para isso, basta dividir o número de funcionários de cada setor 
pelo MDC: 
300
4
= 𝟕𝟓 ;
180
4
= 𝟒𝟓 ;
120
4
= 𝟑𝟎 ;
112
4
= 𝟐𝟖 
75 + 45 + 30 + 28 = 𝟏𝟕𝟖 𝐠𝐫𝐮𝐩𝐨𝐬 
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Gabarito: A. 
 
30. (FCC/METRÔ-SP/2014) Na linha 1 de um sistema de Metrô, os trens partem de 2,4 em 2,4 minutos. Na 
linha 2 desse mesmo sistema, os trens partem de 1,8 em 1,8 minutos. Se dois trens partem, 
simultaneamente das linhas 1 e 2 às 13 horas, o próximo horário desse dia em que partirão dois trens 
simultaneamente dessas duas linhas será às 13 horas, 
a) 10 minutos e 48 segundos. 
b) 7 minutos e 12 segundos. 
c) 6 minutos e 30 segundos. 
d) 7 minutos e 20 segundos. 
e) 6 minutos e 48 segundos. 
 
RESOLUÇÃO: 
Queremos descobrir o próximo horário em que partirão dois trens simultaneamente das linhas 1 e 2. 
Logo, precisamos calcular o MMC entre 144 (tempo da partida de cada trem da linha 1, em segundos) e 
108 (tempo da partida de cada trem da linha 2, em segundos): 
 
 
 
Assim, após 432 segundos ou 7 minutos e 12 segundos sairão dois trens ao mesmo tempo das linhas 1 e 
2, de modo que a alternativa correta é a letra B. 
 
Gabarito: B. 
 
31. (FCC/TRT - 12ª Região/2010) Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-
extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se 
em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável coincidência de 
horários das suas horas-extras ocorrerá em 
a) 9 de dezembro de 2010. 
b) 15 de dezembro de 2010. 
c) 14 de janeiro de 2011. 
d) 12 de fevereiro de 2011. 
e) 12 de março 2011. 
 
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RESOLUÇÃO: 
Retirando o MMC entre 12 e 15 facilmente se encontrará o valor 60. Então, os dois funcionários irão fazer 
horas-extras a cada 60 dias. Se eles fizeram horas extras no dia 15 de outubro de 2010, então basta 
somarmos 60 dias a esta data (lembrando que o mês de outubro possui 31 dias) para encontrar que a 
próxima coincidência ocorrerá no dia 14 de dezembro 2010. 
 
Achou a respostaentre as alternativas? Não! Desse modo, devemos achar a próxima data em que os 
funcionários farão horas-extras juntos, ou seja, contaremos mais 60 dias a partir do dia 14/12/2010 
(levando em conta que os meses de dezembro e janeiro têm 31 dias), o que nos leva à data de 12 de 
fevereiro de 2011. 
 
Gabarito: D. 
 
32. (FCC/TRF 2ª Região/2007) Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 
unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa recebeu as seguintes 
instruções: 
- Todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem 
com a mesma quantidade de documentos; 
- Cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo. 
Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade de 
documentos que poderá ser colocada em cada caixa é 
a) 8 
b) 12 
c) 24 
d) 36 
e) 48 
 
RESOLUÇÃO: 
Ora, precisamos achar um número que divida tanto o 192 quanto o 168 e que seja o maior possível. 
Estamos falando do... MDC! 
 
Daí, o MDC (168, 192) = 23 x 3 = 24, que corresponde ao número máximo de documentos por caixa. 
Gabarito: C. 
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40 
 
 
33. (FCC/MPU/2007) Em uma sede da Procuradoria da Justiça serão oferecidos cursos para a melhoria do 
desempenho pessoal de seus funcionários. Considere que: 
- essa sede tem 300 funcionários, 5/12 dos quais são do sexo feminino; 
- todos os funcionários deverão fazer um único curso e, para tal, deverão ser divididos em grupos, cada 
qual composto com pessoas de um mesmo sexo; 
- todos os grupos deverão ter o mesmo número de funcionários; 
- cada grupo formado terá seu curso em um dia diferente dos demais grupos. 
Diante disso, a menor quantidade de cursos que deverão ser oferecidos é 
a) 25 
b) 20 
c) 18 
d) 15 
e) 12 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam: 
▪ Quantidade de mulheres: (5/12)x300 = 125 
▪ Quantidade de homens: 300 – 125 = 175 
 
Assim, a empresa é composta por 300 funcionários, dois quais 125 são mulheres e 175 são homens. 
Precisamos dividi-los em grupos, cada qual composto com pessoas de um mesmo sexo e cujo número de 
funcionários deve ser o maior possível em cada um deles. Então, precisamos calcular o MDC: 
 
 
 
Note que já podemos parar a fatoração porque a partir desse ponto não haverá mais fatores que dividam 
simultaneamente todos os números. Daí, o MDC (175, 125) = 25, que corresponde à quantidade máxima 
de pessoas por curso. Todavia, o nosso objetivo consiste em calcular quantos cursos deverão ser 
oferecidos, sendo que os funcionários deverão fazer um único curso. Para isso, basta dividir a quantidade 
de pessoas pelo MDC: 
300
25
= 𝟏𝟐 𝐜𝐮𝐫𝐬𝐨𝐬 
Gabarito: E. 
 
34. (VUNESP/IPSM/2018) Participarão de um congresso 256 funcionários da empresa A, 416 funcionários 
da empresa B e 656 funcionários da empresa C. Esses funcionários serão divididos em grupos, de modo 
que, em cada grupo: 
• haja o mesmo número de participantes; 
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• haja o maior número possível de participantes; 
• sejam todos da mesma empresa. 
Divididos dessa maneira, o total de grupos obtidos será 
A) 48. 
B) 54. 
C) 75. 
D) 83. 
E) 96. 
 
RESOLUÇÃO: 
O nosso objetivo consiste em formar grupos com a mesma quantidade de pessoas, mas que haja o maior 
número possível de pessoas em cada um deles. Ou seja, estamos diante da necessidade de repartir uma 
quantidade em partes iguais ou determinar o maior tamanho possível de determinado item, de forma 
que a estratégia de resolução envolve uma aplicação do MDC. 
Assim, o MDC entre as quantidades dos funcionários é dado por: 
 
Agora, multiplicamos os fatores em que houve divisão em todos os elementos, encontrando o MDC (256, 
416, 656) = 24 = 16. Dessa maneira, teremos no máximo 16 pessoas em cada grupo. Como cada grupo 
terá funcionários de uma mesma empresa, dividimos a quantidade de pessoas de cada empresa pelo 
número máximo de pessoas que pode haver em cada grupo: 
 
- A: 256  16 = 16 
- B: 416  16 = 26 
- C: 656  16 = 41 
 
Portanto, serão formados 16 + 26 + 41 = 83 grupos. 
 
Gabarito: D. 
 
35. (VUNESP/PM-SP/2018) Uma pessoa toma 3 medicamentos diferentes: A, B e C. O medicamento A ela 
toma a cada 4 horas, o medicamento B, a cada 6 horas, e o medicamento C, a cada 12 horas. Sabendo 
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que às 9 horas do dia 1o de agosto essa pessoa tomou os 3 medicamentos juntos, o próximo dia e 
horário em que essa pessoa tomará esses 3 medicamentos juntos novamente será em 
(A) 1º de agosto, às 12 horas. 
(B) 2 de agosto, às 12 horas. 
(C) 1º de agosto, às 24 horas. 
(D) 2 de agosto, às 09 horas. 
(E) 1º de agosto, às 21 horas. 
 
RESOLUÇÃO: 
A questão envolve uma aplicação de MMC, por tratar de coincidência entre determinados eventos. 
Repare que 12 é múltiplo de 4 e 6, de modo que o 𝑚𝑚𝑐(4, 6, 12) = 12. Assim, a pessoa toma os três 
medicamentos juntos a cada 12 horas. 
 
A pessoa tomou os três medicamentos às 9 horas do dia 1º de agosto. Ela tomará os três remédios juntos 
12 horas depois: às 21 horas do dia 1º de agosto. 
 
Gabarito: E. 
 
36. (VUNESP/TJM-SP/2017) Em um pequeno mercado, o dono resolveu fazer uma promoção. Para tanto, 
cada uma das 3 caixas registradoras foi programada para acender uma luz, em intervalos de tempo 
regulares: na caixa 1, a luz acendia a cada 15 minutos; na caixa 2, a cada 30 minutos; e na caixa 3, a luz 
acendia a cada 45 minutos. Toda vez que a luz de uma caixa acendia, o cliente que estava nela era 
premiado com um desconto de 3% sobre o valor da compra e, quando as 3 luzes acendiam, ao mesmo 
tempo, esse desconto era de 5%. Se, exatamente às 9 horas de um determinado dia, as luzes das 3 
caixas acenderam ao mesmo tempo, então é verdade que o número máximo de premiações de 5% de 
desconto que esse mercado poderia ter dado aos seus clientes, das 9 horas às 21 horas e 30 minutos 
daquele dia, seria igual a 
a) 8. 
b) 10. 
c) 21. 
d) 27. 
e) 33. 
 
RESOLUÇÃO: 
A questão trata da coincidência do acendimento de luzes em três caixas registradoras de um mercado, 
conforme o tempo que cada uma foi programada, que a depender da combinação envolvida serão 
disponibilizados descontos aos clientes. Daí, a princípio precisamos calcular o MMC entre os intervalos 
de acendimento das luzes de cada caixa: 
 
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Assim, a cada 90 minutos ou 1 hora e meia as lâmpadas dos três caixas se acendem ao mesmo tempo. 
E, visto que a primeira vez que isso acontece é às 9h e o mercado funciona até às 21h30, temos as 
seguintes ocorrências da premiação de 5% de desconto: 
 
▪ 09h00min - 1ª premiação 
▪ 10h30min - 2ª premiação 
▪ 12h00min - 3ª premiação 
▪ 13h30min - 4ª premiação 
▪ 15h00min - 5ª premiação 
▪ 16h30min - 6ª premiação 
▪ 18h00min - 7ª premiação 
▪ 19h30min - 8ª premiação 
▪ 21h00min - 9ª premiação 
 
Desse modo, no período informado as três luzes se acenderam simultanemanente 9 vezes. E, por fim, 
considerando que temos três em funcionamento, o número máximo de premiações de 5% de desconto 
que esse mercado poderia ter dado aos seus clientes foi de 3 x 9 = 27. 
 
Gabarito: D. 
 
37. (VUNESP/Pref de Guarulhos/2016) Um total de 100 crianças, sendo 40 meninos e as demais meninas, 
será dividido em grupos, todos com o mesmo número total de crianças e compostos por um número 
mínimo de meninos e um número mínimo de meninas, de modo que cada uma das 100 crianças 
participe apenas de um grupo. Dessa forma, o número total de grupos que seráformado é 
a) 4. 
b) 5. 
c) 10. 
d) 20. 
e) 25. 
 
RESOLUÇÃO: 
Inicialmente a questão informa que temos 100 crianças, sendo 40 meninos e 60 meninas, que serão 
divididos em grupos, com o mínimo de crianças possível em cada um. Então, como se trata de uma 
divisão, precisamos calcular o MDC: 
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Agora, multiplicamos os fatores em que houve divisão em todos os elementos, encontrando o MDC: 
MDC (40, 60) = 2 x 2 x 5 = 20 
Dessa maneira, teremos no máximo 20 grupos, com 2 meninos (40/20 = 2) e 3 meninas (60/20 = 3) em 
cada um deles. 
 
Gabarito: D. 
 
38. (VUNESP/UNESP/2016) Gilberto e Guilherme treinam bicicleta juntos em um circuito de 3240 metros 
de extensão. Após o aquecimento, saem juntos do início do trajeto às 9:00h e encerram o treinamento 
após se encontrarem outras seis vezes no início do trajeto. Supondo que durante todo o treinamento, 
a cada segundo, Gilberto e Guilherme percorrem 6 metros e 9 metros, respectivamente, então é 
correto afirmar que o treino se encerrará às 
a) 11h. 
b) 10h 48min. 
c) 10h 32min. 
d) 10h 25min. 
e) 10h 04min. 
 
RESOLUÇÃO: 
A extensão do circuito é de 3.240 metros. Foi dito que, a cada segundo, Gilberto e Guilherme percorrem 
6 metros e 9 metros, respectivamente. Logo, o tempo que cada um leva para dar uma volta completa 
fica: 
▪ Gilberto: 3.240 / 6 = 540 segundos. 
▪ Guilherme: 3.240 / 9 = 360 segundos. 
Agora vamos calcular de quanto em quanto tempo os dois se encontram na largada, por meio do MMC: 
 
 
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Então, a cada 1.080 segundos ou 18 minuntos (1.080 ÷ 60 = 18) eles se encontram no início do trajeto. 
Além disso, temos a informação de que eles fazem isso seis vezes, gastando no total 1 hora e 48 min (18 
min x 6 = 108 min). E, por fim, considerando que Gilberto e Guilherme saem juntos do início do trajeto 
às 9:00h, podemos concluir que o treino se encerrará às: 
 
9h + 1h 48' = 10h e 48 min 
 
Gabarito: B. 
 
39. (VUNESP/UNESP/2016) Sejam x e y dois números naturais tais que MDC(x,105) = 1, o MMC(x,21) = 168 
e o MDC (x, y) = 4. Então, sabendo que y é maior que x, porém é menor que o dobro de x, pode-se 
afirmar que y é igual a 
a) 4. 
b) 8. 
c) 12. 
d) 16. 
e) 20. 
 
RESOLUÇÃO: 
Foi dito que o MMC (x,21) = 168. Então, ao fazermos a multiplicação entre x e 21, devemos encontrar 
168: 
𝑥 × 21 = 168 
𝒙 =
168
21
= 𝟖 
 
Perceba que esse resultado respeita a condição de que o MDC (x, 105) = 1, pois 8 e 105 são números 
primos entre si. Em seguida o enunciado afirma que o MDC (x, y) = 4, especificando que y é maior que x, 
porém é menor que o dobro de x. Logo, o valor de y está entre 9 e 15. Bem, o MDC entre dois números 
envolve decompô-los e pegar os fatores repetidos de menor expoente. Assim, como o resultado do MDC 
entre x e y é 4, necessariamente na fatoração do número y devemos ter 2². Assim, vamos analisar os 
números que estão no intervalo de interesse: 
 
▪ Não pode ser o 9, porque é 3²; 
▪ Não pode ser o 10, porque fica 2 x 5; 
▪ Não pode ser 11, pois é primo; 
▪ Pode ser o 12, já que é 2² x 3; 
▪ Não pode ser 13, visto que é primo; 
▪ Não pode ser 14, pois é 2 x 7; 
▪ Não pode ser 15, já que é 3 x 5; 
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Portanto, o número y só pode ser 12, tornando a letra C a nossa alternativa correta. 
 
Gabarito: C. 
 
40. (VUNESP/Pref de Suzano/2015) O máximo divisor comum de 18 e N é 6. Sabendo-se que o mínimo 
múltiplo comum de 18 e N é 36, é correto afirmar que o produto 18N é igual a 
a) 162. 
b) 180. 
c) 198. 
d) 216. 
e) 234. 
 
RESOLUÇÃO: 
Aos números naturais se aplica a seguinte propriedade: o produto do MDC pelo MMC de dois números 
deferentes de 0 é igual ao produto desses mesmos números. Ou seja: 
𝑀𝐷𝐶 (𝑎, 𝑏) 𝑥 𝑀𝑀𝐶 (𝑎, 𝑏) = 𝑎 𝑥 𝑏 
Dessa maneira, ao aplicarmos essa propriedade aos números apresentados no enunciado, obtemos: 
𝑀𝐷𝐶(18, 𝑁) × 𝑀𝑀𝐶(18, 𝑁) = 18 × 𝑁 
6 × 36 = 18𝑁 
𝟏𝟖𝑵 = 𝟐𝟏𝟔 
Gabarito: D. 
 
41. (VUNESP/São J dos Campos/2015) Antônio criou uma senha com dois números inteiros positivos A e 
B, nessa ordem, ambos com dois dígitos. Para a criação da senha, ele utilizou os seguintes critérios: 
• A razão entre o mínimo múltiplo comum de A e B e o máximo divisor comum de A e B é 30; 
• O mínimo múltiplo comum de A e B supera o máximo divisor comum de A e B em 145 unidades; 
• A é menor que B, e a diferença B – A é mínima. 
Conhecidos esses critérios, pode-se concluir corretamente que a soma A + B dos números utilizados 
por Antônio para a criação dessa senha é igual a 
a) 45. 
b) 55. 
c) 65. 
d) 75. 
e) 85. 
 
RESOLUÇÃO: 
Conforme as informações do enunciado, temos: 
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𝑀𝑀𝐶(𝐴, 𝐵)
𝑀𝐷𝐶(𝐴, 𝐵)
= 30 → 𝑀𝑀𝐶(𝐴, 𝐵) = 30𝑀𝐷𝐶(𝐴, 𝐵) (𝐈) 
𝑀𝑀𝐶(𝐴, 𝐵) = 𝑀𝐷𝐶(𝐴, 𝐵) + 145 (𝐈𝐈) 
 
Agora, vamos substituir (II) em (I): 
𝑀𝐷𝐶(𝐴, 𝐵) + 145 = 30𝑀𝐷𝐶(𝐴, 𝐵) 
𝑴𝑫𝑪(𝑨, 𝑩) =
145
29
= 𝟓 
E, para encontrarmos o MMC entre A e B, substituímos o MDC em (II): 
 
𝑴𝑴𝑪(𝑨, 𝑩) = 5 + 145 = 𝟏𝟓𝟎 
 
Fatorando este MMC de 150, temos: 2 x 3 x 5 x 5. Levando em conta que o MDC é 5, o fator comum na 
fatoração destes dois números é o próprio número 5. Já o outro 5, o 2 e o 3 vão aparecer na fatoração 
de apenas um deles, de forma que a diferença entre eles seja mínima segundo informação do enunciado. 
Então, a fatoração deles deve ficar assim: 
 
▪ A = 25 = 5 x 5 = 25 
▪ B = 2 x 3 x 5 = 30 
 
Assim, garantimos que B seja maior que A e que haja uma mínima diferença entre os dois números. 
Por fim, a soma dos dois números que formam a senha de Antônio fica: 
 
𝑨 + 𝑩 = 25 + 30 = 𝟓𝟓 
 
Gabarito: B. 
 
42. (VUNESP/TJ-SP/2015) Para a montagem de molduras, três barras de alumínio deverão ser cortadas em 
pedaços de comprimento igual, sendo este o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço 
nas barras. Se as barras medem 1,5 m, 2,4 m e 3 m, então o número máximo de molduras quadradas 
que podem ser montadas com os pedaços obtidos é 
a) 3 
b) 6 
c) 4 
d) 5 
e) 7 
 
RESOLUÇÃO: 
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A questão exige a formação de barras com tamanhos iguais e o maior possível. Logo, estamos diante de 
um caso de MDC. Então, vamos fatorar os números envolvidos: 
▪ 15 = 3 x 5 
▪ 24 = 2 x 2 x 2 x 3 
▪ 30 = 2 x 3 x 5 
 
Assim, o MDC = 3, que corresponde ao tamanho das barras, de modo que: 
▪ 15/3 = 5 barras 
▪ 24/3 = 8 barras 
▪ 30/3 = 10 barras 
 
Somando os resultados, obtemos 5 + 8 + 10 = 23 barras. E, visto que as molduras são quadradas, 
precisamos dividir esse valor por quatro. Ao fazermos isso, teremos 5 molduras, restando ainda 3 barras. 
 
Gabarito: D. 
 
43. (VUNESP/TJM SP/2011) Ao longo de um dia, um supermercado fez vários anúncios dos produtos A, B 
e C, todos eles com o mesmo tempo de duração. Os tempos totais de aparição dos produtos A, B e C 
foram, respectivamente, iguais a 90s, 108s e 144s. Se a duração de cada anúncio, em segundos, foi a 
maior possível, então, a soma do número de aparições dos três produtos, nesse dia, foi igual a 
a) 14. 
b) 15. 
c) 17. 
d) 18. 
e) 19. 
 
RESOLUÇÃO: 
Devemos encontrar a duração de cada anúncio, sendo que é a maior possível. Assim, deve ser o MDC 
entre 90, 108 e 144. 
 
Agora ficou tranquilo, pois para saber quantas vezes cada um apareceu, basta dividir o tempo total de 
aparição pelo tempo