CURSO-DE-MATEMÁTICA-BÁSICA-COMPLETO

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MATEMÁTICA BÁSICA 
Guia de Estudos Atualizado 
 
 
Copyright 2019 Leandro Chagas – Todos os direitos reservados 
Citações poderão ser feitas em outras obras, desde que citada a fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2019 
 
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Professor Leandro Chagas 
 
Sobre o Autor 
 
Professor de física e matemática, mestre em ensino de ciências e educação 
matemática, especialista em técnicas e métodos de aprendizado, criador do site de 
ensino e aprendizado "Leandro Chagas" e do curso de matemática básica "como 
aprender matemática básica em 21 dias do absoluto zero" e do método de estudos 
"turbinando o aprendizado". É um entusiasta pelo ensino e aprendizado, que 
propõe o uso de métodos e técnicas completamente diferentes dos tradicionais, 
buscando sempre as formas de aprendizado mais efetivas possíveis para os 
alunos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SOBRE O GUIA DE ESTUDOS 
 
Olá! Antes de começarmos, obrigado por confiar no meu trabalho. Sou 
professor licenciado em física pela Universidade de São Paulo e mestre em Ensino 
de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina, atuo 
na área há cerca de 2 décadas. E condensei neste material o que julgo ser o 
necessário para você conseguir se guiar pelo estudo da matemática, que pode 
durar uma vida toda. 
 
Não proponho nenhuma fórmula mágica para aprender matemática, 
principalmente porque ela não existe, mas apresento o guia definitivo para quem 
quer aprender e sabe que metade do trabalho é com você. Eu te mostrarei o 
caminho e você dedicará o seu tempo para trilhar por ele. Se você chegou até aqui, 
é porque você está comprometido com o seu aprendizado, então eu me 
comprometo em ensinar. Boas-vindas para você e vamos ao que interessa. 
 
Este guia vai te fornecer as orientações necessárias para encontrar e utilizar 
ferramentas on-line que facilitam os estudos, as chamadas tecnologias 
educacionais. Também contém a parte teórica onde explico alguns conceitos 
básicos da matemática utilizando o mínimo de termos técnicos, de uma maneira 
bem acessível. Mais a diante você poderá refinar o seu conhecimento, mas neste 
começo, que é a parte mais difícil, literalmente te pego pela mão. Após cada 
explicação organizei um conjunto de exercícios para você poder praticar e caso 
não consiga resolver algum, basta acessar a sua área de membros na Hotmart e 
assistir à vídeo aula correspondente. Explico tudo passo a passo, lentamente, e 
aproveito para falar um pouco mais de teoria a cada exercício. 
 
 
 
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Espero que este material possa te ajudar. 
Conte comigo e BONS ESTUDOS! 
 
 
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Conteúdo 
Material de estudo ............................................................................................................................. 9 
Resolvendo exercícios online .......................................................................................................... 10 
Resolvendo problemas com gráficos .............................................................................................. 11 
Aplicativos para celular .................................................................................................................... 12 
Mathway ..................................................................................................................................... 12 
Calculadora Gráfica Geogebra ............................................................................................. 14 
Photomath .................................................................................................................................. 14 
Jogos de Matemática .............................................................................................................. 16 
Jogos de matemática 2 ........................................................................................................... 16 
CONJUNTOS ................................................................................................................................... 18 
CONJUNTOS NUMÉRICOS ........................................................................................................... 18 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO CONJUNTOS ............................................................................... 19 
AS QUATRO OPERAÇÕES BÁSICAS ........................................................................................... 26 
ADIÇÃO ....................................................................................................................................... 26 
SUBTRAÇÃO ................................................................................................................................ 26 
MULTIPLICAÇÃO ......................................................................................................................... 26 
DIVISÃO ....................................................................................................................................... 27 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES BÁSICAS ......................................... 28 
DIVISIBILIDADE .............................................................................................................................. 29 
NÚMEROS PRIMOS ....................................................................................................................... 29 
FATORAÇÃO ................................................................................................................................... 29 
POTENCIAÇÃO ............................................................................................................................... 30 
REGRAS PRÁTICAS DE POTENCIAÇÃO (PROPRIEDADES) ..................................................... 32 
EXERCÍCIOS DE POTENCIAÇÃO ............................................................................................... 33 
RADICIAÇÃO ................................................................................................................................... 35 
REGRAS PRÁTICAS DE RADICIAÇÃO (PROPRIEDADES) ......................................................... 36 
EXERCÍCIOS DE RADICIAÇÃO .................................................................................................. 36 
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MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM (MMC E MDC) ............................. 37 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO MMC E MDC ............................................................................... 38 
FRAÇÕES E DECIMAIS .................................................................................................................. 41 
FRAÇÃO MISTA ........................................................................................................................... 42 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ................................................................................................... 43 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO FRAÇÕES ..................................................................................... 44 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO DECIMAIS .................................................................................... 48 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL ...................................................................................................... 50 
UNIDADES DE MEDIDA ............................................................................................................... 50 
UNIDADES DE COMPRMENTO ..................................................................................................51 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO COMPRIMENTO .......................................................................... 52 
UNIDADES DE ÁREA .................................................................................................................... 53 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO ÁREA ............................................................................................ 54 
UNIDADES DE VOLUME .............................................................................................................. 55 
EXERCÍCIO ENVOLVENDO VOLUME ........................................................................................ 56 
UNIDADES DE CAPACIDADE ..................................................................................................... 56 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO CAPACIDADE E VOLUME .......................................................... 57 
UNIDADES DE MASSA ................................................................................................................. 58 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO MASSA E VOLUME ...................................................................... 59 
UNIDADES DE MEDIDA DE TEMPO ............................................................................................ 60 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO MEDIDAS DE TEMPO .................................................................. 61 
FUNÇÕES DO 1º GRAU ................................................................................................................. 61 
y = ax ............................................................................................................................................ 61 
y = ax + b ...................................................................................................................................... 66 
Exercícios envolvendo funções do 1º grau ........................................................................... 71 
REGRA DE TRÊS ............................................................................................................................ 76 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO REGRA DE TRÊS ........................................................................... 77 
PORCENTAGEM ............................................................................................................................. 79 
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EXERCÍCIOS ENVOLVENDO PORCENTAGEM ......................................................................... 81 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU ................................................................................................................. 85 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU .......................................................... 87 
FUNÇÃO DO 2º GRAU.................................................................................................................... 90 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO FUNÇÕES DO 2º GRAU .............................................................. 91 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de estudo 
 
Para começar precisamos de um material com qualidade e em ordem 
adequada para que possamos compreender bem o conteúdo. É importante que os 
conhecimentos em relação à Matemática Básica estejam bem compreendidos e 
isso pode levar muito tempo ou nunca acontecer, mas estudando da maneira 
adequada é possível evoluir no assunto. Esta apostila é ideal para te ajudar nesse 
propósito. 
 
Matemática básica não se refere a um conteúdo específico da matemática, 
mas a um grupo de assuntos que é preciso compreender minimamente para poder 
continuar estudando. Ou seja, é necessário ter em mente que os estudos nunca 
podem parar. Se não, acontecera algo semelhante à quando alguém vai para a 
academia, faz todos os treinos, começa a perceber algum resultado, mas logo em 
seguida não vai mais. Todos os benefícios vão por água abaixo. Com a matemática 
acontece a mesma coisa, tem que começar, mas também tem que continuar para 
colher os frutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolvendo exercícios online 
 
O software selecionado para resolver exercícios online foi o Mathway 
 
A Mathway fornece aos alunos todas as ferramentas que eles necessitam 
para compreender e resolver seus problemas matemáticos. Com centenas de 
milhões de problemas já resolvidos, a Mathway é a fonte nº 1 de resolução de 
problemas disponível para alunos, pais e professores. 
 
O objetivo de longo prazo da Mathway é fornecer assistência matemática 
acessível de qualidade sob demanda para todos os alunos. A Mathway é um 
empreendimento ambicioso, criativo e de longo prazo que vai proporcionar cada 
vez mais recursos e funcionalidades ao longo dos próximos anos. 
 
Milhões de estudantes confiam no Mathway. Seus engenheiros de software 
usam as ferramentas e tecnologias mais recentes disponíveis para proporcionarem 
a melhor experiência possível para o usuário. 
 
Resolva exercícios em 
https://www.mathway.com/pt/Algebra 
 
Encontre exemplos de exercícios resolvidos 
https://www.mathway.com/pt/examples 
 
Configure listas de exercícios automáticas 
https://www.mathway.com/pt/worksheet 
 
Glossário de matemática 
https://www.mathway.com/pt/glossary 
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https://www.mathway.com/pt/examples
https://www.mathway.com/pt/worksheet
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Ajuda para usar as funções (inglês) 
https://mathway.zendesk.com/hc/en-us 
 
Resolvendo problemas com gráficos 
 
O software selecionado para resolver problemas gráficos foi o Geogebra 
 
O Geogebra é um software de matemática dinâmica gratuito e 
multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra, 
tabelas, gráficos, estatística e cálculo numa única aplicação. Tem recebido vários 
prêmios na Europa e EUA. 
Geogebra foi criado em 2001 como tese de Markus Hohenwarter e a sua 
popularidade tem crescido desde então. Atualmente, o Geogebra é usado em 190 
países, traduzido para 55 idiomas, são mais de 300000 downloads mensais, 62 
Institutos Geogebra em 44 países para dar suporte para o seu uso. Além disso, 
recebeu diversos prêmios de software educacional na Europa e nos EUA, e foi 
instalado em milhões de laptops em vários países ao redor do mundo. 
Algumas características importantes: 
 
 Gráficos, álgebra e tabelas estão interligados e possuem características 
dinâmicas; 
 Interface amigável, com vários recursos sofisticados; 
 Ferramenta de produção de aplicativos interativos em páginas WEB; 
 Disponível em vários idiomas para milhões de usuários em torno do mundo; 
 Software gratuito e de código aberto. 
Por ser livre, o software Geogebra vem ao encontro de novas estratégias de 
ensino e aprendizagem de conteúdos de geometria, álgebra, cálculo e estatística, 
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permitindo a professores e alunos a possibilidade de explorar, conjecturar, 
investigar tais conteúdos na construção do conhecimento matemático. 
Ao representar o gráfico de uma função na tela do computador, outras janelas 
se abrem apresentando a correspondente expressão algébrica e, por vezes, outra 
janela com uma planilha contendo as coordenadas de alguns pontos pertencentes 
ao gráfico. As alterações no gráfico imediatamente são visíveis na janela algébrica 
e na planilha de pontos. É a apresentação do dinamismo de situações que 
permitem ao professor e aluno levantar conjecturas e testar hipóteses. Estas são 
as possibilidades que se apresentam no software Geogebra. 
 
Página principal https://www.geogebra.org 
Calculadora gráfica https://www.geogebra.org/graphing 
Materiais didáticos https://www.geogebra.org/materials 
 
Aplicativos para celular 
 
Mathway 
 
Com milhões de usuários e bilhões deproblemas resolvidos, Mathway é o 
aplicativo número 1 do mundo para resolver problemas matemáticos. Da álgebra 
básica a cálculos complexos, Mathway resolve instantaneamente os seus 
problemas matemáticos mais difíceis - basta digitar o seu problema (ou apontar 
sua câmera e tirar uma foto!) para receber respostas instantâneas gratuitas. 
Precisa de soluções detalhadas passo-a-passo? Mathway é como um professor 
privado na palma da sua mão, fornecendo ajuda instantânea na lição de casa em 
qualquer lugar, a qualquer hora. 
 
Mathway abrange: 
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http://www.geogebra.org/
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- Matemática básica 
- Pré-Algebra 
- Álgebra 
- Trigonometria 
- Pré-Cálculo 
- Cálculo 
- Estatística 
- Matemática Finita 
- Álgebra Linear 
- Química 
- Gráficos 
 
Você tem um problema matemático? Basta perguntar ao Mathway. 
 
"Fácil de usar e eficiente, o Mathway agrada quem precisa de ajuda para 
resolver problemas matemáticos, seja estudantes do ensino médio ou 
universitários" - Yahoo! Notícias 
 
"Se você tem algum problema matemático que precisa ser resolvido, confira 
o Mathway. Esta ferramenta irá lhe mostrar como chegou à resposta, permitindo 
que você aprenda com o processo" - CNET 
 
"Mathway é uma ferramenta insubstituível quando se trata de resolução de 
problemas. O aplicativo ajuda você a fazer as suas lições de matemática. Ele não 
só faz a sua tarefa por você, ele ensina como fazer corretamente. Tudo que você 
tem a fazer é colocar a equação e pressionar o botão Enter" - Lifehack 
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Calculadora Gráfica Geogebra 
Funções gráficas e equações amigáveis, encontra os pontos das funções, 
salva e compartilha seus resultados. Milhões de pessoas em todo o mundo usam 
o Geogebra para aprender matemática e ciências. 
 
• Funções de plotagem, curvas polares e paramétricas 
• Experimente transformações com sliders 
•Obtenha pontos especiais de funções: raízes, mínimo, máximo e interseções 
• Faça regressão com linhas de melhor ajuste 
• Procure por atividades de aprendizagem gratuitas diretamente no aplicativo 
• Salve e compartilhe seus resultados com amigos 
Se você também quiser resolver equações ou encontrar derivadas e 
integrais, experimente nosso aplicativo de calculadora CAS. 
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Photomath 
 
Aprende a resolver problemas de matemática, verifica os trabalhos de casa 
e estuda para os próximos testes e exames nacionais com o recurso de 
aprendizagem de matemática mais usado no mundo. Mais de 100 milhões de 
downloads e milhares de milhões de problemas resolvidos todos os meses! O 
Photomath é GRÁTIS e funciona sem wi-fi. 
 
COMO FUNCIONA 
Digitaliza instantaneamente texto impresso E problemas matemáticos 
escritos à mão usando a câmara do teu dispositivo ou escreve e edita equações 
com a nossa calculadora científica. O Photomath decompõe cada problema 
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matemático em passos simples e fáceis de perceber para que possas 
compreender, de facto, conceitos de base e responder com confiança. 
 
PRINCIPAIS FUNCIONALIDADES 
Digitaliza manuais (impressos) E problemas escritos à mão 
Calculadora científica 
Explicações passo a passo para cada solução 
Vários métodos de resolução 
Sem necessidade de ligação à internet 
+ de 30 idiomas suportados 
Gráficos interativos 
 
TÓPICOS DE MATEMÁTICA 
Matemática básica/Pré-algebra: aritmética, números inteiros, frações, 
números decimais, potências, raízes, fatores 
Álgebra: equações/desigualdades lineares, equações quadráticas, sistemas 
de equações, logaritmos, funções, matrizes, gráficos, polinómios 
Trigonometria/Pré-cálculo: identidades, secções cónicas, vetores, matrizes, 
números complexos, sequências e séries, funções logarítmicas 
Cálculo: limites, derivadas, integrais, representações de curvas 
Estatísticas: combinações, fatoriais 
 
A nossa equipa interna de experiente professores de matemática trabalha 
com professores de todo o mundo para assegurar que recorremos às metodologias 
didáticas mais eficazes e contemporâneas nos nossos motores de matemática. 
 
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The Verge, TechCrunch e outros. 
 
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Jogos de Matemática 
 
Jogos de Matemática. 
Categorias: 
Adição 
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Multiplicação 
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Raiz Quadrada 
 
Foi projetado tanto para smartphones como para tablets. 
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Jogos de matemática 2 
 
Melhores jogos gratuitos de matemática para crianças e adultos. 
Idiomas: inglês, espanhol, alemão, italiano, português 
 
Características: 
- Jogos de adição 
- Jogos de subtração 
- Jogos de multiplicação e tabelas de multiplicação 
- Divisão jogos e divisão tabelas 
 
Os jogos são tão simples e fáceis, mesmo que as crianças mais jovens 
possam jogar. O melhor jogo de prática de matemática para treinar seu cérebro e 
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é projetado para todas as idades, incluindo crianças, meninas e meninos, adultos, 
incluindo pais e avós. Jogos de multiplicação e divisão mais fáceis com jogos 
adicionais e de subtração. Os jogos de matemática podem ser aprendizado 
educacional para crianças ou aplicativo de treinamento de cérebro para adultos. 
Matemática básica e simples de adição, subtração, multiplicação e divisão com 
planilhas coloridas. 
 
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CONJUNTOS 
Todo conjunto é formado por uma coleção de elementos. 
P = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte} – Conjunto dos 4 planetas mais próximos 
do nosso Sol 
M = {polegar, indicador, médio, anular, mínimo} – Conjunto dos dedos da mão 
T = {Botafogo, Flamengo, Vasco} – Conjunto de 3 times do Rio de Janeiro 
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – Conjunto dos algarismos do sistema decimal 
de numeração. 
Ø = { } – Conjunto vazio 
V = {a, e, i, o, u} – Conjunto das vogais 
____________________________________________________________ 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
No caso do Conjunto Numérico os elementos são numerais, que podem ser 
agrupados da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
NATURAIS N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
INTEIROS Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
RACIONAIS 𝑄 = {… ,
−1
2
,
−1
3
, 0,
1
3
,
1
2
 } 
OU Q = {..., -0,5 , -0,333... , 0 , 0,333... , 0,5 , ...} 
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IRRACIONAIS 𝐼 = {… , −√3 , −√2 , 0 , √2 , 𝜋 , … } 
N, Z, Q e I formam o conjunto dos números REAIS R. 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO CONJUNTOS 
 
1) Considerando os conjuntos A = {2; 3; 5; 11; 14}, B = {1; 3; 14; 15}, 
C = {2; 4; 14; 19}. Determine: 
 
a) AB = 
 
 
b) AB = 
 
 
c) A – C = 
 
 
d) (AB)  C = 
 
 
e) (A  B  C) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) (FGV) A parte assinalada no diagrama representa: 
 
 
a) (B  C)  C 
b) (B  C) 
c) C  B  A 
d) A – (B  C) 
e) A – (A  B  C) 
 
 
3) (PUC - RJ) Num colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de 
chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. 
Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores? 
 
a) 0 b) 10 c) 20 d) 30 e) 40 
 
 
 
 
 
 
https://leandrochagas.com/
LeandroChagas.com4) (FGV) Numa universidade com n alunos. 80 estudam Física, 90 Biologia, 
55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 
estudam nas três faculdades, quantos alunos estão matriculados na 
universidade? 
 
 
 
 
 
 
 
5) (UFP) Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três 
produtos designados por A,B,C. Todas as pessoas consultadas responderam à 
pesquisa e os resultados estão indicados no quadro a seguir: 
Produto Nº de consumidores 
A 25 
B 36 
C 20 
A e B 6 
A e C 4 
B e C 5 
A, B e C 0 
Nenhum dos produtos 5 
 
 
 
 
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6) (PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários leem a revista A, 80% 
leem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. 
Qual o percentual de funcionários que leem as duas revistas? 
a) 20% b) 40% c) 60% d) 75% e) 140% 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) (VUNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de Matemática 
e 20 de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e 
de História é: 
a) exatamente 16. 
b) exatamente 10 
c) no máximo 6. 
d) no mínimo 6. 
e) exatamente 18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8) (UNIRIO) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal 
de uma fábrica, obteve os seguintes dados: 
 - 28% dos funcionários são mulheres; 
- 1/6 dos homens são menores de idade; 
- 85% dos funcionários são maiores de idade. 
Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres? 
a) 30% b) 28% c) 25% d) 23% e) 20% 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) (PUC) Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ... } 
P = {x  N  6  x  20} 
A = { x  P  x é par} 
B = { x  P x é divisor de 48} 
C = { x  P  x é múltiplo de 5} 
O número de elementos do conjunto (A – B)  C é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
 
 
 
 
 
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10) (UFT) Dado o conjunto P = { {0}, 0, , {} }, considere as afirmativas: 
I. {0}  P 
II. {0}  P 
III.   P 
Com relação a essas afirmativas conclui-se que: 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Apenas a I é verdadeira. 
c) Apenas a II é verdadeira. 
d) Apenas a III é verdadeira. 
e) Todas são falsas. 
 
 
 
 
 
 
11) (UNIRIO) Considere três conjuntos A, B e C, tais que: 
n(A)=28, n(B)=21, n(C)=20, n(AB)=8, n(BC)=9, n(AC)=4 e 
n(ABC)=3. Assim sendo, o valor de n((A  B)  C) é: 
a) 3 b) 10 c) 20 d) 21 e) 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12) (FUVEST) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: 
1º) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
2º) quando chove de manhã não chove a tarde; 
3º) houve 5 tardes sem chuva; 
4º) houve 6 manhãs sem chuva. 
Então n é igual a: 
a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AS QUATRO OPERAÇÕES BÁSICAS 
 
ADIÇÃO 
1ª lei da adição (Lei do elemento neutro) 
 O resultado da soma de um número com zero é este próprio número. 
2ª lei da adição 
 A ordem da soma entre três ou mais elementos não altera o resultado 
final. 
Propriedade comutativa => A + B = B + A 
Propriedade associativa da adição => (A + B) + C = A + (B + C) 
 
SUBTRAÇÃO 
É considerada como uma operação inversa da adição e é realizada entre 
dois números, tendo o símbolo – (sinal de menos) como operador. 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
1ª Lei da multiplicação 
 Todo número ao ser multiplicado por zero resultará em um produto 
igual a zero. 
 
2ª Lei da multiplicação (Lei do elemento neutro) 
 Todo número ao ser multiplicado por 1 resultará em um produto igual 
a ele mesmo. 
 
3ª Lei da multiplicação (Distributiva) 
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 É possível somar dois termos e multiplicar o resultado por x, ou 
multiplicar cada um desses termos separadamente por x e somar os resultados, 
o produto será o mesmo: x  (a + b) = xa + xb 
 
Propriedade comutativa da multiplicação: 
 A  B = B  A 
Propriedade associativa da multiplicação: 
 (A  B)  C = A  (B  C) 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISÃO 
 
 A divisão é uma operação aplicada entre um dividendo e um divisor, 
ocasionando um quociente e um resto. A relação matemática entre esses 
elementos será: dividendo = divisor  quociente + resto. 
 
 
 
 
 
 
 
Regra de sinais para 
multiplicação e divisão 
+ + + 
+ - - 
- + - 
- - + 
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EXERCÍCIOS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES BÁSICAS 
 
1) Calcule: 
a) 3 + 6  8 = 
b) 2 + 8  10 = 
c) 30 – 10  2 = 
d) 15 + 18 : 2 = 
e) 2  4 + 3  10 = 
f) 21 : 3 – 14 : 7 = 
g) 40 : 4 + 1  5 = 
h) 7  7 – 63 : 7 = 
 
2) Calcule: 
a) 10 (3 + 8) + 3  2 = 
b) 5 (14 : 7) – 3  4 = 
c) (9 - 4) 2 + 20 : (9 – 5) = 
d) (7 + 9) : 4 – 6 : (7 – 4) = 
 
3) Calcule: 
a) (+ 10)  ( – 4) : ( – 2) = 
b) ( – 20) : ( + 10)  ( + 3) = 
c) ( – 45) : ( + 5)  ( – 2) : ( – 1) = 
 
4) Calcule: 
a) 80 + { 5 + [ ( 8 + 12 ) + ( 13 + 12 )] + 10 } = 
b) 38 – { ( 51 – 15 ) + [ 5 + (3 – 1 ) ] – 10 } = 
c) { [ ( 6 x 4 x 7 ) ÷ 3 + 9 ] ÷ 5 } x 13 = 
 
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DIVISIBILIDADE 
Para agilizar alguns cálculos pode-se levar em consideração os seguintes 
critérios: 
Números divisíveis por 2 são pares. 
Números divisíveis por 3 possuem a soma de seus algarismos também 
divisíveis por 3. 
Números divisíveis por 4 são divisíveis por 2 duas vezes. 
Números divisíveis por 5 terminam com 0 ou 5. 
Números divisíveis por 6 são divisíveis por 2 e também por 3. 
Números divisíveis por 8 são divisíveis por 2 e também por 4. 
Números divisíveis por 9 são divisíveis por 3 duas vezes. 
Números divisíveis por 10 terminam com 0. 
 
 
NÚMEROS PRIMOS 
São todos aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos. Os números 2, 
3, 5, 7, 11, 13, 17, ..., por exemplo, são primos. O número 1 está excluído dessa 
regra, pois é necessário que o número tenha exatamente 2 divisores, e o número 
1 só possui um divisor. 
 
FATORAÇÃO 
Fatorar um número é escrevê-lo como produto de determinados números 
primos. Por exemplo: 
 
1 = 20 
2 = 21 
3 = 31 
4 = 21  21 = 22 
5 = 51 
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6 = 21  31 
7 = 71 
8 = 21  21  21 = 23 
9 = 31  31 = 32 
10 = 21  51 
11 = 111 
12 = 21  21  31 = 22  31 
13 = 131 
14 = 21  71 
15 = 31  51 
16 = 21  21  21  21 = 24 
17 = 171 
( ... ) 
 
 
POTENCIAÇÃO 
Quando um número multiplica a si mesmo várias vezes, ele pode ser 
representado na forma de potência, aparecendo um índice no canto superior 
direito do número. 
 
 
 
 2  2  2  2  2  2  2  2  2  2 = 210 = 1.024 
 
 
 
 
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A potência com base 10 serve para facilitar a leitura e é extremamente útil 
para expressar números muito pequenos ou muito grandes. Por exemplo: 
 
 
 
0,00000000000000000000000000000000025 = 2,5  10-34 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.000.000.000.000.000.000.000.000,00 = 1,9  10+25 
 
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REGRAS PRÁTICAS DE POTENCIAÇÃO (PROPRIEDADES) 
 
Multiplicação de 
potências de mesma 
base 
 
Divisão de potências 
de mesma base 
 
Potência da potência 
𝑥𝑎 ∙ 𝑥𝑏 = 𝑥𝑎+𝑏 
 
𝑥𝑎
𝑥𝑏
= 𝑥𝑎−𝑏 
 
(𝑥𝑎)𝑏 = 𝑥𝑎𝑏 
 
Inversão de sinal 
Distributiva na 
multiplicação 
Distributiva na divisão 
 
(
𝑥
𝑦
)
−𝑎
= (
𝑦
𝑥
)
+𝑎
 
 
(𝑥 ∙ 𝑦)𝑎 = 𝑥𝑎 ∙ 𝑦𝑎 (
𝑥
𝑦
)
𝑎
= 
𝑥𝑎
𝑦𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LeandroChagas.comEXERCÍCIOS DE POTENCIAÇÃO 
 
1) Calcule: 
a) 20 = 
b) 21 = 
c) 23 = 
d) 24 = 
e) 30 = 
f) 31 = 
g) 33 = 
h) 34 = 
 
2) Calcule: 
a) 72 = 
b) 102 = 
c) 16 = 
d) 103 = 
 
3) Calcule: 
a) (-7)2 = 
b) (-3)2 = 
c) (-5)2 = 
d) (-1)6 = 
e) (-2)3 = 
f) (-3)3 = 
g) (-4)1 = 
h) (-1)5 = 
 
 
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4) Calcule: 
a) -22 = 
b) -32 = 
c) -23 = 
d) -33 = 
e) -15 = 
 
5) Calcule: 
a) 101 = 
b) 102 = 
c) 103 = 
d) 104 = 
e) 105 = 
 
6) Represente como potência de base 10: 
a) 100 = 
b) 1.000 = 
c) 10.000 = 
d) 100.000 = 
e) 100.000.000 = 
f) 10 = 
g) 1 = 
h) 0,1 = 
i) 0,01 = 
j) 0,001 = 
k) 0,0001 = 
l) 0,00001 = 
m) 0,0000001 = 
 
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RADICIAÇÃO 
A radiciação pode ser entendida como uma potência compreendida entre 0 
e 1. A raiz quadrada de 9, por exemplo, é semelhante a elevar este número por 
1 2⁄ . 
 
 
√9 = √𝟗1
2
 = 𝟗1 2⁄ = (𝟑𝟐)1 2⁄ = |3|2∙(1 2)⁄ = |3|2 2⁄ = |3|1 = 3 
 
 
Ou simplesmente: 
 
 
√9 = √3𝟐
𝟐
 = 3 
 
 
A raiz cúbica de um número segue a mesma lógica: 
 
 
√125 
3
 = √1251
3
 = |125|1 3⁄ = (|5|𝟑)1 3⁄ = |5|3∙(1 3)⁄ = |5|3 3⁄ = |5|1 = 5 
 
 
 
Genericamente a raiz se apresenta da seguinte maneira: 
 
 
 √𝑥𝑛
𝑛
 = 𝑥 
 
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REGRAS PRÁTICAS DE RADICIAÇÃO (PROPRIEDADES) 
 
Multiplicação de raízes 
 
Divisão de raízes 
 
Potência da raiz 
√𝑥
𝑛
 ∙ √𝑦
𝑛 = √𝑥 ∙ 𝑦
𝑛 
 
√𝑥
𝑛
√𝑦
𝑛
= √ 
𝑥
𝑦
 
𝑛
 
 
( √𝑥 
𝑛
 )
𝑏
= √𝑥𝑏 
𝑛
 
 
EXERCÍCIOS DE RADICIAÇÃO 
 
1) Calcule: 
a) √1 = 
b) √4 = 
c) √9 = 
d) √16 = 
e) √25 = 
f) √36 = 
g) √49 = 
h) √64 = 
i) √81 = 
j) √100 = 
k) √121 = 
l) √144 = 
m) √169 = 
n) √196 = 
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o) √225 = 
 
2) Calcule: 
a) √1 
3
 = 
b) √8 
3
 = 
c) √27 
3
 = 
d) √64 
3
 = 
e) √125 
3
 = 
f) √1.000 
3
 = 
 
3) Calcule: 
a) √5 
1
 = 
b) √−27 
3
 = 
c) √16 
4
 = 
d) √32 
5
 = 
e) √1.000.000 
6
 = 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO DIVISOR COMUM (MMC E MDC) 
 
Estes dois assuntos da matemática são autoexplicativos. O MMC é o menor 
múltiplo comum a um conjunto de números. E o MDC é o máximo divisor comum 
a um conjunto de números. Por exemplo: 
a) O MMC dos números 2, 4 e 5, é o número 20, pois é o primeiro e 
menor múltiplo comum deste conjunto. A fatoração é uma técnica para encontrar 
este menor múltiplo. 
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b) O MDC entre 10, 20 e 35, é o 5, pois é o maior número que divide 
todos os números deste conjunto. A técnica de fatoração também é útil neste 
caso. 
Para acertar qual dos dois usar na hora de resolver um problema, pode-se 
perguntar o seguinte: 
O que está sendo pedido é o primeiro múltiplo ou o maior divisor deste 
conjunto de números? 
Ou simplesmente: 
O exercício pede um múltiplo ou um divisor? 
 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO MMC E MDC 
 
1) Calcule o MMC entre 20, 30 e 40. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule o MDC entre 20, 30 e 40. 
 
 
 
 
 
 
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3) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina 
A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se 
no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos 
dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Uma madeireira corta peças de madeira de mesmo comprimento. 
Após realizarem os cortes necessários, dois pedaços restantes tinham as 
seguintes medidas: 156 cm e 234 cm. Para aproveitar este material restante, 
foram feitos cortes de tal maneira que se obteve partes iguais e com a maior 
medida possível. Qual foi o tamanho das peças? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5) Um paciente precisa ingerir três tipos de medicamentos. O remédio A 
deve ser tomado a cada 2h, o remédio B a cada 3h e o remédio C a cada 6h. 
Caso o tratamento se inicie às 8h da manhã com a ingestão dos três 
medicamentos, em que horário os três serão ingeridos juntos novamente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FRAÇÕES E DECIMAIS 
 
Uma fração se apresenta na seguinte forma: 
 
 
𝑎
𝑏
 ⇒ 
𝑎 é 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑏 é 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
 
 
 
 
Por representarem proporções, as frações podem se apresentar com 
diferentes números, mas indicando a mesma parcela, por exemplo, as seguintes 
frações são equivalentes, sendo a última uma fração irredutível: 
 
 
 
5
10
 = 
4
8
 = 
3
6
 = 
2
4
 = 
1
2
 
 
 
 
 Para transformar uma fração em decimal, basta dividir o numerador 
pelo denominador: 
 
 
 
1
2
 = 0,5 
 
 
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Para transformar um decimal em fração, basta considerar que o 
denominador do decimal é 1,0 e multiplicar ambos por 10, 100, 1.000, etc., até 
que o decimal se apresente como um número inteiro. Por exemplo: 
a) 0,5 = 
0,5
1,0
 = 
0,5
1,0
 ∙ 
𝟏𝟎
𝟏𝟎
 = 
5
10
= 
1
2
 
 
b) 0,05 = 
0,05
1,0
 = 
0,05
1,0
 ∙ 
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
 = 
5
100
= 
1
20
 
 
c) 0,005 = 
0,005
1,0
 = 
0,005
1,0
 ∙ 
𝟏.𝟎𝟎𝟎
𝟏.𝟎𝟎𝟎
 = 
5
1.000
= 
1
200
 
 
d) 1,5 = 
1,5
1,0
 = 
1,5
1,0
 ∙ 
𝟏𝟎
𝟏𝟎
 = 
15
10
= 
3
2
 
 
 
FRAÇÃO MISTA 
 
A fração também pode se apresentar na forma de fração mista: 
 
 
𝑎
 𝑏 
𝑐
 = 
 𝑎𝑐 
𝑐
+ 
 𝑏 
𝑐
 = 
 𝑎𝑐 + 𝑏 
𝑐
 
 
 
Ou seja, uma fração mista 𝑎
 𝑏 
𝑐
 indica 𝑎 inteiros mais 
 𝑏 
𝑐
 . 
 
 
 
 
 
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Pode-se exemplificar da seguinte maneira: 
 
 
 
6
 2 
5
 = 
 6 ∙ 5 
5
+ 
 2 
5
 = 
 6 ∙ 5 + 2 
5
 = 
 30 + 2 
5
 = 
 32 
5
 
 
 
 
Para transformar uma fração em uma fração mista, basta observar o 
numerador e calcular quantos múltiplos do denominador ele contém. No caso do 
 
 32 
5
 , temos 
 30 + 2 
5
 , sendo o 30, múltiplo do denominador 6 vezes. Temos, 
portanto, 6 inteiros e 
 2 
5
 de resto. Por isso escrevemos que 
 32 
5
= 6
 2 
5
 . 
 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
Soma Subtração 
 
𝑎
𝑏
 + 
𝑐
𝑑
 = 
𝑎𝑑 + 𝑐𝑏
𝑏𝑑
 
 
 
𝑎
𝑏
 − 
𝑐
𝑑
 = 
𝑎𝑑 − 𝑐𝑏
𝑏𝑑
 
 
Multiplicação Divisão 
 
 
𝑎
𝑏
 ∙ 
𝑐
𝑑
 = 
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 
 
 
 
𝑎
𝑏
 
𝑐
𝑑
 = 
𝑎
𝑏
 ∙ 
𝑑
𝑐
 
 
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EXERCÍCIOS ENVOLVENDO FRAÇÕES 
 
1) Simplifique, encontre a fração irredutível: 
a) 
2
4
 = 
b) 
3
6
 = 
c) 
8
20
 = 
d) 
16
32
 = 
e) 
300
4000
 = 
 
2) Represente as seguintes frações na forma de fração mista: 
 
a) 
36
5
 = 
b) 
23
7
 = 
c) 
18
4
 = 
d) 
10
3
 = 
 
3) Represente as seguintes frações mistas na forma de fração: 
 
a) 2
1
3
 = 
b) 3
2
3
 = 
c) 4
1
5
 = 
d) 1
3
10
 = 
 
 
 
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4) Some as seguintes frações: 
a) 
21
17
 + 
7
17
 = 
b) 
10
11
 + 
1
11
 = 
c) 
4
3
 + 
1
2
 = 
d) 
4
5
 + 
2
3
 = 
 
5) Subtraia as seguintes frações: 
a) 
21
17
 − 
7
17
 = 
b) 
10
11
 − 
1
11
 = 
c) 
4
3
 − 
1
2
 = 
d) 
4
5
 − 
2
3
 = 
 
6) Calcule a fração irredutível: 
a) 
15
17
 + 
5
17
 − 
13
17
 = 
 
 
b) 
1
2
 + 
1
3
 − 
1
5
 = 
 
 
c) 
2
3
 + 
1
4
 − 
5
6
 = 
 
 
d) 
3
10
 + 
7
20
 − 
9
40
 = 
 
 
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7) Multiplique as seguintes frações: 
a) 
2
3
  
1
2
 = 
b) 
3
4
  
4
3
 = 
c) 
5
8
  
3
2
 = 
d) 
7
2
  
1011
 = 
 
8) Efetue a divisão das seguintes frações: 
a) 
2
3
 ∶ 
1
2
 = 
b) 
3
4
 ∶ 
4
3
 = 
c) 
5
8
 ∶ 
3
2
 = 
d) 
7
2
 ∶ 
10
11
 = 
 
9) Calcule: 
a) 
4
3
 − 
2
3
  
1
2
 = 
 
 
b) 
3
4
  
4
3
 − 
2
3
 = 
 
 
c) 
5
8
 ∶ 
3
2
+ 
3
4
 = 
 
 
d) 
3
8
 ∶ 
3
2
+ 
3
4
 = 
 
 
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10) Calcule: 
a) (
1
3
)
2
 = 
b) (
3
2
)
3
 = 
c) (
4
5
)
2
 = 
d) (
1
2
)
4
 = 
e) (−
1
3
)
2
 = 
f) (−
2
3
)
3
 = 
g) (−
5
2
)
2
 = 
h) (−
1
2
)
5
 = 
 
11) Calcule: 
a) 5−1 = 
b) 4−2 = 
c) 2−3 = 
d) 10−3 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS ENVOLVENDO DECIMAIS 
 
1) Represente as seguintes frações na forma de números decimais: 
 
a) 
9
100
= 
b) 
17
100
= 
c) 
7
10
 = 
d) 
17
10
 = 
e) 
14
8
 = 
f) 
8
5
 = 
g) 
52
130
 = 
h) 
1
40
 = 
 
2) Calcule a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas: 
a) 0,333... 
b) 1,333... 
c) 3,333... 
d) 1,555... 
e) 0,10 10 10... 
f) 0,15 15 15... 
g) 1,16 16 16... 
h) 0,120 120 120... 
 
 
 
 
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3) Calcule: 
a) 5,3 + 10 + 0,02 + 0,001 = 
b) 3,8 – 0,8 + 2,1 = 
c) 4,17  1,452 = 
d) 0,0011  1,123 = 
e) 0,1  2,5  4,3 = 
f) (0,1)2 = 
g) (0,5)2 = 
h) (0,003)2 = 
 
4) Calcule: 
a) 15,52 : 5 = 
b) 174,3975 : 17,25 = 
c) 0,8 : 0,15 = 
d) 1,7 : 1,1 = 
 
5) Calcule: 
a) √0,04 = 
b) √0,0016 = 
c) √1,21 = 
d) √0,000025 = 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
 
UNIDADES DE MEDIDA 
 
Utilizamos unidades de medida durante todo o dia, percebendo ou não isso. 
Para facilitar nossa compreensão, podemos classificar as unidades de medida em 
dois tipos 
a) Unidades de medidas de ocasião; 
b) Unidades de medidas científicas. 
As unidades de medidas de ocasião podem ser entendidas como aquelas 
que utilizamos para resolver situações do dia a dia que não necessitam de 
precisão, sendo subjetivas e dependendo de interpretação. As unidades de 
medidas científicas possuem quantidades definidas e que podem ser comparadas 
com um instrumento de medida. Ao dizer que vou cozinhar 1 copo de arroz, temos 
uma ideia aproximada da quantidade, mas se afirmar que irei cozinhar 250 
gramas de arroz, estou expressando de maneira científica e precisa essa medida. 
 
Outro exemplo, ao dizer “volto logo”, estamos fazendo referência ao tempo, 
mas quanto tempo demora “volto logo” depende da situação, alguém que está 
saindo de viagem e alguém que foi até a padaria comprar pão, podem dizer “volto 
logo” se referindo à intervalos de tempo totalmente diferentes, pois geralmente 
uma viagem leva mais do que 1 dia e ir comprar pão pode variar de alguns minutos 
até algumas horas, não é comum que alguém saia para comprar pão e volte 
alguns dias depois. Entretanto, o viajante ao consultar o Google Maps procura 
informações precisas de distância e tempo, ao consultar no mapa que seu destino 
fica a 150 quilómetros, pode entender aquela informação de maneira bem 
objetiva, estimando o tempo de viagem e o provável consumo de combustível. 
 
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A seguir vamos estudar as unidades de medidas científicas de comprimento, 
área, volume, capacidade, massa e tempo, bem como seus múltiplos e 
submúltiplos. 
 
UNIDADES DE COMPRMENTO 
 
Quando vamos comprar um sofá novo temos que saber primeiro se ele 
caberá no espaço destinado a ele, geralmente medimos a distância de uma 
parede até o ponto em que o sofá poderá chegar, em seguida escolhemos um 
sofá que se encaixa no comprimento que medimos. 
A unidade de medida padrão de comprimento é o metro, representada pela 
letra m. Seus múltiplos e submúltiplos podem ser representados de acordo com a 
tabela a seguir: 
 
SUBMÚLTIPLOS DO METRO 
UNIDADE 
FUNDAMENTAL 
MÚLTIPLOS DO METRO 
 
Milímetro 
 
Centímetro Decímetro metro Decâmetro Hectômetro kilômetro 
 
mm 
 
cm dm m dam hm km 
 
10
-3 
m 
 
10
-2 
m 10
-1 
m 10
0 
m 10
+1 
m 10
+2 
m 10
+3
 m 
 
0,001m 
 
0,01m 0,1m 1m 10m 100m 1.000m 
 
 
Um número adquire significado quando está relacionado com uma unidade 
de medida. O que isso significa? Que ele sozinho possui apenas o significado de 
símbolo matemático, mas quando atribuímos uma unidade de medida a este 
número, ele passa a indicar uma quantidade para essa unidade. Por exemplo, se 
digo para alguém que “quero 5”, ela pode me perguntar “5 o que?”, e eu posso 
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atribuir significado ao número 5 dizendo “5 aulas”, “5 livros” ou “5 horas para 
estudar”, o que vem depois do 5 que dá significado para ele e é aí que as unidades 
de medida também fazem sentido, pois as colocaremos após os números, mas 
cada uma de acordo com a sua finalidade, conveniência e símbolos. 
 A finalidade da unidade de medida tem que estar de acordo com aquilo que 
queremos conhecer de um determinado objeto. Observe o local que você está 
agora e perceba que existe uma quantidade enorme de objetos que podem ser 
medidos, outros que podem ser pesados, ou talvez tenha até algo em movimento, 
sem falar na iluminação do local que você está agora. Tudo isso e muito mais 
pode ser objeto de estudo das ciências, assim como a matemática. As unidades 
de medida não podem ser reinventadas quando estamos estudando matemática, 
já existe uma convenção de quais são adequadas para cada situação, possuindo 
unidade fundamental, múltiplos e submúltiplos de acordo com sua conveniência. 
Aprenderemos a escrever cada um desses símbolos e fazer os cálculos 
necessários nas resoluções de exercícios. 
 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO COMPRIMENTO 
 
1) Represente os seguintes números em metros: 
a) 0,1856 km = 
b) 87,2 hm = 
c) 8,99 dam = 
d) 9,4689 km = 
 
 
2) Represente os seguintes números em metros: 
a) 486,21 mm = 
b) 0,99 cm = 
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c) 59,58 dm = 
d) 0,8 mm = 
 
3) Efetue a seguinte operação e apresente o resultado em metros. 
9m + 20mm + 5km = 
 
 
 
 
 
UNIDADES DE ÁREA 
 
Para colocar um quadro na parede, duas medidas nos interessam, a largura 
e o comprimento. Ao multiplicar uma medida pela outra, temos a área. A área 
pode ser entendida como uma medida de superfície e sua unidade de medida 
padrão é o metro quadrado, representada por m2. Seus múltiplos e submúltiplos 
podem ser representados de acordo com a tabela a seguir: 
SUBMÚLTIPLOS DO METRO2 
UNIDADE 
FUNDAMENTAL 
MÚLTIPLOS DO METRO2 
 
milímetro2 
 
centímetro2 
 
decímetro2 
 
metro2 
 
decâmetro2 
 
hectômetro2 
 
kilômetro2 
 
mm2 
 
cm2 
 
dm2 
 
m2 
 
dam2 
 
hm2 
 
km2 
 
(10-3 m)2 
 
(10-2 m)2 
 
(10-1 m)2 
 
(100 m)2 
 
(10+1 m)2 
 
(10+2 m)2 
 
(10+3 m)2 
 
(10-3)2 m2 
 
(10-2)2 m2 (10-1)2 m2 (100)2 m2 (10+1)2 m2 (10+2)2 m2 (10+3)2 m2 
 
10-6 m2 
 
10-4 m2 
 
10-2 m2 
 
100 m2 
 
10+2 m2 
 
10+4 m2 
 
10+6 m2 
 
0,000001 m2 
 
0,0001 m2 
 
0,01 m2 
 
1 m2 
 
100 m2 
 
10.000 m2 
 
1.000.000 m2 
 
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Perceba que escrever 1 mm2 é bem mais simples que escrever 0,000001 
m2 para se referir a mesma medida, por isso usamos múltiplos e submúltiplos para 
facilitar a comunicação. 
 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO ÁREA 
 
1) Represente os seguintes números em metros quadrados. 
a) 0,087 km2 
b) 48,03 dam2 
c) 8,654 hm2 
d) 78,18611 km2 
 
2) Represente os seguintes números em metros quadrados. 
a) 87,02 dm2 = 
b) 9.865 cm2 = 
c) 786.452 mm2 = 
d) 0,09 cm2 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADES DE VOLUME 
 
Para construirmos uma piscina precisamos de três medidas, a largura, o 
comprimento e a altura. Ao multiplicarmos as três teremos o que chamamosde 
volume. Sua unidade de medida padrão é o metro cúbico, representada por m3. 
Seus múltiplos e submúltiplos podem ser representados de acordo com a tabela 
a seguir: 
SUBMÚLTIPLOS DO METRO3 
UNIDADE 
FUNDAMENTAL 
MÚLTIPLOS DO METRO3 
 
milímetro3 
 
centímetro3 
 
decímetro3 
 
metro3 
 
decâmetro3 
 
hectômetro3 
 
kilômetro3 
 
mm3 
 
cm3 
 
dm3 
 
m3 
 
dam3 
 
hm3 
 
km3 
 
(10-3 m)3 
 
(10-2 m)3 
 
(10-1 m)3 
 
(100 m)3 
 
(10+1 m)3 
 
(10+2 m)3 
 
(10+3 m)3 
 
(10-3)3 m3 
 
(10-2)3 m3 
 
(10-1)3 m3 
 
(100)3 m3 
 
(10+1)3 m3 
 
(10+2)3 m3 
 
(10+3)3 m3 
 
10-9 m3 
 
10-6 m3 
 
10-3 m3 
 
100 m3 
 
10+3 m3 
 
10+6 m3 
 
10+9 m3 
 
0,000000001m3 
 
0,000001 m3 0,001 m3 1 m3 1.000 m3 1.000.000m3 1.000.000.000m3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO ENVOLVENDO VOLUME 
 
1) Represente os seguintes números em metros cúbicos: 
a) 8,683 452 89 km3 = 
b) 12,568 2 dm3 = 
c) 0,0054 dam3 = 
d) 8 452 863 256mm3 = 
 
 
 
 
UNIDADES DE CAPACIDADE 
 
Para enchermos a piscina do exercício anterior colocaremos água de acordo 
com a sua capacidade que será medida em litros. Sua unidade de medida padrão 
é o litro, representada por L. 
A unidade de capacidade está relacionada com a unidade de volume, pois 
1 dm3 equivale a1L. Para facilitar o nosso estudo vale a pena decorar que 1 m3 
equivale a 1.000 L. 
 
 
 
1 m3 = 1.000 L 
 
 
 
 
 
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Embora seja pouco usual, a unidade de capacidade também pode ser 
representada por múltiplos e submúltiplo de acordo com a tabela a seguir: 
 
SUBMÚLTIPLOS DO LITRO 
UNIDADE 
FUNDAMENTAL 
MÚLTIPLOS DO LITRO 
 
mililitro 
 
centilitro 
 
decilitro 
 
litro 
 
decalitro 
 
hectolitro 
 
kilolitro 
 
mL 
 
cL 
 
dL 
 
L 
 
daL 
 
hL 
 
kL 
 
10-3 L 
 
10-2 L 
 
10-1 L 
 
100 L 
 
10+1 L 
 
10+2 L 
 
10+3L 
 
0,001 L 
 
0,01 L 0,1 L 1 L 10 L 100 L 1.000 L 
 
 
 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO CAPACIDADE E VOLUME 
 
1) Represente os seguintes números em litros. 
a) 0,84 daL = 
b) 8.526 mL = 
c) 65 cL = 
d) 0,896 dL = 
 
2) Represente os seguintes números em litros. 
a) 0,546 m3 = 
b) 58 cm3 = 
c) 85 dm3 = 
d) 54,239 dam3 = 
 
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UNIDADES DE MASSA 
 
Você sabia que geralmente utilizamos a palavra PESO quando na realidade 
estamos nos referindo à MASSA? Pois é, peso é um conceito da física que 
depende da gravidade, um corpo na ausência de gravidade possui peso zero, mas 
continua tendo a mesma quantidade de massa independente da gravidade, pois 
MASSA está relacionada à QUANTIDADE DE MATÉRIA. 
A unidade de medida padrão de massa é o quilograma, representada por 
kg. Seus múltiplos e submúltiplos podem ser representados de acordo com a 
tabela a seguir: 
SUBMÚLTIPLOS DO QUILOGRAMA 
 
UNIDADE 
FUNDAMENTAL 
 
miligrama 
 
centigrama 
 
decigrama 
 
grama 
 
decagrama 
 
hectograma 
 
kilograma 
 
mg 
 
cg 
 
dg 
 
g 
 
dag 
 
hg 
 
kg 
 
10-3 g 
 
10-2 g 
 
10-1 g 
 
100 g 
 
10+1 g 
 
10+2 g 
 
10+3 g 
 
0,001 g 
 
0,01 g 0,1 g 1 g 10 g 100 g 1.000 g 
 
Para facilitar nosso estudo vale a pena decorar que 1Kg possui 1.000g e 
que 1 Tonelada possui 1.000Kg. 
 
 
1Kg = 1.000g 
 
 
 
1 Tonelada = 1.000Kg 
 
 
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EXERCÍCIOS ENVOLVENDO MASSA E VOLUME 
 
1) Represente os seguintes números em gramas: 
a) 8,56 hg = 
b) 852 cg = 
c) 345,5 mg = 
d) 2,8 dag = 
 
2) Represente os seguintes números em quilogramas: 
a) 54,89 hg = 
b) 5632,1 dag = 
c) 0,85 t = 
d) 108 mg = 
 
 
 
3) Considerando que 1 litro de água possui 1 kg, qual será a massa de 
água que caberá em uma piscina de volume 11 m3 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADES DE MEDIDA DE TEMPO 
 
A noção de tempo é subjetiva, mas sua medida é bem objetiva. Se alguém 
falar que “volta logo”, isso dependerá do contexto, mas se ao invés disso afirmar 
que volta em 15 minutos, estará informando com precisão o tempo do seu 
regresso. Cientificamente consideramos o segundo como unidade de medida 
padrão para o tempo, representado por s. Alguns dos seus múltiplos e 
submúltiplos podem ser representados de acordo com a tabela a seguir: 
 
SUBMÚLTIPLO 
DO SEGUNDO 
 
UNIDADE 
FUNDAMENTAL 
 
MÚLTIPLOS DO SEGUNDO 
 
milissegundo 
 
segundo 
 
minuto 
 
hora 
. 
dia 
 
ms 
 
s 
 
min 
 
h (60min) 
 
d (24h) 
 
10-3 s 
 
100 s 
 
- 
 
60  60 s 
 
24  3.600 s 
 
0,001 s 
 
1 s 
 
60 s 
 
3.600 s 
 
86.400 s 
 
 
Vale a pena notar que o tempo não é uma unidade de medida decimal (base 
10), pois a cada 60 segundos completamos 1 minuto, e não a cada 100 segundos. 
A mesma maneira de medir o tempo se estende às outras unidades, pois a cada 
60 minutos completamos 1 hora; a cada 24 horas completamos 1 dia; a cada 365 
dias completamos 1 ano. A partir do ano voltamos a usar o sistema decimal de 
medidas, pois a cada 10 anos completamos 1 década; a cada 100 anos 
completamos 1 século e cada 1.000 anos, 1 milênio. 
 
 
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EXERCÍCIOS ENVOLVENDO MEDIDAS DE TEMPO 
 
1) Represente os seguintes números em segundos. 
a) 3d 5h 30min 52s = 
b) 2d 23h 59min 10s = 
 
 
 
2) Represente os seguintes números em frações de hora. 
a) 1h 30min = 
b) 1h 50 min = 
c) 1h 10min 30s = 
d) 40min = 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Para entendermos funções do 1º grau é necessário ter entendido o conceito 
de proporções como uma relação entre duas partes. Vamos começar com o 
modelo y = ax e depois vamos evoluir para y = ax + b . 
 
 
 y = ax 
 
Este é um modelo para casos em que temos uma proporção entre uma 
grandeza que chamaremos genericamente de y e outra grandeza que 
chamaremos de x. Mas e o a? O a não é uma grandeza, é um número que indica 
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a proporção entre y e x. Temos que nos acostumar com a ideia de que x e y variam 
seus valores enquanto o a é um número constante, fixo. 
 
Vamos supor que você se interesse por jardinagem e queira estudar a 
relação entre sementes plantadas e sementes germinadas se fazendo a seguinte 
pergunta: Qual é a relação entre o número de sementes plantadas e o número de 
sementes germinadas? 
 
Para responder essa pergunta podemos abstrair as situações de semente 
plantada e semente germinada para a ideia de que plantei x sementes e 
germinaram y sementes. 
 
x = sementes plantadas 
y = sementes germinadas 
 
 
Vamos levantar algumas hipóteses: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Hipótese 1: 100% das sementes são germinadas. 
Neste caso podemos escrever que y = x, pois para cada x sementes 
plantadas teremos y sementes germinadas. A tabela e o gráfico dessa função 
podem ser representados da seguinte maneira: 
y = x 
Valor de x Valor de y 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
100 100 
1000 1000 
 
 
 
Vale a pena lembrar que esta relação gráfica entre x e y será válida sempre 
que a for igual a 1 , pois y será igual a x. 
 
 
 
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
-200 0 200 400 600 800 1000 1200
S
e
m
e
n
te
s 
G
e
rm
in
a
d
a
s
Sementes Plantadas
y = x
Todas as sementes germinam
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Hipótese 2: 90% das sementes são germinadas. 
Neste caso a situação muda, pois sabemos que apenas 90 em cada 100 
sementes irão germinar. O coeficiente a não valerá 1 como no exemplo anterior, 
mas valerá 0,9. A função será escrita como y = 0,9 x . 
A tabela e o gráfico dessa função podem ser representados da seguinte 
maneira: 
y = 0,9 x 
Valor de x Valor de y 
1 0,9 
2 1,8 
3 2,7 
4 3,6 
5 4,5 
10090 
1000 900 
 
 
 
Vale a pena lembrar que esta relação gráfica entre x e y será válida sempre 
que a for igual a 0,9 , pois y será igual a 90% de x. 
 
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
-200 0 200 400 600 800 1000 1200
S
e
m
e
n
te
s 
G
e
rm
in
a
d
a
s
Sementes Plantadas
y = 0,9 x
90% das sementes germinam
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Hipótese 3: 50% das sementes são germinadas. 
Neste caso a situação muda, pois sabemos que apenas 50 em cada 100 
sementes irão germinar. O coeficiente angular a não valerá 0,9 como no exemplo 
anterior, mas valerá 0,5. A função será escrita como y = 0,5 x . 
A tabela e o gráfico dessa função podem ser representados da seguinte 
maneira: 
y = 0,5 x 
Valor de x Valor de y 
1 0,5 
2 1 
3 1,5 
4 2 
5 2,5 
100 50 
1000 500 
 
 
 
Vale a pena lembrar que esta relação gráfica entre x e y será válida sempre 
que a for igual a 0,5 , pois y será igual a 50% de x. 
 
-100
0
100
200
300
400
500
600
-200 0 200 400 600 800 1000 1200
S
e
m
e
n
te
s 
G
e
rm
in
a
d
a
s
Sementes Plantadas
y = 0,5 x
50% das sementes germinam
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Nas hipóteses apresentadas criamos uma relação entre x e y, vale lembrar 
que na prática a proporção de sementes germinadas é de cerca de 80% das 
sementes plantadas. Talvez essa informação não seja tão relevante para quem 
quer cuidar de um pequeno jardim em casa, mas imagine um agricultor que possui 
uma grande fazenda para ser cultivada, se ele quiser 8.000 sementes úteis, 
precisará plantar 10.000 sementes de acordo com os cálculos. 
 
** 
 
y = ax + b 
 
Agora vamos supor que você se interesse por agricultura e queira estudar a 
relação entre sementes plantadas e sementes germinadas, mas queira levar em 
consideração o número de plantas que já estão crescendo em uma fazenda. 
Neste caso você pode se fazer a seguinte pergunta: Qual é a relação entre o 
número de sementes plantadas, o número de sementes germinadas e o número 
de plantas que já estão crescendo? 
 
Para responder essa pergunta vamos considerar o seguinte: 
 
x = sementes plantadas 
y = sementes germinadas 
a = taxa de germinação 
b = plantas que já estão crescendo 
 
Vamos levantar algumas hipóteses: 
 
 
 
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Hipótese 1: 100% das sementes são germinadas e a fazenda já possui 100 
mudas. 
Neste caso vamos supor que você queira 500 plantas ao todo, após as 
sementes germinarem. A nossa função deverá contemplar as 100 mudas que já 
existem, sendo escrita, portanto, como y = x + 100. A tabela e o gráfico dessa 
função podem ser representados da seguinte maneira: 
y = x + 100 
Valor de x Valor de y 
0 100 
100 200 
200 300 
300 400 
400 500 
 
 
 
 
Perceba que no gráfico as 100 mudas marcam o ponto de partida da nossa 
reta, pois o coeficiente b é igual a 100. 
 
0
100
200
300
400
500
600
0 100 200 300 400 500
S
e
m
e
n
te
s 
G
e
rm
in
a
d
a
s
Sementes Plantadas
y = x + 100
Todas as sementes germinam
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Hipótese 2: 90% das sementes são germinadas e a fazenda já possui 100 
mudas. 
Neste caso a situação muda, pois sabemos que apenas 90 em cada 100 
sementes irão germinar. O coeficiente a não valerá 1 como no exemplo anterior, 
mas valerá 0,9. A função será escrita como y = 0,9 x + 100 . 
A tabela e o gráfico dessa função podem ser representados da seguinte 
maneira: 
y = 0,9 x +100 
Valor de x Valor de y 
0 100 
100 190 
200 280 
300 370 
445 500,5 
 
 
 
 
A função matemática é um modelo que pode nos auxiliar a compreender um 
fenômeno concreto, ou seja, compreender a relação entre o número de sementes 
0
100
200
300
400
500
600
0 100 200 300 400 500
S
e
m
e
n
te
s 
G
e
rm
in
a
d
a
s
Sementes Plantadas
y = 0,9 x + 100
90% das sementes germinam
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plantadas e o número final de plantas. Perceba que teoricamente precisamos de 
445 sementes para obtermos 500 mudas, o resultado 500,5 deve ser interpretado 
de acordo com a situação e neste caso sabemos que não é possível ter 0,5 muda, 
por isso arredondamos o resultado para 500. 
 
 
 
Hipótese 3: 50% das sementes são germinadas e a fazenda já possui 200 
mudas. 
Neste caso a situação muda, pois sabemos que apenas 50 em cada 100 
sementes irão germinar e já existem 200 mudas. O coeficiente angular a não 
valerá 0,9 como no exemplo anterior, mas valerá 0,5. A função será escrita como 
y = 0,5 x + 200 . 
 
A tabela e o gráfico dessa função podem ser representados da seguinte 
maneira: 
 
 
y = 0,5 x + 200 
Valor de x Valor de y 
0 200 
100 250 
200 300 
300 350 
400 400 
500 450 
600 500 
 
 
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Perceba que a inclinação da reta é menor do que nos exemplos anteriores, 
pois o coeficiente angular é menor, temos a = 0,5 . 
** 
 
Em linguagem matemática temos a seguinte nomenclatura para uma função 
do primeiro grau y = ax + b 
 
y = eixo das ordenas 
x = eixo das abscissas 
a = coeficiente angular 
b = coeficiente linear 
 
*Lembrando que a e b são valores fixos, constantes. 
Quer criar seus próprios gráficos de maneira rápida? 
 
 
 
0
100
200
300
400
500
600
0 100 200 300 400 500 600 700
S
e
m
e
n
te
s 
G
e
rm
in
a
d
a
s
Sementes Plantadas
y = 0,5 x + 200
50% das sementes germinam
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Exercícios envolvendo funções do 1º grau 
 
1) Construa o gráfico das seguintes funções: 
a) y = 2x – 1 
 
 
 
 
b) y = 3x + 2 
 
 
 
 
 
c) y = -x +2 
 
 
 
 
 
 
2) Sabendo que a reta de uma função do 1º grau passa pelos pontos 
 (1 ; -1) e (-1 ; 2), determine o valor de y para x = -17. 
 
 
 
 
 
 
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3) Sabendo que a reta de uma função do 1º grau passa pelos pontos 
(2 ; 3) e (5 ; 7), determine: 
 
a) O valor de y para x = 0 
 
 
 
 
b) O valor de x para y = 0 
 
 
 
 
 
4) Sabendo que (x + 3 ; y – 4) é igual a (7x ; 2y + 5), determine os valores 
de x e y. 
 
 
 
 
 
 
5) Você leu 3/5 de um livro e ainda faltam 48 páginas para terminar todo 
o livro. Quantas páginas você já leu? Qual é o total de páginas do livro? 
 
 
 
 
 
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6) Estima-se que a temperatura no interior da Terra aumenta, 
aproximadamente, 3 °C a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m 
de profundidade, a temperatura é de 25 °C. Nessas condições, faça uma previsão 
teórica para os seguintes casos: 
 
a) Possível temperatura a 1.500m de profundidade; 
 
 
 
 
b) Possível profundidade para a temperatura de 46 °C. 
 
 
 
 
 
7) Um copo cheio de água tem massa 385g; com 2/3 da água tem massa 
310g. Pergunta-se: 
a) Qual é a massa do copo vazio? 
 
 
 
 
b) Qual é a massa do copo com 3/5 da água? 
 
 
 
 
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8) Para transformar graus Fahrenheit em graus Celsius usa-se a fórmula 
𝐶 = 
5
9
(𝐹 − 32) , onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus 
Celsius. Qual será a temperatura em Fahrenheit para 35 °C ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Uma Barra de ferro com temperatura inicial de -10 °C foi aquecida até 
30 °C. O gráfico representa a variação do tempo gasto nessa experiência. Em 
quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0 °C ? 
 
 
 
 
 
 
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10) Observando os dados seguintes, referente aos valores cobrados por 
duas locadoras X e Y de veículos: 
 
 
É CORRETO afirmar que: 
a) para exatamente 20 quilômetros percorridos, esses valores são iguais. 
b) a partir de 20 quilômetros rodados, o custo total em X é menor do que em Y. 
c) para X, o custo total é sempremenor. 
d) a partir de 15 quilômetros rodados, o custo total em Y é menor do que em X. 
e) até 32 quilômetros rodados, o custo total em X é menor do que em Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Locadora X 
Taxa fixa: R$ 50,00 
Preço por quilômetro percorrido: 
R$ 1,20 
 
Locadora Y 
Taxa fixa: R$ 56,00 
Preço por quilômetro percorrido: 
R$ 0,90 
 
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REGRA DE TRÊS 
 
Você sabia? Utilizamos regra de três para resolver a maior parte dos 
problemas de matemática do dia a dia e nem nos damos conta disso. Vamos lá! 
Vou explicar o porquê. Nas finanças temos exemplos bem fáceis de entender, 
digamos que você visite uma livraria e encontre uma prateleira de livros todos a 
10 reais, naturalmente você estabelece a relação entre o número de livros que 
pode levar e o respectivo preço da sua compra, se levar apenas 1 livro irá 
desembolsar 10 reais; 2 livros por 20 reais; 3 livros por 30 reais; assim por diante. 
E se planejar ler 1 livro por mês poderá fazer os cálculos e concluir que por ano, 
12 meses, fará um investimento de 120 reais. Perceba que na regra de três temos 
a proporção entre três valores conhecidos e um valor incógnito, daí vem o nome 
Regra de Três. 
 
Temos dois tipos de Regra de Três: 
a) Regra de três simples; 
b) Regra de três composta. 
 
A regra de três simples envolve a relação entre duas grandezas 
proporcionais que podem ser diretamente ou inversamente proporcionais entre si. 
No exemplo citado temos a relação diretamente proporcional entre livros e preço 
a ser pago, neste caso quando aumentamos o número de livros também 
aumentamos o preço final, por isso dizemos que essas grandezas são 
diretamente proporcionais. Por outro lado, podemos aplicar regra de três à 
problemas que apresentam grandezas inversamente proporcionais, tempo e 
velocidade podem nos servir de exemplo, pois uma viagem pode durar a metade 
do tempo se for feita no dobro da velocidade, ou seja, quando uma grandeza 
aumenta a outra diminui, por isso dizemos que são grandezas inversamente 
proporcionais. 
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A regra de três composta, por sua vez, é a relação entre três grandezas 
proporcionais entre si. Podemos ter como exemplo uma reforma que leva 10 dias 
para ficar pronta com apenas 1 trabalhador, e que levará 5 dias com 2 
trabalhadores. Temos aqui a proporção entre as grandezas dias trabalhados e 
número de trabalhadores, mas podemos inserir uma terceira grandeza: o tempo 
de trabalho por dia. Sendo assim, a afirmação de que 1 trabalhador leva 10 dias 
e 2 trabalhadores levam 5 dias, é válida apenas se o tempo de trabalho for o 
mesmo em ambos os casos. Sendo assim, temos as grandezas dias de trabalho, 
número de trabalhadores e tempo de trabalho diário como as três grandezas de 
um problema de regra de três composta. Perceba ainda, que essas grandezas 
podem ser diretamente ou inversamente proporcionais entre si. Neste caso, se 
aumentarmos a quantidade de trabalhadores, podemos diminuir os dias de 
trabalho (inversamente proporcional). E se mantivermos a quantidade de 
trabalhadores e aumentarmos as horas trabalhadas por dia, podemos diminuir os 
dias de trabalho (inversamente proporcional). 
 
 
EXERCÍCIOS ENVOLVENDO REGRA DE TRÊS 
 
1) Uma pessoa ganha R$ 6.750 por 15 dias de trabalho. Quanto receberá 
por 9 dias de trabalho? 
 
 
 
 
 
 
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2) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho. Quanto 
receberá se trabalhar 8 dias a mais? 
 
 
 
 
3) Um prédio de 4,5m de altura projeta uma sombra de 13,5m. Se nesse 
mesmo instante uma torre projeta uma sombra de 130m, qual será sua altura? 
 
 
 
 
4) Se 45 operários fazem uma obra em 16 dias, quantos operários serão 
necessários para fazer a mesma obra em 12 dias? 
 
 
 
5) Um automóvel, com a velocidade de 80 km/h demora 3 horas para 
percorrer uma certa distância. Quanto tempo levaria para percorrer a mesma 
distância a 120 Km/h ? 
 
 
 
 
6) Para forrar as paredes de uma sala são necessárias 20 peças de papel 
com 80 cm de largura cada uma. Quantas peças de 1m de largura seriam 
necessárias para cobrir a mesma área? 
 
 
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7) Em uma oficina, 2 operários produzem, em 5 dias, 320 peças de um 
certo produto. Quantas peças desse produto serão produzidas por 5 operários 
trabalhando durante 8 dias? 
 
 
 
 
8) São necessários 1.064 kg de feno para alimentar 14 cavalos durante 
12 dias. Quantos quilogramas de feno serão necessários para alimentar 6 cavalos 
durante 60 dias? 
 
 
 
9) Se a alimentação de 12 animais, durante 8 dias, custa R$ 160, qual 
será o custo da alimentação de 15 animais, durante 5 dias? 
 
 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 
Já leu em algum lugar informações do tipo “5 em cada 10” pessoas gostam 
de matemática? Ou “2 em cada 10” pessoas gostam de sorvete? São informações 
que nos passam uma ideia de proporção. Com base nelas posso chegar a outras 
conclusões, por exemplo, se sei que 5 em cada 10 pessoas gostam de 
matemática, então posso concluir estatisticamente que em uma sala com 30 
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pessoas, 15 irão gostar de matemática. O tema porcentagem trabalha com essa 
noção de proporção, mas tendo como base o número 100. Ou seja, “5 em cada 
10” pessoas gostam de matemática será entendido como “50 em cada 100” 
pessoas gostam de matemática, ou apenas “50%” das pessoas gostam de 
matemática. 
Então, sempre que encontrar o sinal de porcentagem (%) saiba que ele 
indica uma divisão por 100, assim como nos exemplos a seguir: 
a) 5 em cada 10 = 50 em cada 100 = 
50
100
 = 50% 
 
b) 1 em cada 1000 = 0,1 em cada 100 = 
0,1
100
 = 0,1% 
 
c) 20 em cada 10 = 200 em cada 100 = 
200
100
 = 200% 
(Este pode ser um de investimento de 10 reais que retorna 20) 
 
 Porcentagem também pode ser expressa na forma de decimais, como 
nos exemplos a seguir: 
 
a) 10% = 
10
100
 = 0,1 
 
b) 5% = 
5
100
 = 0,05 
 
 
c) 120% = 
120
100
 = 1,2 
 
Em linguagem matemática dizemos que uma porcentagem é uma razão 
centesimal, pois representa uma razão com denominador 100. 
 
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EXERCÍCIOS ENVOLVENDO PORCENTAGEM 
 
1) Represente os seguintes números na forma de porcentagem: 
 
a) 
10
100
 = 
 
b) 
5
10
 = 
 
c) 
3
20
 = 
 
d) 
2
25
 = 
 
e) 
4
50
 = 
 
 
f) 
5
1
 = 
 
 
2) Represente os seguintes números na forma de porcentagem: 
 
a) 
27
30
 = 
 
 
b) 
8
16
 = 
 
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c) 
16
8
 = 
 
 
3) Escreva as seguintes taxas de porcentagem na forma de frações: 
 
a) 20% = 
 
 
b) 50% = 
 
 
c) 25% = 
 
d) 11% = 
 
 
 
4) Escreva os seguintes decimais na forma de porcentagem: 
 
a) 0,5 = 
 
b) 0,05 = 
 
c) 1,2 = 
 
 
d) 0,012 = 
 
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5) Calcule as seguintes porcentagens: 
 
a) 30% de 1.000 pessoas 
 
 
b) 60% de 50 laranjas 
 
 
c) 5% de R$ 10.000 
 
 
d) 2,5% de 5.000 páginas 
 
6) Calcule as seguintes porcentagens: 
 
a) 10% de 50% 
 
 
b) 80% de 30% 
 
 
c) 10% de 200% 
 
 
 
 
 
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7) Uma loja de sapatos está em liquidação e oferece diferentes 
descontos: 30% de desconto para sapatos e 50% de desconto para sandálias. 
a) Qual será o preço final de um sapato de R$ 250 ? 
 
 
 
b) Qual será o preço final de uma sandália de R$ 198 ? 
 
 
 
8) Uma blusa foi vendida com desconto de 10% e seu preço final ficou 
em R$ 180. Qual seria o preço da blusa sem o desconto? 
 
 
9) Um aluno acertou 90% de uma prova de 110 questões. Quantas 
questões ele acertou? 
 
 
10) Uma empresária reserva 10% dos seus lucros emuma conta 
poupança. Se o seu lucro em um certo mês foi de R$ 10.900 , qual será o valor 
reservado por ela? 
 
 
 
11) Um assalariado recebe R$ 2.000 , em um certo mês a conta de energia 
elétrica ficou em R$ 200 . Qual a porcentagem do salário será destinada para 
essa conta? 
 
 
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
A equação do segundo grau se assemelha à equação do primeiro grau por 
estabelecer uma relação entre as variáveis x e y. Mas a potência da variável x é 
diferente em cada caso, pois na equação do 2º grau ela aparece elevada ao 
quadrado ( x2 ). A equação do 2º grau aparece no seu formato mais completo no 
exemplo a seguir: 
 
 
ax2 + bx + c = 0 
 
Nessa equação os valores de a, b e c são coeficientes e x assume o papel 
de variável, para o seu cálculo será necessário observar que ax2 + bx + c está 
igualado a zero. A principal pergunta será: quais os valores de x para que essa 
equação seja verdadeira? Poderemos encontrar dois, um ou nenhum valor de x 
como resposta. Para ajudar em nossos cálculos temos duas equações 
desenvolvidas pelo matemático Bhaskara, após longos estudos para estabelecer 
uma relação entre os elementos da equação, ele descobriu que os possíveis 
valores de x podem ser calculados com a seguinte fórmula: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
Para facilitar nossos estudos vamos desmembrar em duas partes, a parte 
que está dentro da raiz será chamada de delta (∆) e então teremos duas 
equações: 
 
 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
 
 
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𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
 
 
 
Essa separação pode ser útil, pois eventualmente poderemos querer 
calcular apenas o delta, pois ele nos dará a informação relacionada à quantidade 
de soluções da equação, conforme a tabela a seguir: 
 
∆ > 0 2 valores reais para x 
∆ = 0 1 valor real para x 
∆ < 0 Nenhum valor real para x 
 
Após o cálculo de ∆ basta inserir o seu valor na equação 𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 e 
calcular as possíveis soluções da sua equação do 2º grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
1) Encontre os possíveis valores Reais de x. 
 
a) x2 – 8x + 15 = 0 
 
 
 
b) x2 – x – 6 = 0 
 
 
c) x2 + 3x – 4 = 0 
 
 
 
d) x2 + 5x + 6 = 0 
 
 
 
2) Encontre os possíveis valores Reais de x. 
 
a) x2 – 2x = 0 
 
 
 
b) 2x2 – 3x = 0 
 
 
 
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c) x2 – 9 = 0 
 
 
 
d) 4x2 – 25 = 0 
 
 
 
3) Encontre os possíveis valores Reais de x. 
 
a) x2 – 6x +9 = 0 
 
 
 
b) x2 + 10x + 25 = 0 
 
 
 
c) 4x2 + 4x +1 = 0 
 
 
 
d) 9x2 – 12x + 4 = 0 
 
 
 
 
 
 
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4) Encontre os possíveis valores Reais de x. 
 
a) x2 – 3x +5 = 0 
 
 
 
b) 2x2 +3x +4 = 0 
 
 
 
 
 
 
5) Encontre os possíveis valores Reais de x. 
 
a) 𝑥 ∙ (𝑥 + 2) = (𝑥 − 3) ∙ 2𝑥 
 
 
 
 
b) 
𝑥2+1
5
−
2𝑥2−5
13
= 1 
 
 
 
 
c) 
3𝑥2 − 5
8
=
2𝑥 + 1
4
 
 
 
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FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
A função do 2º grau é semelhante à equação do 2º grau na estrutura 
ax2 + bx + c , mas ela não estará igualada a zero, mas a y, conforme a seguinte 
expressão: 
 
 
y = ax2 + bx + c 
 
 
Sendo assim, utilizaremos bhaskara quando y for igual a zero e 
calcularemos as raízes da função, que são os pontos onde a curva do gráfico 
passará pelo eixo x . Para saber onde a curva do gráfico passa pelo eixo y basta 
igualar x a zero e teremos y = c . Observando o valor de c e calculando as raízes 
x’ e x’’ podemos construir um gráfico como no exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS ENVOLVENDO FUNÇÕES DO 2º GRAU 
 
1) Dada a função 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 6 determine o 
valor de x de modo que: 
 
a) f(x) = 0 
 
 
 
b) f(x) = 6 
 
 
 
 
 
 
2) Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 
 
 
 
 
 
3) O gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , onde b e c são constantes, passa 
pelos pontos (0;0) e (1;2). 
Calcule o valor de f(–2/3) 
 
 
 
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4) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado 
produto é dado por: 
𝐶 = 𝑛2 − 100𝑛 + 2510 
 Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo 
mínimo? 
 
 
 
 
 
5) Qual o maior valor assumido pela função: 𝑓: [−7; 10] → 𝑅 definida 
por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 9 
 
 
 
 
 
 
6) Considere as funções 𝑓: 𝑅 → 𝑅 e 𝑔: 𝑅 → 𝑅 dadas por 
 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2 e 𝑔(𝑥) = −6𝑥 +
3
5
 
 
Calcule f(1/2) + [5g(-1)]/4 
 
 
 
 
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7) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço 
descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão ℎ(𝑡) = −3𝑡2 + 3𝑡 , 
onde h é a altura atingida em metros. 
 
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? 
 
 
 
 
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? 
 
 
 
 
 
 
8) O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a 
quantidade de frequentadores (x) por sessão através da relação: 
 𝑝 = −0,2𝑥 + 100 
 
a) Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço do ingresso for 
R$ 60,00 ? 
 
 
 
b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por 
sessão? Observação: receita = (preço) x (quantidade) 
 
 
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9) O lucro mensal de uma empresa é dado por 𝐿 = −𝑥2 + 30𝑥 − 5 , onde 
x é a quantidade mensal vendida. 
 
a) Qual o lucro mensal máximo possível? 
 
 
 
 
b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no 
mínimo igual a 195 ? 
 
 
 
 
 
 
10) Determine o número m de modo que o gráfico da função 
 𝑦 = 𝑥2 + 𝑚𝑥 + 8 − 𝑚 seja tangente ao eixo do x. Faça o gráfico da solução (ou 
das soluções) que você encontrar para o problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11) A função f, de R em R, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 4𝑥 + 𝑎 , tem um valor 
máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(–2) é igual a 
quanto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Parabéns!! Você Concluiu esse Conjunto de Exercícios! 
Pronto para o próximo nível? 
 
 
 
 
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