Exercícios de matemática HEXAG

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ESTUDO
ORIENTADOMMATEMÁTICA
T
2
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CARO ALUNO
Desde 2010, o Hexag Medicina é referência na preparação pré-vestibular de candidatos às melhores 
universidades do Brasil.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado 2 do Hexag Medicina. Com o objetivo de verificar se você 
aprendeu os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios a serem trabalhados 
como Estudo Orientado (E.O.):
 E.O. Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixação da 
matéria dada em aula;
 E.O. Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, buscando 
a consolidação do aprendizado;
 E.O. Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade;
 E.O. Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais vestibulares 
do Brasil;
 E.O. Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparan-
do o aluno para esse tipo de exame;
 E.O. Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das faculdades 
públicas de São Paulo;
 E.O. Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase 
das faculdades públicas de São Paulo;
 E.O. Uerj (Exame de Qualificação): exercícios de múltipla escolha, buscando a consolidação do 
aprendizado para o vestibular da Uerj;
 E.O. Uerj (Exame Discursivo): exercícios dissertativos nos moldes da segunda fase da Uerj.
A edição 2019 foi elaborada com muito empenho e dedicação, oferecendo ao aluno um material moder-
no e completo, um grande aliado para o seu sucesso nos vestibulares mais concorridos de Medicina.
Bons estudos!
Herlan Fellini
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
ARITMÉTICA
GEOMETRIA PLANA
Aulas 11 e 12: Inequações do 1º e 2º graus 7
Aulas 13 e 14: Relações, funções e definições 17
Aulas 15 e 16: Funções do 1º grau 27
Aulas 17 e 18: Função polinomial do 2º grau 43
Aulas 11 e 12: Teorema fundamental da aritmética, M.M.C. e M.D.C. 61
Aulas 13 a 16: Porcentagem 73
Aulas 17 e 18: Juros simples e compostos 95
Aulas 11 e 12: Relações métricas no triângulo retângulo 105
Aulas 13 e 14: Trigonometria num triângulo qualquer 117
Aulas 15 e 16: Áreas dos triângulos 133
Aulas 17 e 18: Polígonos 145
FUVEST
A prova da Fuvest é conteudista e muito bem elaborada. Conhecimentos sobre funções passaram 
a ser pedidos com mais frequência nos últimos anos. Na maioria das vezes, funções são apresen-
tadas de maneira direta, mas existe a possibilidade de serem abordadas com gráficos.
UNESP
A prova da Unesp traz uma composição ampla de conteúdos e interdisciplinaridade na maioria de 
suas questões. Elas abordam funções e o uso de recursos tais como tabelas, figuras e gráficos, o que 
destaca a importância do candidato obter, além do domínio do conteúdo, uma boa interpretação.
UNICAMP
Para se dar bem nas questões que envolvem funções, você precisará estar familiarizado com a 
nomenclatura e os símbolos matemáticos usuais, com conhecimento crítico e integrado da Mate-
mática do ensino fundamental e do ensino médio. O domínio na interpretação de gráficos será uma 
ferramenta fundamental. 
UNIFESP
Com questões dissertativas, a prova da Unifesp pode abordar o conteúdo de funções de maneira 
direta, com a possibilidade de cobrança de gráficos. Além disso, traz questões que fazem o can-
didato trabalhar os conteúdos em contextos menos usuais à tradição dos vestibulares.
ENEM/UFMG/UFRJ
Frequentemente, traz questões que envolvem funções, sejam elas do 1° ou do 2° grau. Elas 
podem aparecer com as mais variadas abordagens; normalmente, o enunciado propõe uma situ-
ação em que o uso da função será necessário, mas sem deixar claro no texto. Muitos problemas 
que parecem ser de área mínima ou máxima são de função. A prova de Matemática vem cheia de 
gráficos, tabelas, esquemas e infogramas que devem ser interpretados com cuidado.
UERJ
Funções são uma matéria elementar da Matemática, bem exploradas na prova da UERJ e que 
quase sempre estão associadas a algum outro assunto. Dominar o conceito de funções, seus 
cálculos e saber analisar graficamente uma expressão é essencial para resolver diversas questões 
da UERJ. Nas últimas edições, foram cobradas questões envolvendo funções do 2° grau.
FA
CU
LD
ADE DE MEDICINA
BOTUCATU
1963
Abordagem de ÁLGEBRA nos principais vestibulares.
11 12
M
MATEMÁTICA
T
Inequações do 1º e 2º graus
Competência
5
Habilidade
21
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informaçõesenvolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
9
 7. (IFCE) O conjunto solução S ; da inequa-
ção (5x2 – 6x – 8)(2 – 2x) < 0 é:
a) S = ] 4 __ 5 , 2[ ø ]–`, 1[.
b) S = ]2, –`[ ø ]– 4 __ 5 , 1[.
c) S = ]– 4 __ 5 , 2[ ø ]1, +`[.
d) S = ]–`, – 4 __ 5 [ ø ]1, 2[.
e) S = ]– 4 __ 5 , 1[ ø ]2, +`[.
 8. (PUC-SP) Quantos números inteiros e es-
tritamente positivos satisfazem a senten-
ça 1 ______ 
x – 20
 ≤ 1 ______ 
12 – x
 ?
a) Dezesseis
b) Quinze
c) Quatorze
d) Treze
e) Menos que treze
 9. (UECE) A idade de Paulo, em anos, é um nú-
mero inteiro par que satisfaz a desigualdade 
x2 – 32x + 252 < 0. O número que representa 
a idade de Paulo pertence ao conjunto: 
a) {12, 13, 14}.
b) {15, 16, 17}.
c) {18, 19, 20}.
d) {21, 22, 23}.
 10. (Ibmecrj) A soma dos quadrados dos núme-
ros naturais que pertencem ao conjunto so-
lução de 
(3 – x) · (x2 – 1)
 ________________ 
x + 2
 ≥ 0 é igual a:
a) 13.
b) 14.
c) 15.
d) 19.
e) 20.
E. O. FIXAÇÃO
 1. (CFT-MG) O número de soluções inteiras da 
inequação x – 1 < 3x – 5 < 2x + 1 é: 
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1.
 2. (PUC-RJ) A soma dos números inteiros x que 
satisfazem 2x +1 ≤ x + 3 ≤ 4x é: 
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) –2.
E.O. APRENDIZAGEM 
 1. (PUC-RJ) Quantos números inteiros satis-
fazem simultaneamente as desigualdades 
2x + 3 ≤ x + 7 e x + 5 ≤ 3x + 1? 
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) infinitos
 2. (UFJF) Dadas as desigualdades, em : 
I. 3x + 1 < –x + 3 ≤ –2x + 5
II. 4x – 1 ______ 
x – 2
 ≤ 1
O menor intervalo que contém todos os va-
lores de x que satisfazem, simultaneamente, 
às desigualdades I e II é: 
a) ] 1 __ 3 , 3 __ 5 ].
b) ]–2, – 3 __ 2 ].
c) ]–∞, 3 __ 5 ].
d) [– 1 __ 3 , 1 __ 2 [.
e) [ 4 __ 3 , 3 __ 5 [. 
 3. (FGV) O número de soluções inteiras da ine-
quação 2x + 6 _______ 
14 – 2x
 ≥ 0 é: 
a) 8.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) infinito.
 4. (CFT-MG) O conjunto solução S, em da ine-
quação –4 · (2x – 1) · ( x __ 3 – 1 ) > 0 é:
a) S = {x [ R | 1 < x < 2}.
b) S = { x [ R | 1 __ 2 < x < 3 } .
c) S = {x [ R |x < 1 ou x > 2}.
d) S = { x [ R | x < 1 __ 2 ou x > 3 } .
 5. (PUC-RJ) Considere a inequação x + 1 ______ 
–x –5
 ≤ 0 
com x .
Qual é o conjunto solução da inequação? 
a) (–∞, 1] [5, ∞)
b) (–∞, –5) [–1, ∞)
c) [0, ∞)
d) [–5, ∞)
e) (–1, ∞)
 6. (CFT-MG) O número de soluções inteiras da 
inequação –x2 + 13x – 40 ≥ 0 no intervalo 
I = {x [ Z |2 ≤ x ≤ 10} é: 
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
10
 3. (IFCE) Tomando-se R, o conjunto dos nú-
meros reais, como universo, a inequação 
 3x
2
 ___ 
7
 – ( 2x + 3x
2
 ___ 
7
 ) ≤ 4 __ 5 tem como solução: 
a) { x [ R; x ≤ – 7 __ 5 } .
b) { x [ R; x ≥ 7 __ 5 } .
c) { x [ R; x ≥ – 5 __ 2 } .
d) { x [ R; x ≤ – 2 __ 5 } .
e) { x [ R; x ≥ – 2 __ 5 } .
 4. (IFBA) Considere estas desigualdades:
 5x ___ 
2
 ≤ 7x + 5 ______ 
3
 
 –x + 6 ______ 
4
 ≤ 1
A quantidade de números inteiros x que sa-
tisfaz simultaneamente às duas desigualda-
des é: 
a) 11.
b) 10.
c) 9.
d) 8.
e) 7.
 5. (Insper) Os organizadores de uma festa pre-
viram que o público do evento seria de, pelo 
menos, 1.000 pessoas e que o número de ho-
mens presentes estaria entre 60% e 80% do 
número de mulheres presentes. Para que tal 
previsão esteja errada, basta que o número 
de: 
a) homens presentes na festa seja igual a 360.
b) homens presentes na festa seja igual a 500.
c) homens presentes na festa seja igual a 
1.000.
d) mulheres presentes na festa seja igual a 650.
e) mulheres presentes na festa seja igual a 
1.000.
 6. (Udesc) Se n é um número inteiro, então 
a quantidade de números racionais da for-
ma 2n _______ 
3n + 15
 que são estritamente menores 
que 7 ___ 
13
 é:
a) 21.
b) 25. 
c) 20.
d) infinita.
e) 27.
 7. (UERN) A soma de todos os números intei-
ros que satisfazem simultaneamente a ine-
quação-produto (3x – 7) · (x + 4) < 0 e a 
inequação-quociente 2x + 1 ______ 
5 – x
 > 0 é:
a) 3.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
 8. (CFT-MG) A solução da inequação 
(x – 3)2 > x – 3 é: 
a) x > 4.
b) x < 3.
c) 3 < x < 4.
d) x < 3 ou x > 4. 
 9. (ESPM)O número de soluções inteiras do sis-
tema de inequações 
 2x – 3 ______ 
–2
 < 3
x2 + 2x ≤ 8
 é igual a: 
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
 10. (Mackenzie) A função f(x) = √
_________
 9 – x
2
 _________ 
x2 + x – 2
 tem 
como domínio o conjunto solução:
a) S = {x [ R | −3 < x ≤ –2 ou 1 ≤ x < 3}.
b) S = {x [ R | −3 ≤ x < –2 ou 1 < x ≤ 3}.
c) S = {x [ R | −3 ≤ x < –2 ou 1 ≤ x ≤ 3}.
d) S = {x [ R | −2 < x ≤ –1 ou 1 ≤ x ≤ 3}.
e) S = {x [ R | −2 ≤ x < –1 ou 1 < x ≤ 3}.
E.O. COMPLEMENTAR
 1. (Ime) O sistema de inequações abaixo admi-
te k soluções inteiras.
 x
2 – 2x – 14 ___________ x > 3
x ≤ 12
Pode-se afirmar que: 
a) 0 ≤ k < 2. 
b) 2 ≤ k < 4. 
c) 4 ≤ k < 6. 
d) 6 ≤ k < 8. 
e) k ≥ 8. 
 2. (Col. Naval) No conjunto dos números re-
ais, qual será o conjunto solução da inequa-
ção 88 _____ 
 √
____
 121 
 – 1 __ x ≤ 0,25 ?
a) { x [ R | 2 ___ 15 < x < 15 ___ 2 } 
b) { x [ R | 0 < x ≤ 2 ___ 15 } 
c) { x [ R | – 2 ___ 15 < x < 0 } 
d) { x [ R | – 15 ___ 2 ≤ x < – 2 ___ 15 } 
e) { x [ R | x < – 15 ___ 2 } 
11
 3. (IFSP) Quatro unidades do produto A, com 
“peso” de 1 kg, custam 480 reais. Sete uni-
dades do produto B, “pesando” 1 kg, custam 
300 reais. Sabendo-se que 10 unidades do 
produto A e x unidades do produto B, juntas, 
“pesam” no mínimo 5 kg e não ultrapassam 
2.000 reais, então o número x é: 
a) primo.
b) divisível por 7.
c) divisível por 5.
d) múltiplo de 6.
e) múltiplo de 4.
 4. (IME) Sejam r, s, t e v números inteiros po-
sitivos tais que r _ s < 
t __ v . Considere as seguintes 
relações:
I. 
(r + s)
 ______ s < 
(t + v)
 ______ v 
II. r ______ 
(r + s)
 < t ______ 
(t + v)
 
III. r _ s < 
(r + t)
 _______ 
(s + v)
 
IV. 
(r + t)
 ______ s < 
(r + t)
 ______ v 
O número total de relações que estão corre-
tas é: 
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4. 
 5. (PUC-MG) A função f é tal que f(x) = √
_____
 g(x). Se 
o gráfico da função g é a parábola a seguir, o 
domínio de f é o conjunto:
a) {x [ R | x ≥ 0}.
b) {x [ R | x ≤ –2 ou x ≥ 2}.
c) {x [ R | 0 ≤ x ≤ 2}.
d) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 2}.
E.O. DISSERTATIVO
 1. (Ufrrj) Considere a função
f(x) = 4x
2 – 6x ____________ 
–x2 – 3x – 28
 .
Determine os intervalos nos quais f(x) é es-
tritamente negativa. 
 2. (PUC-RJ) Determine para quais valores reais 
de x vale cada uma das desigualdades abaixo.
a) 1 __________ x2 –8x + 15 < 0
b) 1 ___________ x2 – 8x + 15 < 
1 __ 3 
 3. (UFJF) Sejam f : R R e g: R R funções 
definidas por f(x) = x – 14 e g(x) = – x2 + 6x 
– 8, respectivamente.
a) Determine o conjunto dos valores de x tais 
que f(x) > g(x).
b) Determine o menor número real k tal que 
f(x) + k ≥ g(x) para todo x , R.
 4. (Ufrrj) A interseção dos seguintes con-
juntos, A = { x [ R | x2 – 6x + 5 < 0 }, 
B = { x [ R | –x2 + 2x + 3 > 0 } e 
C = { x [ R | x2 – 8x + 12 ≥ 0 } é um intervalo.
Determine o conjunto solução que represen-
ta esse intervalo. 
 5. (UFJF) Uma empresa trabalha com placas de 
publicidade retangulares, de lados iguais a 
x + 3 e 2x – 4 metros.
a) Determine os valores de x, para que a área 
da placa varie de 12 m2 a 28 m2.
b) Determine as medidas dos lados da placa de 
28 m2.
 6. (UFF) Resolva, em R –{–4, –2}, a inequação 
 x – 4 _____ 
x + 2
 < x – 2 _____ 
x + 4
 .
 7. (Unioeste) O maior número natural que pode 
ser acrescentado ao numerador e ao deno-
minador de 3 __ 
7
 de forma a obter um número 
pertencente ao intervalo ] 1 __ 2 , 
4 __ 
5
 [ é: 
 8. (PUC-RJ) Considere a função real
g(x) = x4 – 40x2 + 144 e a função real
f(x) = x(x – 4) · (x + 4).
a) Para quais valores de x temos f(x) < 0?
b) Para quais valores de x temos g(x) < 0?
c) Para quais valores de x temos f(x) · g(x) > 0?
 9. (ITA) Determine todos os valores de m [ R tais 
que a equação (2 – m) x2 + 2mx + m + 2 = 0 te-
nha duas raízes reais distintas e maiores que 
zero. 
12
 10. (Ime) Resolva a inequação, onde x .
 9x
2
 ____________ 
(1 – √
_____
 3x + 1 )2
 > 4
E.O. ENEM
 1. (Enem) O setor de recursos humanos de uma 
empresa pretende fazer contratações para 
adequar-se ao artigo 93 da Lei nº 8.213/91, 
que dispõe:
Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais 
empregados está obrigada a preencher de 
2% (dois por cento) a 5% (cinco por cento) 
dos seus cargos com beneficiários reabilita-
dos ou pessoas com deficiência, habilitadas, 
na seguinte proporção:
I. até 200 empregados ........................2%; 
II. de 201 a 500 empregados ................3%; 
III. de 501 a 1.000 empregados .............4%; 
IV. de 1.001 em diante .........................5%. 
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 3 fev. 2015.
Constatou-se que a empresa possui 1.200 
funcionários, dos quais 10 são reabilitados 
ou com deficiência, habilitados.
Para adequar-se à referida lei, a empresa 
contratará apenas empregados que atendem 
ao perfil indicado no artigo 93.
O número mínimo de empregados reabilita-
dos ou com deficiência, habilitados, que de-
verá ser contratado pela empresa é:
a) 74. 
b) 70. 
c) 64. 
d) 60. 
e) 53. 
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
 1. (UERJ) Em um sistema de codificação, AB re-
presenta os algarismos do dia do nascimento 
de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês 
de nascimento. Nesse sistema, a data trinta 
de julho, por exemplo, corresponderia a:
 A = 3 B = 0 C = 0 D = 7 
Admita uma pessoa cuja data de nascimento 
obedeça à seguinte condição:
A + B + C + D = 20
O mês de nascimento dessa pessoa é: 
a) agosto
b) setembro
c) outubro
d) novembro
 2. (UERJ) Sabe-se que o polinômio 
P(x) = –2x3 – x2 + 4x + 2 pode ser decom-
posto na forma P(x) = (2x + 1) · (–x2 + 2). 
Representando as funções reais f(x) = 2x + 1 
e g(x) = –x2 + 2, num mesmo sistema de co-
ordenadas cartesianas, obtém-se o gráfico a 
seguir:
Y
f
g
1
2
2 X2
Tendo por base apenas o gráfico, é possível 
resolver a inequação –2x3 – x2 + 4x + 2 < 0.
Todos os valores de x que satisfazem a essa 
inequação estão indicados na seguinte alter-
nativa: 
a) x < – √
__
 2 ou x > – 1 __ 2 
b) x < – √
__
 2 ou x > √
__
 2 
c) x < – √
__
 2 ou – 1 __ 2 < x < 
√
__
 2 
d) – √
__
 2 < x < – 1 __ 2 ou x > 
√
__
 2 
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
 1. (UERJ) A tabela a seguir indica a quantidade 
dos produtos A, B e C, comprados nas lojas 
X, Y e Z, e as despesas, em reais, relativas às 
compras efetuadas.
 Produtos
Lojas
A B C
Despesas 
(R$)
X 3 2 1 80
Y 1 2 3 100
Z 1 2 0 40
De acordo com os dados, determine:
a) o intervalo de variação do preço do produto 
B, comprado na loja Z;
b) o preço unitário do produto A, admitindo 
que o preço de venda de cada produto é 
igual nas três lojas.
13
 2. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesia-
nas a seguir, estão representadas as funções 
f(x) = 4x – 4 e g(x) = 2x2 – 12x + 10.
unidades em cm
g(x)
f(x)P
x
y
Com base nos dados a seguir, determine:
a) as coordenadas do ponto P.
b) o conjunto-solução da inequação 
 
g(x)
 ____ 
f(x)
 < 0, f(x) ≠ 0. 
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
 1. (Fuvest) Por recomendação médica, uma 
pessoa deve fazer, durante um curto perío-
do, dieta alimentar que lhe garanta um mí-
nimo diário de 7 miligramas de vitamina A 
e 60 microgramas de vitamina D, alimentan-
do-se exclusivamente de um iogurte especial 
e de uma mistura de cereais, acomodada em 
pacotes. Cada litro do iogurte fornece 1 mi-
ligrama de vitamina A e 20 microgramas de 
vitamina D. Cada pacote de cereais fornece 
3 miligramas de vitamina A e 15 microgra-
mas de vitamina D. Consumindo x litros de 
iogurte e y pacotes de cereais diariamente, 
a pessoa terá certeza de estar cumprindo a 
dieta se: 
a) x + 3y ≥ 7 e 20x + 15y ≥ 60.
b) x + 3y ≤ 7 e 20x + 15y ≤ 60.
c) x + 20y ≥ 7 e 3x + 15y ≥ 60.
d) x + 20y ≤ 7 e 3x + 15y ≤ 60.
e) x + 15y ≥ 7 e 3x + 20y ≥ 60.
 2. (Unesp 2017) No universo dos números reais, 
a equação 
(x2 – 13x + 40)(x2 – 13x + 42)
 ____________________________ 
 √
____________
 x2 – 12x + 35 
 = 0 
é satisfeita por apenas:
a) três números.
b) dois números.
c) um número.
d) quatro números.
e) cinco números.
 3. (Fuvest) Um apostador ganhou um prêmio 
de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu in-
vestir parte do valor em caderneta de pou-
pança, que rende 6% ao ano, e o restante em 
um fundo de investimentos, que rende 7,5% 
ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a 
caderneta de poupança oferece algumas van-
tagens e ele precisa decidir como irá dividir 
o seu dinheiro entre as duas aplicações. Para 
garantir, após um ano, um rendimento to-
tal de pelo menos R$ 72.000,00 a parte da 
quantia a ser aplicada na poupança deve ser 
de, no máximo: 
a) R$ 200.000,00.
b) R$ 175.000,00.
c) R$ 150.000,00.
d) R$ 125.000,00.
e) R$ 100.000,00.
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
 1. (Unesp) Três empresas A, B e C comerciali-
zam o mesmo produto e seus lucros diários 
(L(x)), em reais, variam de acordo com o 
número de unidades diárias vendidas (x) 
segundo as relações:
Empresa A: L
A
 (x) = 10 ___ 
9
 x2 – 130 ____ 
9
 ? x + 580 ____ 
9
 
Empresa B: L
B
 (x) = 10x + 20
Empresa C: L
C
 (x) = 
120, se x < 15
10x – 30, se x ≥ 15
Unidades diárias vendidas x Lucro diário
Unidades diárias vendidas (x)
Lu
cr
o 
di
ár
io
 (
R$
)
Determine em que intervalo deve variar o 
número de unidades diárias vendidas para 
que o lucro da empresa B supere os lucros da 
empresa A e da empresa C. 
 2. (Unesp) A demanda de um produto químico 
no mercado é de D toneladas quando o preço 
por tonelada é igual a p (em milhares de re-
ais). Neste preço, o fabricante desse produ-
to oferece F toneladas ao mercado. Estudos 
econômicos do setor químico indicam que D 
e F variam em função de p, de acordo com as 
seguintes funções:
D(p) = 
3p2 – 21p
 _________ 
4 – 2p
 e F(p) = 
5p – 10
 _______3
 .
Admitindo-se p > 1 e sabendo que √
______
 7569 = 87, 
determine o valor de p para o qual a oferta 
é igual à demanda desse produto. Em segui-
da, e ainda admitindo-se p > 1, determine o 
intervalo real de variação de p para o qual a 
demanda D(p) do produto é positiva.
14
 3. (Unicamp) Uma lâmpada incandescente de 
100 W custa R$ 2,00. Já uma lâmpada flu-
orescente de 24 W, que é capaz de iluminar 
tão bem quanto a lâmpada incandescente de 
100 W, custa R$ 13,40. Responda às ques-
tões a seguir, lembrando que, em uma hora, 
uma lâmpada de 100 W consome uma quan-
tidade de energia equivalente a 100 Wh, ou 
0,1 kWh. Em seus cálculos, considere que 
1 kWh de energia custa R$ 0,50.
a) Levando em conta apenas o consumo de 
energia, ou seja, desprezando o custo de 
aquisição da lâmpada, determine quanto 
custa manter uma lâmpada incandescente 
de 100 W acesa por 750 horas. Faça o mesmo 
cálculo para uma lâmpada fluorescente de 
24 W.
b) Para iluminar toda a sua casa, João comprou 
e instalou apenas lâmpadas fluorescentes de 
24 W. Fernando, por sua vez, comprou e ins-
talou somente lâmpadas incandescentes de 
100 W para iluminar sua casa. Considerando 
o custo de compra de cada lâmpada e seu 
consumo de energia, determine em quantos 
dias Fernando terá gasto mais com ilumina-
ção que João. Suponha que cada lâmpada 
fica acesa 3 horas por dia. Suponha, tam-
bém, que as casas possuem o mesmo número 
de lâmpadas. 
 4. (Unifesp) Os candidatos que prestaram o 
ENEM podem utilizar a nota obtida na parte 
objetiva desse exame como parte da nota da 
prova de Conhecimentos Gerais da UNIFESP. 
A fórmula que regula esta possibilidade é 
dada por
95% CG + 5% ENEM, se ENEM > CG,
CG, se ENEM ≤ CG,
NF =
onde NF representa a nota final do candida-
to, ENEM a nota obtida na parte objetiva do 
ENEM e CG a nota obtida na prova de Conhe-
cimentos Gerais da UNIFESP.
a) Qual será a nota final, NF, de um candidato 
que optar pela utilização da nota no ENEM e 
obtiver as notas CG = 2,0 e ENEM = 8,0?
b) Mostre que qualquer que seja a nota obtida 
no ENEM, se ENEM > CG então NF > CG.
GABARITO
E.O. Aprendizagem 
1. D 2. D 3. C 4. B 5. B
6. D 7. E 8. B 9. B 10. B
E.O. Fixação 
1. B 2. D 3. E 4. C 5. A
6. B 7. A 8. D 9. D 10. B
E.O. Complementar 
1. D 2. B 3. D 4. D 5. D
E.O. Dissertativo
 1. ] –∞, 0 [ e ] 3 __ 2 , ∞[
 2. 
a) 3 < x < 5
b) ]–`, 2[ ø ]3,5[ ø ]6, +`[
 3. 
a) S = {x [ R | x < –1 ou x > 6}
b) k = – ___ 
4a
 = – 49 ________ 
4 · (–1)
 = 49 ___ 
4
 
 4. S = {x [ R | 1 < x ≤ 2 }
 5. 
a) {x [ R | 3 ≤ x ≤ 4}
b) 7 m e 4 m. 
 6. x < –4 ou x > –2.
 7. 12
 8. 
a) x [ R | x < –4 ou 0 < x < 4.
b) x [ R | –6 < x < –2 ou 2 < x < 6.
c) x [ R | –6 < x < –4 ou –2 < x < 0 ou 
2 < x < 4 ou x > 6.
 9. –2 < m < – √
__
 2 
 10. x > 0 S = R * + 
E.O. Enem
1. E
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. B 2. D
E.O. UERJ 
EXAME Discursivo
 1. 
a) 0 < B < 20
b) 10 reais 
15
 2. 
a) P (7, 24)
b) x < 5; x≠ 1
E.O. Objetivas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. C 3. A
E.O. Dissertativas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. ]10, 20[ 
 2. p = 5; 2 < p < 7
 3. 
a) 100W : R$37,50 ; 24W : R$9,00
b) Após 100 dias. 
 4. 
a) 2,3
b) Se ENEM > CG, então:
 NF = 0,95 · CG + 0,05 · ENEM > 0,95 · CG +
 + 0,05 · CG > CG NF > CG.
©
Fra
nc
k B
os
to
n/
Sh
ut
te
rs
to
ck
13 14
M
MATEMÁTICA
T
Relações, funções 
e definições
Competências
3, 4, 5 e 6
Habilidades
13, 15, 20 e 25
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
19
c) 
y
1
x
d) 
y
x
1
e) 
y
x
1
 3. (UFF) Considere as funções f, g e h, todas 
definidas em [m, n] com imagens em [p, q] 
representadas através dos gráficos a seguir:
y y y
f
q q q
g
h
p p p
n n nm m m
x x x
Pode-se afirmar que:
a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva.
b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobre- 
jetiva.
c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva.
d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva.
e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobre-
jetiva.
 4. (UEPG)Considerando os conjuntos:
R = {0, 1, 3, 5, 7}, S = {2, 4, 6} e P = {1, 2},
assinale o que for correto.
a) 1 [ (S – P).
b) Existe uma função f: S é P que é bijetora.
c) (S > P) < R = R.
d) R > S > P = Ö.
 5. (PUC-Camp) Seja f a função de R em R, dada 
pelo gráfico a seguir:
0 1-1 X
Y
2
2
-2
-2
É correto afirmar que:
a) f é sobrejetora e não injetora.
b) f é bijetora.
c) f(x) = f(–x) para todo x real.
d) f(x) > 0 para todo x real.
e) o conjunto imagem de f é ] –Ü; 2 ].
E.O. APRENDIZAGEM
 1. (Unaerp) Qual dos seguintes gráficos não re-
presenta uma função f: R é R?
a) 
y
xo
b) 
x
y
0
c) 
y
x
0
d) 
y
0
e) 
y
0
x
 2. Há funções y = f(x) que possuem a seguinte 
propriedade: “a valores distintos de x cor-
respondem valores distintos de y”.
Tais funções são chamadas injetoras.
Qual, dentre as funções cujos gráficos apare-
cem abaixo, é injetora?
a) 
y
x
1
b) 
y
x
1
20
 6. (FGV) Seja a função f(x) = x2. O valor de 
f(m + n) – f(m – n) é:
a) 2m2 + 2n2.
b) 2n2.
c) 4mn.
d) 2m2.
e) 0.
 7. (FEI) Se f(x) = 2 _____ 
x – 1
 , ?x ≠ 1, então √
________
 8f(f(2)) 
vale:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
Os ingressos para a pré-estreia mundial de 
um filme começaram a ser vendidos 20 dias 
antes da exibição do filme, sendo que:
 nos 10 primeiros dias desse período, as 
vendas foram feitas exclusivamente nas 
bilheterias;
 nos dez últimos dias, as vendas ocorre-
ram simultaneamente nas bilheterias e 
pela internet.
Considere que t representa o tempo, em dias, 
desde o início das vendas e v(t) o total de in-
gressos vendidos, em milhões, até o tempo t. 
 8. (Insper) Durante as vendas exclusivas nas 
bilheterias, a capacidade de atendimento 
dos guichês dos cinemas do mundo todo, ao 
longo do tempo, era sempre a mesma, totali-
zando a venda de 2 milhões de ingressos por 
dia. Assim, o gráfico que melhor descreve 
v(t) para esse período, em função de t, é:
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 9. (CFT-MG) O crescimento de uma cultura de 
bactérias ao longo de seis dias é mostrado no 
gráfico abaixo.
O conjunto imagem dessa função é:
a) {y [ R | 5000 < y < 18500}.
b) { x [ R | 0 < x < 6}.
c) {5000, 18500}.
d) [0,6[.
 10. Na função real definida por f(x) = 5x, f(a) · 
f(b) é sempre igual a:
a) f (a · b).
b) f (a + b).
c) f ( a __ 5 + b __ 5 ) .
d) f (5 · a · b).
e) f (a5 · b5).
E.O. FIXAÇÃO
 1. (CFT-MG) Sendo g(x) = f(x2 + 6) e a função 
f : R – {2} é R, definida por f(x) = 2 _____ 
x – 2
 , o 
domínio da função g, é o conjunto:
a) R – {1}.
b) R – {– √
__
 5 , √
__
 5 }.
c) R – {0}.
d) R.
21
 2. (UFSM) Escolhendo aleatoriamente alguns 
números das páginas de um livro adquirido 
numa livraria, foram formados os conjuntos 
A = {2, 5, 6} e B = {1, 3, 4, 6, 8}, sendo a 
relação definida por R = {(x,y) [ A × B | x ≥ y}.
Dessa forma:
a) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}.
b) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}.
c) D(R) = {2,5} e Im(R) = {1, 3, 4, 6}.
d) D(R) = {5,6} e Im(R) = {1, 3, 4, 6, 8}.
e) D(R) = {2, 5, 6} e Im(R) = {4, 6, 8}.
 3. (UECE) Se f(x) = √
__
 3 · x2 + 1, x [ R, então 
( √
__
 3 – 1) [f( √
__
 3 ) – f( √
__
 2 )+1] é igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 2 √
__
 3 .
d) 3 √
__
 3 .
 4. (UEL) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} 
e B = {2, 8, 9} e a relação R, de A em B, de-
finida por R = {(x,y) [ A x B | x é divisor de 
y}. Nestas condições, R é o conjunto:
a) {(0, 2), (0, 8), (0, 9), (1, 2), (1, 8), (1, 9), 
(2,2), (2, 8), (3, 9), (4, 8)}.
b) {(1, 2), (1, 8), (1, 9), (2, 2), (2, 8), (3, 9), 
(4, 8)}.
c) {(2, 1), (2, 2), (8, 1), (8, 2), (8, 4), (9, 1), 
(9, 3)}.
d) {(0, 2), (0, 8), (0, 9), (2, 2)}.
e) {(2, 0), (2, 2), (2, 4)}.
 5. (UFPE) Dentre as curvas a seguir, qual 
pode ser o gráfico de uma função injetora 
y = f(x)?
a) 
y
0 x
b) 
0 x
y
c) 
x
y
0
d) 
y
x
0
e) 
y
x
0
 6. (UFRN) Sejam E o conjunto formado por to-
das as escolas de ensino médio de Natal e P o 
conjunto formado pelos números que repre-
sentam a quantidade de professores de cada 
escola do conjunto E.
Se f: E é P é a função que a cada escola de 
E associa seu número de professores, então:
a) f não pode ser uma função bijetora.
b) f não pode ser uma função injetora.
c) f é uma função sobrejetora.
d) f é necessariamente uma função injetora.
 7. (CFT-MG) Nos conjuntos P = {0, 1, 2} e 
R = {(x, y) [ P × P | x + y < 3}, o número de 
elementos do conjunto R é igual a:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
 8. (UFRN) Considerando K = {1, 2, 3, 4}, mar-
que a opção, cuja figura representa o produ-
to cartesiano K × K.
a) 
4
y
x
3
2
1
1 2 3 4
b) 
4
y
x
3
2
1
1 2 3 4
c) 
4
y
x
3
2
1
1 2 3 4
d) 
4
y
x
3
2
1
1 2 3 4
 9. Considere a função f(x) = 1 – 4x ________ 
(x + 1)²
 , 
a qual está definida para x ≠ –1. Então, para 
todo x ≠ 1 e x ≠ –1, o produto f(x) ∙ f(–x) 
é igual a:
a) –1.
b) 1.
c) x + 1.
d) x² + 1.
e) (x – 1)².
22
 10. (Espcex) O domínio da função real
f(x) = 
 dXXXXX 2 – x 
 ___________ 
x2 – 8x + 12
 é:
a) ]2, Ü[.
b) ]2, 6[.
c) ]–Ü, 6].
d) ]–2, 2].
e) ]–Ü, 2[.
E.O. COMPLEMENTAR
 1. (IFAL) O domínio da função dada por
f(x) = 
 dXXXXX x – 2 
 ______ 
 dXXXXX 3 – x 
 é:
a) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3}.
b) {x [ R | –2 ≤ x < 3}.
c) {x [ R | 2 ≤ x < 3}.
d) {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3}.
e) {x [ R | x ≠ 3}.
 2. Através dos gráficos das funções f(x) e g(x), 
os valores de f(g(0)) e g(f(1)) são, respecti-
vamente:
a) –5 e 0.
b) –5 e 2.
c) 0 e 0.
d) 2 e –5.
e) 2 e 0.
 3. Uma função f de variável real satisfaz a con-
dição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que 
seja o valor da variável x. Sabendo-se que 
f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a:
a) 1 __ 2 .
b) 1.
c) 5 __ 2 .
d) 5.
e) 10.
 4. (FEI) Sabendo-se que f(x + y) = f(x) · f(y) 
para qualquer valor real x e qualquer valor 
real y, é válido afirmar-se que:
a) f (0) = 1.
b) f (1) = 1.
c) f (0) = 0.
d) f (1) = 0.
e) f (–1) = f(1).
 5. (ITA) Considere funções f, g, f + g : R é R.
Das afirmações:
I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora;
II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobreje-
tora;
III. Se f e g não são injetoras, f + g não é in-
jetora;
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é 
sobrejetora,
é(são) verdadeira(s):
a) nenhuma.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
d) apenas III e IV.
e) todas.
E.O. DISSERTATIVO
 1. (UFF) Esboce, no sistema de eixos coorde-
nados abaixo, o gráfico de uma função real, 
cujo domínio é o intervalo [1,2] e cuja ima-
gem é o conjunto [–2, –1] < [2,3].
 2. (Ufrrj) Considere a função real f, para a
qual f(x + 1) – f(x) = 2x, ? x [ R. Determine
o valor de f(7) – f(3).
 3. (UFPE) Seja A um conjunto com 3 elementos
e B um conjunto com 5 elementos. Quantas
funções injetoras de A em B existem?
 4. (UFPE) A função f : R é R é tal que 
f(x + y) = f(x) + f(y), para todo x e y. Calcule 
f(0) + 1.
23
 5. Em cada uma das funções abaixo, indique os 
conjuntos domínio e imagem e classifique, se 
possível, se a função é injetora, sobrejetora 
ou bijetora.
a) 
y
1
f: [-2, 2] � R
x
-2
2
-1
b) 
9
-3 30
y
x
f:]-3,3[�[0,9[
c) 
3
y
f: [-3, 4[ � R+
-3
-2
4
x
R
 6. (UFPE) Na(s) questão(ões) a seguir escreva 
nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for 
verdadeira ou (F) se for falsa.
Sejam A e B conjuntos com m e n elementos 
respectivamente. Analise as seguintes afir-
mativas:
( ) Se f: A é B é uma função injetora então 
m ≤ n.
( ) Se f: A é B é uma função sobrejetora então 
m ≥ n.
( ) Se f: A é B é uma função bijetora então 
m = n.
( ) Se f: A é B é uma função bijetora então o 
gráfico de f é um subconjunto de A × B com 
m × n elementos.
( ) Se m = n o número de funções bijetoras 
f: A é B é m!
 7. Examine cada relação e escreva se é uma 
função de A em B ou não. Em caso afirmativo, 
determine o domínio, a imagem e o contra-
domínio.
a) 
-2. 0.
0. 4.
.16 .12
. 82.
A R
1
B
4.
b) 
4. . 0
. 10
. 100
. 1000
. 1
A B
1.
2.
3.0.
 8. (CFT-CE) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} 
e B = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da se-
guinte relação: R = {(x, y) A × B | y = x + 1}.
 9. Uma função de variável real satisfaz a condi-
ção f(x + 2) = 2f(x) + f(1), qualquer que seja 
a variável x.
Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de:
a) f(1).
b) f(5).
 10. Uma função tem domínio D = {3, 7, 10} e 
associa cada elemento do domínio ao dobro
do valor dele. Qual é a imagem dessa função?
E.O. ENEM
 1. (Enem) Em um exame, foi feito o monitora-
mento dos níveis de duas substâncias pre-
sentes (A e B) na corrente sanguínea de uma 
pessoa, durante um período de 24 h, confor-
me o resultado apresentado na figura. Um 
nutricionista, no intuito de prescrever uma 
dieta para essa pessoa, analisou os níveis 
dessas substâncias, determinando que, para 
uma dieta semanal eficaz, deverá ser esta-
belecido um parâmetro cujo valor será dado 
pelo número de vezes em que os níveis de 
A e de B forem iguais, porém, maiores que 
o nível mínimo da substância A durante o 
período de duração da dieta.
 
24
Considere que o padrão apresentado no re-
sultado do exame, no período analisado, se 
repita para os dias subsequentes.
O valor do parâmetro estabelecido pelo nu-
tricionista, para uma dieta semanal, será 
igual a: 
a) 28.
b) 21.
c) 2.
d) 7.
e) 14.
 2. (Enem) Atualmente existem diversas locado-
ras de veículos, permitindo uma concorrência 
saudável para o mercado, fazendo com que os 
preços se tornem acessíveis. Nas locadoras P e 
Q o valor da diária de seus carros depende da 
distância percorrida, conforme o gráfico.
 
O valor pago na locadora Q é menor ou igual 
àquele pago na locadora P para distâncias, 
em quilômetros, presentes em qual(is) 
intervalo(s)? 
a) De 20 a 100. 
b) De 80 a 130. 
c) De 100 a 160. 
d) De 0 a 20 e de 100 a 160. 
e) De 40 a 80 e de 130 a 160. 
 3. (Enem) Deseja-se postar cartas não comer-
ciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma 
de 350 g. O gráfico mostra o custo para enviar 
uma carta não comercial pelos Correios:
O valor total gasto, em reais, para postar es-
sas cartas é de: 
a) 8,35. 
b) 12,50. 
c) 14,40. 
d) 15,35. 
e) 18,05. 
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
 1. (UERJ) O gráfico abaixo representa o consu-
mo de oxigênio de uma pessoa que se exer-
cita, em condições aeróbicas, numa bicicleta 
ergométrica. Considere que o organismo li-
bera, em média, 4,8 kcal para cada litro de 
oxigênio absorvido.
0 5 15 20 (min)
1,4
1,0
Co
ns
um
o 
de
 O
2 
(L
/m
in
)
A energia liberada no período entre 5 e 15 
minutos, em kcal, é: 
a) 48,0. 
b) 52,4. 
c) 67,2. 
d) 93,6. 
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
 1. (Unesp) Considere os conjuntos A e B:
A = {–30, –20, –10, 0, 10, 20, 30} e
B = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 
900, 1000}, e a função f: A é B, f(x) = x2 + 100.
O conjunto imagem de f é:
a) {–30, –20, –10, 0, 10, 20, 30}.
b) {100, 200, 500, 1000}.
c) {300, 400, 600, 700, 800, 900}.
d) {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 
900, 1000}.
e) conjunto vazio.
25
 2. (Fuvest) A figura a seguir representa o gráfi-
co de uma função da forma f(x) = 
(x + a)
 ________ 
(bx + c)
 , 
para –1 ≤ x ≤ 3.
-1
y
x
1
3
-1
-3
1/5
1 2 3
Pode-se concluir que o valor de b é: 
a) –2. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 1. 
e) 2. 
 3. (Unesp) Considere duas funções, f e g, de-
finidas no intervalo I = {x R|1 ≤ x ≤ 5}, 
tais que f(1) = g(1) = 0, f(3) · g(3) = 0 e 
f(5) > g(5). Representando o gráfico de f em 
linha cheia e o de g em linha tracejada, a 
figura que melhor se ajusta a esses dados é:
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
GABARITO
E.O. Aprendizagem 
1. E 2. E 3. A 4. D 5. A
6. C 7. D 8. C 9. A 10 B
E.O. Fixação 
1. D 2. B 3. A 4. B 5. E
6. C 7. D 8. A 9. B 10. E
E.O. Complementar 
1. C 2. B 3. C 4. A 5. A
E.O. Dissertativo
 1.
 2. f(7) – f(3) = 36
 3. 60
 4. 1
 5. 
a) D(f) = [–2, 2]
Im(f) = [–1, 1]
A função é injetora.
b) D(f) = ] –3, 3[
Im(f) = [0, 9[
A função é sobrejetora.
c) D(f) = [–3, 4[
Im(f) = ] –2, 3]
A função é injetora. 
 6. V V V F V
 7. 
a) É função; D = {–2, 0, 2, 4}; Im = {0, 4, 16}; 
CD = {0, 4, 8, 12, 16}
b) Não é função.
 8. R = {(0, 1), (2, 3), (4, 5), (8, 9)}
 9. 
a) f(1) = 2
b) f(5) = 14
 10. {6, 14, 20}
26
E.O. Enem
1. E 2. D 3. D
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
1. C
E.O. Objetivas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. D 3. C
15 16
M
MATEMÁTICA
T
Funções do 1º grau
Competências
3, 4, 5 e 6
Habilidades
13, 15, 19, 20 
e 25
©
 w
av
eb
re
ak
me
dia
/S
hu
tte
rs
to
ck
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados paramedidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
29
a) Os dois grupos melhoraram as notas.
b) A nota do grupo I, em 2008, foi 80.
c) A nota do grupo I aumentou de 2008 a 2009 
e diminuiu de 2009 a 2010.
d) A nota do grupo II não sofreu alteração.
e) A nota do grupo I aumentou, enquanto a 
nota do grupo II diminuiu.
 5. (UFSM) Em relação ao gráfico, considerando 
2007 como x = 1, 2008 como x = 2 e assim, 
sucessivamente, a função afim y = ax + b que 
melhor expressa a evolução das notas em
Matemática do grupo II é:
a) y = 5 __ 2 x + 
145 ____ 2 .
b) y = – 5 __ 2 x + 
145 ____ 2 .
c) y = – 2 __ 5 x – 
145 ____ 2 .
d) y = 2 __ 5 x + 
145 ____ 2 .
e) y = – 5x – 145.
 6. (Unioeste) Uma empresa de telefonia ce-
lular possui somente dois planos para seus 
clientes optarem entre um deles. No plano 
A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 
e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer li-
gação. No plano B, o cliente paga uma tarifa 
fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto 
de qualquer ligação. É correto afirmar que, 
para o cliente:
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais 
vantajoso que o plano A.
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é 
mais vantajoso que o plano A.
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo 
plano A igual ao custo pelo plano B.
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o 
plano A, independente de quantos minutos 
sejam cobrados.
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o 
plano B, independente de quantos minutos 
sejam cobrados.
 7. (IFSP) Uma empresa está organizando uma 
ação que objetiva diminuir os acidentes. 
Para comunicar seus funcionários, apresen-
tou o gráfico a seguir. Ele descreve a tendên-
cia de redução de acidentes de trabalho.
Assim sendo, mantida constante a redução 
nos acidentes por mês, então o número de 
acidentes será zero em:
E.O. APRENDIZAGEM
 1. O gráfico representa a função real definida 
por f(x) = a x + b.
O valor de a + b é igual a:
a) 0,5.
b) 1,0.
c) 1,5.
d) 2,0.
 2. Os preços dos ingressos de um teatro nos se-
tores 1, 2 e 3 seguem uma função polinomial 
do primeiro grau crescente com a numeração 
dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 
é de R$ 120,00 e no setor 3 é de R$ 400,00, 
então o ingresso no setor 2, em reais, custa:
a) 140.
b) 180.
c) 220.
d) 260.
 3. Na função f(x) = mx – 2(m – n), m e n . 
Sabendo que f(3) = 4 e f(2) = –2, os valores 
de m e n são, respectivamente 
a) 1 e –1.
b) –2 e 3.
c) 6 e –1.
d) 6 e 3.
GRÁFICO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES
 4. (UFSM) O gráfico acima mostra a evolução 
das notas em Matemática de dois grupos de 
estudantes, denominados grupo I e grupo II. 
Analisando o gráfico e considerando o perío-
do de 2007 a 2010, é possível afirmar:
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Riscado
zeila
Riscado
zeila
Riscado
zeila
Riscado
zeila
Riscado
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
30
a) maio.
b) junho.
c) julho.
d) agosto.
e) setembro.
 8. Um experimento da área de Agronomia mos-
tra que a temperatura mínima da superfí-
cie do solo t(x), em °C, é determinada em 
função do resíduo x de planta e biomassa na 
superfície, em g/m2, conforme registrado na 
tabela seguinte. 
x(g/m2) 10 20 30 40 50 60 70
t(x) (°C) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60
Analisando os dados acima, é correto con-
cluir que eles satisfazem a função:
a) y = 0,006x + 7,18.
b) y = 0,06x + 7,18.
c) y = 10x + 0,06.
d) y = 10x + 7,14.
 9. (UECE) Em uma corrida de táxi, é cobrado 
um valor inicial fixo, chamado de bandeira-
da, mais uma quantia proporcional aos qui-
lômetros percorridos. Se por uma corrida de 
8 km paga-se R$ 28,50 e por uma corrida 
de 5 km paga-se R$ 19,50, então o valor da 
bandeirada é:
a) R$ 7,50.
b) R$ 6,50.
c) R$ 5,50.
d) R$ 4,50.
 10. (Ufpr) O gráfico abaixo representa o consu-
mo de bateria de um celular entre as 10 h e 
as 16 h de um determinado dia.
 
Supondo que o consumo manteve o mesmo 
padrão até a bateria se esgotar, a que horas 
o nível da bateria atingiu 10%?
a) 18 h.
b) 19 h.
c) 20 h.
d) 21 h.
e) 22 h.
E.O. FIXAÇÃO
 1. O custo total C, em reais, de produção de x 
kg de certo produto é dado pela expressão 
C(x) = 900x + 50. 
O gráfico abaixo é o da receita R, em reais, 
obtida pelo fabricante, com a venda de x kg 
desse produto.
 
Qual porcentagem da receita obtida com a 
venda de 1 kg do produto é lucro?
a) 5%.
b) 10%.
c) 12,5%.
d) 25%.
e) 50%.
 2. (Unisinos) Qual dos gráficos abaixo repre-
senta a reta de equação y = 2x + 3?
a) 
b) 
c)
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
zeila
Realce
31
d)
 
e) 
 3. (UEPA) O treinamento físico, na dependên-
cia da qualidade e da quantidade de esfor-
ço realizado, provoca, ao longo do tempo, 
aumento do peso do fígado e do volume do 
coração. De acordo com especialistas, o fíga-
do de uma pessoa treinada tem maior capa-
cidade de armazenar glicogênio, substância 
utilizada no metabolismo energético duran-
te esforços de longa duração. De acordo com 
dados experimentais realizados por Thörner 
e Dummler (1996), existe uma relação line-
ar entre a massa hepática e o volume cardí-
aco de um indivíduo fisicamente treinado. 
Nesse sentido, essa relação linear pode ser 
expressa por y = ax + b onde “y” representa 
o volume cardíaco em mililitros (ml) e “x” 
representa a massa do fígado em gramas (g). 
A partir da leitura do gráfico abaixo, afirma-
-se que a lei de formação linear que descreve 
a relação entre o volume cardíaco e a massa 
do fígado de uma pessoa treinada é:
a) y = 0,91x – 585.
b) y = 0,92x + 585.
c) y = –0,93x – 585.
d) y = –0,94x + 585.
e) y = 0,95x – 585.
 4. (FGV) Quando o preço por unidade de certo 
modelo de telefone celular é R$ 250,00, são 
vendidas 1400 unidades por mês. Quando o 
preço por unidade é R$ 200,00, são vendidas 
1700 unidades mensalmente.
Admitindo que o número de celulares vendi-
dos por mês pode ser expresso como função 
polinomial do primeiro grau do seu preço, 
podemos afirmar que, quando o preço for 
R$ 265,00, serão vendidas:
a) 1290 unidades.
b) 1300 unidades.
c) 1310 unidades.
d) 1320 unidades.
e) 1330 unidades.
 5. O volume de água de um reservatório au-
menta em função do tempo, de acordo com o 
gráfico abaixo:
Para encher este reservatório de água com 
2500 litros, uma torneira é aberta. Qual o 
tempo necessário para que o reservatório fi-
que completamente cheio?
a) 7h
b) 6h50min
c) 6h30min
d) 7h30min
e) 7h50min
 6. (Mackenzie) Na figura, considere os gráficos 
das funções f(x) = ax + b e g(x) = mx + n. Se
P = ( 7 __ 4 , 
1 __ 
2
 ) , o valor de a + n ______ b · m é:
a) 3. b) 2. c) 6. d) 5. e) 1.
32
 7. (Insper) Num restaurante localizado numa cidade do Nordeste brasileiro são servidos diversos 
tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou numa tabela as 
temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média diária de bolas de sor-
vete servidas como sobremesa no período noturno.
mês jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez
temperatura
média mensal
(graus Celsius)
29 30 28 27 25 24 23 24 24 28 30 29
bolas de sorvete 980 1000 960 940 900 880 860 880 880 960 1000 980
Ao analisar asvariáveis da tabela, um aluno de Administração, que fazia estágio de férias no res-
taurante, percebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo y = ax + b sendo x a temperatura 
média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao ver o estudo, o dono 
do restaurante fez a seguinte pergunta:
“É possível com base nessa equação saber o quanto aumentam as vendas médias diárias de sorvete 
caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado?”
Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que fez é:
a) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são vendidas.
b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta.
c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação.
d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação.
e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação.
 8. (ESPM) O gráfico abaixo mostra o número de pessoas comprovadamente infectadas pelo vírus 
H1N1 numa certa cidade do Brasil, entre os meses de maio e setembro de 2009. Na hipótese de um 
crescimento linear desse surto, representado pela reta r, pode-se prever que o número de pessoas 
infectadas em dezembro de 2009 será igual a:
a) 30. b) 36. c) 40. d) 44. e) 48.
 9. (FGV) Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um 
produto fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade produzida e vendida. Qual o lucro 
obtido ao se produzir e vender 1350 unidades por mês?
a) 1740 b) 1750 c) 1760 d) 1770 e) 1780
33
 10. (Epcar) Luiza possui uma pequena confec-
ção artesanal de bolsas. No gráfico abaixo, a 
reta c representa o custo total mensal com a 
confecção de x bolsas e a reta f representa o 
faturamento mensal de Luiza com a confec-
ção de x bolsas.
Com base nos dados acima, é correto afir-
mar que Luiza obtém lucro se, e somente se, 
vender:
a) no mínimo 2 bolsas.
b) pelo menos 1 bolsa.
c) exatamente 3 bolsas.
d) no mínimo 4 bolsas.
E.O. COMPLEMENTAR
 1. (Mackenzie) LOCADORA X
Taxa fixa: R$ 50,00
Preço por quilômetro percorrido: R$ 1,20
LOCADORA Y
Taxa fixa: R$ 56,00
Preço por quilômetro percorrido: R$ 0,90
Observando os dados anteriores, referente 
aos valores cobrados por duas locadoras X e 
Y de veículos, é CORRETO afirmar que:
a) para exatamente 20 quilômetros percorri-
dos, esses valores são iguais.
b) a partir de 20 quilômetros rodados, o custo 
total em X é menor do que em Y.
c) para X, o custo total é sempre menor.
d) a partir de 15 quilômetros rodados, o custo 
total em Y é menor do que em X.
e) até 32 quilômetros rodados, o custo total em 
X é menor do que em Y.
 2. (UEMG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha
14 milhões de usuários residenciais na rede 
mundial de computadores. Em fevereiro de 
2008, esses internautas somavam 22 mi-
lhões de pessoas – 8 milhões, ou 57% a mais.
Deste total de usuários, 42% ainda não usam 
banda larga (internet mais rápida e estável).
Só são atendidos pela rede discada”.
Atualidade e Vestibular 2009, 1º semestre, ed Abril
Baseando-se nessa informação, observe o 
gráfico, a seguir:
Se mantida, pelos próximos meses, a ten-
dência de crescimento linear, mostrada no 
gráfico acima, o número de usuários resi-
denciais de computadores, em dezembro de 
2009, será igual a:
a) 178 × 106.
b) 174 × 105.
c) 182 × 107.
d) 198 × 106.
 3. (Espcex) Considere as funções reais f(x) = 
3x, de domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domí-
nio [6, 9]. Os valores máximo e mínimo que 
o quociente 
f(x)
 ____ 
g(y)
 pode assumir são, respecti-
vamente:
a) 2 __ 3 e 
1 __ 2 .
b) 1 __ 3 e 1.
c) 4 __ 3 e 
3 __ 4 .
d) 3 __ 4 e 
1 __ 3 .
e) 1 e 1 __ 3 .
 4. (ESPM) A função f(x) = ax + b é estrita-
mente decrescente. Sabe-se que f(a) = 2b e 
f(b) = 2a. O valor de f(3) é:
a) 2.
b) 4.
c) –2.
d) 0.
e) –1.
 5. (FGV) Como consequência da construção de 
futura estação de metrô, estima-se que uma 
casa que hoje vale R$ 280.000,00 tenha um 
crescimento linear com o tempo (isto é, o grá-
fico do valor do imóvel em função do tempo é 
uma reta), de modo que a estimativa de seu 
valor daqui a 3 anos seja de R$ 325. 000,00. 
Nessas condições, o valor estimado dessa 
casa daqui a 4 anos e 3 meses será de:
a) R$ 346.000,00.
b) R$ 345.250,00.
c) R$ 344.500,00.
d) R$ 343.750,00.
e) R$ 343.000,00.
34
E.O. DISSERTATIVO
 1. (UEMA) A fim de realizar o pagamento de uma 
festa de formatura, estabeleceu-se um valor de 
R$ 800,00 para cada aluno formando e mais 
um valor adicional por cada convidado.
Considerando que um formando convidou 
8 pessoas, tendo despendido o total de 
R$ 1.200,00, determine o valor pago por 
esse formando por cada convidado.
 2. (UEL) Na cidade A, o valor a ser pago pelo 
consumo de água é calculado pela companhia 
de saneamento, conforme mostra o quadro a 
seguir.
Quantidade de água
consumida (em m3)
Valor a ser pago pelo 
consumo de água 
(em reais)
Até 10 R$18,00
Mais do que 10
R$18,00 + (R$2,00 por m3
que excede 10 m3)
Na cidade B, outra companhia de saneamen-
to determina o valor a ser pago pelo consu-
mo de água por meio da função cuja lei de 
formação é representada algebricamente por
B(x) = { 17, se x ≤ 10 2,1x – 4, se x > 10 em que x repre-
senta a quantidade de água consumida (em 
m3) e B(x) representa o valor a ser pago (em 
reais).
a) Represente algebricamente a lei de formação 
da função que descreve o valor a ser pago 
pelo consumo de água na cidade A.
b) Para qual quantidade de água consumida, o 
valor a ser pago será maior na cidade B do 
que na cidade A?
 3. (UFMG) A fábula da lebre e da tartaruga, do 
escritor grego Esopo, foi recontada utilizan-
do se o gráfico abaixo para descrever os des-
locamentos dos animais.
Suponha que na fábula a lebre e a tartaruga 
apostam uma corrida em uma pista de 200 
metros de comprimento. As duas partem do 
mesmo local no mesmo instante. A tartaru-
ga anda sempre com velocidade constante. A 
lebre corre por 5 minutos, para, deita e dor-
me por certo tempo. Quando desperta, volta 
a correr com a mesma velocidade constante 
de antes, mas, quando completa o percurso, 
percebe que chegou 5 minutos depois da tar-
taruga.
Considerando essas informações:
a) determine a velocidade média da tartaruga 
durante esse percurso, em metros por hora.
b) determine após quanto tempo da largada a 
tartaruga alcançou a lebre.
c) determine por quanto tempo a lebre ficou 
dormindo.
 4. (UFPR) Numa expedição arqueológica em 
busca de artefatos indígenas, um arqueólogo 
e seu assistente encontraram um úmero, um 
dos ossos do braço humano. Sabe-se que o 
comprimento desse osso permite calcular a 
altura aproximada de uma pessoa por meio 
de uma função do primeiro grau.
a) Determine essa função do primeiro grau, saben-
do que o úmero do arqueólogo media 40 cm e 
sua altura era 1,90 m, e o úmero de seu assis-
tente media 30 cm e sua altura era 1,60 m.
b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico 
media 32 cm, qual era a altura aproximada 
do indivíduo que possuía esse osso?
 5. Considere a função f: R é R, definida por 
f(x) = 2x – 1. Determine todos os valores de 
m [ R para os quais é válida a igualdade:
f(m2) – 2f(m) + f(2m) = m/2.
 6. (UFES) O preço de uma certa máquina nova 
é R$ 10.000,00. Admitindo-se que ela tenha 
sido projetada para durar 8 anos e que sofra 
uma depreciação linear com o tempo, ache a 
fórmula que dá o preço P(t) da máquina após 
t anos de funcionamento, 0 ≤ t ≤ 8, e esboce 
o gráfico da função P.
 7. (UFJF) Uma construtora, para construir o 
novo prédio da biblioteca de uma univer-
sidade, cobra um valor fixo para iniciar as 
obras e mais um valor, que aumenta de acor-
do com o passar dos meses da obra. O gráfico 
abaixo descreve o custo da obra, em milhões 
de reais, em função do número de meses uti-
lizados para a construção da obra.
35
 2. (Enem) O saldo de contrataçõesno mercado 
formal no setor varejista da região metropoli-
tana de São Paulo registrou alta. Comparando 
as contratações deste setor no mês de feve-
reiro com as de janeiro deste ano, houve in-
cremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 
880.605 trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.
br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que o incremento de trabalhadores 
no setor varejista seja sempre o mesmo nos 
seis primeiros meses do ano. Considerando-
-se que y e x representam, respectivamente, 
as quantidades de trabalhadores no setor 
varejista e os meses, janeiro sendo o primei-
ro, fevereiro, o segundo, e assim por dian-
te, a expressão algébrica que relaciona essas 
quantidades nesses meses é:
a) y = 4.300x.
b) y = 884.905x.
c) y = 872.005 + 4.300x.
d) y = 876.305 + 4.300x.
e) y = 880.605 + 4.300x.
 3. (Enem) As frutas que antes se compravam 
por dúzias, hoje em dia, podem ser compra-
das por quilogramas, existindo também a va-
riação dos preços de acordo com a época de 
produção. Considere que, independente da 
época ou variação de preço, certa fruta custa 
R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o 
que representa o preço m pago em reais pela 
compra de n quilogramas desse produto é:
a) 
b) 
c) 
d) 
a) Obtenha a lei y = f(x), para x > 0, que deter-
mina o gráfico.
b) Determine o valor inicial cobrado pela constru-
tora para a construção do prédio da biblioteca.
c) Qual será o custo total da obra, sabendo que 
a construção demorou 10 meses para ser fi-
nalizada?
 8. (Uel) ViajeBem é uma empresa de aluguel 
de veículos de passeio que cobra uma tarifa 
diária de R$ 160,00 mais R$ 1,50 por quilô-
metro percorrido, em carros de categoria A. 
AluCar é uma outra empresa que cobra uma 
tarifa diária de R$ 146,00 mais R$ 2,00 por 
quilômetro percorrido, para a mesma catego-
ria de carros.
a) Represente graficamente, em um mesmo 
plano cartesiano, as funções que determi-
nam as tarifas diárias cobradas pelas duas 
empresas de carros da categoria A que per-
correm, no máximo, 70 quilômetros.
b) Determine a quantidade de quilômetros per-
corridos para a qual o valor cobrado é o mes-
mo. Justifique sua resposta apresentando os 
cálculos realizados. 
E.O. ENEM
 1. (Enem) No Brasil há várias operadoras e pla-
nos de telefonia celular.
Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D 
e E) de planos telefônicos. O valor mensal de 
cada plano está em função do tempo mensal 
das chamadas, conforme o gráfico.
Essa pessoa pretende gastar exatamente 
R$ 30,00 por mês com telefone.
Dos planos telefônicos apresentados, qual 
é o mais vantajoso, em tempo de chamada, 
para o gasto previsto para essa pessoa?
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
36
e) 
 4. (Enem) O prefeito de uma cidade deseja cons-
truir uma rodovia para dar acesso a outro mu-
nicípio. Para isso, foi aberta uma licitação na 
qual concorreram duas empresas. A primeira 
cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), 
acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, 
enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 
por km construído (n), acrescidos de um va-
lor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas 
apresentam o mesmo padrão de qualidade 
dos serviços prestados, mas apenas uma delas 
poderá ser contratada. Do ponto de vista eco-
nômico, qual equação possibilitaria encontrar 
a extensão da rodovia que tornaria indiferen-
te para a prefeitura escolher qualquer uma 
das propostas apresentadas?
a) 100n + 350 = 120n + 150
b) 100n + 150 = 120n + 350
c) 100(n + 350) = 120(n + 150)
d) 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000)
e) 350(n + 100.000) = 150(n + 120.000)
 5. (Enem) O gráfico mostra o número de favelas 
no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 
2004, considerando que a variação nesse nú-
mero entre os anos considerados é linear.
Se o padrão na variação do período 2004/2010 
se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo 
que o número de favelas em 2010 é 968, en-
tão o número de favelas em 2016 será:
a) menor que 1150.
b) 218 unidades maior que em 2004.
c) maior que 1150 e menor que 1200.
d) 177 unidades maior que em 2010.
e) maior que 1200.
 6. (Enem) As curvas de oferta e de demanda 
de um produto representam, respectivamen-
te, as quantidades que vendedores e consu-
midores estão dispostos a comercializar em 
função do preço do produto. Em alguns ca-
sos, essas curvas podem ser representadas 
por retas. Suponha que as quantidades de 
oferta e de demanda de um produto sejam, 
respectivamente, representadas pelas equa-
ções:
Q
O
 = –20 + 4P
Q
D
 = 46 – 2P
Em que Q
O
 é quantidade de oferta, Q
D
 é a 
quantidade de demanda e P é o preço do 
produto.
A partir dessas equações, de oferta e de de-
manda, os economistas encontram o preço 
de equilíbrio de mercado, ou seja, quando Q
O
 
e Q
D
 se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do pre-
ço de equilíbrio?
a) 5
b) 11
c) 13
d) 23
e) 33
 7. (Enem) As sacolas plásticas sujam flores-
tas, rios e oceanos e quase sempre acabam 
matando por asfixia peixes, baleias e outros 
animais aquáticos. No Brasil, em 2007, fo-
ram consumidas 18 bilhões de sacolas plás-
ticas. Os supermercados brasileiros se prepa-
ram para acabar com as sacolas plásticas até 
2016. Observe o gráfico a seguir, em que se 
considera a origem como o ano de 2007.
De acordo com as informações, quantos bi-
lhões de sacolas plásticas serão consumidos 
em 2011?
a) 4,0
b) 6,5
c) 7,0
d) 8,0
e) 10,0
37
E.O. UERJ 
EXAME DE QUALIFICAÇÃO
 1. (UERJ) SABEDORIA EGÍPCIA
Há mais de 5.000 anos os egípcios observa-
ram que a sombra no chão provocada pela 
incidência dos raios solares de um gnômon 
(um tipo de vareta) variava de tamanho e de 
direção. Com medidas feitas sempre ao meio 
dia, notaram que a sombra, com o passar dos 
dias, aumentava de tamanho. Depois de che-
gar a um comprimento máximo, ela recuava 
até perto da vareta. As sombras mais longas 
coincidiam com dias frios. E as mais curtas, 
com dias quentes.
(Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001.)
0 B
A
Sol
Início do
verão (sombra
mais curta)
Outono ou
primavera
Início do
inverno (sombra
mais longa)
Comprimento da
sombra ao meio-diaV
ar
et
a
Um estudante fez uma experiência seme-
lhante à descrita no texto, utilizando uma 
vareta OA de 2 metros de comprimento. No 
início do inverno, mediu o comprimento da 
sombra OB, encontrando 8 metros.
Utilizou, para representar sua experiência, 
um sistema de coordenadas cartesianas, no 
qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das 
abscissas (x) continham, respectivamente, 
os segmentos de reta que representavam a 
vareta e a sombra que ela determinava no 
chão.
Esse estudante pôde, assim, escrever a se-
guinte equação da reta que contém o seg-
mento AB: 
a) y = 8 – 4x
b) x = 6 – 3y
c) x = 8 – 4y
d) y = 6 – 3x
 2. (UERJ) O balanço de cálcio é a diferença en-
tre a quantidade de cálcio ingerida e a quan-
tidade excretada na urina e nas fezes. É usu-
almente positivo durante o crescimento e a 
gravidez e negativo na menopausa, quando 
pode ocorrer a osteoporose, uma doença ca-
racterizada pela diminuição da absorção de 
cálcio pelo organismo.
A baixa concentração de íon cálcio (Ca++) no 
sangue estimula as glândulas paratireoides 
a produzirem hormônio paratireoideo (HP). 
Nesta situação, o hormônio pode promover 
a remoção de cálcio dos ossos, aumentar sua 
absorção pelo intestino e reduzir sua excre-
ção pelos rins.
(Adaptado de ALBERTS, B. et al., "Urologia Molecular 
da Célula." Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.)
Admita que, a partir dos cinquenta anos, a 
perda da massa óssea ocorra de forma linear 
conforme mostra o gráfico abaixo.
(Adaptado de "Galileu", janeiro de 1999.)
Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, res-
pectivamente, 90% e 70% da massa óssea 
que tinham aos 30 anos.
O percentual de massa óssea que as mulheres 
já perderam aos 76 anos, em relação à massa 
aos 30 anos, é igual a: 
a) 14.
b) 18.
c) 22.
d) 26.
 3. (UERJ) A promoção de uma mercadoria em 
umsupermercado está representada, no grá-
fico a seguir, por 6 pontos de uma mesma 
reta.
 
Quem comprar 20 unidades dessa mercado-
ria, na promoção, pagará por unidade, em 
reais, o equivalente a: 
a) 4,50.
b) 5,00.
c) 5,50.
d) 6,00.
38
E.O. UERJ 
EXAME DISCURSIVO
 1. (UERJ) O reservatório A perde água a uma 
taxa constante de 10 litros por hora, en-
quanto o reservatório B ganha água a uma 
taxa constante de 12 litros por hora. No grá-
fico, estão representados, no eixo y, os volu-
mes, em litros, da água contida em cada um 
dos reservatórios, em função do tempo, em 
horas, representado no eixo x.
 
Determine o tempo x
0
, em horas, indicado 
no gráfico.
 2. (UERJ) Em um determinado dia, duas velas 
foram acesas: a vela A às 15 horas e a vela B, 
2 cm menor, às 16 horas. Às 17 horas desse 
mesmo dia, ambas tinham a mesma altura. 
Observe o gráfico que representa as alturas 
de cada uma das velas em função do tempo a 
partir do qual a vela A foi acesa.
 
Calcule a altura de cada uma das velas antes 
de serem acesas.
 3. (UERJ) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atin-
ge a temperatura do corpo e que, ao ser exa-
lado, tem temperatura inferior à do corpo, já 
que é resfriado nas paredes do nariz. Através 
de medições realizadas em um laboratório 
foi obtida a função: 
T
A
 = 8,5 + 0,75 · T
B
, 12° ≤ T
B
 ≤ 30°, 
em que T
A
 e T
B
 representam, respectivamen-
te, a temperatura do ar exalado e a do am-
biente.
Calcule:
a) a temperatura do ambiente quando TA = 25 °C;
b) o maior valor que pode ser obtido para TA.
E.O. OBJETIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
 1. (Unesp) Em um experimento com sete pa-
litos de fósforo idênticos, seis foram acesos 
nas mesmas condições e ao mesmo tempo. 
A chama de cada palito foi apagada depois 
de t segundos e, em seguida, anotou-se o 
comprimento x, em centímetros, de madeira 
não chamuscada em cada palito. A figura a 
seguir indica os resultados do experimento.
Um modelo matemático consistente com to-
dos os dados obtidos no experimento per-
mite prever que o tempo, necessário e sufi-
ciente, para chamuscar totalmente um palito 
de fósforo idêntico aos que foram usados no 
experimento é de 
a) 1 minuto e 2 segundos.
b) 1 minuto.
c) 1 minuto e 3 segundos.
d) 1 minuto e 1 segundo.
e) 1 minuto e 4 segundos.
 2. (Unesp) A tabela indica o gasto de água, em 
m3 por minuto, de uma torneira (aberta), 
em função do quanto seu registro está aber-
to, em voltas, para duas posições do registro.
Abertura da torneira
(volta)
Gasto de água por 
minuto (m3)
 1 __ 2 0,02
1 0,03
(www.sabesp.com.br. Adaptado.)
39
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da 
abertura é uma reta, e que o gasto de água, 
por minuto, quando a torneira está total-
mente aberta, é de 0,034 m3. Portanto, é 
correto afirmar que essa torneira estará to-
talmente aberta quando houver um giro no 
seu registro de abertura de 1 volta completa 
e mais: 
a) 1 __ 2 de volta.
b) 1 __ 5 de volta.
c) 2 __ 5 de volta.
d) 3 __ 4 de volta.
e) 1 __ 4 de volta.
 3. (Unicamp) O gráfico abaixo exibe o lucro lí-
quido (em milhares de reais) de três peque-
nas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e 
2014.
 
Com relação ao lucro líquido, podemos afir-
mar que 
a) A teve um crescimento maior do que C.
b) C teve um crescimento maior do que B.
c) B teve um crescimento igual a A.
d) C teve um crescimento menor do que B.
 4. (Unicamp) Em uma determinada região do 
planeta, a temperatura média anual subiu 
de 13,35 ºC em 1995 para 13,8 ºC em 2010. 
Seguindo a tendência de aumento linear ob-
servada entre 1995 e 2010, a temperatura 
média em 2012 deverá ser de:
a) 13,83 ºC.
b) 13,86 ºC.
c) 13,92 ºC.
d) 13,89 ºC.
E.O. DISSERTATIVAS 
(UNESP, FUVEST, UNICAMP E UNIFESP)
 1. (Fuvest) A função f está definida da seguin-
te maneira: para cada inteiro ímpar n, 
f(x) = { x – (n – 1), se n – 1 ≤ x ≤ n n + 1 – x, se n ≤ x ≤ n + 1 
a) Esboce o gráfico de f para 0 ≤ x ≤ 6. 
b) Encontre os valores de x, 0 ≤ x ≤ 6, tais que 
f(x) = 1 __ 5 .
 2. (Unicamp) A numeração dos calçados obede-
ce a padrões distintos, conforme o país. No 
Brasil, essa numeração varia de um em um, 
e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados 
Unidos a numeração varia de meio em meio, 
e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 
para mulheres.
a) Considere a tabela abaixo.
Numeração 
brasileira (t)
Comprimento 
do calçado (x)
35 23,8 cm
42 27,3 cm
 Suponha que as grandezas estão relaciona-
das por funções afins t(x) = ax + b para a 
numeração brasileira e x(t) = ct + d para o 
comprimento do calçado. Encontre os valo-
res dos parâmetros a e b da expressão que 
permite obter a numeração dos calçados bra-
sileiros em termos do comprimento, ou os 
valores dos parâmetros c e d da expressão 
que fornece o comprimento em termos da 
numeração.
b) A numeração dos calçados femininos nos 
Estados Unidos pode ser estabelecida de 
maneira aproximada pela função real f de-
finida por f(x) = 5(x – 20)/3, em que x é 
o comprimento do calçado em cm. Sabendo 
que a numeração dos calçados nk forma uma 
progressão aritmética de razão 0,5 e primei-
ro termo n1 = 5, em que nk = f (ck), com k 
natural, calcule o comprimento c5. 
 3. (Unicamp) Em 14 de outubro de 2012, Felix 
Baumgartner quebrou o recorde de velocida-
de em queda livre. O salto foi monitorado 
oficialmente e os valores obtidos estão ex-
pressos de modo aproximado na tabela e no 
gráfico abaixo.
a) Supondo que a velocidade continuasse va-
riando de acordo com os dados da tabela, 
encontre o valor da velocidade, em km/h, no 
30º segundo.
Tempo (segundos) 0 1 2 3 4
Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140
40
b) Com base no gráfico, determine o valor apro-
ximado da velocidade máxima atingida e o 
tempo, em segundos, em que Felix superou 
a velocidade do som. Considere a velocidade 
do som igual a 1.100 km/h.
GABARITO
E.O. Aprendizagem 
1. C 2. D 3. C 4. E 5. B
6. B 7. C 8. A 9. D 10. B
E.O. Fixação
1. A 2. A 3. E 4. C 5. D
6. E 7. C 8. B 9. B 10. B
E.O. Complementar 
1. A 2. D 3. E 4. C 5. D
E.O. Dissertativo
 1. R$ 50,00
 2. 
a) { 18, para 0 < x ≤ 10 2x - 2 se x > 10 
b) x > 20
 3. 
a) 50 m/h
b) 1 hora
c) 3h45min
 4. 
a) f(x) = 3x + 70
b) 1,66 metros
 5. m = 0 ou m = 1 __ 
4
 
 6. P(t) = –1250t + 10000 (0 ≤ t ≤ 8)
t (anos)
10 000
0 8
(R$) P(t)
Observe o gráfico a seguir:
 7. 
a) f(x) = (1/2)x + 2, com x ≥ 0.
b) De (a), temos que o valor inicial, cobra-
do pela construtora para a construção do 
prédio da biblioteca, é igual a 2 milhões.
c) f(10) = 1/2 · 10 + 2 = 7 milhões de reais
41
 8. 
a) 
 
 
b) 28 km.
E.O. Enem
1. C 2. C 3. E 4. A 5. C
6. B 7. E
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. C 2. D 3. A
E.O. UERJ 
EXAME Discursivo
 1. X0 = 30 horas
 2. As velas A e B tinham, respectivamente, 
8 cm e 6 cm antes de serem acesas. 
 3. 
a) T
B
 = 22 °C
b) T
A
 = 31 °C
E.O. Objetivas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. B 3. B 4. B
E.O. Dissertativas 
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
 1. 
a) 
 
 
b) S = { 1 __ 5 ; 
9 __ 
5
 ; 11 ___ 
5
 ; 19 ___ 
5
 ; 21 ___ 
5
 ; 29 ___ 
5
 } . 
 2. 
a) { a = 2 b = –12,6 t(x) = 2x – 12,6.
b) c
5
 = 24,2 cm
 3. 
a) V(30) = 1050 km/h
b) Velocidade máxima 1320 km/h.
 Tempo 37,5 s.
ep
©
 El
en
a S
t
an
ov
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
17 18
M
MATEMÁTICA
T
Função polinomial
do 2º grau
Competências
3, 4 e 5
Habilidades
13, 15, 19, 20 
e 21
Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico