12759-Cap 3 Vetores

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Física Geral A – Medição e Vetores 2015 
 
1.6. VETORES 
1.6.1. Vetores e Escalares 
 Os escalares, como a temperatura, são especificados apenas por um número e uma unidade (20°C).
 Os vetores, como o deslocamento, são especificados por um módulo e uma orientação (5m, norte). 
 
1.6.2 Soma Geométrica de vetores: 
 As grandeza escalares são números que devem ser combinados, usando-se as regras normais da 
aritmética. As grandezas vetoriais devem ser combinadas usando-se as regras da soma vetorial. 
Para adicionarmos dois vetores: basta desenhá-los na mesma escala e fazer com que a origem do 
segundo vetor coincida com a extremidade do primeiro. Neste caso o vetor soma é o vetor que liga a 
origem do primeiro à extremidade do segundo. 
. 
 O negativo de um vetor possui o mesmo módulo, mas aponta na direção oposta. 
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Para a subtração de vetores: 
 
 
 
 
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Exemplo: 
1. Uma esquiadora percorre 1,0 km do sul para o norte e depois 2,0 km d oeste para leste em um campo 
horizontal coberto de neve. A que distância ela está do ponto de partida e em que direção? 
 
 
 
 
2. Ouvindo o ruído de uma serpente, você faz dois deslocamentos rápidos com módulos de 1,8 m e 2,4 
m. usando diagramas (aproximadamente em escala), mostre como esses deslocamentos deveriam ser 
efetuados para que a resultante tivesse módulo igual a : a) 4,2 m; b)0,6m e c) 3,0 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.3 Componentes de um vetor 
 Dado o vetor ⃗⃗ as suas componentes são: Ax e Ay
 
e são calculadas da seguinte maneira: 
 
 Onde é medido em relação ao sentido positivo dos x. O sinal da componente indica o seu sentido 
em relação ao eixo. 
 
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Obs.: Para calcularmos ⃗⃗ ⃗e a partir de Ax e Ay, basta: 
 √ 
 
 e 
 
 
 
 Na solução de um problema específico podemos usar a notação Ax e Ay ou A, 
Exemplo 01: 
1. Um pequeno avião deixa um aeroporto num dia nublado e mais tarde é avistado a 215 km de distância, 
voando numa direção que faz um ângulo de 22° com o norte para o lado leste. A que distância a leste e ao 
norte do aeroporto se encontra o avião no momento em que é avistado? 
 
 
 
 R: (o avião foi avistado a 199 km ao norte e a 81 km a leste do aeroporto) 
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Exemplo 02: 
Uma mulher caminha 250 m na direção 30° a leste do norte e depois 175 m para o leste. Usando os métodos 
gráficos determine o deslocamento resultante a partir do ponto inicial. Pelo método algébrico, calcule a 
resultante e após compare o deslocamento com a distância total que a mulher percorreu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: (370m, 36° ao norte do leste. Deslocamento: 370 m distância percorrida: 425m) 
 
1.6.4 Vetor unitário 
 
 Chamamos de vetor unitário um vetor que possui módulo exatamente igual a 1 e aponta numa 
determinada direção. Os vetores unitários não apresentam dimensões, nem unidades; sua única função é 
especificar certas direções. 
 Os vetores que apontam no sentido positivo do eixo x, y e z são chamados de i, j e k. 
 
 
 
 
 
 
 
 Qualquer vetor pode ser expresso em função dos vetores unitários: 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
O vetor deslocamento: ⃗⃗ ( ) ̂ ( ) ̂
 
 
 
OBS: Seja o vetor ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ . 
 Temos que: 
 ̂ ̂ ̂ são as componentes vetoriais. 
 são as componentes escalares. 
 
Exemplo: 
Os três vetores abaixo são expressos em termos dos vetores unitários: 
 ⃗⃗ ̂ ̂
 ⃗⃗ ̂ ̂ 
 ⃗⃗ ̂
Todos os vetores estão no plano xy. Determine o vetor resultante que a soma destes três vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.5 Produto escalar: 
 O produto escalar de dois vetores, representado pela expressão: ⃗⃗ ⃗⃗ , é a grandeza escalar dada 
por: 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗ . O produto resulta em um escalar. 
 
 Em que é o ângulo entre as direções de e ⃗ 
 No produto de vetores unitários ̂ ̂ = 1 
 ̂ ̂ = 1 
 ̂ ̂ = 1 
 
Exemplo: ( ̂ ̂) ( ̂) 
 
 
 
 
 
 
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1.6.6 Produto vetorial: 
 É o produto entre dois vetores que resulta em um terceiro vetor. 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
 Em que é o menor dos dois ângulos entre e ⃗ ; 
 No produto de vetores escalares ̂ ̂ = ̂ ̂ = ̂ ̂ = 0 
 ̂ ̂ ̂ 
 ̂ ̂ ̂ 
 ̂ ̂ ̂ 
 ̂ ̂ ̂ 
 ̂ ̂ ̂ 
 ̂ ̂ ̂ 
Exemplo: 
Calcule o produto abaixo: 
 ( ̂ ̂) ( ̂) 
 
 
 
Atividades: 
1. Dadas as grandezas abaixo, transforme as suas unidades solicitadas: 
a) 5 g/s em kg/h 
b) 8 mm/h em m/s 
c) 2 m/h em m/s 
d) 2 cm/min em m/s 
 
2. Quais são as componente x e y de um vetor a situado no plano xy se ele faz um ângulo de 250° com o 
sentido positivo dos x no sentido contrário aos ponteiros de um relógio e seu módulo vale 7,3 
unidades. 
 
 
 
 
 
 
3. Considere um determinado vetor situado no plano xy, cuja a componente x vale 25 m e a componente y 
vale 40 m. a) Qual é o módulo do vetor? b) Qual é o ângulo entre o vetor e o sentido positivo dos x? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Calcule em termos de vetor unitário as seguintes operações entre os vetores: 
 ⃗⃗ ̂ ̂ e ⃗⃗ ̂ ̂. 
 a) ⃗ e b) 
 
 
 
 
 
5. Qual é a soma dos vetores, em termos de vetores unitários, dos dois vetores: 
 ⃗⃗ ̂ ̂ e ⃗⃗ ̂ ̂ e qual é módulo e a orientação do vetor ⃗ 
 
 
 
 
 
6. Dados os vetores: ⃗⃗ ̂ ̂e ⃗⃗ ̂ ̂. Calcule: a) : ⃗⃗ ⃗⃗ 
 b) : ⃗⃗ ⃗⃗ 
 c) ( ⃗⃗ ⃗⃗ ) . b 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Qual será o módulo do vetor resultante de ( ⃗ ). ( ⃗ ). Se ̂ ̂ e ⃗ ̂ ̂. 
 
 
 
 
 
8.Um foguete aciona dois motores simultaneamente. Um produz um impulso de 725 N diretamente para 
frente, enquanto que o outro fornece 513 N a 32,4° acima da direção para frente. Determine o módulo (em 
relação a direção para frente) da força resultante que esses motores exercem sobre o foguete. 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) a) 18 kg/j; b) 2,2 x 10
-6
 m/s; c) 5,55 x 10
-4
; d) 3,33 x 10
-4
 2) ax =2,5 e ay = 6,9 
3) módulo = 47,16 e  58 4) a) ⃗ = ji ˆ2ˆ8  b) = ji ˆ6ˆ2  
5) módulo = 10,77 e  11268 ou 6) a) 26; b) k̂2 ; c) 46 
7) zero 8) 1190 N e 13,4° acima da direção para frente.