Matemática II - AVAMEC 05

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31/10/2021 17:07 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4805/acessar 1/19
MINICURSO 2 AS FUNÇÕES E SUAS DERIVADAS
UNIDADE 1 LIMITE E SUAS PROPRIEDADES
Slide 6 de 6
Responda os três itens abaixo:
I) Existe limite de quando tende a ? Se sim, qual? f(x)   x   1
II) Qual o valor de ?   lim
x→1
  − 1 x2
x − 1
III) Qual o valor de para que exista o limite de quando tende a ? L   g(x)   x  0
Agora julgue como verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo, de acordo com as respostas dos três itens
acima:
O limite do item I existe e é igual a 3;Va
F
QUESTÃO 1 DE 5
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O limite do item I não existe;Vb
F
O limite do item II não existe, porque nesse caso não é possível resolver a indeterminação do
tipo 
Vc
0
0F
O limite do item II é igual a ;Vd 2
F
No item III, o valor de L deve ser Ve 0
F
No item III, o valor de L deve ser -Vf 1
F
No item III, o valor de L deve ser Vg 1
F
Respostas - Questão 1: 
I. Quando é diferente de 1, Vamos analisar o limite ao redor desse
ponto, veja:
 x    f(x) = .  
  + x − 2 x2
x − 1
 + x − 2 = (x − 1)(x + 2)x2
   =     =  x + 2
  + x − 2 x2
x − 1
 (x − 1)(x + 2) 
x − 1
      =    x + 2  =  3lim
x→1
  + x − 2 x2
x − 1
lim
x→1
+ x − 2x2 + x − 2x2
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Se você calcular, verá que . 
Dessa forma, mesmo que quando dizemos que o limite dessa função quando 
 tende a é igual a - porque os limites laterais nesse ponto existem, são finitos e iguais a esse
valor.
II. Queremos saber qual o valor de . 
Primeiramente, você deve saber que é produto da soma pela diferença, ou seja, 
 
Podemos reescrever esse limite: 
 
Você pode calcular e ver que os limites laterais em torno do ponto são iguais a 2.
III. Neste terceiro item, queremos saber qual o valor de para que exista o limite de quando
 tende a . Ora a função é essa:
Para que o limite de exista quando tende a , os limites laterais precisam ser iguais.
Vamos calcular então qual o limite de quando tende a pela direita:
 
Portanto, para que o limite exista, o limite de tendendo à pela esquerda também deve ser
igual a . Ou seja, deve ser igual a . Podemos concluir que a resposta de cada item é: 
I. O limite do item I existe e é igual a 3. 
II. O limite do item II existe e é igual a 2. 
III. Para que o limite do item III exista, é preciso que seja igual a 1.
      =       = 3lim
x→1−
  + x 2 x2
x − 1
lim
x→1+
  + x 2 x2
x − 1
 x = 1,  f(1) = 2,  
 x  1 3
   lim
x→1
  − 1 x2
x − 1
  − 1 x2
  − 1 = (x + 1)(x − 1)x2
    =   =  x + 1 = 2lim
x→1
  − 1 x2
x − 1
lim
x→1
 (x + 1)(x − 1) 
x − 1
lim
x→1
 x = 1 
 L   g(x) 
 x   0
 g(x)   x   0
 g(x)   x   0 
      =       =    x − 1  =   − 1lim
x→0+
  − x x2
x
lim
x→0+
 x(x − 1) 
x
lim
x→0+
 x   0 
  − 1  L    − 1
 L 
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Analise a imagem a seguir:
Agora responda: qual o valor do limite dessa função quando tende a e quando tende a 
respectivamente?
 x   3   x   10,  
Quando tende a , o limite é igual a . Já quando tende a , o limite é igual a 5.a  x   3  7, 5  x   10
Quando tende a , o limite é igual a . Já quando tende a , o limite é igual a .b  x   3  4  x   10  5
Quando tende a , o limite não existe. Já quando tende a , o limite é igual a .c  x   3  x   10  5
Quando tende a pela esquerda, o limite é igual a 7,5. Já quando tende a pela
esquerda, o limite está entre e .
d  x   3  x   10
 5   7, 5
Quando tende a pela direita, o limite é igual a 4. Já quando tende a , pela direita, o
limite está entre e .
e  x   3  x   10
 5   4
QUESTÃO 2 DE 5
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Respostas - Questão 2:
Quando tende a pela direita (vem de valores maiores que até chegar nele), o limite é igual a 
. Já quando tende a pela esquerda (vem de valores menores que até chegar nele), o
limite é igual a . Como os limites laterais de tendendo ao mesmo ponto ( ) são diferentes,
dizemos que esse limite não existe nesse ponto. Com essas informações, concluímos que a resposta
correta é a alternativa " c ".
 x   3  3
 7, 5  x   3  3
 4  x  3
Marque as opções que apresentam corretamente uma propriedade de limite e um exemplo da mesma.
Propriedade: 
Exemplo: 
a    [ f(x) + g(x) ]  =   f(x) + g(x)lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
  sen( + x) = sen( ) + sen(x)lim
x→2π
x2 lim
x→2π
x2 lim
x→2π
Propriedade: 
Exemplo: 
b  [ f(x) + g(x) ]  =   f(x) + g(x)lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
  + x  =       +    xlim
x→3
x2 lim
x→3
x2 lim
x→3
QUESTÃO 3 DE 5
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Propriedade: Se então 
Exemplo: 
c  (cf)(x) = c ⋅ f(x),     (cf)(x) = c ⋅ f(x)lim
x→a
lim
x→a
   10 = 10 ⋅  lim
x→π
x2 lim
x→π
x2
Propriedade: Se então 
Exemplo: 
d  (cf)(x) = c ⋅ f(x),     (cf)(x) = c ⋅ f(x)lim
x→a
lim
x→a
cos(4 ⋅ x) = 4 ⋅  cos(x)lim
x→π
lim
x→π
Propriedade: 
Exemplo: 
e  [ f(x) − g(x) ]  =    f(x)  −    g(x)lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
 [ tg(x) − tg(3x) ]  ≠  tg(x − 3x) =  tg(−2x)lim
x→ π
4
lim
x→ π
4
lim
x→ π
4
Propriedade: 
Exemplo: 
f  [ f(x) − g(x) ]  =    f(x)  −    g(x)lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
   [ 4 −  ]  =    4   −  lim
x→1
x2 x −−√ lim
x→1
x2 lim
x→1
x −−√
Propriedade: 
Exemplo: 
g  [ f(x) ⋅ g(x) ]  =    f(x) ⋅  g(x)lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
   [ sen(x) ⋅  ]  =  sen(x) ⋅  lim
x→π
x4 lim
x→π
lim
x→π
x4
Propriedade: 
Exemplo: 
h    [ f(x) ⋅ g(x) ]  =  f(x) ⋅  g(x)lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
 [ sec(x) ⋅ tg(x) ] =  sec(x) ⋅  tg(x)lim
x→θ
lim
x→θ
lim
x→θ
Propriedade: Se e então 
 
Exemplo: 
i  g(x) ≠ 0    g(x) ≠ 0,  lim
x→a
(x) = =lim
x→a
 f 
g
lim
x→a
 f(x) 
 g(x) 
   f(x)  lim
x→a
   g(x)  lim
x→a
tg(x) =lim
x→θ
   sen(x)  lim
x→θ
   cos(x)  lim
x→θ
Propriedade: Se e então j  g(x) ≠ 0    g(x) ≠ 0,  lim
x→a
f f(x)    f(x)  lim


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Exemplo: 
(x) = =lim
x→a
 f 
g
lim
x→a
 f(x) 
 g(x) 
f( )
x→a
   g(x)  lim
x→a
= = sen(3)lim
x→θ
 sen(3x) 
x
   sen(3x)  lim
x→θ
 xlim
x→θ
Respostas - Questão 3 
Vamos mostrar aqui porque os exemplos das opções e estão errados. 
I. Alternativa é diferente de porque 
 que é diferente de .
Veja:
II. Alternativa é diferente de 
Lembre-se que o cosseno no círculo trigonométrico é representado pelo eixo Além disso, uma
volta na circunferência equivale a ou seja, a metade de uma volta completa equivale a 
 Dessa forma, equivale a duas voltas completas: . 
Nesse ponto, o valor do cosseno e do seno são iguais ao do :
 a,  d,  e   j 
 a :  sen( + x) lim
x→2π
x2  sen( )  +    sen(x),  lim
x→2π
x2 lim
x→2π
 sen(a + b) = sen(a) ⋅ cos(b) + sen(b) ⋅ cos(a),    sen(a) + sen(b)
 
 
 
 sen( + x)  =  sen((2π + 2π)lim
x→2π
x2 )2
= sen(4 + 2π)π2
= sen(4 ) ⋅ cos(2π) + sen(2π) ⋅ (4 )π2 π2
 sen( )  +    sen(x) = sen(4 ) + sen(2π)lim
x→2π
x2 lim
x→2π
π2
 d :    cos(4x) lim
x→π
 4 ⋅  cos(x).lim
x→π
 x.
360º (2π),  
180º (π).    4π   4π = 2π + 2π
 2π
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Agora, analisando os valores do cosseno (eixo ) no círculo trigonométrico, temos que:
 e . 
 x
cos(4π) = cos(2π) = 1   cos(π) = −1
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Voltando aos limites iniciais, tínhamos:Dessa forma, temos que esses dois limites são diferentes.
III. Alternativa vamos mostrar agora que: 
 é diferente de 
A saber, 
Observação: quando o ângulo é negativo, começamos a contar no sentido anti-horário:
 cos(4x)  =  cos(4π) = 1lim
x→π
.4 ⋅  cos(4x)  =  4 ⋅ cos(π)  =  4 ⋅ (−1)  =   − 4lim
x→π
 e :
 [ tg(x)  −  tg(3x) ] lim
x→ π
4
 [ tg(x − 3x) ].lim
x→ π
4
 [ tg(x − 3x) ]  =  tg(−2x)
 tg(x) =
 sen(x) 
 cos(x) 
 tg( ) = = = 1π
4
 sen( ) π
4
 cos( ) π
4
     2 
√
2
     2 
√
2
 tg( ) = tg(135º) = 1π
4
 tg(−2x)  = tg(− ) = tg(−90º) = tg(360º − 90º) = tg(270º)lim
x→ π
4
π
2
: não existe! tg(−2x)  =  tg(270º)  =   =lim
x→ π
4
     
 sen(270º) 
 cos(270º) 
     
 sen(270º) 
 cos(270º) 
−1
0
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IV. Alternativa vamos mostrar agora que nem sempre 
 
Suponha que seja igual a Logo,
 j :
  =       =  sen(3)
    sen(3x)  lim
x→θ
    x  lim
x→θ
lim
x→θ
  sen(3x)  
x
 θ    .  π6
     =     =     =  lim
x→ π
6
  sen(3x)  
x
  sen( )  π2
π
6
 1 
   π6
6
π
Calcule os limites dos itens abaixo:
QUESTÃO 4 DE 5
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Calcule os limites dos itens abaixo:
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. , tal que 
Sobre os itens acima, marque a alternativa que responde corretamente cada um deles (respectivamente):
lim
x→+∞
5 − 6x + 1x3
6 + 2x3
lim
x→+∞
x + 1
− 2x2
lim
x→−∞
2x + 3
x + 1
lim
x→0
+x3 x2
3 + + xx3 x4
lim
x→0
f(x + h) − f(x)
h
 f(x) = − 3xx2
I. 
II. 
III. 
IV. 
V.
a    5
6
  ∞
   − 2
  0
  x − 2
I. 
II. 
III. 
IV. 
V.
b    − 5
6
  ∞
  2
  0
  x − 3

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I. 
II. 
III. 
IV. 
V.
c    5
6
  0
  2
  0
  2x − 3
I. 
II. 
III. 
IV. 
V.
d    − 5
6
  0
   − 2
  0
   − x + 2
I. 
II. 
III. 
IV. 
V.
e    5
6
  ∞
  2
  ∞
  2x − 3
Respostas - Questão 4
Uma das técnicas que aprendemos para calcular limites (tendendo ao infinito) de frações polinomiais
é colocar em evidência - tanto no numerador quanto no denominador - o monômio com maior
expoente de toda a fração. Nesse caso, o maior expoente é 3 e, dessa forma, colocaremos em
I.   lim
x→+∞
  5 − 6x + 1  x3
6 + 2x3
   x3

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evidência no numerador e no denominador:
Uma constante (diferente de zero) dividida por um número muito grande ("infinito") resulta em um número
extremamente pequeno - dizemos que é zero. Assim,
Novamente o limite está tendendo ao infinito: vamos colocar o monômio com maior expoente em
evidência.
Usaremos a mesma técnica dos outros dois limites anteriores:
 
  =  lim
x→+∞
  5 − 6x + 1  x3
6 + 2x3
lim
x→+∞
   (5 − + )  x3 6
x2
1
x3
  (6 +  ) x3 2
x3
 =   lim
x→+∞
  5 − +   6
x2
1
x3
 6 +  2
x3
  =     =  lim
x→+∞
  5 − 6x + 1  x3
6 + 2x3
lim
x→+∞
  5 − +   6
x2
0
1
x3
0
 6 +  2
x3
0
5
6
II.   lim
x→+∞
  x + 1  
− 2x2
  =   =     =     =  0lim
x→+∞
  x + 1  
− 2x2
lim
x→+∞
   ( − )  x2 1
x
1
x2
  (1 −  ) x2 2
x2
lim
x→+∞
   −   1
x
0
1
x2
0
 1 −  2
x2
0
0
1
III.   lim
x→−∞
  2x + 3  
x + 1
    =     =     = = 2lim
x→−∞
  2x + 3  
x + 1
lim
x→−∞
  x(2 + )  3
x
x(1 + )1
lim
x→−∞
 2 +  3
x
0
1
0
2
1
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Analisando as duas funções separadamente, temos:
Assim,
x + 1  x(1 +  ) 
x  1 +     1
x
1
IV. tal que   ,  lim
x→0
  f(x + h) − f(x)  
h
 f(x) = − 3xx2
 f(x) = − 3xx2
 f(x + h) = (x + h − 3(x + h) = + 2xh + − 3x − 3h)2 x2 h2
 
 
f(x + h) − f(x) = (x + h − 3(x + h) = + 2xh + − 3x − 3h − + 3x)2 x2 h2 x2
= 2xh + − 3hh2
    =  lim
x→0
  f(x + h) − f(x)  
h
lim
x→0
  2xh + − 3h  h2
h
 
 
 
=   lim
x→0
  h(2x + h − 3)  
h
  =    2x + h − 3lim
x→0
= 2x − 3
QUESTÃO 5 DE 5
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Calcule os limites dos itens abaixo:
I. 
II. 
III. 
IV. 
Sobre os itens acima, marque a alternativa que responde corretamente cada um deles:
  lim
x→+2
− 8x3
x − 2
  lim
x→−1
+ xx2
x + 1
  lim
x→−3
−x−−√ 3
–√
x − 3
  lim
x→− 1
3
9 − 1x2
3x + 1
I. 
II. 
III. 
IV. 
a 0
1
1
3
–√
−1
I. 
II. 
III. 
IV. 
b 12
−1
1
2 3
–√
−2
I. 
II. 
c 0
0

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III. 
IV. 
2
3
–√
−1
I. 
II. 
III. 
IV. 
d 12
0
1
2 3
–√
1
I. 
II. 
III. 
IV. 
e −12
−1
2
3
–√
−2
Respostas - Questão 5
Para resolver esse item você tem que saber que o que temos no numerador á a diferença dos cubos: 
 e . Nós podemos escrever essa diferença da seguinte forma: 
 
Ou seja, 
 
 
Reescrevendo esse limite:
I.   lim
x→+2
  − 8 x3
 x − 2 
   x3   = 823
− = (a − b)( + ab + )a3 b3 a2 b2
− = (x − 2)( + 2x + )x3 23 x2 22
− 8 = (x − 2)( + 2x + 4)x3 x2
8x3 (x 2)( + 2x + 4)x2
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Note que o que está no denominador é o quadrado da diferença: 
 
 
 
Reescrevemos o limite:
  =    lim
x→2
  − 8 x3
 x − 2 
lim
x→2
  (x − 2)( + 2x + 4)  x2
x − 2
 
 
 
=     + 2x + 4lim
x→2
x2
=   + 2 ⋅ 2 + 422
=  12
II.   lim
x→−1
  + x x2
 x + 1 
    =     =    x  =   − 1lim
x→−1
  + x x2
 x + 1 
lim
x→−1
 x(x + 1) 
 x + 1 
lim
x→−1
III.   lim
x→3
     −     x −−√ 3 
−−√
 x − 3 
− = (a + b)(a − b)a2 b2
( − ( = ( + )( − )x −−√ )2 3 
−−√ )2 x −−√ 3 
−−√ x −−√ 3 
−−√
x − 3 = ( + )( − )x −−√ 3 
−−√ x −−√ 3 
−−√
    =  lim
x→3
     −     x −−√ 3 
−−√
 x − 3 
lim
x→3
     (    −    )x −−√ 3 
−−√
 (  +  )  x −−√ 3 
−−√ (  −  )x −−√ 3 
−−√
 
 
  = lim
x→3
1
  +  x −−√ 3 
−−√
  = lim
x→3
1
  +  3 
−−√ 3 
−−√
31/10/2021 17:07 Matemática - Cálculo
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Respondidas 5 de 5 questões.
Novamente no numerador temos o produto da soma pela diferença: 
 
 
 
Reescrevemos o limite:
  =
1
2  3 
−−√
IV.   lim
x→− 1
3
  9 − 1  x2
 3x + 1 
− = (a + b)(a − b)a2 b2
(3x − (1 = (3x + 1)(3x − 1))2 )2
9 − 1 = (3x + 1)(3x − 1)x2
      =    lim
x→− 1
3
 9 − 1 x2
 3x + 1 
lim
x→− 1
3
  (3x − 1) (3x + 1)
   3x + 1
 
 
 
  =    3x − 1lim
x→− 1
3
  = 3 ⋅ ( ) − 1−13
  = −1 − 1
  = −2
 REFAZER ATIVIDADE
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
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