Matemática II - AVAMEC 10

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01/11/2021 17:39 Matemática - Cálculo
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MINICURSO 2 AS FUNÇÕES E SUAS DERIVADAS
UNIDADE 7 REVISÃO E AUTOAVALIAÇÃO
Slide 6 de 6
Marque as alternativas verdadeiras:
Dicas: não se esqueça da Regra de L'Hospital - você precisará dela para resolver alguns dos itens acima.
Alguns dados também serão necessários:
lo b = c ⇔ = bga ac
ln a = c ⇔ lo a = c ⇔ = age ec
, porque (toda constante real - diferente de zero - elevada a zero é
igual a 1).
ln 1 = 0 = 1e0
Va = −6lim
x→−3
−9x2
x+3
F
Vb = −lim
x→0
+3x−1x2
+2x2
1
2
F
 não existeVc lim
x→1
−1x√
x−1
F
Vd =lim
x→1
−1x√
−2x+3√ 5√
5
2
−−
√
F
Ve = 0lim
x→∞
ex
x
F
Vf = tglim
x→0
tg(x)
x
QUESTÃO 1 DE 10
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F
Vg = 1lim
x→13
ln(x−12)
x−13
F
Vh =lim
x→0
sen(5x)
3x
5
3
F
Vi = −1lim
x→1
+ −5x−3x3 x2
−7 +11x−5x3 x2
F
Respostas - Questão 1
 
 
Note que o denominador é o produto da soma pela diferença entre e , ou seja, 
. Assim, reescrevemos esse limite:
a)   lim
x→−3
  − 9 x2
x + 3
  =     =    x − 3  =   − 3 − 3  =   − 6lim
x→−3
  − 9 x2
x + 3
lim
x→−3
 (x − 3)  (x + 3)
   x + 3
lim
x→−3
b)    lim
x→0
  + 3x − 1 x2
  + 2 x2
  = = −lim
x→0
  + 3x − 1 x2
  + 2 x2
 0 + 0 − 1
 0 + 2 
1
2
c)    lim
x→1
  − 1 x −−√
 x − 1 
   x −−√  1
 x − 1 = ( − 1)( + 1)x −−√ x −−√
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Para resolver os próximos limites usaremos a regra de L'Hospital...
 
 
Veja o gráfico de :
    =       =       =   =lim
x→1
  − 1 x −−√
 x − 1 
lim
x→1
   ( − 1)x −−√
  ( + 1) ( − 1)x −−√ x −−√
lim
x→1
 1 
  + 1 x −−√
1
1 + 1
1
2
d)    lim
x→1
  − 1 x −−√
    −    2x + 3 − −−−−−√ 5 −−√
    =  lim
x→1
  − 1 x −−√
    −    2x + 3 − −−−−−√ 5 −−√
lim
x→1
 ( − 1  x −−√ )
′
 (   −    2x + 3 − −−−−−√ 5 −−√ )
′
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=    lim
x→1
       1
2  x √
       1
   2x+3 √
=     ⋅lim
x→1
1
  2   x −−√
   2x + 3 − −−−−−√
1
= ⋅
1
2
 5 
−−√
1
=
   5 
−−√
2
e)   lim
x→∞
ex
x
    =   =   = = ∞lim
x→∞
   ex
 x 
lim
x→∞
 (  ex)′
 (x  )′
lim
x→∞
   ex
 1 
lim
x→∞
ex
 f(x) = ex
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Quanto mais aumenta (tende a ), mais aumenta. E quanto mais diminui (tende a 
), mais se aproxima de 0.
 
Vamos usar a regra de L'hospital, mas antes vamos fazer cada derivada separadamente:
Assim, 
 x    + ∞    ex  x 
  − ∞    ex
f)   lim
x→0
tg x
x
    =   =  se  x =   = = = 1lim
x→0
 (tg x  )′
 (x  )′
lim
x→0
 se  x c2
 1 
lim
x→0
c2 lim
x→0
1
 co  x s2
1
co  (0)s2
1
12
g)    lim
x→13
 ln (x − 12) 
x − 13
(x = 1)′
(−12 = (−13 = 1)′ )′
[ln(x) =]′ 1
x
[ln(x − 12) =  [l (x − 12)] ⋅ (x − 12 = ⋅ 1 =]′ n′ )′
1
 x − 12 
1
 x − 12 
    =    lim
x→13
 ln (x − 12) 
x − 13
lim
x→13
 [ ln (x − 12)   ]′
 [ x − 13   ]′
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Vamos usar a regra de L'hospital, mas antes vamos fazer cada derivada separadamente:
 
 
 
=  lim
x→13
 [   ] 1
 x − 12 
1
=  lim
x→13
1
 x − 12 
=
1
 13 − 12 
= 1
h)    lim
x→0
 sen (5x) 
3x
    =    lim
x→0
 sen (5x) 
3x
lim
x→0
 [ sen(5x)   ]′
 [ 3x   ]′
 
 
 
 
 
 
 
 
=    lim
x→0
 5 ⋅ cos(5x) 
 3 
=
 5 ⋅ cos(5 ⋅ 0) 
3
=
 5 ⋅ cos(0) 
3
=
 5 ⋅ 1 
3
=
5
3
i)    lim
x→1
  + − 5x − 3 x3 x2
  − 7 + 11x − 5 x3 x2
( + − 5x − 3 = 3 + 2x − 5x3 x2 )′ x2
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Assim, 
Precisamos aplicar a regra de L'Hospital mais uma vez:
Portanto, 
( − 7 + 11x − 5 = 3 − 14x + 11x3 x2 )′ x2
  =    lim
x→1
  + − 5x − 3 x3 x2
  − 7 + 11x − 5 x3 x2
lim
x→1
 ( + − 5x − 3  x3 x2 )′
 ( − 7 + 11x − 5  x3 x2 )′
=     = =lim
x→1
 3 + 2x − 5 x2
 3 − 14x + 11 x2
3 + 2 − 5
3 − 14 + 11
0
0
(3 + 2x − 5 = 6x + 2x2 )′
(3 − 14x + 11 = 6x − 14x2 )′
    =     = = = −1lim
x→1
  + − 5x − 3 x3 x2
  − 7 + 11x − 5 x3 x2
lim
x→1
 (3 + 2x − 5  x2 )′
 (3 − 14x + 11  x2 )′
 6x + 2 
 6x − 14 
 8 
  − 8 
Dado que:
Marque as alternativas corretas:
 f(x) = 4lim
x→2
 g(x) = −2lim
x→2
 h(x) = 0lim
x→2
Va  [f(x) + 5g(x)] = −6lim
x→2
F
Vb  [g(x) = 6lim
x→2
]3
QUESTÃO 2 DE 10
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F
Vc = 2 f(x) lim
x→2
− −−−−−−−
√
F
Vd   = −8lim
x→2
 3f(x) 
g(x)
F
Ve   = 0lim
x→2
 g(x) 
 h(x) 
F
 não existeVf    lim
x→2
 g(x)h(x) 
f(x)
F
Respostas - Questão 2
Sabendo que:
Vamos calcular cada um dos itens de à ...
Pelas propriedades de limite, temos que 
 Além disso, 
 tal que é um número real.
Portanto, 
 f(x) = 4lim
x→2
 g(x) = −2lim
x→2
 h(x) = 0lim
x→2
 a   f
a)  [f(x) + 5g(x)]lim
x→2
 [f(x) + g(x)] =  f(x)  +    g(x).  lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
 [ c ⋅ f(x) ] = c ⋅  [ f(x) ],   lim
x→a
lim
x→a
 c 


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Veja que há uma diferença entre e Não entendeu? Vamos dar um
exemplo: 
Seja Logo, 
 (como dado no segundo item do enunciado).
Portanto, 
Além disso,
Assim, o que o exercício quer é 
Dessa forma, concluímos que essa opção é falsa.
Essa afirmação é verdadeira, pois se então 
 [f(x) + 5g(x)] =  [f(x)]  +    [ 5g(x) ]lim
x→2
lim
x→2
lim
x→2
 
 
 
 
     =  [f(x)]  +  5 ⋅  [ g(x) ]lim
x→2
lim
x→2
     = 4 + 5 ⋅ (−2)
     = 4 − 10 = −6
b)  [g(x)lim
x→2
]3
   [g(x)  lim
x→2
]3  [   g(x)  .  lim
x→2
]3
 g(x) = x − 4. 
 g(x) =  x − 4 = 2 − 4 = −2 lim
x→2
lim
x→2
 [   g(x)  = [−2   = −8lim
x→2
]3 ]3
   [g(x) = g(x) ⋅ g(x) ⋅ g(x)]3
 
 
= (x − 4) ⋅ (x − 4) ⋅ (x − 4)
= − 12 + 64x − 64x3 x2
   [g(x)   =    [  − 12 + 64x − 64 ] = − 12 ⋅ − 64 ⋅ 2 − 64 = 24lim
x→2
]3 lim
x→2
x3 x2 23 22
c) = 2 f(x) lim
x→2
− −−−−−−−
√
   f(x) = 4,  lim
x→2
  = = 2 f(x) lim
x→2
− −−−−−−−
√ 4 
−−√
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 não existe
d)  lim
x→2
 3f(x) 
g(x)
    =     =     =     =   − 6lim
x→2
 3 ⋅ f(x) 
g(x)
   3 ⋅ f(x) lim
x→2
   g(x) lim
x→2
   3 ⋅  f(x)   lim
x→2
   g(x) lim
x→2
 3 ⋅ 4 
−2 
e)  lim
x→2
 g(x) 
 h(x) 
    =     =   :  lim
x→2
 g(x) 
 h(x) 
    g(x)  lim
x→2
   f(x)  lim
x→2
  − 2 
 0 
f)  lim
x→2
 g(x) ⋅ h(x) 
f(x)
    =     =     =     =  0lim
x→2
 g(x) ⋅ h(x) 
f(x)
    g(x) ⋅ h(x)  lim
x→2
    f(x)  lim
x→2
    g(x) ⋅  h(x)  lim
x→2
lim
x→2
    f(x)  lim
x→2
−2 ⋅ 0
 4 
Marque as alternativas corretas:
Va = −cos xlim
h→0
sen(x+h)−sen x
h
F
Vb = sen xlim
h→0
cos(x+h)−cos x
h
F
Vc =lim
h→0
ln(x+h)−ln x
h
ex
F
QUESTÃO 3 DE 10
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Vd = 0lim
h→0
−e(x+h) ex
h
F
Ve = se xlim
h→0
tg(x+h)−tg x
h
c2
F
Vf = 24 + 6x + 7lim
h→0
8(x+h +3(x+h +7(x+h)−2−8 −3 −7x+2)3 )2 x3 x2
h
x2
F
Respostas - Questão 3
Nós vimos ao longo desse curso, a definição de derivada - limite da razão incremental quando 
tende a zero - e também as derivadas de algumas funções. A derivada de uma função por
definição é: 
Assim, nos itens de à temos nada menos que as derivadas das funções a partir da definição.
Devemos marcar se a resposta é verdadeira (está correta) ou é falsa (está incorreta)...
Se então a derivada de será dada por essa definição e vimos que a
derivada do seno é igual a cosseno (do mesmo ângulo). Portanto, a afirmação é 
Se então a derivadade será dada por essa definição e vimos que a
derivada de é igual a (do mesmo ângulo). Portanto, a afirmação 
também é 
 h 
 f(x),  
  lim
h→0
  f(x + h)  −  f(x)  
h
 a   f,  
a)   = −cos xlim
h→0
 sen(x + h) − sen x 
h
 f(x) = sen(x),    f(x) 
 a   falsa!
b)   = sen xlim
h→0
 cos(x + h) − cos x 
h
 f(x) = cos(x),    f(x) 
 cosseno(x)    − seno(x)   b 
 falsa!
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Se então a derivada de é Portanto, a afirmação também
é 
Se então a derivada de é Assim, a afirmação é 
Se então a derivada de é Assim, a
afirmação também é 
Se então a derivada de é 
Assim, a afirmação também é 
c)   =lim
h→0
 ln(x + h) − ln x 
h
ex
 f(x) = ln(x),    f(x)    (x) = .  f ′
1
x
 c 
 falsa!
d)   = 0lim
h→0
  −  e(x+h) ex
h
 f(x) = ,  ex  f(x)    (x) = .  f ′ ex  d 
 verdadeira!
e)   = se xlim
h→0
 tg(x + h) − tg x 
h
c2
 f(x) = tangente(x),    f(x)    (x) = secant (x).  f ′ e2
 e   verdadeira!
f)   = 24 + 6x + 7lim
h→0
 8(x+h +3(x+h +7(x+h)−2−8 −3 −7x+2 )3 )2 x3 x2
h
x2
 f(x) = 8 + 3 + 7x − 2,  x3 x2  f(x)    (x) = 24 + 6x + 7 f ′ x2
 f   verdadeira!
Derive as seguintes funções:
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI.
A alternativa que contém as respostas corretas são:
f(x) = 3 − 2cos xx2
f(x) =  sen xx−−√
f(x) = sen x + cotg x12
g(t) = cos tt3
g(t) = 4 sec t + tg t
y = (cos u + uc)eu
QUESTÃO 4 DE 10
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I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI. 
a (x) = 6x + 2 sen xf ′
(x) = + (cos x)f ′ sen x
2 x√
x−−√
(x) = cos x − cosse xf ′ c2
(t) = 3 cos t − t sen tg′ t2
(t) = 4 sec t + se tg′ c2
=  cos u − sen u + uc + cdy
du
eu
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI. 
b (x) = 6x + 2 sen xf ′
(x) = +  (cos x)f ′ sen x
2 x√
x−−√
(x) = cos x −f ′ cosse xc22
(t) = (3 cos t − t sen t)g′ t2
(t) = 4 tg t sec  t + se  tg′ c2
=  (cos u − sen u + uc + c)dy
du
eu
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI. 
c (x) = 6x + 2 sen xf ′
(x) = +  (cos x)f ′ sen x
2 x√
x−−√
(x) = cos x + cosse xf ′ c2
(t) = (3 cos t − t sen t)g′ t2
(t) = 4 tg t sec t + se  tg′ c2
=  (cos u − sen u + uc + c)dy
du
eu
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
d (x) = 6x + 2 sen xf ′
(x) = +  (cos x)f ′ sen x
x√
x−−√
(x) = cos x −f ′ cosse xc22
(t) = (3 cos t − t sen t)g′ t2
(t) = 4 tg t sec t + se  tg′ c2

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VI. =  cos u − sen u + ucdy
du
eu
Nenhuma das alternativas anteriorese
Respostas - Questão 4
I.  f(x) = 3 − 2cos xx2
 f(x) = 3 − 2cos x   ⟹    (x) = (3   +  (−2cos xx2 f ′ x2 )′ )′
 
 
 
  ⟹    (x) = 6x − 2(−sen x)f ′
  ⟹    (x) = 6x + 2sen xf ′
II.  f(x) = ⋅  sen xx−−√
   f(x) = ⋅  sen x   ⟹    (x) = ( sen x  +   (sen xx −−√ f ′ x −−√ )′ x −−√ )′
 
 
 
  ⟹    (x) = ⋅ sen x + ⋅ cos xf ′
1
2  x −−√
x −−√
  ⟹    (x) = + ⋅ cos xf ′
 sen x 
 2  x −−√
x −−√
III. f(x) = sen x + cotg x12
   f(x) = sen x + cotg x   ⟹    (x) = (sen x  + ( ⋅ cotg x12 f ′ )′
1
2
)
′
 
 
 
 
 
  ⟹    (x) = (sen x + (−cotg xf ′ )′
1
2
)′
   ⟹    (x) = cos x + (−cosse  x)f ′
1
2
c2
   ⟹    (x) = cos x −f ′
 cosse  x c2
 2 
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Veja que é o mesmo que Dessa forma,
queremos saber que é o mesmo que 
IV. g(t) = cos tt3
   g(t) = cos t   ⟹    (t) = ( ⋅ cos t + ⋅ (cos tt3 g′ t3 )′ t3 )′
 
 
 
 
 
    ⟹    (t) = 3 ⋅ cos t + ⋅ (−sen t)g′ t2 t3
       ⟹    (t) = 3 cos t − sen tg′ t2 t3
       ⟹    (t) = (t ⋅ cos t − t ⋅ sen t)g′ t2
V.  g(t) = 4 sec t + tg t
g(t) = 4 sec t + tg t   ⟹    (t) = (4sec t + (tg tg′ )′ )′
 
 
 
      ⟹    (t) = 4(sec t + (tg tg′ )′ )′
    ⟹    (t) = 4(tg t ⋅ sec t) + se  tg′ c2
VI. A derivada de é  y = (cos u + u ⋅ c) eu   = (cos u − sen u + uc + c)dy
du
eu
y = (cos u + uc) eu  y = ⋅ cos u + ⋅ uc.  eu eu
  ,  
dy
du
:y ′
   = = ( ⋅ cos u + ( ⋅ u ⋅ cdy
du
y ′ eu )
′
eu )
′
 
 
 
 
 
 
 
 
⟹    = (( ⋅ cos u + ⋅ (cos u ) + (( ⋅ uc + ⋅ (uc )dy
du
eu)′ eu )′ eu)′ eu )′
⟹    = ( ⋅ cos u + ⋅ (−sen u)) + ( ⋅ uc + ⋅ c)dy
du
eu eu eu eu
⟹ = ⋅ cos u − ⋅ sen u + ⋅ uc + c ⋅
dy
du
eu eu eu eu
⟹ = (cos u − sen u + uc + c)
dy
du
eu
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Derive as funções a seguir:
I. 
II. 
III. 
IV. 
V. 
VI. 
VII. 
Marque apenas as alternativas corretas:
h(θ) = cossec θ +  cotgθeθ
y = x2−tg x
y = sen θ cosθ
y = sen x tg xx2
f(x) = x  cos xex
y = t sen t1+t
y = cos x1−sen x
Va (θ) = −cossec(θ) ⋅ cotg(θ) + (cotgθ − cosse θ)h′ eθ c2
F
Em II, Vb =dy
dx
2−tgx+xse xc2
(2−tgx)2
F
Em III, Vc = 2co θ + 1dydθ s2
F
Em IV, Vd = (2x) + sen x +dydx se xn
2
cos x x
2 x2 sen x
co xs2
F
Em V, Ve (x) = cos x + x cos x − x sen xf ′ ex
F
Em VI, Vf =dydt sen t+t cos t+ cos tt
2
(1+t)2
F
Em VII, Vg =dydx 11+senx
F
QUESTÃO 5 DE 10
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Respostas - Questão 5
Lembre-se que:
Logo,
 
 
 
 
Para derivar esse segundo item, você precisa se lembrar que 
Assim, pela regra do quociente:
I.  h(θ) = cossec θ +  cotgθeθ
(cossec (θ)  = −cossec(θ) ⋅  cotg(θ))′
( =eθ)′ eθ
(cotg (θ)  = −cosse (θ))′ c2
h(θ) = cossec θ +  cotgθeθ
⟹   (θ) = [cossec θ + [  cotgθh′ ]′ eθ ]′
⟹   (θ) = [cossec(θ) + [ ( ⋅ cotg(θ) + ( cotg(θ)   ]h′ ]
′
eθ)′ eθ )′
⟹   (θ) = [ − cossec(θ) ⋅ cotg(θ)] + [  ⋅ cotg(θ) + (−cosse (θ) ) ]h′ eθ eθ c2
⟹   (θ) = −cossec(θ) ⋅ cotg(θ) + [cotg(θ) − cosse (θ)]h′ eθ c2
II.  y =
x
2 − tg x
 (tg x = se  x)′ c2
     =    ⟹    =
dy
dx
 (x (2 − tg x) − (x)(2 − tg x  )′ )′
 (2 − tg x  )2
dy
dx
 1 ⋅ (2 − tg x) − x ⋅ (−se  x) c2
 (2 − tg x  )2
        ⟹      =
dy
dx
 2 − tg x + x ⋅ se  x c2
 (2 − tg x  )2
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Lembre-se que: 
 
Dessa forma, substituímos esse valor de em 
 
 
III.  y = sen θ cosθ
y = sen(θ)cos(θ)   ⟹    = (sen(θ)  cos(θ) + sen (θ)(cos (θ) 
dy
dθ
)′ )′
 
 
 
    ⟹    = cos(θ) cos(θ) + sen (θ) − sen (θ)
dy
dθ
    ⟹    = co (θ) − se (θ)
dy
dθ
s2 n2
 co (θ) + se (θ) = 1   ⟹    co (θ) − 1 = −se (θ)s2 n2 s2 n2
  − se (θ)  n2    :
dy
dθ
= co (θ) − se (θ)   ⟹    = co (θ) + co (θ) − 1
dy
dθ
s2 n2
dy
dθ
s2 s2
     ⟹    = 2co (θ) − 1
dy
dθ
s2
IV.  y = ⋅ sen x ⋅ tg xx2
  = ( ⋅ sen x ⋅  tg x  +   ⋅ (sen x ⋅  tg x  +   ⋅ sen x ⋅ (tg x
dy
dx
x2 )′ x2 )′ x2 )′
⟹    = 2x ⋅ sen x ⋅  tg x  +   ⋅ cos x ⋅  tg x  +   ⋅ sen x ⋅ se  x
dy
dx
x2 x2 c2
⟹    = 2x ⋅ sen x ⋅ + ⋅ cos x ⋅ + ⋅ sen x ⋅
dy
dx
 sen x 
 cos x 
x2
 sen x 
 cos x 
x2
 1 
 co  x s2
⟹    = 2x ⋅ + ⋅ sen x + ⋅
dy
dx
 se  x n2
 cos x 
x2 x2
 sen x 
 co  x s2
V.  f(x) = x ⋅ ⋅ cos xex
  (x) = (x ⋅ ⋅ cos x  +  x ⋅ ( ⋅  cos x  +  x ⋅ ⋅ (cos xf ′ )′ ex ex)′ ex )′
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⟹    (x) = 1 ⋅ ⋅ cos x  +  x ⋅ ⋅  cos x  +  x ⋅ ⋅ (−sen x)f ′ ex ex ex
⟹    (x) = cos x  +  x cos x  −  x sen xf ′ ex ex ex
⟹    (x) = (cos x  +  xcos x  −  xsen x)f ′ ex
VI.  y =
t sen t
1 + t
  =
dy
dt
 (t sen t (1 + t) − (t sen t)(1 + t  )′ )′
(1 + t)2
⟹    =
dy
dt
 (1 ⋅ sen t + t ⋅ cos t)(1 + t) − (t sen t) ⋅ 1 
(1 + t)2
⟹    =
dy
dt
 (sen t + t cos t)(1 + t) − (t sen t) 
(1 + t)2
⟹    =
dy
dt
 sen t + t sen t + t cos t +  cos t − t sen t t2
(1 + t)2
⟹    =
dy
dt
 sen t + t cos t +  cos t t2
(1 + t)2
VII.  y =
 cos x 
 1 − sen x 
=
dy
dx
 ( cosx (1 − sen x) −  (cos x)(1 − sen x  )′ )′
 (1 − sen x  )2
⟹    =
dy
dx
 (−sen x)(1 − sen x) −  (cos x)(−cos x) 
 (1 − sen x  )2
⟹    =
dy
dx
  − sen x + se  x + co  x n2 s2
 (1 − sen x  )2
⟹    =
dy
dx
  − sen x + 1 
 (1 − sen x  )2
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 ⟹    =
dy
dx
 1 − sen x 
 (1 − sen x  )2
⟹    =
dy
dx
 1 
 1 − sen x 
Marque V ou F para as afirmações abaixo:
A derivada implícita de é Va   + = 8 x3 y3   = −dydx x
2
y2
F
A derivada implícita de é Vb  4 − 9 = 17 x2 y2   =dydx 4x9y
F
A derivada implícita de é Vc  cos(x + y) + sen(x + y) =  13   = −1dydx
F
A derivada implícita de é Vd  tg(x + y) = 4    = −1dydx
F
A derivada implícita de é Ve   + =  ecosx eseny 14   =
dy
dx
ecosx
eseny
F
A derivada implícita de é Vf  x + 2 = x − 2y y2 y3   =dy
dx
1−y2
2xy+6 +2y2
F
A derivada implícita de é Vg   + x sen y = 0 x2y2   =dy
dx
2x +sen yy2
2 y+x cos yx2
F
QUESTÃO 6 DE 10
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A derivada implícita de é Vh   + ln y = 0 ex2   = −2 xydydx ex2
F
A derivada implícita de é Vi  sen( ) =  xy 12   =xy dydx
F
Respostas - Questão 6
Vamos derivar implicitamente cada equação, para verificar se cada item é verdadeiro ou falso...
 
 
 a.   + = 8x3 y3
   + = 8   ⟹   3 + 3 = 0x3 y3 x2
dx
dx
y2
dy
dx
 
 
 
 
 
 
⟹   3 + 3 = 0x2 y2
dy
dx
⟹   3 = −3y2
dy
dx
x2
⟹    =
dy
dx
−3x2
3y2
⟹    =
dy
dx
−x2
y2
 b.  4 − 9 = 17x2 y2
  4 − 9 = 17   ⟹   8x − 18y = 0x2 y2
dx
dx
dy
dx
 
 
 
 
 
    ⟹   8x − 18y = 0
dy
dx
    ⟹    − 18y = −8x
dy
dx
    ⟹    =
dy
dx
−8x
−18y
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Vamos resolver por partes: primeiro vamos derivar e depois Para isso,
utilizaremos a regra da cadeia, que você deve se lembrar...
Assim,
 
 
 
 
    ⟹    =
dy
dx
4x
9y
 c.  cos(x + y) + sen(x + y) = 13
 cos(x + y)   sen(x + y).  
[ cos(x + y)  = [co (x + y)] ⋅ [x + y]′ s′ ]′
 
 
 
 
   = [−sen(x + y)] ⋅ [ 1 ⋅ + 1 ⋅  ]dx
dx
dy
dx
   = [ − sen(x + y)] ⋅ [1 + ]dy
dx
   = −sen(x + y) − sen(x + y) ⋅
dy
dx
[ sen(x + y)  = [se (x + y)] ⋅ [x + y]′ n′ ]′
 
 
 
 
   = [cos(x + y)] ⋅ [ 1 ⋅ + 1 ⋅  ]dx
dx
dy
dx
   = [cos(x + y)] ⋅ [1 + ]dy
dx
   = cos(x + y) + cos(x + y) ⋅
dy
dx
 [ cos(x + y) + sen(x + y)  = [   ]
′
1
3 ]
′
[ cos(x + y)  + [ sen(x + y)  = 0]
′
]
′
[  − sen(x + y) − sen(x + y) ⋅  ] + [ cos(x + y) + cos(x + y) ⋅  ] = 0dy
dx
dy
dx
  − sen(x + y) − sen(x + y) ⋅   +  cos(x + y) + cos(x + y) ⋅   = 0
dy
dx
dy
dx
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Vamos reorganizar essa igualdade, de modo a deixar em evidência:
 
 
 
 
 
Vamos derivar essa igualdade, utilizando também a regra da cadeia...
   
dy
dx
−sen(x + y) + cos(x + y) − sen(x + y) ⋅ + cos(x + y) ⋅ = 0
dy
dx
dy
dx
−sen(x + y) ⋅ + cos(x + y) ⋅ = sen(x + y) − cos(x + y)
dy
dx
dy
dx
[ − sen(x + y) + cos(x + y)] ⋅ = sen(x + y) − cos(x + y)dy
dx
=
dy
dx
 sen(x + y) − cos(x + y) 
  − sen(x + y) + cos(x + y) 
=
dy
dx
 sen(x + y) − cos(x + y) 
  − [sen(x + y) − cos(x + y)] 
= −1
dy
dx
 d.  tg(x + y) = 4
     [ tg(x + y)  = 0   ⟹   [ t (x + y) ] ⋅ [x + y = 0]′ g′ ]
′
 
 
 
 
⟹   [ se (x + y) ] ⋅ [1 + ] = 0c2 dy
dx
⟹   se (x + y) + se (x + y) ⋅ = 0c2 c2
dy
dx
⟹   se (x + y) ⋅ = −se (x + y)c2
dy
dx
c2
⟹    =
dy
dx
−se (x + y)c2
se (x + y)c2
⟹    = −1
dy
dx
 e.    + =ecos x esen y 1
4
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Assim, temos:
A derivada será: 
Vamos resolver separadamente...
Nessa primeira derivada, derivamos a igualdade considerando variável e constante. Depois derivamos
considerando variável e constante. Em seguida adicionamos os dois resultados.
Portanto,
[ = ⋅ (cos x = ⋅ ( − sen x ⋅ ) = − ⋅ sen xe cos x ]′ e′ cos x )′ e cos x dx
dx
e cos x
[ = ⋅ (sen y = ⋅ (cos y ⋅ ) = ⋅ cos y ⋅e sen y ]′ e′ sen y )′ e sen y
dy
dx
e sen y
dy
dx
    [ + [ = [    ⟹   [ − ⋅ sen x] + [ ⋅ cos y ⋅ ] = 0e cos x ]′ e sen y ]′ 1
4
]′ e cos x e sen y
dy
dx
 
 
⟹    ⋅ cos y ⋅ = ⋅ sen xe sen y
dy
dx
e cos x
⟹    =
dy
dx
  ⋅ sen x e cos x
  ⋅ cos y e sen x
f.  x + 2 = x − 2yy2 y3
  (x + (2 = (x − (2yy2 )′ y3 )′ )′ )′
(x = 1 ⋅ + 2xy = + 2xyy2 )′
dx
dx
y2
dy
dx
y2
dy
dx
 x   y 
 y   x 
(2 = 6y3 )′ y2
dy
dx
(x = 1 = 1)′
dy
dx
(2y = 2)′
dy
dx
(x + (2 = (x − (2y    ⟹    + 2xy + 6 = 1 − 2y2 )′ y3 )′ )′ )′ y2
dy
dx
y2
dy
dx
dy
dx
 
 
   ⟹    + 2xy + 6 + 2 = 1y2
dy
dx
y2
dy
dx
dy
dx
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Analisando separadamente,
Dessa forma, 
Vamos resolver pela regra da cadeia (considerando ): 
Dessa forma, 
 
 
 
 
   ⟹   2xy + 6 + 2 = 1 −
dy
dx
y2
dy
dx
dy
dx
y2
   ⟹    ⋅ (2xy + 6 + 2) = 1 −
dy
dx
y2 y2
   ⟹    =
dy
dx
 1 −  y2
 2xy + 6 + 2 y2
 g.    + x sen y = 0x2y2
( = 2x ⋅ + 2 y ⋅x2y2 )′ y2
dx
dx
x2
dy
dx
(x sen y = 1 ⋅ ⋅ sen y + x cos y ⋅)′
dx
dx
dy
dx
    ( + (x sen y = (0    ⟹   2x + 2 y ⋅ + sen y + x cos y ⋅ = 0x2y2 )′ )′ )′ y2 x2
dy
dx
dy
dx
 
 
 
 
⟹   2 y  + x cos y  = −2x − sen yx2
dy
dx
dy
dx
y2
⟹    (2 y + x cos y ) = −2x − sen y
dy
dx
x2 y2
⟹    =
dy
dx
  − 2x − sen y y2
 2 y + x cos y x2
 h.   + ln y = 0ex2
 (  ex2 )′  u = x2
( = ( ⋅ = ⋅ = ⋅ 2xex2 )′ eu)′ u′ eu u′ ex2
d d
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Observe que é o mesmo que 
Vamos derivar o primeiro membro da igualdade, por meio da regra da cadeia...
Portanto, 
( + (ln y = (0    ⟹   2x ⋅ + ⋅ = 0ex2 )′ )′ )′ ex2
dx
dx
1
y
dy
dx
 
 
⟹    ⋅ = −2x
1
y
dy
dx
ex2
⟹   y ⋅ ⋅ = −2x ⋅ y
1
y
dy
dx
ex2
⟹    = −2x y
dy
dx
ex2
 i.  sen( ) =x
y
1
2
 sen( ) =  x
y
1
2  sen(x ) = .y
−1 1
2
 [sen(x ) = se (x ) ⋅ (x = cos(x ) ⋅ (1 − x )y−1 ]′ n′ y−1 y−1)′ y−1 y−1 dx
dx
y−2
dy
dx
[sen(x ) = [    ⟹   cos(x ) ⋅ ( − x ) = 0y−1 ]
′ 1
2
]
′
y−1 y−1 y−2
dy
dx
 
 
 
 
⟹     cos(x ) − x cos(x )  = 0y−1 y−1 y−2 y−1
dy
dx
⟹    ⋅    cos( ) − ⋅   x cos( )  = 0   (∗)y2 y−1 x
y
y2 y−2
x
y
dy
dx
⟹     cos( ) − x cos( )  = 0   (∗∗)y 2−1 x
y
y 2−2
x
y
dy
dx
⟹   y cos( ) − x cos( )  = 0x
y
x
y
dy
dx
⟹   y cos( ) = x cos( ) x
y
x
y
dy
dx
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⟹    =
 y cos( ) x
y
 x cos( ) x
y
dy
dx
⟹    =
 y  ( ) cos x
y
 x  ( ) cos x
y
dy
dx
⟹    =
y
x
dy
dx
Derive as funções a seguir:
I. 
II. 
III. 
IV. , tal que é constante real 
Marque V ou F para as afirmações abaixo:
f(x) = ( + 4xx3 )7
f(x) = 1 + 2x + x3
− −−−−−−−−√4
f(x) = (1 + x4 )
2
3
f(x) = cos( + )a3 x3 a
A resposta para o item I é Va (x) = 7( + 4xf ′ x3 )6
F
A resposta para o item I é Vb (x) = 7( + 4x (3 + 4)f ′ x3 )6 x2
F
A resposta para o item II é Vc (x) =f ′ 1+3x2
4 (1+2x+x3 )3√4
F
A resposta para o item II é Vd (x) =f ′ 3x2
4 1+2x+x3√4
F
A resposta para o item III é Ve (x) =f ′ 8x3
3(1+x4 )3
QUESTÃO 7 DE 10
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F
A resposta para o item III é Vf (x) =f ′ 8x3
1+x4√3
F
A resposta para o item IV é Vg (x) = −3 sen( )f ′ x2 x3
F
A resposta para o item IV é Vh (x) = −3 sen( + )f ′ x2 a3 x3
F
Respostas - Questão 7
Vamos derivar cada função utilizando a regra da cadeia, para verificar se cada item é verdadeiro ou
falso...
Seja
Logo,Pela regra da cadeia,
Seja
I.  f(x) = ( + 4xx3 )7
u = + 4xx3
= = 3 + 4
du
dx
u′ x2
f = ( + 4x = (u    ⟹    = ⋅x3 )7 )7 f ′ ( )u7
′
u′
    ⟹    = 7 ⋅ (3 + 4)f ′ u6 x2
   ⟹    = 7( + 4x ⋅ (3 + 4)f ′ x3 )6 x2
II. f(x) = 1 + 2x + x3− −−−−−−−−√4
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Logo,
Pela regra da cadeia,
Seja
Assim,
Pela regra da cadeia,
u = 1 + 2x + x3
= = 2 + 3
du
dx
u′ x2
f = =    ⟹    = ( ⋅1 + 2x + x3− −−−−−−−−√4 u −−√4 f ′ u
1
4 )′ u′
 
 
         ⟹    = ⋅f ′
1
 4 ⋅    u3
−−−√4
u′
        ⟹    = ⋅ (2 + 3 )f ′
1
 4 ⋅    (1 + 2x + )x3 3
− −−−−−−−−−−−
√4
x2
III. f(x) = (1 + x4 )
2
3
v = 1 + x4
= = 4
dv
dx
v′ x3
f = (1 +    ⟹    = ( ⋅x4 ) 23 f ′ v 23 )
′
v′
 
 
 
 
   ⟹    =  ⋅ v ⋅ 4f ′
2
3
−12
3 x3
   ⟹    =  ⋅ v ⋅ 4f ′
2
3
− 1
3 x3
   ⟹    = ⋅ 4f ′
2
3 ⋅  v
1
3
x3
   ⟹    = ⋅ 4f ′
2
3 ⋅  (1 + )x4
1
3
x3
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Seja
Assim,
Pela regra da cadeia,
   ⟹    =f ′
8x3
 3 ⋅   1 +  x4
− −−−−−√3
IV. tal que é constante real f(x) = cos( + ),  a3 x3  a 
v = +a3 x3
= = ( + ( = 0 + 3
dv
dx
v′ a3 )′ x3 )′ x2
f = cos( + ) = cos(v) ⟹    = co (v) ⋅a3 x3 f ′ s′ v′
 
 
         ⟹    = −sen(v) ⋅f ′ v′
         ⟹    = −sen( + ) ⋅ 3f ′ a3 x3 x2
Encontre a reta tangente à função no ponto:
I. 
II. 
A alternativa que contém as respectivas respostas para os itens acima é:
f(x) = ln( )x2
A = (−1, 0)
B = (1, 0)
I. 
II. 
a y = x + 1
y = −x + 1
I. 
II. 
b y = −4x − 4
y = −4x + 4
QUESTÃO 8 DE 10

01/11/2021 17:39 Matemática - Cálculo
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I. 
II. 
c y = −2x − 2
y = 2x − 2
I. 
II. 
d y = 2x + 2
y = −2x + 2
Nenhuma das alternativas anteriorese
Respostas - Questão 8
Primeiramente devemos encontrar a taxa de variação - coeficiente angular - de cada reta. Para isso,
devemos substituir a coordenada de cada ponto na função derivada de 
Vamos derivar :
Seja
Assim,
Pela regra da cadeia,
Coeficiente angular da reta - taxa de variação:
 x   f(x) = ln( ).  x2
 f(x)
u = x2
= = 2x
du
dx
u′
    f = ln( ) = ln(u)   ⟹    = l (u) ⋅x2 f ′ n′ u′
 
 
 
⟹    = ⋅f ′
 1 
 (u) 
u′
⟹    = ⋅ 2xf ′
 1 
 ( ) x2
⟹    =f ′
2x
x2
⟹    =f ′
2
x
I. A = (−1, 0)

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Equação da reta tangente:
Coeficiente angular da reta - taxa de variação:
Equação da reta tangente:
(−1) = = −2f ′
2
  − 1 
 
 
 
y − = m(x − )y0 x0
y − 0 = −2(x − (−1))
y = −2(x + 1)
y = −2x − 2
II. B = (1, 0)
(1) = = 2f ′
2
 1 
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y − = m(x − )y0 x0
y − 0 = 2(x − 1)
y = 2x − 2
Seja . Determine:
I. O intervalo em que é crescente 
II. O intervalo em que tem concavidade voltada para cima 
III. O intervalo em que tem concavidade voltada para baixo 
IV. Os pontos de inflexão 
Julgue as afirmações abaixo em Verdadeiras ou Falsas:
g(x) = 4 − 3 + 9x4 x2
g(x)
g(x)
g(x)
A resposta correta para o item I é ou Va ≥ x ≥ 038
−−
√ x ≤ − 38
−−
√
QUESTÃO 9 DE 10
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F
A resposta correta para o item I é ou Vb − ≤ x ≤ 038
−−
√ x ≥ 38
−−
√
F
A resposta correta para o item II é ou Vc > x > 038
−−
√ x < − 38
−−
√
F
A resposta correta para o item II é Vd > x > 038
−−
√
F
A resposta correta para o item III é Ve − ≤ x ≤18
−−
√ 18
−−
√
F
A resposta correta para o item III é ou Vf x ≥ 18
−−
√ x ≤ − 18
−−
√
F
A resposta correta para o item IV é ou Vg − > x18
−−
√ x > 18
−−
√
F
A resposta correta para o item IV é Vh − < x < 018
−−
√
F
A resposta correta para o item V é Vi x = 18
−−
√
F
A resposta correta para o item V é e Vj x = 18
−−
√ x = − 18
−−
√
F
Respostas - Questão 9




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

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A função que devemos analisar é Logo,
Temos os itens:
 é crescente quando Ou seja, quando
Um produto de dois termos é positivo quando seus termos possuem o mesmo sinal:
 g(x) = 4 − 3 + 9. x4 x2
(x) = 16 − 6xg′ x3
(x) = 48 − 6g′′ x2
I. O(s) intervalo(s) em que é crescente: g(x) 
   g(x)    (x) ≥ 0. g′
 16 − 6x ≥ 0x3
x(16 − 6) ≥ 0x2
16 − 6 ≥ 0  ⟺   16 ≥ 6x2 x2
 
 
 
 
 ou 
   ⟺    ≥x2
6
16
   ⟺    ≥x2
3
8
   ⟺   x ≥     
3
8
−−−
√   x ≤ −   3
8
−−−
√
\ \ \ A saber,   ≈ 0, 61  
3
8
−−−
√
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Portanto, é crescente quando ou seja, se ou se 
 é crescente quando 
Vimos anteriormente que quando ou quando 
Dessa forma, podemos concluir (por I e II), que:
Analise esses intervalos no gráfico de :
 g(x)   x(16 − 6) ≥ 0,  x2   − ≤ x ≤ 0    
3
8
−−−
√
  x ≥   
3
8
−−−
√
II. O(s) intervalo(s) em que é decrescente: g(x) 
   g(x)    (x) < 0. g′
  (x) < 0 g′   x < −     
3
8
−−−
√   0 < x <   3
8
−−−
√
  (x) = 16 − 6xg′ x3
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 tem concavidade voltada para cima quando 
III. O(s) intervalo(s) em que tem concavidade voltada para cima g(x) 
   g(x)    (x) ≥ 0 :  g′′
48 − 6 ≥ 0  ⟺   48 ≥ 6x2 x2
 
 
 
 
 ou 
   ⟺    ≥x2
6
48
   ⟺    ≥x2
1
8
   ⟺   x ≥     
1
8
−−−
√   x ≤ −   1
8
−−−
√
 A saber,   ≈ 0, 35  
1
8
−−−
√
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 tem concavidade voltada para baixo quando 
Vimos anteriormente os intervalos em que a derivada segunda é positiva. Dessa forma, podemos
concluir que a mesma será negativa no intervalo Veja:
Analise esses intervalos no gráfico de :
IV. O(s) intervalo(s) em que tem concavidade voltada para baixo g(x) 
   g(x)    (x) < 0. g′′
   − < x < .     
1
8
−−−
√   1
8
−−−
√
  (x) = 16 − 6xg′ x3
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O ponto de inflexão é quando o gráfico muda a concavidade, ou seja, quando . No
esquema acima podemos ver que esses pontos são e 
Veja o gráfico de :
V. O(s) ponto(s) de inflexão
   (x) = 0g′′
  x = −     
1
8
−−−
√   x =   1
8
−−−
√
 g(x) = 4 − 3 + 9x4 x2
Seja . Determine:
I. O intervalo em que é crescente 
II. O intervalo em que é decrescente 
III. O intervalo em que tem concavidade voltada para cima 
IV. O intervalo em que tem concavidade voltada para baixo 
V. Os pontos de inflexão
h(x) = 2 − 3 + 1x3 x2
h(x)
h(x)
h(x)
h(x)
QUESTÃO 10 DE 10
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Agora marque a alternativa que contém todas as afirmações corretas:
I. A resposta correta para I é 
II. A resposta correta para II é 
III. A resposta correta para III é 
IV. A resposta correta para IV é 
V. A resposta correta para V é 
a x ≥ 1
x ≤ 1
x ≥ 12
x ≤ − 12
x = 12
I. A resposta correta para I é 
II. A resposta correta para II é 
III. A resposta correta para III é 
IV. A resposta correta para IV é 
V. A resposta correta para V é 
b x ≤ 1
x ≥ 1
x ≤ 12
x ≥ 12
x = 12
I. A resposta correta para I é 
II. A resposta correta para II é 
III. A resposta correta para III é 
IV. A resposta correta para IV é 
V. A resposta correta para V é 
c x ≥ 1
x ≤ 1
x ≥ 12
x ≤ − 12
x = − 12
I. A resposta correta para I é 
II. A resposta correta paraII é 
III. A resposta correta para III é 
IV. A resposta correta para IV é 
V. A resposta correta para V é 
d x ≤ 1
x ≥ 1
x ≥ 12
x ≤ − 1
2
x = − 12
Nenhuma das alternativas anteriorese

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Respostas - Questão 9
Se então,
Temos os itens:
 é crescente quando Ou seja, quando 
O produto de dois termos é positivo quando seus termos possuem o mesmo sinal(ou ambos
positivos ou ambos negativos). Logo,
Veja o esquema abaixo:
 h(x) = 2 − 3 + 1,  x3 x2
(x) = 6 − 6xh′ x2
(x) = 12x − 6h′′
I. O(s) intervalo(s) em que é crescente: h(x) 
   h(x)    (x) ≥ 0. h′   6 − 6x ≥ 0 :x2
6 − 6x ≥ 0  ⟺   6( − x) ≥ 0x2 x2
 
 
 
 
   ⟺    − x ≥x2
0
6
   ⟺    − x ≥ 0x2
   ⟺   x(x − 1) ≥ 0
x − 1 ≥ 0  ⟺   x ≥ 1
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 é decrescente quando 
Vimos anteriormente que quando Veja então em quais intervalos a
função é crescente ou decrescente:
Analise esses intervalos no gráfico de :
II. O(s) intervalo(s) em que é decrescente: h(x) 
   h(x)    (x) ≤ 0. h′
  (x) ≤ 0 h′  0 < x < 1. 
 h(x) 
  (x) = 6 − 6xh′ x2
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 tem concavidade voltada para cima quando ou seja, quando 
III. O(s) intervalo(s) em que tem concavidade voltada para cima h(x) 
   h(x)    (x) ≥ 0,  h′′  12x − 6 ≥ 0 :
12x − 6 ≥ 0  ⟺   12x ≥ 6
 
 
   ⟺   x ≥
6
12
   ⟺   x ≥
1
2
IV. O(s) intervalo(s) em que tem concavidade voltada para baixo h(x) 
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 tem concavidade voltada para baixo quando 
Vimos no esquema anterior que quando Dessa forma, podemos analisar as
concavidades de :
Analise esses intervalos no gráfico de abaixo:
O ponto de inflexão é quando o gráfico muda a concavidade, ou seja, quando Como já
analisamos isso anteriormente, sabemos que esse ponto é .
Agora com todos esses dados, podemos traçar o gráfico de :
   h(x)    (x) ≤ 0. h′′
  (x) ≤ 0 h′′   x ≤ .   
1
2
 h(x) = 2 − 3 + 1x3 x2
  (x) = 12x − 6,  h′′
V. O(s) ponto(s) de inflexão
   (x) = 0. h′′
 x =
1
2
 h(x) = 2 − 3 + 1x3 x2
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Respondidas 10 de 10 questões.
SLIDE 6 DE 6
ANTERIOR PRÓXIMO 
IR PARA O SLIDE:
1 2 3 4 5 6
 REFAZER ATIVIDADE

https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni7/slide5.html
javascript:void(0)
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni7/slide1.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni7/slide2.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni7/slide3.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni7/slide4.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni7/slide5.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni7/slide6.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m2/uni7/index.html
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