Matemática II - AVAMEC 11

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01/11/2021 21:37 Matemática - Cálculo
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MINICURSO 3 FUNÇÕES PRIMITIVAS
UNIDADE 1 INTEGRAL INDEFINIDA
Slide 7 de 7
Resolva as seguintes integrais:
Marque a alternativa que contém as respostas corretas para cada item (considere k constante):
 
 
 
 
I.       ∫ [( − 2] dtt√3 )2
II.     ∫  dθsen(2θ)
cos(θ)
III.   ∫  dx−3e2x ex
ex
IV .    ∫ ( − ) dtet e−t
V .     ∫ (2 − s)  dss√
a I.       + 2t+ k3
5
t5
−−√3
II.    2 sen(θ) + k
III.   − 3x+ kex
IV .    + + ket 1
et
V .     ( + ) + k
2
3
s3
−−√ s5
−−√
b I.       − 2t+ k3
5
t5
−−√3
II.     − 2 sen(θ) + k
III.   + 3x+ kex
IV .    − + ket
1
et
2 s3
−−√ 2 s5
−−√
QUESTÃO 1 DE 5
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V .     + + k
2 s√
3
2 s√
3
c I.       + 2t+ k3
5
t3
−−√5
II.    2 cos(θ) + k
III.   − 3x+ kex
IV .    + + ket
1
et
V .     − + k
2 s3
−−√
3
2 s5
−−√
3
d I.       − 2t+ k3
5
t5
−−√3
II.     − 2 cos(θ) + k
III.   − 3x+ kex
IV .    + + ket
1
et
V .     − + k
4   s3
−−√
3
2 s5
−−√
5
e I.       − 2t+ k3
5
t3
−−√5
II.    2 cos(θ) + k
III.   − 3x+ kex
IV .    − + ket e−t
V .     ( − ) + k
2
3
s3
−−√ s5
−−√
Respostas - Questão 1
I.   ∫ [( − 2] dtt −−√3 ) 2
      ∫ [( − 2] dt =   ∫ [( − 2] dt    (∗)t −−√3 ) 2 t 13 )2
 = ∫ [ − 2] dt    (∗∗)t 23

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De para nós usamos a propriedade: De para usamos a propriedade: 
Para resolver esse item, você precisa saber que:
Considerando 
Logo,
Substituindo esse último resultado na integral, teremos:
 
 
 
= − 2t+ k
 t +1
2
3
   + 1  23
= − 2t+ k
     t
5
3
   53
= − 2t+ k    (∗ ∗ ∗)
     t
5
3
1
    53
= ⋅ − 2t+ k    (∗ ∗ ∗∗)
t
5
3
1
3
5
= − 2t+ k
 3   t5
−−√3
5
 (∗)   (∗∗),    ( = .  a b)c a b⋅c  (∗ ∗ ∗)   (∗ ∗ ∗∗),  
  = ⋅
     a
b
      c 
d
a
b
d
c
II.   ∫ dθ sen(2θ) 
 cos(θ) 
sen(a+ b) = sen a ⋅ cos b+ sen b ⋅ cos a
 a = b = θ,
sen(2θ) = sen(θ+ θ) = sen θ ⋅ cos θ+ sen θ ⋅ cos θ = 2 senθ cosθ
= = 2 sen θ ⋅ = 2 senθ
 sen(2θ) 
 cos(θ) 
 2sen θ cos θ 
 cos(θ) 
 cos(θ) 
 cos(θ) 
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Para resolver esse item, você precisa se lembrar da seguinte propriedade de potência:
Dessa forma, podemos reescrever essa integral:
∫  dθ = ∫ 2 sen(θ) dθ sen(2θ) 
 cos(θ) 
 
 
   = 2 ⋅ ∫ sen(θ) dθ
   = 2 ⋅ [−cos(θ)]
   = −2 cos(θ) + k
III.   ∫  dx  − 3  e
 2x e x
   e x
⋅ =ab ac a b+c
∫  dx = ∫  dx  − 3  e
 2x e x
   e x
  − 3  e x+x e x
   e x
 
 
 
       = ∫  dx  ⋅ − 3  e
x ex ex
   e x
       = ∫  dx
  ( − 3) ex ex
   ex
       = ∫ [  − 3 ] dxex
       = − 3x+ kex
IV ∫ ( − ) dte t e −t
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A integral de é fácil ser resolvida, né? Mas como vamos resolver a integral de 
Pelo método da substituição! Veja...
Seja Assim, 
Portanto,
Concluímos que:
IV.   ∫ ( ) dte e
   dt e t   −  dt?e −t
 u = −t.    du = −dt.  
∫ −  dt = ∫ ⋅ (−dt) = ∫ ⋅ (du) = + c = + ce −t e −t e u e u e −t
∫ ( − ) dt = ∫  dt+ ∫ −  dte t e −t e t e −t
 
 
= + + ke t e −t
= + + ke t
1
   e t
V.   ∫ (2 − s)  dss −−√
  ∫ (2 − s)  ds =   ∫ (2   −  s ) dss −−√ s −−√ s −−√
 
 
 
 
 
 
= ∫ 2  ds  −   ∫ s  dss −−√ s −−√
= 2 ∫  ds  −   ∫ s ⋅  dss  12 s  12
= 2 ∫  ds  −   ∫  dss  12 s 1+ 12
= 2 ∫  ds  −   ∫  dss  12 s  32
= 2    −  
   s +1
1
2
  + 1 12
   s +1
3
2
  + 1 32
= 2    −  
   s
3
2
   32
   s
5
2
   52
= −
 4 ⋅  s
3
2  2 ⋅  s
5
2
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3 5
= − + k
 4 ⋅   s3
−−√
3
2 ⋅   s5
−−√
5
Resolva as integrais abaixo utilizando o método da substituição.
Marque a alternativa que contém as respostas corretas de cada item (considere C constante):
 
 
 
 
 
I.       ∫ 2   dx2 − 3x− −−−−√
II.     ∫ 3x   dx2 − 4x2− −−−−−√
III.   ∫  dxx
1+x√
IV .    ∫ sen( ) dx3x2
V .     ∫ 3t cos(3 ) dtt2
V I.    ∫ co  t dts2
a I.       − + C49 (2 − 3x)3
− −−−−−−−√
II.     + C12 (2 − 4x2 )2
− −−−−−−−√3
III.   − 2 + C
2 (1+x)3√
3 1 + x
− −−−√
IV .    −  cos( ) + C23
3x
2
V .    6t sen(3 ) + Ct2
V I.    −  sen(2t) + Ct2
b I.       − + C49 (2 − 3x)3
− −−−−−−−√
II.     + C12 (2 − 4x2 )3
− −−−−−−−√
III.   − 2 + C
2 (1+x)3√
3 1 + x
− −−−√
IV .    −  cos( ) + C23
3x
2
V .      sen(3 ) + C12 t
2
t 1
QUESTÃO 2 DE 5

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V I.    +  sen(2t) + Ct2
1
4
c I.       + C94 (2 − 3x)2
− −−−−−−−√3
II.     + C12 (2 − 4x2 )2
− −−−−−−−√3
III.   − 2 + C
2 (1+x)3√
3 1 + x
− −−−√
IV .    −  cos( ) + C23
3x
2
V .      sen(3 ) + C12 t
2
V I.    +  sen(2t) + Ct2
1
4
d I.       − + C94 (2 − 3x)3
− −−−−−−−√
II.     + C12 (2 − 4x2 )3
− −−−−−−−√
III.   − 2 + C
2 (1+x)3√
3 1 + x
− −−−√
IV .    −  cos( ) + C23
3x
2
V .      sen( ) + C12 3
2
V I.    +  sen(2t) + Ct2
1
4
e I.       + C94 (2 − 3x)2
− −−−−−−−√3
II.     + C12 (2 − 4x2 )2
− −−−−−−−√3
III.   − 2 + C
2 (1+x)3√
3 1 + x
− −−−√
IV .     cos( ) + C2
3
3x
2
V .      sen(3 ) + C1
2 t
2
V I.     cos(2t) + C1
4
Respostas - Questão 2
Vamos resolver todas as integrais pelo método da substituição... 
Seja Assim, 
I.   ∫ 2  dx2 − 3x − −−−−−√
 u = 2 − 3x.    du = −3dx   ⟹    = dx
du
−3
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Substituindo esses dados na integral, teremos:
Seja Assim, 
Reescrevendo a integral:
  ∫ 2  dx = 2  ∫  dx2 − 3x − −−−−−√ 2 − 3x − −−−−−√
 
 
 
 
 
 
 
= 2  ∫  u −−√
du
−3
= −   ∫  du2
3
u −−√
= −   ∫  du2
3
u 
1
2
= − ⋅
2
3
   u +1
1
2
  + 1 12
= − ⋅ ⋅
2
3
2
3
u
3
2
= − ⋅ + C
4
9
u 
3
2
= − ⋅ + C
4
9
u3
−−√
II.   ∫ 3x   dx2 − 4x2− −−−−−√
 v = 2 − 4.  x2  dv = 4x dx   ⟹    = x dx
dv
4
    ∫ 3x   dx = 3 ∫   x dx2 − 4x2− −−−−−√ 2 − 4 x2− −−−−−−√
 = 3 ∫   v −−√
dv
4
∫3
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Seja 
Ainda, 
Podemos agora reescrever a integral:
 
 
 
= ∫  dv3
4
v −−√
= ⋅  
3
4
2
3
 v3
−−√
=   + C
1
2
(2 − 4  x2 )3
− −−−−−−−−√
III.   ∫  dxx
1 + x− −−−√
 a = 1 + x   ⟹ a− 1 = x
 da = dx.
∫  dx = ∫  dax
   1 + x − −−−−√
 a− 1 
   a −−√
 
 
 
 
 
 
 
= ∫ (a− 1)   da1
 a −−√
= ∫ (a− 1) ⋅  daa− 12
= ∫ (a ⋅ − ) daa− 12 a− 12
= ∫ ( − ) daa 12 a− 12
=   − 2  + C
2
3
a
3
2 a
1
2
= − 2  + C
2   a3
−−√
3
a −−√
= − 2  + C
2   (1 + x)3
− −−−−−−√
3
1 + x − −−−−√
IV.   ∫ sen( ) dx3x
2
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Seja Logo, que é equivalente a 
Podemos reescrever a integral:
Considere Logo, que é equivalente a 
Reescrevemos a integral:
 u =  .3x2  du =  dx 
3
2
   du = dx
2
3
∫ sen( ) dx = ∫ sen(u)   du3x
2
2
3
 
 
 
= ∫ sen(u)  du2
3
= − cos(u)2
3
= − cos( )+ C2
3
3x
2
V.   ∫ 3t cos(3 ) dtt2
 v = 3  .t2  dv = 6t dt     t dt
dv
6
∫ 3t cos(3 ) dt = 3 ∫  cos(3 ) t dtt2 t2
 
 
 
 
= 3 ∫  cos(v)  dv
6
= ∫  cos(v) dv3
6
=  sen(v) + C
1
2
=  sen(3 ) + C
1
2
t2
VI.   ∫ co  t dts2
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Para resolveresse item você deve se lembrar/saber que:
De 3 e 5 , temos:
Portanto,
Vamos resolver essas duas derivadas separadamente:
∫
1. cos(a+ b) = cos a ⋅ cos b− sen a ⋅ sen b
2.  cos(2a) = cos(a+ a) 
3. cos(2a) = cos a ⋅ cos a− sen a ⋅ sen a = co  a− se  as2 n2
4. (resultado 4 vem do 3) cos(2a) − co  a = −se  a  s2 n2
5.  co  a+ se  a = 1s2 n2
6.  co  a = 1 − se  as2 n2
 
 
 
 
 
 
 
 
 co  a = 1 − se  a       (6)s2 n2
 co  a = 1 +  cos(2a) − co  a      (4)s2 s2
co  a+  co  a = 1 +  cos(2a)s2 s2
2 co  a+ = 1 + cos(2a)s2
co  a+ =s2
 1 + cos(2a) 
2
∫ co  t dt = ∫  dts2  1 + cos(2t) 
2
 = ∫ [ + ] dt1
2
 cos(2t) 
2
= ∫  dt  +   ∫  dt      (∗)1
2
 cos(2t) 
2
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a os eso e essas duas de adas sepa ada e te
Voltando à temos
 ∫  dt =1
2
t
2
∫  dt cos(2t) 
2
Seja 
Assim,
 u = 2t   ⟹    = dt
du
2
∫  dt  =   ∫  cos(2t) dt  cos(2t) 
2
1
2
 
 
 
 
 
 
    = ∫  cos(u)   1
2
du
2
    =   ⋅ ∫  cos(u) du 1
2
1
2
    =    sen(u) + k 
1
4
    =  
 sen(2t) 
4
 (∗),  
∫ co  t dt = ∫  dt  +   ∫  dt      (∗)s2 1
2
 cos(2t) 
2
= + + C
t
2
 sen(2t) 
4
f( )
QUESTÃO 3 DE 5
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Encontre em cada item, sabendo que
Considerando que , e são constantes reais, a alternativa que responde corretamente cada um dos itens
acima, é:
f(x)
 
 
 
 
I.       (x) = 6x+ 12f ′′ x2
II.     (t) =f ′′′ et
III.   (x) = 2 + +f ′′ x3 x6
IV .    (x) = cos xf ′′
V .     (t) = t−f ′′′ t√
c d k
a I.      f(x) = + 2 + kx3 x4
II.    f(t) = − + ctet kt22
III.  f(x) = + − + cxx2 x520
x8
42
IV .   f(x) = −cos(x) + cx+ k
V .     = − 8 +t4
24
t7
−−√ kt2
2
b I.      f(x) = + 2x3 x4
II.    f(t) = +et kt22
III.  f(x) = + + + dx2 x520
x8
42
IV .   f(x) = cos(x) + cx+ k
V .     = + 8 +t4
24 t
7
−−√ kt2
2
c I.      f(x) = + 2 + cxx3 x4
II.    f(t) = + + ct+ det kt22
III.  f(x) = + + + cx+ dx2 x520
x8
42
IV .   f(x) = −cos(x) + cx+ k
V .     = − + + ct+ dt4
24
8
105 t
7
−−√ kt2
2
d I f(x) = + 2 + cx+ kx3 x4

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d I.      f(x) = + 2 + cx+ kx x
II.    f(t) = − + ct+ det kt22
III.  f(x) = − +x2 x520
x8
42
IV .   f(x) = cos(x) + cx
V .     = − + + ct+ dt4
24
8
105 t
7
−−√ t2
2
Nenhuma das alternativas anteriorese
Respostas - Questão 3
Precisamos integrar para encontrar em seguida integrar para encontrar 
 e por fim, integrar para encontrar .
  (x) f ′′′   (x),  f ′′   (x) f ′′
  (x),  f ′   (x) f ′  f(x)
I.   (x) = 6x+ 12f ′′ x2
  (x) = ∫ (x) dxf ′ f ′′
 
 
= ∫ (6x+ 12 ) dxx2
= + + c
6x2
2
24x3
3
= 3 + 8 + cx2 x3
 f(x) = ∫ (x) dxf ′
 
 
= ∫ (3 + 8 + c) dxx2 x3
= + + cx+ k
3x3
3
8x4
4
= + 2 + cx+ kx3 x4
II.   (t) =f ′′′ et
  (t) = ∫ (t) dtf ′′ f ′′′
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∫
= ∫  dtet
= + ket
  (t) = ∫ (t) dtf ′ f ′′
 = ∫ ( + k) dtet
= + kt+ cet
 f(t) = ∫ (t) dtf ′
 = ∫ ( + kt) dtet
= + + ct+ det
kt2
2
III.   (x) = 2 + +f ′′ x3 x6
  (x) = ∫ (x) dxf ′ f ′′
 = ∫ (2 + + ) dxx3 x6
= 2x+ + + c
x4
4
x7
7
 f(x) = ∫ (x) dxf ′
 
 
= ∫ (2x+ + + c) dxx
4
4
x7
7
= + + + cx+ d
2x2
2
x5
4 ⋅ 5
x8
7 ⋅ 8
= + + + cx+ dx2
x5
20
x8
42
IV.   (x) = cos xf ′′
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  (x) = ∫ (x) dxf ′ f ′′
 = ∫ (cos x) dx
= sen(x) + c
 f(x) = ∫ (x) dxf ′
 = ∫ (sen(x) + c) dx
= −cos(x) + cx+ k
V.   (t) = t−f ′′′ t −−√
  (t) = ∫ (t) dtf ′′ f ′′′
 
 
 
 
= ∫ (t−  ) dtt −−√
= ∫ (t−  ) dtt 12
= − + k
t2
2
   t +1
1
2
  + 1 1
2
= − + k
t2
2
   t
3
2
   3
2
= − + k
t2
2
 2   t
3
2
3
  (t) = ∫ (t) dtf ′ f ′′
 = ∫ ( − + k) dtt
2
2
 2   t
3
2
3
t6 2 t +1
3
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= − ⋅ + kt+ c
t6
6
2
3
   t +12
  + 1 32
= − ⋅ ⋅ + kt+ c
t6
6
2
3
2
5
t
5
2
= − ⋅ + kt+ c
t6
6
4
15
t
5
2
 f(t) = ∫ (t) dtf ′
 
 
 
= ∫ ( − ⋅ + kt+ c) dtt
6
6
4
15
t
5
2
− ⋅ + + ct+ d
t6
4 ⋅ 6
4
15
t
7
2
   72
kt2
2
− ⋅ ⋅ + + ct+ d
t6
24
4
15
2
7
t
7
2
kt2
2
− ⋅ + + ct+ d
t6
24
8
105
 t7
−−√
kt2
2
Uma função tem derivada de segunda ordem . Encontre a expressão - lei de formação -
para , sabendo que o seu gráfico contém o ponto (2,1), e que em tal ponto a reta tangente ao gráfico 
tem equação .
A alternativa que representa corretamente a lei da função é:
(x) = 6x− 6f ′′
f(x) f
3x− y− 5 = 0
f(x)
a f(x) = − 3x3 x2
b f(x) = − 3 + 3x3 x2
c f(x) = − 3 + 2xx3 x2
d f(x) = − 3 + 2x+ 3x3 x2
QUESTÃO 4 DE 5
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d f( )
e f(x) = − 3 + 3x− 1x3 x2
Respostas - Questão 4
Precisamos integrar para encontrar e, em seguida, integrar para encontrar
 Isso porque nós precisamos descobrir a taxa de variação - coeficiente angular - da reta
tangente à no ponto .
Sabemos que a função contém o ponto em seu gráfico. Ou seja, 
Além disso, sabemos a equação da reta tangente à função nesse ponto,que é 
Podemos reescrevê-la como 
Dessa forma, - que é a taxa de variação da reta tangente nesse ponto. Vejamos:
  (x) f ′′   (x) f ′   (x) f ′
 f(x).  
  (x) f ′′  (2, 1)
  (x) = ∫ (x) dxf ′ f ′′
 
 
= ∫ (6x− 6) dx
= − 6x+ c
6x2
2
= 3 − 6x+ cx2
 f(x) = ∫ (x) dxf ′
 
 
= ∫ (3 − 6x+ c) dxx2
= + + cx+ k
3x3
3
6x2
2
= − 3 + cx+ kx3 x2
 f(x)   (2, 1)   f(2) = 1.  
 3x− y− 5 = 0. 
 3x− 5 = y.
  (2) = 3 f ′
(x) = 3 − 6x+ c   ⟹    (2) = 3 ⋅ (2 − 6 ⋅ 2 + cf ′ x2 f ′ )2
 
 
   ⟹   3 = 12 − 12 + c
   ⟹   3 = c

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Uma observação importante é que escolhemos analisar primeiro a função pois já tínhamos
dados sobre ela e também porque ela possui menos incógnitas, o que é mais fácil para resolver. 
Agora podemos substituir esse valor de na lei de formação de 
Portanto, como descobrimos que e podemos substituir na lei de formação de 
  (x),  f ′
 c = 3   f(x) :
  f(x) = − 3 + cx+ kx3 x2
 
 
 
 
 
 
⟹   f(2) = − 3 ⋅ + c ⋅ 2 + k23 22
⟹   1 = 8 − 12 + 6 + k
⟹   1 = 2 + k
⟹    − 1 = k
 c = 3   k = −1,  
 f(x) :
f(x) = − 3 + cx+ k   ⟹   f(x) = − 3 + 3x− 1x3 x2 x3 x2
Utilizando o método de intregração por partes, calcule:
A alternativa que contém as respostas corretas para cada item é:
 
 
 
I.       ∫  dxx2ex
II.     ∫  sen x dxex
III.   ∫ x ln x dx
IV .    ∫    dxe2x x3
a I.       (2 − 2x+ ) + cex x2
II.     + c
(senx−cosx)ex
2
III.   (lnx− ) + cx22
1
2
QUESTÃO 5 DE 5

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IV .    ( − − + ) + ce2x x32
3x2
4
3
8
3x
4
b I.       (2 − 2x+ ) + cex x2
II.     + csenx+cosxe
x
2
III.   (lnx+ ) + cx22
1
2
IV .    ( − − + ) + ce2x x32
3x2
4
3
8
3x
4
c I.       (2 − 2x) + + cex x2
II.     + csenx−cosxe
x
2
III.   lnx− + cx22
1
4
IV .    = − ∫ xdx+ c12 x2e2x
3
2 x
2e2
d I.       (2 − 2x+ ) + cex x2
II.     + c
(senx+cosx)ex
2
III.   (lnx− ) + cx22
1
2
IV .    ( + ) − + + ce2x x32
3x2
4
3
8
3x
4
e I.       (2 − 2x) + + cex x2
II.     + csenx−cosxex 2
III.   (lnx− ) + cx22
1
2
IV .    = − ∫ dx+ c12 x3e2x
3
2 x
2e2x
Respostas - Questão 5
Para integrar os próximos itens, devemos nos lembrar do método de integração por partes:
Alémdisso, podemos chamar uma função de e a outra de derivamos a função e
integramos a função 
∫ [f(x)  (x)] dx = f(x) g(x) − ∫ g(x)  (x) dxg′ f ′
 u   dv :  u 
 dv.
∫ u dv = uv− ∫ v du
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Geralmente utilizamos uma ordem de prioridade para a função que vamos derivar ( ), a saber:
Agora que já relembramos as regras, vamos resolver os 4 itens propostos…
Temos duas funções: e Uma dela vamos derivar (chamaremos de ) e a
outra vamos integrar (chamaremos de ). 
Pela nossa ordem de prioridade para vamos escolher (que é potência de ) e 
 (que é exponencial).
Pela fórmula,
Ou seja,
Temos outra integral de multiplicação de funções: e Por isso, vamos
resolvê-la por meio do método por partes também:
u
I.  ∫ (x) dxf ′
 f(x) =  x2  g(x) = .  ex  u
 dv
 u,    u =  x2  x
 dv =  dx ex
∫ u dv = uv− ∫ v du
∫    dx =   − ∫  2x dxx2 ex x2 ex ex
       =   − 2 ∫  x dx       (∗)x2 ex ex
  = x u1  d = dx.  v1 ex
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Como então
Vamos substituir esse resultado em :
Temos duas funções: que é exponencial e que é trigonométrica. Vamos considerar
então e 
Pela regra da integração por partes, Ou seja,
  ∫  d = − ∫  d ,  u1 v1 u1v1 v1 u1
∫  x dx = − ∫  dxex ex ex
 
 
     =  x−ex ex
     = (x− 1)ex
 (∗)
∫    dx =   − 2 ∫  x dx       (∗)x2 ex x2 ex ex
 
 
       =   − 2 (x− 1)x2 ex ex
       =   (2 − 2x)x2 ex
       = (2 − 2x+ ) + cex x2
II.  ∫  sen x dxex
  ,  ex  sen x 
 u = sen x   dv =  dx :ex
  ∫ u dv = uv− ∫ v du.  
∫  sen x dx =  sen x− ∫  cos x dx       (∗)ex ex ex
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Vamos resolver 
Como então
Substituindo esse resultado em :
Chamaremos e .
  ∫  cos x dx :ex
  ∫  d = − ∫  d ,  u1 v1 u1v1 v1 u1
∫  cos x dx = cos x  − ∫ (−sen x) dxex ex ex
          = cos x  + ∫  sen x dxex ex
 (∗)
 
 
 
 
 
 
 
∫  sen x dx =  sen x− ∫  cos x dxex ex ex
∫  sen x dx =  sen x− [cos x  + ∫  sen x dx]ex ex ex ex
∫  sen x dx =  sen x− cos x  − ∫  sen x dxex ex ex ex
∫  sen x dx+ ∫  sen x dx =  sen x− cos x ex ex ex ex
2 ∫  sen x dx =  sen x− cos x ex ex ex
∫  sen x dx =ex  sen x− cos x e
x ex
2
III.  ∫ x ln x dx
 u = ln x   dv = x dx
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Temos que Portanto,
Vamos considerar nesse caso, e :
Vamos resolver pelo método da substituição: 
Seja Isso implica que Além disso, reescrevemos a integral:
Agora podemos escrever:
  ∫ u dv = uv− ∫ v du.  
   ∫ x ln x dx = ⋅ ln x− ∫ ⋅  dxx
2
2
x2
2
1
x
 
 
          = ⋅ ln x− ∫  dxx
2
2
x
2
          = ⋅ ln x− ∫ x dxx
2
2
1
2
          = ⋅ ln x− ⋅
x2
2
1
2
x2
2
          = (ln x− )+ cx
2
2
1
2
IV.  ∫    dxe2x x3
 u =  x3  dv =  dxe2x
 u =    ⟹   du = 3  dxx3 x2
 dv =  dx   ⟹   v = ∫  dxe2x e2x
 v = ∫  dx e2x
 a = 2x.     = dx.  
da
2
   ∫  dx = ∫     =   ∫  da  =   ⋅ = ⋅     (∗)e2x e a da
2
1
2
e a
1
2
e a
1
2
e 2x
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Como então
Agora vamos resolver para substituir em : 
Em vamos chamar e Dessa forma,
Lembre-se que integramos - que agora chamamos de - lá em 
Logo, 
Agora precisamos resolver 
Em chamaremos e 
Lembre-se novamente que integramos - que agora chamamos de - lá em
  ∫ u dv = uv− ∫ v du,  
  ∫    dx =     − ∫  3    dxe2x x3 1
2
x3 e2x
1
2
x2 e2x
=     − ∫    dx        (∗∗)1
2
x3 e2x
3
2
x2 e2x
  ∫    dx  x2 e2x  (∗∗)
  ∫    dx,  x2 e2x   =  u1 x2  d =  dx.  v1 e2x
   dx e2x  d  v1  (∗).  
   ∫  d = − ∫  d  u1 v1 u1v1 v1 u1
  ∫    dx = ⋅   − ∫    x dxx2 e2x 1
2
x2 e2x
1
2
e2x
          =     − ∫    x dx    (∗ ∗ ∗) 1
2
x2 e2x
1
2
e2x
 (∗ ∗ ∗).
  ∫    x dx,  1
2
e2x   = x u2  d =  dx v2 e2x
dxe2x dv2 (∗).
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Lembre se novamente que integramos que agora chamamos de lá em 
Portanto, é:
Sabemos que Logo,
Agora podemos substituir esse valor em Lá, tínhamos que
Finalmente podemos resolver a integral inicial - lá em :
   dx e  d  v2  ( ).  
  ∫  d = − ∫  d  u2 v2 u2v2 v2 u2
  ∫  x dx =  x  − ∫    dxe2x 1
2
e2x
1
2
e2x
          =  x  − ∫    dx        (∗ ∗ ∗∗)1
2
e2x
1
2
e2x
  ∫    dx =   .  e2x 1
2
e2x
  ∫  x dx =  x  − ∫    dxe2x 1
2
e2x
1
2
e2x
 
 
          =  x  − ⋅  
1
2
e2x
1
2
1
2
e2x
          =  x  −  
1
2
e2x
1
4
e2x
          = ( − )e2x x
2
1
4
 (∗ ∗ ∗).  
  ∫    dx =     − ∫    x dxx2 e2x 1
2
x2 e2x
1
2
e2x
 
 
          =     −[ ( − )]1
2
x2 e2x e2x
x
2
1
4
          =     + ( − )1
2
x2 e2x e2x
1
4
x
2
          = ( + − )e2x x
2
2
1
4
x
2
 (∗∗)
  ∫    dx =     − ∫    dxe2x x3 1
2
x3 e2x
3
2
x2 e2x
 
 
=   − [ ( + − )]x
3
2
e 2x
3
2
e2x
x2
2
1
4
x
2
[ ]
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Respondidas 5 de 5 questões.
SLIDE 7 DE 7
ANTERIOR PRÓXIMO 
IR PARA O SLIDE:
1 2 3 4 5 6 7
 
 
=   + [ (− − + )]x
3
2
e 2x e2x
3x2
4
3
8
3x
4
= ( − − + )+ Ce2x x
3
2
3x2
4
3
8
3x
4
 REFAZER ATIVIDADE

REALIZAÇÃO E PRODUÇÃO:
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni1/slide6.html
javascript:void(0)
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni1/slide1.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni1/slide2.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni1/slide3.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni1/slide4.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni1/slide5.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni1/slide6.html
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http://www.ufg.br/
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni1/index.html