AS CRÍTICAS DE LEONHARD EULER À TEORIA DE BENJAMIN ROBINS

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AS CRÍTICAS DE LEONHARD EULER À TEORIA DE BENJAMIN ROBINS: UM SÉCULO DE ATRASO NA EVOLUÇÃO DA ARTILHARIA
 Claudia Marques de Oliveira Farias1
 Rute da Cunha2
RESUMO. Esse artigo examina as contribuições de Benjamin Robins e Leonhard Euler para a teoria matemática da balística, bem como a disputa de autoridade entre eles. A metodologia utilizada foi a da pesquisa bibliográfica. Benjamin Robins, em 1742 publica New Principles Gunnery, em que, juntamente com a invenção do pêndulo balístico, apresenta estimativas bastante precisas de velocidades de projéteis, novas perspectivas tanto na questão de raiamento para correção das oscilações quanto na forma do projétil, revolucionando o estudo de balística. Em 1745, Leonhard Euler traduz para o alemão o livro de Robins, apresentando críticas às suas ideias. Euler refuta o raiamento alegando que a oscilação acontecia tanto em armas raiadas quanto em lisas, portanto o raiamento não seria útil para eliminar os efeitos negativos das oscilações. Como Euler na época já era considerado eminente matemático, com sua autoridade acadêmica fez com que os argumentos de Robins não convencessem ficando esquecidas as suas questões. As armas raiadas alcançam sua plena eficácia somente em 1846, quando o Conde Giovanni Cavalli associa o projétil alongado e o raiamento, ideias de Robins, marcando, definitivamente, a superioridade da Artilharia raiada. Uma disputa de autoridade provoca exatamente um século de atraso na Artilharia. 
Palavras-chave: Trajetória. Balística. Raiamento. Robins x Euler.
Discente do Curso de Licenciatura Plena em Matemática, pela Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT. E-mail: cmaroliverfarias@hotmail.com 
2Orientador: Professora Doutora do Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT – Campus de Cuiabá. E-mail: rutecunha@ig.com.br
A Artilharia, segundo ALVES (1959) surge cientificamente no século XVII, quando aparecem as primeiras publicações de livros teóricos específicos modelando as trajetórias de tiros, embora, os séculos XV e XVI já tivessem presenciado as primeiras manifestações de regras de tiro, até então incertas e empíricas, através dos trabalhos de Niccolò Fontana de Bréscia (Tartaglia) (1449-1557)(1) e Giuliano Giamberti da Sangallo (1445-1516)(2). Segundo ALVES (1959, pág.139) “os antigos artilheiros não tinham a ideia exata da forma da trajetória e, fazendo sobre ela a hipótese mais simples, julgavam-na uma linha reta.”
A artilharia se tornou um assunto de matemática prática no século XVI e Tartaglia mais conhecido por sua disputa com Girolamo Cardano sobre a resolução da equação geral cúbica, foi o primeiro matemático a aplicar a matemática a Artilharia e a dedicar-se aos estudos de balística. 
Em 1537, publica seu texto Nova Scientia retratando a geometria da trajetória de um projétil. Segundo ele, essa trajetória era formada por duas partes retas separadas por uma curva, ou seja, um arco de circunferência, correspondente à sua hipótese III (1537, Livro II, folha 11, frente) do movimento violento, do movimento curvilíneo e do movimento natural. 
Figura1. TARTAGLIA, Nova scientia, 1537, livro II fl. 11, frente.
(1) Alves indica o nascimento de Niccolò Fontana de Bréscia (Tartaglia) em 1500, porém esse não está confirmado. Para essa pesquisa encontramos 1499 ou 1500 em alguns sites visitados para esse fim.
(2) Alves indica Giovanni Giamberti da Sangallo (1445-1546), arquiteto e engenheiro militar florentino, porém para esta pesquisa o nome é Giuliano e sua morte é datada de 1516 (SCALZO, 2001, pág.83)
Para melhor compreensão dos movimentos descritos por Tartaglia, insere-se a figura abaixo. 
Segundo DRAKIN e DRABKIN (1969, apud HACKBORN, 2006), consta que na dedicação de Nova Scientia, Tartaglia apresenta um conflito moral e ético quanto aos seus estudos escrevendo:
Eu caí em pensamento de que é uma coisa culpável... estudar e melhorar tal perverso exercício, destruidor da espécie humana... Mas agora, já que o lobo [Sultão otomano Suleiman I] está ansioso para devorar nosso rebanho... não mais parece admissível para mim nesse momento manter essas coisas escondidas. (DRAKIN e DRABKIN (1969) apud HACKBORN, 2006, pág.2)(3)
Segundo Tartaglia (1537, Livro I, folha 2, frente) pelas definições VI, VII, por movimento natural entende-se como aquele que conduz o objeto (projétil) ao seu lugar na natureza e por movimento violento, entende-se como aquele que afasta o objeto (projétil) do seu lugar natural através da aplicação de uma determinada força e, quando estes acontecem, o movimento violento tende a “perder energia”, enquanto que o movimento natural tende a “ganhar energia”. 
(3) “I fell to thinking it a blameworthy thing … to study and improve such a damnable exercise, destroyer of the human species … But now, seeing that the wolf [Ottoman sultan Suleiman I] is anxious to ravage our flock, … it no longer appears permissible to me at present to keep these things hidden”. (HACKBORN, 2006, pág. 2)
Figura 2. TARTAGLIA Nova Scientia, 1537,Livro I, fl. 2, frente.
Mais tarde, em 1546, Tartaglia publicou Quesiti et investigazione diversi. Neste ele afirma que nenhuma parte da trajetória é retilínea e que quanto maior é a velocidade do projétil, menor é a curvatura da trajetória. 
ALVES (1959), conforme sua interpretação do livro de Pietro Nardi, L’Artiglieria, publicada em 1621 e do livro de Abra de Raconis, Livre de connonerie et artificie de feu, de 1550, afirma que apesar da hipótese do Quesiti et investigacione diversi de Tartaglia ser absolutamente verdadeira, foi a teoria dos movimentos descrita no livro Nuova Scienza(4), que foi mais difundida e influente, sendo admitida até meados do século XVII.
Segundo ALVES (1959) havia ainda a incerteza sobre a natureza da trajetória do projétil; a prática do tiro flutuava ao acaso, tanto que De Raconis não menciona o que seria “ponto branco”. Este fato parece provar que nessa época tal ponto ainda não era conhecido ou nem mesmo existia. 
(4) Alves chama a obra de Tartaglia de Nuova Scienza, porém o original que temos é Nova Scientia..
A técnica do tiro era complicada e perigosa e a habilidade do artilheiro para disparar com segurança e precisão era repetidamente criticada, pois os parâmetros para determinação do alvo eram imprecisos e os lançamentos eram realizados sem instrumentos apropriados para a medição de tiro, para a elevação dos canhões e morteiros, e para o cálculo do intervalo e do alcance do projétil (capacidade de fogo). 
Apesar de armas pesadas conseguirem efeito máximo destrutivo quando apontadas horizontalmente, Tartaglia, em seus estudos, percebeu que uma maior distância poderia ser alcançada elevando o cano da arma e que o estado de alcance máximo poderia ser obtido com um ângulo de lançamento de 45o, descrevendo em seu texto de 1537 um quadrante que foi inserido no cano da arma. 
Figura 3. TARTAGLIA, Nova Scientia, 1537, epístola.
 Figura 4. TARTAGLIA, Nova Scientia, 1537, epístola.
 
Figura 5. TARTAGLIA, Nova Scientia, 1537, epístola. 
Quadrantes e níveis habilitavam o artilheiro para posicionar a arma em determinadas elevações. Estes instrumentos foram construídos em uma enorme variedade de formas e estilos, com suas escalas medidas em graus ou polegadas. To determine appropriate elevations for his cannons and mortars, a gunner had to know the distance of the target and also be able to relate this range to the elevation of the piece. Para determinar altitudes adequadas para os seus canhões e morteiros, um atirador tinha que saber a distância do alvo e também ser capaz de relacionar este intervalo para a elevação da peça. The question of determining the correct elevation necessary to fire a shot a given distance (and its inverse, the prediction of range at a given elevation) was the most taxing problem of gunnery as a mathematical art. A questão de determinar a altitude correta necessária para disparar um tiro deuma determinada distância foi a maior dificuldade geométrica e que Tartaglia também abordou em seu texto de 1537. 
 
Figura 6. TARTAGLIA, Nova Scientia, 1537, livro III, fl. 23 e verso.
 
O trabalho de Tartaglia serviu de base para muitos estudos posteriores em consequência da dúvida que havia então sobre a verdadeira natureza da trajetória. “Foi somente, após a descoberta das Leis da gravidade, por Galileu que a forma da trajetória passou a ser melhor considerada e estudada.” (Alves,1959, pág.140). 
Ex-aluno e discípulo de Tartaglia, Ostilio Ricci (1540-1603), foi o matemático do Tribunal toscano onde ministrou um curso sobre Os Elementos de Euclides na Universidade de Pisa em 1582-1583. Galileu Galilei (1564 – 1642)(5). Participou do curso e teve a oportunidade de estudar as obras de Euclides e Arquimedes a partir da tradução em italiano que Tartaglia tinha feito dos mesmos.
(5) Galileu Galilei – (1564-1642). Matemático, físico, astrônomo e filósofo nasceu em Pisa, Itália. Um dos grandes gênios da humanidade que além de ter feito grandes descobertas, teve um papel fundamental na chamada revolução científica. Sendo ele o primeiro a descrever os fenômenos teoricamente, com leis pronunciadas em linguagem matemática, a partir de observações empíricas. Assim, é considerado o pai da ciência moderna.
fonte: http://efisica.if.usp.br/mecanica/curioso/historia/galileu/ 
Acesso em: 15/08/2013 – 20:59 , horário de Brasília.
Ricci, sendo discípulo de Tartaglia, herdou, então, seu grande interesse em arquitetura militar e matemática ensinando esses assuntos aos alunos que teve e um de seus alunos era Galileu. 
Esse célebre cientista elabora o primeiro estudo científico sobre o movimento dos corpos na atmosfera e, após uma série de estudos sobre a queda livre dos corpos demonstra que na ausência da resistência do ar a trajetória dos projéteis independentemente da velocidade inicial descreve uma parábola confirmando a ideia de Tartaglia.
Galileu ainda contribui com a invenção do Compasso Geométrico e Militar que contém um conjunto de pontos para a determinação do diâmetro das esferas (os projéteis, na época, tinham a forma esférica) de diferentes materiais, como por exemplo esferas de madeira. 
 
 
Figura 7. Compasso Geometrico e Militar de Galileu. 
MELI, The Role of Numerical Tables in Galileo and Mersene, 2004, pág.169
Inicialmente o Compasso foi idealizado por Galileu de maneira independente em 1597, a fim de servir às necessidades militares. O Compasso de Galileu foi, criado para fornecer um instrumento de cálculo combinado com um quadrante (quarta parte da circunferência) e um mostrador de relógio, capacitando o artilheiro calcular a elevação dos canhões e calcular peso e volume das balas. Mais adiante desenvolveu em seu compasso um dispositivo de uso mais especificamente para o cálculo de artilharia e, desta última forma é que em uma edição italiana de 1606 do instrumento de Galileu foi publicado.
Pesquisadores e fabricantes de instrumentos alemães tais como Tobias Volckmer (1586-1659)(6) que assina o instrumento datado de 1618, encontrando-se catalogado no Museu de História da Ciência, não tardaram em usar e fazer adaptações no compasso criado por Galileu. 
Figura 8. Museu de História da Ciência, Catálogo, entrada 11, fig.23.
Figura 9. Museu de História da Ciência, Catálogo, entrada 11, fig. 24.
(6) Tobias Volckmer (1586-1659) matemático e ourives fabricante de instrumentos, nasceu em Brunswick na Alemanha, cidade entre a Saxônia e Hanover. e registrado pela primeira vez em 1586, fato que se faz desconhecer o seu real ano de nascimento. Foi eleito, em 1594 como matemático e ourives para o tribunal dos Duques da Baviera, em Munique. A partir das evidências Volckmer já fazia seus instrumentos desde 1582 quando criou o astrolábio. Alguns deles podemos citar astrolábios, relógios de sol, quadrantes, instrumentos de artilharia além de fazer instrumentos e relógios para o Duque Maximiliano da Baviera. Seu último instrumento é datado em 1624.
fonte: http://www.mhs.ox.ac.uk/epact/maker.php?MakerID=106
Acesso em 23/08/13 – 13:59, horário de Brasília
As novas escalas dos compassos que foram adaptados a partir do compasso de Galileu previam um acerto no cálculo de volume da bala, além de apresentar escalas de calibre para as balas de chumbo, ferro e pedra e uma escala em cada perna que permite que as pontas do instrumento sejam usadas como pinças de medição direta do diâmetro da bala.
Um dos discípulos de Galileu, Evangelista Torriceli (1608-1647)(7) ao estudar as propriedades do movimento de projéteis ampliou a teoria de Galileu, analisando lançamentos em qualquer ângulo oblíquo, enquanto que Galileu considerou tão somente lançamentos horizontais. Torriceli apresentou no tratado De Motu que faz parte do seu livro Opera Geometrica, (1644) a dedução da trajetória parabólica daquele movimento chamada “Lei dos Alcances”, a tão conhecida equação de Torriceli. 
Segundo ALVES, (1959), Blondel (1618-1686)(8), Marechal de Campo e membro da academia de ciências, baseando-se nos estudos de Torriceli publicou as primeiras tabelas de tiro em seu livro, L’art de Jetter Les Bombes de 1699, 
Figura 10. BLONDEL, L’Art de Jetter Les Bombes, 1699, Capa.
(7) Evangelista Torriceli (1608-1647) – Físico e matemático nascido em Florença na Itália foi discípulo de Galileu estudando minuciosamente a sua famosa obra Discorsi (Discursos e demonstrações matemáticas acerca de duas novas ciências: Mecânica e Movimento dos corpos (1638). Dentre suas contribuições mais importantes para a física destacam-se a invenção do barômetro, a experiência do tubo, o descobrimento dos efeitos da pressão atmosférica, etc.
(8) Nicolas-François Blondel ((1618-1686), matemático, engenheiro de fortificações, engenheiro civil, diplomata, arquiteto militar e teórico nascido em Ribemont, na França. Foi professor de Matemática do College Royale, em 1652 foi nomeado Marechal de Campo e, em 1669 foi admitido na Academia Real de Ciências como um geômetra. Ele também escreveu dois livros: La Nouvelle manire de fortificante les lugares e L'Art de Jetter les Bombes.
fonte: http://galileo.rice.edu/Catalog/NewFiles/blondel.html 
Acesso em: 18/08/13 – 17: 14, horário de Brasília. 
No entanto, conforme Alpoym (1700-1765)(9) cita em seu Exame de Bombeiros, Tratado V, 1748, pág. 226, o próprio Blondel escreve em seu texto de 1699, que a tabuada por ele apresentada tem os mesmos princípios da de Galileu e Torriceli , porém apresenta o dobro dos números das tabuadas anteriores. 
Figura 11. ALPOYM, Exame de Bombeiros, 1748, Tratado V, fl XII, verso.
(9) José Fernandes Pinto Alpoym (1700 - 1765), engenheiro Militar, Arquiteto português lecionava na Aula do Terço de Artilharia, no Rio de Janeiro, instituída pela Coroa Portuguesa através da Carta Régia de 19 de agosto de 1738, aplicava Matemática em suas aulas com a finalidade de facilitar o cálculo de munição e a arte de deitar bombas aos soldados artilheiros do Brasil-Colônia.
(PIVA e SANTOS, 2011, pág. 2).
Tais tabelas estabeleceram um significante progresso na prática do tiro, no entanto seu uso aparentemente complexo fez com que as artilharias preferissem os antigos métodos.
Os problemas balísticos não se limitavam apenas aos da trajetória dos projéteis e o conhecimento das leis da gravidade não bastava para solucioná-los. Divergências foram observadas em relação aos alcances previstos pela equação do movimento dos projéteis no vácuo, pois se conferiu que os alcances reais eram muito inferiores e Galileu atribuiu essa divergência a fatores como a resistência que o ar oferece.
 O conhecimento da resistência que o ar exerce ao deslocamento dos projéteis no espaço se fazia imprescindível e esta teoria foi indiscutivelmente provada por Newton.
Sir Isaac Newton (1642-1727)(10) conhece, em 1663, as obras de Galileu apresentadas por Barrow (1630-1677)(11) , seu então professor no Trinity College.Tais estudos foram o alicerce do seu mais notável trabalho o Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) onde comprovou que a trajetória de um projétil não pode ser uma parábola em decorrência da resistência que o ar exerce e que quanto maior fosse a velocidade do projétil menos sua trajetória teria a forma parabólica, estabelecendo, assim a sua lei que afirmava que a resistência do ar era diretamente proporcional ao quadrado da velocidade.
Segundo HACKBORN (2006), no livro II do Principia, Newton desconsidera seus estudos como uma nova aplicação para a ciência balística observando apenas que seu trabalho sobre a forma simétrica em relação a um eixo de menor resistência pode “ser de alguma utilidade na construção de navios”.(HACKBORN, 2006, pág. 6) 
O matemático e engenheiro britânico Benjamin Robins (1707-1751) utilizando os princípios da mecânica de Newton revolucionou a ciência balística não só com teoria, mas também com experimentos.
(10) Sir Isaac Newton (1642-1727), além de célebre matemático, físico, filósofo natural e astrônomo tinha interesse especial por teologia e alquimia. Nasceu em Woolsthorpe, Londres no mesmo ano em que morre Galileu Galilei. Autor de  Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) - Princípios Matemáticos da Filosofia Natural é considerada uma das mais influentes obras da história da ciência.
fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/newton/biografia.htm 
Acesso em: 18/08/13 – 18:50, horário de Brasília. 
(11) Isaac Barrow (1630-1677) Professor de matemática em Londres e em Cambridge, professor de grego e ministro religioso, autor de várias obras dentre as quais Trabalhos Matemáticos (1860). Os conteúdos desta obra são as palestras que Barrow ministrava como professor de matemática no período de 1664 até 1670. Este é composto em três partes: a Lectiones Mathematicae (1683), Opticae Lectiones (1669), e o geometricae Lectiones (1670). Desenvolveu um método para determinar tangentes que se aproximaram de perto os métodos de cálculo, e ele foi o primeiro a reconhecer que a integração e diferenciação são operações inversas.
fonte 1: http://archive.org/details/mathematicalwor00whewgoog
fonte 2: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/newton/barrrow1.htm 
Acesso em: 18/08/13 – 21:32, horário de Brasília.
Em 1742 apresenta o seu pêndulo balístico quando publica o livro mais lido e debatido da época, o New Principles of Gunnery (Novos Princípios de Artilharia) que surgiu a partir de um curso em que pretendia lecionar. Robins era candidato a professor da Academia Real Militar fundada em 1741 em Londres que tinha o objetivo de formar bons oficiais artilheiros. Pretendendo tornar um curso de excelência através de suas aulas, deu início aos estudos do que se tornou esta obra. Robins não conseguiu ser nomeado, mas sua publicação que expõe os fundamentos da ciência balística juntamente com a invenção do pêndulo, revolucionou o estudo de balística transformando a artilharia. 
 Em uma de suas pesquisas experimentais, Robins mediu o desvio de uma bala de mosquete em relação a um eixo e concluiu que uma bala em forma de esfera induzida pelo contato com o cano da arma gira em torno do seu centro aumentando o escoamento de ar enquanto faz o movimento causando desvios em sua trajetória. Este fenômeno é atualmente conhecido como ‘efeito magnus’ devido ao fato de que o físico H. G. Magnus (1802-1870), um século depois, investigou o fenômeno e confirmou a conclusão de Robins. É muito fácil observar esse fenômeno em alguns esportes e o que ocorre com a trajetória de uma bola quando chutada ou lançada com “efeito” pelo jogador. 
A maioria dos autores anteriores a Robins estabeleceram que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade e, conforme (ALVES, 1959) indica, um destes foi Bernoulli(12). Este deu uma solução, publicada em 1720, ao problema proposto por John Keill (1671-1721), um matemático escocês discípulo, firme defensor e propagador da filosofia de Newton, que dizia: “Determinar o movimento de um globo pesado em um meio homogêneo, oferecendo uma resistência proporcional ao quadrado da velocidade”.
Partindo desse princípio Robins afirma na proposição V do 2º capítulo de seus “New Principles of Gunnery” que esta regra é totalmente incorreta. No escólio, (ou seja, comentário ou uma nota crítica aos autores antigos e que na matemática refere-se a um problema já resolvido, um teorema já demonstrado), que o autor defende sua proposição. 
(12) Jean Bernoulli (1700-1782) físico, filósofo e médico que pertencia à conhecida família de matemáticos suíços. 
Alguns recortes da obra serão evidenciados a fim de que se possa observar a íntegra de suas afirmações sobre a regra acima citada.
Recorte 1*. ROBINS, New Principles of Gunnery, 1805, pág.142.
Tal proposição é defendida usando evidências experimentais conforme aparece em sua nota de rodapé dando o resultado de suas experiências.
 
Recorte 2*. ROBINS, New Principles of Gunnery, 1805, pág.142.
 
			 
* (Recorte 1) Tradução: 
“Quando uma bola de canhão com um peso de 24 libras, disparada com completa carga de pólvora, é inicialmente emitida da peça, a resistência do ar em sua superfície chega a somar mais de vinte vezes a sua gravidade.” (ROBINS, 1805, pág.142) 
* (Recorte 2) Tradução:
De acordo com meus experimentos, a resistência totaliza mais de 560 libras, ou 24 vezes o peso da bola (ROBINS, 1805, pág. 142)
Ele indica que esta proposição foi dada para que pudesse contestar os conceitos dos teóricos sobre o assunto. 
Recorte 3*. ROBINS, New Principles of Gunnery, 1805, pág.142-143.
	
* (Recorte 3) Tradução:	 Escólio
“Nós observamos, na introdução, que teóricos que declaradamente disseram ter escrito sobre artilharia, de forma geral concordaram em supor que o voo de um tiro e de projéteis estão aproximadamente na curva de uma parábola; e é contra essa hipótese que as duas últimas proposições são particularmente destinadas.	
 Para o raciocínio, o qual foi dado por esses autores, como suporte para suas opiniões, está a supostamente insignificante resistência do ar; já que se concorda em todos os aspectos que a trajetória de projéteis seria uma parábola, se não houvesse resistência; foi por isso concluído de forma precipitada que a interrupção (ou suspensão, ou pausa), a qual os pesados corpos de projéteis e balas receberiam de um meio tão rarefeito como o ar, seria pouco sensível, e consequentemente que seus voos parabólicos seriam, portanto, pouco afetados”.(ROBINS, 1805, pág. 142-143)
Os seus comentários ainda manifestam que seguramente não se pode negligenciar a resistência do ar. 
Recorte 4*. ROBINS, New Principles of Gunnery, 1805, pág.143.
Seu instrumento, pesando por volta de 56 libras apenas, foi essencial para novas pesquisas experimentais em balística e conveniente para medir as velocidades somente de balas de mosquetes. Pesquisadores subsequentes passaram a criar pêndulos cada vez maiores para medir velocidades de projéteis maiores, tais como um destes pesando cerca de 6 toneladas. Não se sabe ao certo se foi criado por Charles Hutton na Inglaterra ou se por Didion Geral na França, que media a velocidade de projéteis de até 50 libras. (HACKBORN, 2006)
Robins demonstra em seu livro que a lei de Newton era adequada somente para velocidades abaixo de 335 metros por segundo e que deste ponto para cima, ou seja, com velocidades acima de 335 metros por segundo a lei deixava de ser verdadeira. ALVES (1959) diz que o coeficiente de Newton não dava mais do que aproximadamente um terço, do valor real da resistência do ar.
*(Recorte 4) Tradução:
“Agora a extraordinária resistência do ar a uma bala com peso de 24 libras, como nós já estabelecemos aqui, refuta suficientemente esse raciocínio; já que, quão errônea pode ser essa hipótese, que negligencia como insignificante, uma força, que totaliza mais de vinte vezes a gravidade do corpo em movimento? No entanto, nósnão devemos nos contentar com ter demonstrado a realidade e a quantidade da resistência do ar, mas devemos continuar com um exame mais específico do voo de corpos nesse meio, onde nós devemos evidenciar, por meio de muitos experimentos, o quão grandemente a trajetória, descrita por quase todos os projéteis, varia em todas as circunstâncias daquilo que deveria ser de acordo com o que diriam os princípios universalmente admitidos. Mas, primeiro, é necessário supor algumas características, as demonstrações das quais podem ser encontradas sobre a teoria comum da queda dos corpos em quase todo autor”. (ROBINS, 1805, pág. 143)
O cronógrafo foi inventado por Francis Bashforth (1819-1912)(13). Através desse instrumento Bashforth obteve expressões para a resistência do ar em função da velocidade em disparos experimentais. Seu interesse em balística o levou a fazer uma série de experiências que resultou em uma publicação em 1890, intitulada Resistence of the Air to the Motion of Projectiles. Na capa da referida publicação lê-se: “A revista conta as experiências feitas com o cronógrafo de Bashforth para encontrar a resistência do ar para o movimento de projéteis, com as aplicações dos resultados dos cálculos de trajetórias de acordo com o método de J. Bernoulli” (BASHFORTH, 1890, capa). Mais tarde, em 1907, publica Ballistic Experiments from 1864-1880 sobre o qual o conhecimento atual da resistência do ar é baseada.
Figura 12. Resistence of the Air to the Motion of Projectiles, 1890, capa.
(13) Francis Bashforth (1819-1912), matemático nascido em Thurnscoe, Inglaterra. Em 1843, foi eleito membro da faculdade de St John, Cambridge e, durante algum tempo, foi professor de matemática aplicada à classe avançada de oficiais de artilharia em Woolwich, EUA. 
fonte: http://www.1911encyclopedia.org/Francis_Bashforth 
Acesso em: 19/08/13 – 17:11, horário de Brasília
Os experimentos feitos envolvendo a invenção de Robins tornou os efeitos da resistência do ar mais reais e, consequentemente mais aceitáveis.
Figura 13. Pêndulo Balístico, New Principies of Gunnery,1805, pág. 90, verso.
Segundo (BASHFORTH, 1890, capítulo I, pág. 3-4), descreve-se assim o pêndulo de Robins: O pêndulo E F G H I K está pendurado no meio da sua parte EF, chamada de eixo de suspensão sobre o qual o pêndulo deve oscilar com total liberdade. O corpo deste pêndulo é feito de ferro. A parte inferior do pêndulo G K I H é coberto com um pedaço grosso de madeira, que é presa ao ferro por meio de parafusos. Um pouco mais abaixo do pêndulo existe uma faixa OP, juntando os pés B e C em que o pêndulo é suspenso, e nesta faixa está fixada uma estrutura M N U, feito com duas bordas de rolamento de aço um sobre o outro na linha NU. Existe ainda uma estreita fita L N e esta é fixada na parte inferior do pêndulo. O seu funcionamento descreve-se como: o pêndulo é colocado em frente de uma arma. Quando uma bala é disparada contra o bloco de madeira G K I H do pêndulo, seu impulso (força que provoca o movimento do projétil) é transferido para a faixa OP e este impulso pode ser determinado a partir da amplitude de oscilação do pêndulo. A velocidade da bala, por sua vez, pode ser derivada a partir do cálculo do impulso. 
Desde a invenção do pêndulo o estudo dos problemas balísticos passou a ter a mesma importância que tem até hoje. Ainda com o mesmo instrumento, Robins mediu a velocidade inicial dos projéteis com perfeita exatidão e, se utilizando dos conhecimentos que já possuía, foi possível estudar melhor o comportamento do projétil em sua trajetória para o alvo descobrindo que com o aumento da velocidade
inicial a precisão aumentava, então, para aprimorar essa precisão, ele acrescentou mais peso ao projétil modificando seu formato e sua composição.
Utilizando projéteis esféricos de madeira mole colocados a força no cano dos canhões, Robins realizou diversos experimentos para provar a importância do raiamento, o que garantiria maior equilíbrio do projétil em sua trajetória. Os resultados satisfatórios destes experimentos fizeram com que os técnicos não mais ignorassem o raiamento, tornando esta uma urgente meta a ser alcançada.
Robins nasceu em 1707 em Bath, Inglaterra no mesmo ano em que nasce Leonard Euler (1707-1783)(14). 
Reconhecido, ainda bem jovem, como um matemático é também conhecido entre os matemáticos como um dos guerreiros na análise da questão da balística. (McMURRAN & RICKEY, 2008)
Conforme relata James Wilson no seu prefácio da edição de Robins de 1805, a demonstração da proposição XI do “Tratado em Quadraturas” de Newton, feita por Robins foi publicada na Philosophical Transactions (1727) e considerada suficiente para que Robins fosse eleito membro da Royal Society of London neste mesmo ano e, em 1746 foi o primeiro a receber a Medalha Copley, o maior prêmio desta instituição, como reconhecimento de seus feitos no desenvolvimento da nova ciência da balística.
Tal era o interesse dos matemáticos pelo conteúdo da edição de 1742 de Robins que aconteceram outras publicações baseadas em suas pesquisas e, uma dessas foi a tradução para o alemão por Euler em 1745. 
Euler completou seus estudos na Universidade de Basel, na Suíça em 1726.
Em 1727 apresentou um trabalho para o Grande Prémio da Academia de Paris sobre o melhor arranjo de antenas em um navio. Ganhou créditos já neste período, pois seu trabalho recebeu o segundo lugar e isso já era um grande feito para um jovem de apenas 19 anos e que havia acabado de ser diplomado. Apesar disso, Euler não tinha nenhum vínculo acadêmico e precisava se estabelecer. Morre Nicolaus II Bernoulli em julho de 1726 em São Petesburgo. Esse era o primogênito e favorito dos três filhos de Johann I Bernoulli. Nicolaus ocupava o cargo de desenvolvedor de matemática e física na Academia Russa das Ciências em São Petersburgo e, com sua morte, a vaga ficou aberta na Academia. Euler recebeu um convite para ocupar um cargo que envolvia o ensino de aplicações da matemática e da mecânica à fisiologia (ciências naturais). Ele aceitou o convite em novembro de 1726, chegando a São Petersburgo somente em 17 de maio de 1727. Em decorrência dos pedidos feitos por Daniel Bernoulli e por Jakob Hermann à direção desta instituição, Euler foi nomeado para a divisão de matemática/física da Academia em vez do cargo que lhe haviam oferecido inicialmente.
 (14) Leonhard Euler (1707-1783) Célebre matemático suíço que fez enormes contribuições em matemática e física, incluindo geometria analítica, trigonometria, geometria, cálculo e teoria dos números.
A publicação original de Robins de 1742 é uma obra pequena com apenas 152 páginas e de fácil compreensão. “Não há uso de matemática superior no livro, na verdade, não há nenhuma matemática além da aritmética e que poderia ser entendida por qualquer pessoa com vontade para lê-lo.” ( McMURRAN & RICKEY, 2008, pág. 8) 
A tradução de 1745 de Euler é uma ampliação das 152 páginas de Robins, contendo 720 páginas que inclui a versão original traduzida para o alemão e ainda os comentários de Euler que por sua vez tira o máximo proveito de seu conhecimento da matemática superior. Euler argumenta em seu prefácio, o grande valor do cálculo parecendo querer exaltar o valor de suas próprias descobertas.
(McMurran & Rickey, 2008, pág. 9) ressaltam que alguns comentários feitos por Euler em seu prefácio “parecem totalmente incoerente com o que sabemos sobre sua personalidade generosa e caridade cristã”. Estes narram que Euler escreve: “um ignorante com vários livros sobre artilharia” indicando se referir à Robins.
As críticas de Euler à Robins já iniciou quando o primeiro sugeriu que a pesquisa bibliográfica apresentada por Robins deveria ser estendida. Robins menciona no capítulo II, vários autores por ele pesquisados: Tartaglia, Gabriello Busca, Collado, Capitão Diego Ufano, Simienowicz, Galileu, Galeus, Ulrick, Blondel, Bourne, William Eldred, Robert Anderson, Halley, Newton, La Hire entre outros. Segundo McMurran & Rickey (2008), Euler aponta, ainda em seu prefáciode 1745, outros autores que não foram estudados por Robins, e que, segundo ele, deveriam ter sido.
A característica dos trabalhos de Robins era o uso de evidências experimentais e o interesse nesses trabalhos fez com que Euler decidisse realizar seus próprios experimentos e matematizar as evidências publicando, no fim de 1727 ou início de 1728, não se sabe ao certo, um texto curto intitulado “Meditatio in Experimenta explosione tormentorum nuper instituta” (Meditação sobre a experiência da recente explosão de regulamentação de armas), descrevendo matematicamente sete experimentos. Esse texto é o Enëstron 853 (E853), que se encontra no Catálogo ENËSTRON das obras de Euler. Tal documento obteve grande notoriedade por ser o primeiro trabalho impresso em que "e" é usado para representar a base do logaritmo natural.
Uma das inovações em balística apresentada por Robins em seu livro era sobre o aprimoramento do raiamento. 
Considerando as próximas figuras para melhor entendimento do que se descreve sobre o raiamento, observa-se o que acontece com o projétil, a partir do momento em que o tiro é lançado.
Inicialmente o projétil percorre, quase que instantaneamente, o espaço interno do cano da arma, o qual sendo raiado, ou seja, provido de linhas ou saliências mais ou menos largas, lhe impõe um movimento de rotação, cuja finalidade principal é a de estabilizar o "voo" do projétil em sua trajetória.
Balística interna (fonte: http://www.apaginadomonteiro.net/balistica.htm)
Ao sair do cano, o projétil torna-se totalmente influenciado por um conjunto de forças. São elas: a força da gravidade, que provoca a queda de qualquer objeto quando solto, a força gravitacional, que mantém a rotação e a alta velocidade do projétil em torno de um eixo e a resistência do ar que tende a retardar o avanço do projetil. 
               
        
Os movimentos de uma bala durante o seu vôo
(fonte: http://www.apaginadomonteiro.net/balistica.htm)
Antes mesmo de pesquisadores imaginarem a influência da rotação dos projéteis sobre o alcance e a precisão, armas raiadas já haviam sido construídas. 	
Conforme ALVES (1959), embora a maioria dos historiadores afirme o conhecimento do raiamento desde 1520, por Augusto Kotter, alemão de Nüremberg, outros afirmam que Kotter apenas buscou aprimoramento deste recurso. Destes historiadores, cita-se Auguste Demmin(1817-1898)(15), que publica em 1870 Weapons of War.
 
 Figura 14. DEMMIN, Weapons of War, 1870, capa.
(15) Auguste Demmin (1817-1898) Historiador de Arte nascido em Berlim, Alemanha. Pouco se sabe sobre Demmin, apenas que suas coleções se encontram no Museu de Wiesbaden, na Alemanha.
fonte: http://www.inha.fr/spip.php?article2279
Acesso em: 28/08/13 – 00:04, horário de Brasília
Este sugere em sua publicação de 1870 na pág. 69, último parágrafo, que de acordo com algumas autoridades o raiamento foi inventado na Alemanha em 1498, e outros dizem ser por Gaspar Zollner de Viena na Áustria.
Recorte 5*. DEMMIN, Weapons of War, 1870, pág.69.
ALVES comenta:
Uma análise imparcial dos elementos encontrados parece, porém, não deixar dúvida de que as raias de Zollner eram de traçado paralelo e que não tiveram outro objetivo que o de impedir o movimento irregular do projetil quando ainda no interior da alma, ou de alojar os produtos sólidos da combustão da pólvora, de confecção grosseira, sem exagerar o escapamento dos gases em volta do projetil. ( ALVES,1959, pág. 144)
*(Recorte 5) Tradução:
“O cano raiado foi inventado na Alemanha, de acordo com algumas autoridades de Leipsig em 1498, de acordo com outros em Viena por Gaspar Zollner, não foi adotado pelo exército francês até 1793; foi a carabina de Versailles.” (DEMMIN, 1870, pág. 69)
As raias de Zollner eram estrias paralelas, as de Kotter já eram helicoidais como as de Robins, porém os projéteis continuavam com a clássica forma esférica.
Experimentos foram realizados após a instalação de duas saliências opostas no projetil esférico. As saliências tinham a finalidade de guiarem os projéteis antes mesmo de saírem do cano da arma e, estas experiências mostraram que forçando o projétil a golpes de martelo, (a pólvora e o projétil eram empurrados à força no interior do cano da arma), oferecia maior precisão a grandes distâncias. O resultado satisfatório para grandes distâncias foi atribuído ao forçamento do projétil no interior da arma, pois eliminava o escapamento dos gases, aumentando a velocidade inicial. No entanto, esse aperfeiçoamento do raiamento (saliências) foi utilizado em armas portáteis, mas se mostrou impróprio aos canhões por muitos anos, pois o raiamento causava problemas no que se refere ao carregamento, que era feito através da boca do canhão. Este impedia a passagem da carga de pólvora e do projétil que mais tarde passou a ser carregado pela culatra (retrocarga). Além disso, o eficiente aprisionamento dos gases da pólvora dentro do cano da arma de fogo (obturação), evitava qualquer escapamento o que acabava por causar explosões, pois muitos canhões eram fabricados de material de baixa resistência, alguns construídos até de madeira e estes não suportavam a pressão dos gases que se formavam no interior da arma devido à perfeita obturação e, como consequência, explodiam durante o lançamento. Essas explosões foram consideradas um fracasso do aprimoramento e, por isso este grande princípio, foi abandonado para o uso nos canhões por mais de três séculos. 
Após a invenção do seu Pêndulo, Robins demonstra que a velocidade inicial dos projéteis atirados, com forçamento, a partir de armas raiadas, era menor que a velocidade inicial dos projéteis de armas lisas (sem raiamento) idênticas e o que influenciava esse resultado era principalmente a rotação do projétil dentro do cano da arma. Ainda em 1742, ele já explicava teoricamente essa influência, atribuindo os desvios do tiro de arma lisa, à ação da resistência do ar que age sem simetria sobre um projétil. Este obtém dentro do canhão, um movimento de rotação em torno de um eixo qualquer, eixo este que geralmente não era estabelecido no plano de tiro. Esse movimento de rotação do projétil acontece devido ao atrito e ao escapamento dos gases da pólvora. 
Robins verifica que a rotação, por sua vez, faz com que diminua a velocidade inicial dos projéteis lançados a partir de armas raiadas. Euler concorda e demonstra o fato com total autoridade, mostrando que o problema realmente existia, porém não fez outras considerações e não colocou o problema sob diversas condições, bloqueando, desse modo, o estudo científico do raiamento o que vai acontecer somente cem anos depois.
Propondo tornar a resistência do ar simétrica em relação ao projétil dentro do canhão, Robins causou a ele um movimento de rotação em torno do próprio eixo, situado no plano de tiro, a fim de solucionar o problema. Euler conseguiu provar que em sua trajetória os projéteis das armas raiadas continuavam a girar em torno de um eixo situado no plano de tiro e mostra que essa pequena oscilação no movimento do projétil não era eliminada nas armas raiadas, ou seja, a oscilação acontecia tanto em
armas raiadas quanto em lisas, errando gravemente ao concluir, de maneira prematura, que o raiamento não seria útil para eliminar os tais efeitos negativos. Além disso, Robins sugere a utilização de projéteis alongados tais como são hoje. Ele percebeu que um projétil alongado manteria a massa e a energia cinética de uma bala de mosquete, no entanto rasgaria o ar com maior facilidade diminuindo os efeitos da resistência do ar. 
Com a disputa de autoridade que Euler manifesta em relação à Robins, as descobertas de Robins não dão prosseguimento a pesquisa sob esta perspectiva.
Assim, as armas raiadas alcançam sua plena eficácia somente em 1846 quando o Conde Giovanni Cavalli (1808-1879)(16) associa as duas ideias desenvolvidas separadamente por Robins, ou seja, o projétil alongado e o raiamento, organizando assim, um giroscópio. Este constrói então um obuseiro de ferro de 150 mm, deretrocarga e com alma raiada em espiral. Seus projetis apresentavam corpo cilíndrico e ponta ogival ou cônica pesando cerca de 30 quilos. Em uma experiência com uma elevação de 25º, foi alcançada uma distância de 5000 metros com a máxima precisão, marcando, definitivamente, a superioridade da Artilharia raiada.
Alves (1959) cita um trecho em que Robins profetiza:
Qualquer nação que compreender inteiramente a natureza e as vantagens da artilharia raiada e que a introduzir em seus exércitos conjuntamente com as regras para seu manejo, terá por este modo adquirido superioridade tal, que sobrepujará tudo quanto se tem feito em relação às armas de fogo. (ROBINS, apud Alves 1959, pág. 145)
Foram as ideias contrárias de Euler, a quem a ciência tanto deve, sua influência, conceito e autoridade, que os argumentos de Robins não conseguiram convencer à indústria de armamentos e à comunidade científica. 
ALVES(1959, pág. 146) ressalta: “É de se lamentar, que, na crítica de Euler aos trabalhos de Robins, feita com a sua superioridade habitual, ele não tivesse pensado em associar essas duas ideias cuja reunião é o conceito geral da Artilharia raiada.”
(16) Giovanni Carlo Cavalli (1808-1879) Militar nascido em Novara, Itália, foi promovido a general em 1860, em 1865 foi nomeado comandante da Academia Militar de Turim, e desde 1867 foi três vezes deputado e senador. É geralmente tido como o real solucionador do raiamento.
fonte: http://www.museotorino.it/view/s/1b582a10058144908115e3c9e8828572
Acesso em: 28/08/13 – 21:09, horário de Brasília
Considerações finais
Experimentos e esforços para compreender a trajetória de balas e a necessidade do raiamento são exemplos interessantes das tensões entre conhecimento prático e teórico. 
Embora em 1638 Galileu fizesse o tratamento teórico da trajetória parabólica, a prática de campo de tiro foi guiada pelo modelo do "movimento misto" de Tartaglia de 1537 até o século XVIII. 
Em 1742, Benjamin Robins, um matemático britânico e engenheiro militar, publica New Principies of Gunnery, que surgiu a partir de um curso que pretendia lecionar na Academia Real Militar fundada em Londres dando início aos estudos do que se tornou esta publicação e juntamente com a invenção do pêndulo balístico revolucionou o estudo de balística.
Porém, em 1745, Euler produziu uma tradução do livro de Robins, acrescentando extenso comentário. Como Euler na época já era considerado eminente matemático e fez críticas e apresentou ideias contrárias às de Robins, sua influência, conceito e autoridade, fizeram com que os argumentos de Robins não convencessem à indústria de armamentos e à comunidade científica.
Robins também apresenta novas perspectivas tanto na questão de raiamento para correção das oscilações quanto na forma do projétil, porém Euler afirma que pequenas oscilações no movimento do projétil não eram eliminadas nas armas raiadas, ou seja, a oscilação acontecia tanto em armas raiadas quanto em lisas, errando gravemente ao concluir de maneira prematura que o raiamento não seria útil para eliminar os efeitos negativos das oscilações. Deste modo, ficam igualmente esquecidas as questões do raiamento e da forma da projétil.
Cumpre relevar que a matemática utilizada por Robins era simples aritmética enquanto Euler fazia uso do Cálculo.
Assim, as armas raiadas alcançam sua plena eficácia somente em 1846 quando o Conde Giovanni Cavalli associa as duas ideias desenvolvidas separadamente por Robins, ou seja, o projétil alongado e o raiamento, marcando, definitivamente, a superioridade da Artilharia raiada.
Como vemos uma disputa de autoridade provoca exatamente um século de atraso na Artilharia.
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glossário
Alma: Cilindro interior dos canos das armas de fogo.
Alma lisa: Cano de arma com o interior sem raiamento. 
Boca de fogo ou peça: é o termo genérico das armas de artilharia destinadas a disparar granadas através de um tubo. Conforme o tipo de tiro e o alcance, as bocas de fogo classificam-se em:
Morteiros: destinados a fazer fogo de curto alcance em tiro curvo;
Peças ou Canhões: destinados a fazer fogo, de qualquer alcance; em tiro direto (em ponto Branco).
Obuses: destinados a fazer fogo de longo alcance em tiro curvo.
Calibre: Diâmetro interior dos canos das armas de fogo
Câmara de Explosão: Parte traseira no interior do cano da arma, elaborada com maior diâmetro a fim de ser preenchida pela pólvora.
Capacidade de fogo: Alcance do projétil
Concha: Bolas ocas que são preenchidas com pó e jogadas de um morteiro (arma curta e de grosso calibre), sendo projetadas para explodir em fragmentos.
Cronógrafo: Relógio de precisão, com que se medem intervalos de tempo. Aparelho que indica, por processos gráficos, a duração de um fenômeno..
Culatra:  Fecho posterior do cano das armas de fogo.
Facha alta da culatra: Face superior da culatra.
Força de Arrasto: Força causada pela resistência do ar que atua em sentido oposto a direção do projétil.
Giroscópio: Instrumento para demonstrar o movimento de rotação dos corpos.
Jóia: Boca da peça
Mosquete: Arma portátil grossa e pesada
Obturação: Refere-se ao aprisionamento dos gases da pólvora, dentro do cano de uma arma de fogo, evitando qualquer escapamento.
Obturador: Sistema que aprisiona os gases que impulsionam o projétil de dentro do cano da arma, evitando o vazamento dos mesmos. 
Ogiva: Elemento curvo, redondo ou pontiagudo da parte superior de um projétil.
Pó: Pólvora 
Ponto Branco: Indica um tiro de canhão ou de espingarda que vai direto ao alvo, sem curvas. Vem do francês point blanc, o “ponto branco” no centro do alvo. Para uma bala ou uma flecha acertar na mosca, no centro do alvo, não pode se desviar nem um pouco, tendo de ir direto. Significa também “à queima-roupa”.
Retrocarga: Ato ou efeito de carregar uma arma de fogo pela culatra.