[Lógica Matemática] Regras de Equivalência (Resumo)

Prévia do material em texto

REGRAS DE EQUIVALÊNCIA 
 
Def.: as proposições 𝑝 e 𝑞 são equivalentes (𝑝 ⟺ 𝑞) quando as tabelas-verdade de 𝑝 e 𝑞 são idênticas. 
 
Ex.: as proposições 𝑝 e ~~𝑝 são equivalentes (𝑝 ⟺ ~~𝑝). 
 
𝑝 ~𝑝 ~~𝑝 
𝑉 𝐹 𝑉 
𝐹 𝑉 𝐹 
 
 Propriedades (conjunção e disjunção) 
 
i. Idempotente (ID) 
 
• 𝑝 ⟺ 𝑝 ∧ 𝑝 
• 𝑝 ⟺ 𝑝 ∨ 𝑝 
 
ii. Comutativa (COM) 
 
• 𝑝 ∧ 𝑞 ⟺ 𝑞 ∧ 𝑝 
• 𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ 𝑞 ∨ 𝑝 
 
iii. Associativa (ASSIC) 
 
• 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 
• 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 
 
iv. Distributiva (DIST) 
 
• 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) 
• 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) 
 
v. Dupla Negação (DN) 
 
∼∼ 𝑝 ⟺ 𝑝 
 
vi. De Morgan (DM) 
 
• ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ⟺∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 
• ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ⟺∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 
 
vii. Condicional (COND) 
 
𝑝 → 𝑞 ⟺∼ 𝑝 ∨ 𝑞 
 
viii. Bicondicional (BICOND) 
 
• 𝑝 ↔ 𝑞 ⇔ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝) 
• 𝑝 ↔ 𝑞 ⇔ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞) 
 
ix. Contrapositiva (CP) 
 
𝑝 → 𝑞 ⟺∽ 𝑞 →∼ 𝑝 
 
x. Exportação – Importação (EI) 
 
𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑟 ⇔ 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) 
 
 
 Identidades da conjunção 
• 𝑝 ∧ 𝑇⟺ 𝑝 
• 𝑝 ∧ 𝐶 ⟺ 𝐶 
Obs.: C - contradição. 
 
 Identidades da disjunção 
• 𝑝 ∨ 𝑇⟺ 𝑇 
• 𝑝 ∨ 𝐶 ⟺ 𝑝 
Obs.: T – Tautologia, proposição sempre verdadeira 
 
 Propriedade Distributiva 
 
• 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) 
• 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) 
 Propriedade de Absorção 
 
• 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ⟺ 𝑝 
• 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ⟺ 𝑝 
 Regras de De Morgan 
 
• ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ⟺∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 
• ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ⟺∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞