LEI DE GAUSS

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LEI DE GAUSS
Física 3
A lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica que existe dentro do volume limitado por esta superfície. 
*Em vez de considerar os campos dE criados pelos elementos de carga de uma dada distribuição de cargas, a lei de Gauss considera uma superfície fechada imaginária que envolve a distribuição de cargas. 
Essa superfície gaussiana, como é chamada, pode ter qualquer forma, mas a forma que facilita o cálculo do campo elétrico é a que reflete a simetria da distribuição de cargas. 
Se a carga está distribuída homogeneamente em uma esfera, por exemplo, usamos uma superfície gaussiana esférica para envolver a esfera; em seguida, determinamos o campo elétrico na superfície.
A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana (fechada) à carga total envolvida pela superfície.
‘’Dada uma distribuição de carga, qual é o campo elétrico que produz esta distribuição no ponto P?’’ 
‘’Dada uma disposição de campo elétrico em uma região determinada, o que podemos determinar sobre a distribuição de carga nessa região?’’
Podemos também usar a lei de Gauss no sentido inverso: se conhecemos o campo elétrico em uma superfície gaussiana, podemos determinar a carga total envolvida pela superfície. 
Suponha que todos os vetores campo elétrico apontem radialmente para longe do centro da esfera e tenham o mesmo módulo. A lei de Gauss nos diz imediatamente que a superfície esférica está envolvendo uma carga positiva pontual ou uma distribuição esférica de cargas positivas. A distribuição de carga tem simetria esférica. Entretanto, para calcular o valor da carga, precisamos calcular a quantidade de campo elétrico que é interceptada pela superfície gaussiana. 
A medida da quantidade de campo interceptada, conhecida como FLUXO. 
Como se poderia medir a caga dentro de uma caixa sem abrir?
Uso de uma carga de prova fora da caixa para determinar a quantidade de carga que há no interior. 
Carga positiva dentro da caixa = fluxo (quantidade de campo interceptada) para fora da caixa.
Carga negativa dentro da caixa = fluxo (quantidade de campo interceptada) para dentro da caixa. 
FLUXO ELÉTRICO E A CARGA FECHADA 
Sem carga dentro da caixa, fluxo igual a zero:
Carga total igual a zero no interior da caixa; o fluxo que entra cancela o fluxo que sai:
Não há carga dentro da caixa; o fluxo que entra cancela o fluxo que sai:
Três casos em que uma carga neta de zero no interior da caixa, e não há fluxo elétrico através da superfície desta. 
CÁLCULO E DEFINIÇÃO DO FLUXO DE UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME
Fluxo do campo elétrico para a superfície gaussiana:
O valor do produto escalar (positivo, negativo ou nulo) determina se o fluxo através do quadrado é positivo, negativo ou nulo.
Quadrados como o quadrado 1, nos quais E aponta para dentro, representam uma contribuição negativa para o somatório. Quadrados como o quadrado 2, em que E é paralelo à superfície, não contribuem para o somatório. Quadrados como o 3, em que E aponta para fora, representam uma contribuição positiva. 
A definição exata do fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é obtida fazendo a área dos quadrados tender a zero, tornando-se uma área diferencial dA. Nesse caso, os vetores área se tornam vetores diferenciais dA. O somatório se torna uma integral e temos, para a definição de fluxo elétrico:
*A fórmula é o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana.
O círculo no sinal de integral indica que a integração deve ser realizada para uma superfície fechada. O fluxo do campo elétrico é um escalar cuja unidade no SI é o newton-metro quadrado por coulomb (N * m2/C).
É possível usar a densidade das linhas de campo elétrico que atravessam uma certa região como uma medida da intensidade do campo elétrico nessa região. 
O módulo E do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo por unidade de área. O produto escalar E*dA é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que passam pela área dA. 
O fluxo elétrico φ através de uma superfície gaussiana é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície. 
FLUXO ELÉTRICO ATRAVÉS DE UMA ESFERA
Notamos que, o fluxo total através da superfície da esfera é proporcional a carga interna. O fluxo é independente do raio R porque a área da superfície da esfera é proporcional a R^2 e, o campo elétrico é proporcional a 1/R^2. Então, o produto da área pelo campo elétrico independe do raio R. 
FLUXO ELÉTRICO ATRAVÉS DE SUPERFÍCIE NÃO ESFÉRICA
 
O fluxo é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que passam através da superfície. 
Da figura vemos que o número de linhas que passam através de A1 é igual ao número de linhas que passam pelas superfícies não-esféricas A2 e A3. Portanto, concluímos que o fluxo total através de qualquer superfície fechada envolta de uma carga q é dado por q/ϵ0 e é independente da forma dessa superfície. 
 
Como podemos ver, qualquer linha de campo que entra na superfície sai da mesma por outro ponto. O número de linhas de campo entrando na superfície é igual ao número deixando a superfície. Portanto, concluímos que o fluxo total através de uma superfície fechada que não engloba nenhuma carga é zero. 
LEI DE GAUSS
A lei de Gauss relaciona o fluxo total φ de um campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total envolvida pela superfície.
 representa a carga total no interior da superfície e E representa o campo elétrico em qualquer ponto na superfície.
A lei de Gauss é útil para determinar campos elétricos de distribuições de cargas com alto grau de simetria. 
A ideia é escolher uma superfície gaussiana que satisfaz uma ou mais condições a seguir:
1) O valor do campo elétrico pode ser 
constante devido à simetria.
2) O produto escalar EdA é zero porque E e dA são perpendiculares, enquanto EdA é ±EdA pois E e dA são paralelos.
3) O campo pode ser zero sobre a superfície. 
O fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual a carga elétrica total dentro da superfície dividido entre . 
A aplicação da lei de Gauss deve ser feita por uma superfície fechada e que seja o mais simétrica possível, se não, não podemos tirar o campo elétrico E de fora da integral. 
Na superfície c) se cumpre a condição de ser uma superfície esférica mas não é simétrica com respeito a carga. 
Lei de Gauss fala de fluxos totais e não de valores individuais de fluxos. 
Aplicações da lei de Gauss: A jaula de Faraday 
Situação 1: Um sólido condutor que possui um excesso de cargas, em espaço livre 
Material condutor (cobre, alumínio) que é depositado excesso de cargas e chega a uma situação de equilíbrio eletrostático; não significa que a carga total chegou a zero. A carga se conserva dentro do metal. Eletrostático = cargas que não se movem. 
O campo elétrico no interior do material condutor é nulo. Porque se houvesse um vetor de campo elétrico significa que havia cargas que ao passar por essas linhas de campo seria aceleradas. Um material em equilíbrio eletrostático não pode ter um campo elétrico em seu interior. 
Logo onde estão as cargas pelo princípio de conservação? Na superfície. 
Quando sobre um metal deposita uma carga sobre uma esfera, as cargas imediatamente vão a superfície.
Como se aplica a lei de Gauss? 
O fluxo neto é zero, logo a outa parte da equação que é a carga fechada também é zero. 
Situação 2: Um sólido condutor, originalmente descarregado, é posto em presença de um campo elétrico externo. 
Se situamos uma placa condutora em uma região do espaço em que existe um campo elétrico, os elétrons da placa vão estar submetidos a uma força oposta ao campo externo e se acumularão no lado direito da placa, deixando o lado esquerdo com um excesso de carga positiva. 
É um dipoloque gera um campo elétrico. (linhas azuis em sentido contrário). 
Por cada um de esses dipolo contrarestram o campo elétrico externo. Logo, o campo elétrico neto é igual a zero.
Essa distribuição de carga dentro do condutor gera um campo elétrico interno de sentido oposto ao externo e de igual módulo, de modo que no interior do condutor o campo elétrico total é nulo. 
O campo elétrico dentro de um material condutor sempre é zero. Os matérias isolantes são diferentes e podem sim ter cargas interiores.