Fluxo Elétrico e Lei de Gauss - questoes comentadas

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Roteiro 1 
Fluxo do Campo Elétrico e Lei de Gauss 
Arianne, Marcos e Viviana 
 
Nomes:______________________________________________________________________________________
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1. A lei de Gauss relaciona o fluxo do vetor campo elétrico sobre uma superfície fechada com a carga dentro dela. 
Assim, para compreender a Lei de Gauss, é necessária a compreensão do que seja o fluxo de um campo 
vetorial. Nas três ilustrações a seguir, são representadas linhas de um campo elétrico �⃗� associado a uma carga 
puntiforme 𝑞. As linhas de campo estão equiespaçadas e, em cada caso, o campo elétrico atravessa uma 
superfície não fechada diferente: um disco (Figura 1), uma calota côncava (Figura 2) e uma calota convexa 
(Figura 3). Sobre qual das superfícies o fluxo do campo elétrico é maior? 
 
 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
 
Figura 3 
 
Resposta: Sobre as três superfícies os fluxos do campo elétrico são iguais, pois as três estão apoiadas em um 
mesmo tubo de campo e linhas de �⃗� não se cruzam. Em outras palavras, a forma da superfície apoiada no cone 
que forma o tubo não interfere no fluxo do campo elétrico sobre ela. 
 
2. Considere a lei de Gauss na forma integral e explique o significado de cada um de seus termos. 
 
𝜑𝐸 ≡ ∯ �⃗� . �̂� 𝑑𝑆
𝑆
= 
1
𝜀0
∭ 𝜌 𝑑𝑉
𝑉
=
𝑞𝑖𝑛𝑡
𝜀0
 
 
a �⃗� Campo elétrico sobre a superfície 𝑆 
b �̂� Versor normal à superfície 𝑆 (pode mudar pontualmente de direção e sentido) 
c �⃗� . �̂� Intensidade do campo elétrico na direção perpendicular à superfície 𝑆 
d 𝑑𝑆 Elemento infinitesimal da superfície 𝑆 
e �⃗� . �̂� 𝑑𝑆 Fluxo do campo elétrico sobre 𝑑𝑆 
f 𝑆 Superfície gaussiana, necessariamente fechada 
g ∯ �⃗� .
𝑆
�̂�𝑑𝑆 Fluxo do campo elétrico sobre a superfície 𝑆 
h 𝜀0 Permissividade elétrica do vácuo 
i 𝑑𝑉 Infinitésimo de volume interior à superfície 𝑆 
j 𝜌𝑑𝑉 
 
Infinitésimo de carga contido no volume 𝑑𝑉 
l 𝑉 Volume encerrado pela superfície 𝑆 
m ∭ 𝜌
𝑉
𝑑𝑉 Carga total contida no volume 𝑉 
n 𝑞𝑖𝑛𝑡 Carga interna à superfície 𝑆 e contida no volume 𝑉 
 
Lembre-se que 𝜌 =
𝑑𝑄
𝑑𝑉
 é a densidade volumétrica de carga numa dada região do espaço. 
 
3. Acerca da validade da Lei de Gauss, responda aos itens a seguir: 
a) Para quais superfícies 𝑆 ela é válida? 
Para qualquer superfície, desde que seja fechada. 
 
b) Para que tipo de distribuição de carga ela é válida? 
Para qualquer distribuição, mesmo que seja assimétrica. 
 
c) Qual o seu significado físico? 
A Lei de Gauss correlaciona a existência simultânea de campo elétrico e carga elétrica. Em outras palavras, 
ela descreve uma mesma entidade da natureza a partir de uma propriedade da matéria (carga) e seu 
respectivo efeito no espaço (campo). 
 
d) Em quais situações é possível calcular o campo �⃗� utilizando-a? 
É possível calcular o campo elétrico de uma distribuição de carga quando for possível, pela simetria da 
distribuição, saber a direção do campo e encontrar uma superfície sobre a qual sua intensidade seja 
constante. 
 
 
4. Acerca do vetor campo elétrico �⃗� responda aos itens a seguir: 
a) O campo �⃗� da Lei de Gauss é devido apenas à carga 𝑞? 
Não, ele é devido a todas as cargas, internas e externas à superfície 𝑆. 
 
b) Se o fluxo do campo �⃗� através da superfície 𝑆 é nulo, necessariamente o campo também é nulo em 𝑆? 
Ainda neste caso, a carga total no interior da superfície é necessariamente nula? 
O campo elétrico não é necessariamente nulo em 𝑆. Mesmo que ele exista na superfície, seu fluxo pode ser 
nulo, uma vez que as linhas de força relativas ao campo elétrico de certa distribuição podem entrar e sair da 
superfície. 
A carga total seria nula, em respeito à Lei de Gauss, com a ressalva de que essa carga total nula não 
implica a ausência de cargas: pode haver mesma quantidade de cargas positivas e negativas. 
 
c) Se em um ponto da superfície 𝑆 o campo �⃗� é nulo, necessariamente a carga 𝑞 interna é nula também? 
Não necessariamente. Um ponto do espaço no qual o campo elétrico é nulo pode ser, por exemplo, o ponto 
médio entre duas cargas puntiformes de mesmo módulo e sinal. Se uma superfície fechada 𝑆 contém uma 
dessas cargas e passa por tal ponto, ela contém, portanto, um ponto onde o campo elétrico é nulo, porém, a 
carga interna a ela não é nula. 
 
 
5. Acerca do papel da Lei de Gauss no eletromagnetismo, responda aos itens a seguir: 
a) A superfície gaussiana precisa ser finita ou pode ser infinitesimal? Por quê? 
Ela precisa necessariamente ser finita, uma vez que uma superfície fechada infinitesimal encerra um 
volume nulo, de forma que se torna impossível aferir a existência de carga em seu interior. 
Matematicamente, no limite para 𝑆 → 0, o fluxo é nulo. 
 
b) É necessária a aceitação de certos princípios para que a Lei de Gauss seja válida? Se sim, enumere-os. 
Sim. Sem que o princípio da conservação da carga elétrica e o princípio da superposição sejam válidos as 
Equações de Maxwell não têm validade. 
A conservação da carga é um postulado empírico, que até então nunca foi invalidado. Se a carga elétrica 
não se conservasse, seria como se o espaço criasse ou sorvesse linhas de campo elétrico: nesse cenário, a 
Lei de Gauss não se verificaria. 
A superposição é um axioma associado ao fato de que a força elétrica é proporcional ao produto das 
cargas. Pensemos, por exemplo, num caso em que a força eletrostática numa carga 𝑞1 devido a uma carga 
𝑞2 fosse proporcional a 𝑞2
2. Nesse cenário, o princípio da superposição só valeria se as cargas tivessem 
mesmo módulo, e por tal limitação, ele deixaria de ser um princípio. 
 
c) Porque a Lei de Gauss, e não a lei de Coulomb é uma das quatro equações fundamentais do 
eletromagnetismo? 
A Lei de Coulomb é uma lei empírica que dá conta de representar a interação entre duas cargas elétricas 
estáticas e puntiformes. Para cargas em movimento uniforme ou aceleradas ela não vale. 
Por outro lado, a Lei de Gauss é válida independente do estado de movimento ou referencial das cargas 
contidas na superfície gaussiana escolhida. Devido a esta maior abrangência, a Lei de Gauss tem mais 
generalidade que a Lei de Coulomb na teoria eletromagnética. 
 
6. Considere uma superfície esférica condutora de raio 𝑅 com densidade constante de cargas 𝜎. Utilize a lei de 
Gauss e determine �⃗� dentro e fora dessa superfície. A partir destes resultados justifique por que é seguro 
proteger-se de uma tempestade dentro de um carro. 
Consideremos a origem do referencial no centro do condutor e seja 𝑟 a coordenada radial esférica. 
Para 𝑟 < 𝑅, qualquer superfície gaussiana esférica de raio 𝑟 e concêntrica ao condutor tem carga interna nula 
(pois ele é oco), e portanto 𝑬 = 𝟎 no interior do condutor. 
Para 𝑟 > 𝑅, qualquer superfície gaussiana esférica de raio 𝑟 e concêntrica ao condutor tem como carga interna 
a própria carga 𝑞 da esfera, pois todo o condutor estará contido nela. Como a densidade superficial de cargas 𝜎 
é constante, temos que: 
 
𝝈 =
𝒒
𝟒𝝅𝑹𝟐
⇒ 𝒒 = 𝟒𝝅𝑹𝟐𝝈 
 
Aplicando a Lei de Gauss: 
 
∯ �⃗⃗� . �̂� 𝒅𝑺
𝑺
=
𝒒𝒊𝒏𝒕
𝜺𝟎
 
𝟏
⇒ ∯ 𝑬�̂�. �̂� 𝒅𝑺
𝑺
=
𝒒
𝜺𝟎
 
𝟐
⇒ 𝑬∯ 𝒅𝑺
𝑺
=
𝒒
𝜺𝟎
 
𝟑
⇒ 𝑬. 𝟒𝝅𝒓𝟐 =
𝟒𝝅𝑹𝟐𝝈
𝜺𝟎
 
𝟒
⇒ �⃗⃗� (𝒓) =
𝝈
𝜺𝟎
.
𝑹𝟐
𝒓²
 �̂� 
 
1. O campo elétrico emerge da esfera ou se dirige a ela (dependendo do sinal da carga) sempre na direção radial, por isso �⃗� = 𝐸�̂�. Por 
outro lado, a direção normal a um ponto da superfície esférica coincide com a direção radial. Como os versores têm módulo unitário, 
temos que �̂� = �̂�. 
2. O produto escalar �̂�. �̂� resulta em |�̂�|2. Como o versor tem módulo unitário, �̂�. �̂� = |�̂�|2 = 12 = 1. Além disso, como para certa superfície 
gaussiana esférica de raio 𝑟 > 𝑅 o campo elétrico tem módulo constante (apesar de pontualmente mudar de direção), 𝐸 pode sair da 
integral. 
3. A área da superfície fechada 𝑆 é a áreade uma esfera de raio 𝑟, ou seja, 4𝜋𝑟2. 
4. Após o passo 1, passamos a lidar apenas com o módulo do campo elétrico. Porém, sabe-se que ele está na direção radial, e seu 
sentido será dado pelo sinal da carga 𝑞 (que é o mesmo de 𝜎). Logo, o vetor campo elétrico é função apenas da coordenada radial 𝑟. 
 
Pelos resultados obtidos, é de se notar que no interior desse condutor o campo elétrico resultante é nulo. Este é 
o princípio da blindagem eletrostática, e é ele que garante a segurança do interior de um carro, mesmo se 
atingido por um raio num dia de tempestade. Note que se, ao invés de uma casca esférica condutora, 
tivéssemos uma esfera condutora maciça em equilíbrio eletrostático, os resultados seriam os mesmos: num 
condutor em equilíbrio, o excesso ou a falta de elétrons sempre se reflete em sua superfície, de forma que o 
campo elétrico em seu interior permanece nulo. 
 
7. [Desenferrujando] Em cada uma das situações hipotéticas a seguir, reflita sobre a validade e a utilidade da lei 
de Gauss para determinação do vetor campo elétrico. Naquelas em que você concluir que a lei de Gauss é útil 
além de válida, determine a partir dela o campo elétrico �⃗� no espaço. 
 
a. Dipolo elétrico, com cargas +𝑞 e −𝑞, distando 𝑑 uma da outra; 
Não há simetria na distribuição de cargas que nos possibilite escolher uma superfície gaussiana sobre a 
qual o campo elétrico seja constante. É necessário usar o princípio da superposição. 
 
b. Superfície cúbica de aresta 𝑙 e densidade superficial de carga 𝜎 constante; 
Não há simetria na distribuição de cargas que nos possibilite escolher uma superfície gaussiana sobre a 
qual o campo elétrico seja constante. É necessário usar o princípio da superposição. 
 
c. Cubo maciço de aresta 𝑙 e densidade volumétrica de carga 𝜌 constante; 
Não há simetria na distribuição de cargas que nos possibilite escolher uma superfície gaussiana sobre a 
qual o campo elétrico seja constante. É necessário usar o princípio da superposição. 
 
d. Fio infinito, com densidade linear de carga 𝜆 constante; 
Usando a Lei de Gauss, é possível determinar o campo elétrico no espaço usando coordenadas 
cilíndricas. Adotando um ponto qualquer do fio como origem 𝑂 do sistema de referências e escolhendo o 
eixo 𝑂𝑧 ao longo do próprio fio, é possível perceber (a partir do princípio da superposição) que o campo 
elétrico em qualquer ponto do espaço no entorno do fio está na direção radial �̂�. Como para um certo valor 
da coordenada 𝑟 o campo elétrico tem módulo constante, é possível utilizar a Lei de Gauss. 
Escolhamos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio da base 𝑟 > 0 (pois em 𝑟 = 0 temos o próprio fio), 
eixo coincidente com o próprio fio e de comprimento 𝐿. Nessa superfície cilíndrica, o fluxo nas bases é nulo, 
pois elas são paralelas à direção �̂�. Em qualquer ponto da área lateral, o versor normal a ela, �̂�, é paralelo 
ao versor da direção radial �̂�. Portanto, só há fluxo do campo elétrico sobre a área lateral do cilindro. 
Sendo 𝜆 a densidade linear de cargas do fio e 𝑄 a carga interna à superfície cilíndrica escolhida, temos: 
 
𝝀 =
𝑸
𝑳
⇒ 𝑸 = 𝝀𝑳 
 
A área lateral da superfície cilíndrica é 2𝜋𝑟𝐿 (pois na planificação de um cilindro, a área lateral corresponde 
a um retângulo de lados 2𝜋𝑟 e 𝐿). Aplicando a Lei de Gauss a essa superfície, obtemos: 
 
∯ �⃗⃗� . �̂� 𝒅𝑺
𝑺
=
𝒒𝒊𝒏𝒕
𝜺𝟎
 ⇒ ∯ 𝑬�̂�. �̂� 𝒅𝑺
𝑺
=
𝑸
𝜺𝟎
 ⇒ 𝑬∯ 𝒅𝑺
𝑺
=
𝝀𝑳
𝜺𝟎
 ⇒ 𝑬. 𝟐𝝅𝒓𝑳 =
𝝀𝑳
𝜺𝟎
 ⇒ �⃗⃗� (𝒓) =
𝝀
𝟐𝝅𝜺𝟎
.
𝟏
𝒓
 �̂� 
 
e. Disco de raio 𝑅, com densidade superficial de carga 𝜎 constante; 
Não há simetria na distribuição de cargas que nos possibilite escolher uma superfície gaussiana sobre a 
qual o campo elétrico seja constante. É necessário usar o princípio da superposição. 
 
f. Esfera maciça de raio 𝑅 com densidade volumétrica de carga 𝜌 constante. Lembre-se: a área de uma esfera 
de raio r é 4𝜋𝑟2e seu volume é 
4
3
𝜋𝑟3. 
Como a esfera é maciça e tem densidade volumétrica de cargas, ela é feita de material isolante, e não 
condutor. Usando a Lei de Gauss, é possível determinar o campo elétrico no espaço usando coordenadas 
esféricas. Adotando o centro da esfera como origem 𝑂 do sistema de referências, é possível perceber (a 
partir do princípio da superposição) que o campo elétrico em qualquer ponto do espaço no entorno do fio 
está na direção radial �̂� (cuidado: lembre-se que a coordenada radial esférica é a distância de certo ponto à 
origem, enquanto que a coordenada radial cilíndrica é a distância de certo ponto ao eixo 𝑂𝑧!). Como para 
um certo valor da coordenada 𝑟 o campo elétrico tem módulo constante dentro ou fora da esfera, já que �̂� e 
�̂� são paralelos, é possível utilizar a Lei de Gauss. Para o interior e o exterior da esfera, escolheremos 
superfícies gaussianas esféricas de raio 𝑟 concêntricas à esfera dada. 
Para 𝑟 > 𝑅, a superfície gaussiana tem área 4𝜋𝑟2 e a carga interna a ela é a carga total 𝑄 da esfera, 
contida no volume 
4
3
𝜋𝑅3. Como a densidade volumétrica de carga é constante, 
 
𝜌 =
𝑄
4
3
𝜋𝑅3
⇒ 𝑄 =
4
3
𝜋𝑅3𝜌 
 
Aplicando a Lei de Gauss, obtemos: 
 
∯ �⃗⃗� . �̂� 𝒅𝑺
𝑺
=
𝒒𝒊𝒏𝒕
𝜺𝟎
 ⇒ ∯ 𝑬�̂�. �̂� 𝒅𝑺
𝑺
=
𝑸
𝜺𝟎
 ⇒ 𝑬∯ 𝒅𝑺
𝑺
=
𝟒𝝅𝑹𝟑𝝆
𝟑𝜺𝟎
 ⇒ 𝑬. 𝟒𝝅𝒓𝟐 =
𝟒𝝅𝑹𝟑𝝆
𝟑𝜺𝟎
 ⇒ �⃗⃗� (𝒓) =
𝝆
𝟑𝜺𝟎
.
𝑹𝟑
𝒓𝟐
 �̂� 
 
Para 𝑟 < 𝑅, a superfície gaussiana tem área 4𝜋𝑟2 e a carga 𝑄′ interna a ela é a fração da carga total 𝑄 
contida num volume 
4
3
𝜋𝑟3. Por regra de três, sendo 𝑄 a carga contida em 
4
3
𝜋𝑅3 e 𝑄’ a carga contida em 
4
3
𝜋𝑟3, temos que 𝑄′ = 𝑄
𝑟3
𝑅3
. Como 𝑄 =
4
3
𝜋𝑅3𝜌, temos que 𝑄′ =
4
3
𝜋𝜌𝑟3. Aplicando a Lei de Gauss, obtemos: 
 
∯ �⃗⃗� . �̂� 𝒅𝑺
𝑺
=
𝒒𝒊𝒏𝒕
𝜺𝟎
 ⇒ ∯ 𝑬�̂�. �̂� 𝒅𝑺
𝑺
=
𝑸′
𝜺𝟎
 ⇒ 𝑬∯ 𝒅𝑺
𝑺
=
𝟒𝝅𝝆𝒓𝟑
𝟑𝜺𝟎
 ⇒ 𝑬. 𝟒𝝅𝒓𝟐 =
𝟒𝝅𝝆𝒓𝟑
𝟑𝜺𝟎
 ⇒ �⃗⃗� (𝒓) =
𝝆
𝟑𝜺𝟎
. 𝒓 �̂� 
 
Em particular, para 𝑟 = 𝑅, temos que 
 
�⃗⃗� (𝒓) =
𝝆𝑹
𝟑𝜺𝟎
�̂� 
 
É possível obter o resultado acima a partir de ambas as expressões anteriores, para 𝑟 > 𝑅 e 𝑟 < 𝑅 . 
Portanto, enquanto que o módulo do campo elétrico cresce linearmente com a coordenada radial no interior 
da esfera, em sua borda ele atinge um valor máximo, e a partir de então decai, pois passa a ser 
proporcional ao inverso do quadrado da distância ao centro.