ENG1207-Hidráulica - Aula 5

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HIDRÁULICA
ENG1207
PARTE 1 – INTRODUÇÃO
PROF. MATHEUS MARTINS DE SOUSA
MATHEUSMS@PUC-RIO.BR
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental | ENG1207 - HIDRÁULICA
Introdução
2021.2 Prof. Matheus M. Sousa 2
• Princípios da Mecânica dos fluidos
➢ Conceitos fundamentais
➢ Classificação dos escoamentos
➢ Equações fundamentais do escoamento
➢ Estática dos fluidos
→ Equação Básica da Estática dos Fluidos – Lei de Stevin / Lei de Pascal
→ Pressões instrumentais e absolutas
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Introdução – Estática dos Fluidos
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• CONCEITOS DE PRESSÃO E EMPUXO
∀
𝐴
d𝐴
d𝐹
𝑝 =
d𝐹
d𝐴
Para toda a área do volume ∀, o efeito da 
pressão produz uma força resultante 
chamada de empuxo ou pressão total. 
A força de empuxo (𝐸) pode ser calculada 
pela integral em toda a área de superfície 
do volume ∀: 
𝐸 = න
𝐴
𝑝 ∙ d𝐴
Quando a pressão é a mesma em 
toda a área, ou seja, 𝑝 = cte 𝐸 = 𝑝 ∙ 𝐴
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• EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS
➢ Obtenção de uma equação para determinar o campo de pressão em um fluido
→ Forças de corpo Ԧ𝐹𝐵
• Gravidade
Pela segunda Lei de Newton →
→ Forças de superfície Ԧ𝐹𝑆
Para a face esquerda
Para a face direita
Introdução – Estática dos Fluidos
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d Ԧ𝐹𝐵 = d𝑚 ∙ Ԧ𝑔 ∴ d Ԧ𝐹𝐵 = ρ ∙ d∀ ∙ Ԧ𝑔
𝜌 =
d𝑚
d∀
d∀= d𝑥d𝑦d𝑧
𝐝𝑭𝑩 = 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛
x
y
z
d
z
d𝑥
𝐝𝑭𝑝𝑒 = 𝑝 d𝑦d𝑧 Ƹ𝑖
𝐝𝑭𝑝𝑑 = 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑥
d𝑥 d𝑦d𝑧 − Ƹ𝑖
𝑝 (d𝑦d𝑧) Ƹ𝑖
𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑥
d𝑥 d𝑦d𝑧 − Ƹ𝑖
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𝜵𝒑 = −
𝒅𝑭𝑺
𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛
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• EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS
➢ Obtenção de uma equação para determinar o campo de pressão em um fluido
→ Forças de superfície Ԧ𝐹𝑆
x
y
z
d
z
d𝑥
𝑑 Ԧ𝐹𝑆 = 𝑝 d𝑦d𝑧 Ƹ𝑖 + 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑥
d𝑥 d𝑦d𝑧 − Ƹ𝑖 +
+ 𝑝 d𝑥d𝑧 Ƹ𝑗 + 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦
d𝑦 dxd𝑧 − Ƹ𝑗 +
+ 𝑝 − d𝑥d𝑦 ෠𝑘 + 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑧
d𝑧 d𝑥d𝑦 −෠𝑘
𝑑 Ԧ𝐹𝑆 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
෠𝑘 d𝑥d𝑦d𝑧 ∴ 𝑑 Ԧ𝐹𝑆 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 +
𝜕𝑝
𝜕𝑧
෠𝑘 d𝑥d𝑦d𝑧
Reagrupando...
Gradiente de pressão → grad 𝑝 ou 𝛻𝑝𝑑 Ԧ𝐹𝑆 = −𝛻𝑝 d𝑥d𝑦d𝑧 ∴
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• EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS
➢ Obtenção de uma equação para determinar o campo de pressão em um fluido
→ A força total agindo sobre um elemento fluido em repouso será:
d Ԧ𝐹 = d Ԧ𝐹𝑆 + d Ԧ𝐹𝐵
x
y
z
d
z
d𝑥
Considerando a 2ª Lei de Newton...
d Ԧ𝐹𝐵 = 𝜌 ∙ Ԧ𝑔 ∙ d𝑥d𝑦d𝑧
d Ԧ𝐹𝑆 = −𝛻𝑝 d𝑥d𝑦d𝑧
d Ԧ𝐹 = −𝛻𝑝 + 𝜌 ∙ Ԧ𝑔 d𝑥d𝑦d𝑧
d Ԧ𝐹 = d𝑚 ∙ Ԧ𝑎
Para um fluido 
em repouso
0
d Ԧ𝐹 = −𝛻𝑝 + 𝜌 ∙ Ԧ𝑔 d𝑥d𝑦d𝑧 = 0
∴ −𝜵𝒑 + 𝝆 ∙ 𝒈 = 𝟎
𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜
+
𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜
= 0
−
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜌 ∙ 𝑔𝑥 = 0
−
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜌 ∙ 𝑔𝑦 = 0
−
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜌 ∙ 𝑔𝑧 = 0
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• EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS
➢ Obtenção de uma equação para determinar o campo de pressão em um fluido
→ Descrição da variação de pressão em cada um das três dimensões de 
coordenadas em um fluido estático:
x
y
z
d
z
d𝑥
𝑂 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜌 ∙ 𝑔𝑥 = 0 → direção 𝑥
−
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜌 ∙ 𝑔𝑦 = 0 → direção 𝑦
−
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜌 ∙ 𝑔𝑧 = 0 → direção 𝑧
Definindo o sistema de coordenadas de forma que o 
eixo z esteja alinhado ao vetor-gravidade
𝑔𝑥 = 0; 𝑔𝑦 = 0; 𝑔𝑧 = −𝑔
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= −𝜌 ∙ 𝑔
Sendo, então, p uma função 
dependente de uma única variável
𝐝𝒑
𝐝𝒛
= −𝝆 ∙ 𝒈 = 𝜸
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• EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS
➢ Outra forma:
Equações de Euler
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 𝑔𝑥 −
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑢 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑣 +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝑤
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= 𝑔𝑦 −
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑢 +
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝑣 +
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝑤
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= 𝑔𝑧 −
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑢 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝑣 +
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑤
Ԧ𝑣 = 0
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= −𝜌 ∙ 𝑔
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• EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS
➢ Considerando um fluido incompressível (𝜌0) e gravidade constante, teremos:
d𝑝
d𝑧
= −𝜌 ∙ 𝑔 = cte
𝑧0
𝑧1
∴ න
𝑝0
𝑝1
d𝑝 = −න
𝑧0
𝑧1
𝜌0 ∙ 𝑔 ∙ d𝑧 ∴ 𝑝1 − 𝑝0 = −𝜌0 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧1 − 𝑧0
𝒉
𝒉
∴ 𝑝1 − 𝑝0 = 𝜌0 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧0 − 𝑧1 ∴ 𝑝1 = 𝑝0 + 𝜌0 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
𝑝0 ∙ 𝐴
𝑝1 ∙ 𝐴
Sabendo que 𝜌0 ∙ 𝑔 = 𝛾 e reescrevendo a equação, teremos:
𝒑𝟏 − 𝒑𝟎 = 𝜸 ∙ 𝒉
A diferença de pressões entre dois pontos da 
massa de um líquido em equilíbrio é igual à 
diferença de profundidade multiplicada pelo 
peso específico do líquido
LEI DE STEVIN
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• LEI DE PASCAL
➢ Em qualquer ponto no interior de um líquido em repouso, a pressão é a mesma em 
todas as direções
• Elemento infinitesimal de forma prismática
• Isolado de uma massa fluida em repouso
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
▪ Sob o elemento de volume atuam:
• Forças devidas às pressões estáticas exercidas pelo fluido ao redor; e
• Peso devido ao campo gravitacional.
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
➢Como o fluido está em repouso, a resultante das forças que atuam sobre o 
elemento deve ser nula...
෍ Ԧ𝐹 = 0
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
▪ Na direção x atuam somente forças de superfície devidas às pressões estáticas 
representadas pelas componentes de tensão
σ𝐹𝑥 = 𝜎𝑥𝑥 dy dz - 𝜎𝑠𝑠ds dz senα = 0
𝜎𝑋𝑋 𝜎𝑆𝑆
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
➢ Pressão ( 𝑃 )
→Lei de Pascal:
σ𝐹𝑥 = 𝜎𝑥𝑥 dy dz - 𝜎𝑠𝑠ds dz senα = 0
ds senα = dy
𝜎𝑥𝑥 dy dz - 𝜎𝑠𝑠dy dz = 0
𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑠𝑠
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
▪ Na direção y além das forças de superfície, devidas às pressões estáticas, atua também o 
peso do elemento
σ𝐹𝑦 = 𝜎𝑦𝑦 dx dz - 𝜎𝑠𝑠ds dz cosα – ρg 
dxdydz
2
= 0
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
σ𝐹𝑦 = 𝜎𝑦𝑦 dx dz - 𝜎𝑠𝑠ds dz cosα – ρg 
dxdydz
2
= 0
ds cosα = dx
𝜎𝑦𝑦 dx dz - 𝜎𝑠𝑠dx dz – ρg 
dxdydz
2
= 0
𝜎𝑥𝑥 - 𝜎𝑠𝑠- ρg 
dy
2
= 0
/dxdz
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
▪ A pressão é definida em um ponto, fazendo o limite quando o volume do elemento tende a 
zero...
lim
𝑑𝑦→0
𝜌𝑔
𝑑𝑦
2
= 0
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
𝜎𝑥𝑥 - 𝜎𝑠𝑠- ρg 
dy
2
= 0
𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑠𝑠
𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑠𝑠
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
▪ A pressão estática em um ponto de um fluido em repouso é transmitida igualmente em 
qualquer direção.
▪ A pressão aplicada em um fluido incompressível, contido em um recipiente fechado, será 
transmitida integralmente a todos os pontos do fluido e à parede do recipiente.
▪ Esse fenômeno da transmissão de pressão nos fluidos incompressíveis é utilizado em 
diversos equipamentos hidráulicos. Ex: Prensas, freios e macacos hidráulicos.
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
➢Conforme estabelece o Principio de Pascal, para um fluido em repouso, sendo a pressão 
estática, o tensor tensão é dado pela matriz:
−𝑝 0 0
0 −𝑝 0
0 0 −𝑝
σ𝑥𝑥
σ𝑦𝑦
σ𝑆𝑠
𝜃
dγ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
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• LEI DE PASCAL
➢ Em qualquer ponto no interior de um líquido em repouso, a pressão é a mesma em 
todas as direções
A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso 
transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido.
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• PRINCÍPIO DA PRENSA HIDRÁULICA
𝑝1 =
𝐹1
𝐴1
= 𝑝2 =
𝐹2
𝐴2
∴ 𝑭𝟐 = 𝑭𝟏
𝑨𝟐
𝑨𝟏
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝑨𝟐
𝑨𝟏
𝑫𝟐 𝑫𝟏
𝐷2 = 6 ∙ 𝐷1. 𝐴2 =
1
4
𝜋 ∙ 𝐷2
2
. 𝐴1 =
1
4
𝜋 ∙ 𝐷1
2
𝐴2 =
1
4
𝜋 ∙ 36 ∙ 𝐷1
2 ∴ 𝐴2 = 36 ∙
1
4
𝜋 ∙ 𝐷1
2
Considera-se:
Então:
𝐹2 = 𝐹1
36 ∙ 𝐴1
𝐴1
𝑭𝟐 = 𝟑𝟔 ∙ 𝑭𝟏
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• PRINCÍPIO DA PRENSA HIDRÁULICA
➢ Quantas pessoas, admitindo um peso médio de 62kg, serão necessárias para 
suspender um caminhão de 9,92 toneladas sobre um êmbolo de uma prensa hidráulica 
com 60cm de diâmetro? O êmbolo com a plataforma que receberá as pessoas possui 
15cm de diâmetro.
𝑭𝟐 = 𝑭𝟏
𝑨𝟐
𝑨𝟏
𝑨𝟐
𝑨𝟏
𝑫𝟐 𝑫𝟏
?
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• PRINCÍPIO DA PRENSA HIDRÁULICA
➢ Quantas pessoas, admitindo um peso médio de 62kg, serão necessárias para 
suspender um caminhão de 9,92 toneladas sobre um êmbolo de uma prensa hidráulica 
com 60cm de diâmetro? O êmbolo com a plataforma que receberá as pessoas possui 
15cm de diâmetro.
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𝑭𝟐 = 𝑭𝟏
𝑨𝟐
𝑨𝟏
𝑨𝟐
𝑨𝟏
𝑫𝟐 𝑫𝟏
?
Calculando a relação das forças
. 𝐴2 =
1
4
𝜋 ∙ 𝐷2
2
. 𝐴1 =
1
4
𝜋 ∙ 𝐷1
2
.
𝐴2
𝐴1
=.
𝐷2
2
𝐷1
2 =
0,62
2
0,151
2 = 16
𝐹2 = 𝐹116 9,92 10
3𝑔 = 62𝑔 ∗ 16 ∗ 𝑁º𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
9,92 103 = 992 ∗ 𝑁º𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
9,92 103
992
= 𝑁º𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
10 = 𝑁º𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
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• PRESSÕES INSTRUMENTAIS E ABSOLUTAS
Pressão atmosférica normal (Pa)
Pressão atmosférica local
𝑃𝑎 = 1 atm
ൗ𝑃𝑎 𝛾Hg = 760 mmHg
𝑃𝑎 = 101 kPa
ൗ𝑃𝑎 𝛾a = 10 mca
P
re
ss
ão
 a
b
so
lu
ta
2
L
ei
tu
ra
 l
o
ca
l
d
o
 b
ar
ô
m
et
ro
1
Pressão 
absoluta
Pressão efetiva
Pressão 
efetiva
Zero absoluto (vácuo absoluto)
Pressão efetiva = Pressão instrumental = Pressão manométrica
𝑃𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 = 𝑃𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟. + 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙
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• PRESSÕES INSTRUMENTAIS E ABSOLUTAS
➢ Medidas de Pressão
→ Manometria: fundamentada na Lei de Stevin (𝑃 = 𝛾ℎ)
Piezômetro
P
h
𝑃𝑃 = 𝛾ℎ
P
h
Manômetro 
em “U”
𝑃𝑃 = −𝛾ℎ
P2
P1
𝛾1
𝛾2
𝛾3
y1
y2
h
𝑃1 − 𝑃2 = 𝛾2𝑦2 + 𝛾3ℎ − 𝛾1𝑦1
Manômetro 
diferencial
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• PRESSÕES INSTRUMENTAIS E ABSOLUTAS
➢ Seja um manômetro em “U” com mercúrio instalado em uma tubulação. Dadas 
as medidas encontradas no instrumento, qual a pressão efetiva no conduto?
➢ Caso o manômetro fosse inteiramente preenchido com água, qual seria a altura 
de leitura h?
pa
𝛾𝑎
𝛾𝐻𝑔
y
h
𝛾𝑎 = 9,81 ∙ 10
3 N/m³
𝛾𝐻𝑔 = 1,33 ∙ 10
5 N/m³
𝑦 = 50 cm
ℎ = 1,00 m
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 10
5 N/m²
𝑃𝑏 = 𝑃𝑐
𝑎
𝑏 𝑐
𝑑
𝑃𝑐 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝛾𝐻𝑔 ∙ ℎ
𝑃𝑎 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝛾𝐻𝑔 ∙ ℎ − 𝛾𝑎 ∙ 𝑦
𝑃𝑎 = 10
5 + 1,33 ∙ 105 ∙ 1,0 − 9,81 ∙ 103 ∙ 0,5
𝑃𝑎 = 2,28 ∙ 10
5 N/m²
𝑃𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 = 𝑃𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟. + 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙
𝑃𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟. = 𝑃𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑃𝑎
𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟. = 2,28 ∙ 105 − 105
𝑷𝒂
𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟. = 𝟏, 𝟐𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟓 N/m² = 𝟏𝟐𝟖 kPa
Tomando o eixo b-c como referência
𝑃𝑏 = 𝑃𝑎 + 𝛾𝑎 ∙ 𝑦=
→ Pressão absoluta na tubulação
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• PRESSÕES INSTRUMENTAIS E ABSOLUTAS
➢ Em um reservatório fechado, temos três fluidos distintos. Uma camada de 1,0m de ar sobre uma 
camada de 3,0m de óleo (𝛿 =0,82) sobre uma camada de 2,0m de água. Considerando que a 
camada de ar exerce uma pressão (relativa) de 30kPa sobre as demais camadas, qual será a 
elevação y de mercúrio (𝛿 =13,6) em um manômetro tipo “U” instalado no fundo desse 
reservatório?
Resp.: y = 0,626m 
𝜌𝐻𝑔
y1,0m
2,0m
3,0m
p=30kPa
𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 1000 kg/m
3
𝑔 = 9,81 m/s²
𝜌á𝑔𝑢𝑎
𝜌ó𝑙𝑒𝑜
𝑃𝑏 = 𝑃𝑎 + 𝛾ó𝑙𝑒𝑜 ∙ 3
𝑃𝑐 = 𝑃𝑏 + 𝛾𝐻2𝑜 ∙ (2 + 1)
𝑃𝑑 = 𝑃𝑏 − 𝑦. 𝛾𝐻𝑔
𝑃𝑑 = 30𝑘𝑃𝑎 + 0,82 𝛾𝐻2𝑜3 + 𝛾𝐻2𝑜3 − y 13,6 𝛾𝐻2𝑜
Trabalhando com Pressão Relativa
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
0 = 30𝑘𝑃𝑎 + 1,82 𝛾𝐻2𝑜3 − y 13,6 𝛾𝐻2𝑜
y 13,6 𝛾𝐻2𝑜 = 30𝑘𝑃𝑎 + 1,82 𝛾𝐻2𝑜3
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• PRESSÕES INSTRUMENTAIS E ABSOLUTAS
➢ Uma adutora de água com vazão de 250 l/s apresenta uma redução de diâmetro de 
400mm para 300mm, onde foi instalado um manômentro diferencial do tipo “U” 
invertido. A leitura no instrumento apresenta uma deflexão de 50cm. Determine a 
perda de carga entre os pontos 1, início da redução, e 2, final da redução.
→ Dicas: Equação da Continuidade; Equação de Bernoulli; Lei de Stevin
4
0
0
m
m
3
0
0
m
m
h
y
1 2
Pela Equação da Continuidade → 𝑄 = 𝐴 ∙ 𝑣 𝒗𝟏 =
𝑄
𝐴1
𝒗𝟐 =
𝑄
𝐴2
=
0,25
ൗ𝜋 ∙ 0,4
2
4
= 1,99 m/s
=
0,25
ൗ𝜋 ∙ 0,3
2
4
= 3,54 m/s
Pela Equação de Bernoulli 
→ 𝑍1 +
𝑝1
𝛾
+ 𝛼1
𝑉1
2
2𝑔
− 𝑍2 +
𝑝2
𝛾
+ 𝛼2
𝑉2
2
2𝑔
= 𝐻𝑓 ← 𝑍1 = 𝑍2
𝛼1 = 𝛼2 = 1,0
∴
𝑝1
𝛾
−
𝑝2
𝛾
+
𝑉1
2
2𝑔
−
𝑉2
2
2𝑔
= 𝐻𝑓 ∴ 𝐻𝑓 =
𝑝1 − 𝑝2
𝛾
+
1,99 2 − 3,54 2
2 ∙ 9,81
∴ 𝐻𝑓 =
𝑝1 − 𝑝2
𝛾
− 0,437
Pela Lei de Stevin
→ 𝑃 = 𝛾 ∙ ℎ
𝑃1 = 𝛾 ∙ ℎ + 𝑦
𝑃2 = 𝛾 ∙ 𝑦
𝑃1 − 𝑃2 = 𝛾 ∙ ℎ ∴
𝑃1−𝑃2
𝛾
= ℎ = 0,50 m ∴ 𝐻𝑓 = 0,50 − 0,437 ∴ 𝑯𝒇 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟑m