Teoria II Apostila Deformacao Isostatica

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APRESENTAÇÃO 
 
“Aplicação de cargas a uma estrutura faz com que ela se deforme. Em consequência da 
deformação, são produzidas várias forças nos componentes que formam a estrutura. O 
cálculo do valor dessas forças e das deformações que as causaram é conhecido por Análise 
estrutural (teoria das Estruturas)”. Jack C. Mc Cormac. 
 
“Análise estrutural (Teoria das Estruturas) é a parte da mecânica que estuda as estruturas, 
consistindo este estudo na determinação dos esforços e das deformações a que elas ficam 
submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, movimentos 
de seus apoios, etc.)”. José CarlosA Sussekind. 
 
“A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que é feita a idealização do 
comportamento da estrutura. Esse comportamento pode ser expresso por diversos 
parâmetros, tais como pelos campos de tensões, deformações e deslocamentos na estrutura. 
De um a maneira geral, a análise estrutural tem como objetivo a determinação de esforços 
internos e externos (cargas e reações de apoio), e das correspondentes tensões, bem como 
a determinação dos deslocamentos e correspondentes deformações da estrutura que está 
sendo projetada. Essa análise deve ser feita para os possíveis estágios de carregamento se 
solicitações que devem ser previamente determinados”. Luiz Fernando Martha. 
 
Esta apostila apresenta o método de análise como calcular as Deformações em estruturas 
isostáticas. Utilizando o Método da Carga Unitária e o Método do Princípio dos 
Trabalhos Virtuais, através de suas duas formulações – Princípio das Forças Virtuais e 
Princípio dos Deslocamentos Virtuais. O objetivo é dar subsídios para os Métodos das Forças 
e Método dos Deslocamentos. 
 
Para esta apostila foram utilizados os livros: 
 Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha – Capítulo 7; 
 Curso de análise estrutural – José Carlos Sussekind – Volume 2 – Capítulo 1; 
 Análise Estrutural – Jack C. Mc Cormac – Capítulo 11 a 13. 
 
 
 
 
2 
 
1. TEORIA DAS ESTRUTURAS I – Relembrando alguns conceitos básicos 
Uma pequena revisão de Teoria das Estruturas I. 
“Uma estrutura pode ser definida como uma composição de uma ou mais peças, 
ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um sistema em equilíbrio”. Ver Estruturas 
Isostáticas, 2011, página 11 - Maria Cascão Ferreira de Almeida. 
Em Teoria das Estruturas I, o aluno aprende em estrutura isostática a identificar os 
tipos de elementos estruturais, reconhecer as forças e momentos, verificar os graus de 
liberdade, calcular as equações de equilíbrio, identificar os aparelhos de apoio, reconhecer 
quais os tipos de carregamento em uma estrutura e desenhar os diagramas de esforços 
solicitantes (Diagrama de Momento Fletor, Diagrama de Esforços Normais , Diagrama de 
Esforços Cortantes e Diagrama de Momento Torsor) de estruturas planas como: viga, viga 
Gerber, pórtico e grelha. 
 
2. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – Relembrando alguns conceitos básicos 
Este item 2, é para relembrar o conceito de deformação visto em Resistência dos 
Materiais, vimos que a deformação é a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu 
carregamento. Como pode ser visto na Figura 1 e na Figura 2. 
 
Figura 1 – Viga isostática bi-apoiada com carregamento distribuído q em toda a viga. 
 
 
Figura 2 – Deformação da viga após aplicação da carga distribuída q. 
 
 
 
3 
 
A tendência da estrutura de voltar a forma original devido a carga representa a 
elasticidade do material (da estrutura). Quanto mais uma estrutura tende a voltar a sua forma 
original, mais elástico é seu material, ou seja, quanto mais ele resiste a ser deformado maior 
é a sua elasticidade. 
Toda a estrutura sofre uma deformação, mesmo que imperceptível. A maior parte da 
deformação é provocada pela flexão (Momento Fletor). 
Resumindo, uma estrutura que suporta cargas ocorre um fenômeno geométrico que é 
a mudança da sua forma original  Isto é deformação. 
A deformação pode ser Plástica ou Elástica. 
 
2.1. Deformação Plástica 
Uma deformação é plástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo (neste 
caso, a estrutura) não volta a sua forma original. Conforme pode ser visto no exemplo da 
Figura 3. 
 
 
 
Figura 3 – Deformação plástica, após a retirada da carga distribuída a 
viga não volta a forma inicial. 
 
2.2. Deformação Elástica 
Quando submetemos uma viga a um carregamento qualquer, está viga se deforma, 
mudando a posição de seu eixo. A forma da que a viga toma é descrita pela sua elástica e 
suas deformações. 
 
 
4 
 
Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta a 
sua forma original. Conforme pode ser visto na Figura 4. 
 
 
 
 
Figura 4 – Deformação elástica, após a retirada da carga distribuída a 
viga volta a forma inicial. 
 
Os esforços normais e cortantes não dão muita deformação elástica. A flexão pura sim. 
Logo, é o momento fletor que causa a deforma na estrutura. 
Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo uma deflexão 
() e uma rotação (). 
Lei de Hooke, Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a 
base de funcionamento dos corpos em regime elástico. 
As deduções das fórmulas de deformações estão bem explicadas nas disciplinas de 
Resistência dos Materiais, logo, temos: 
Deformação devido a uma rotação: 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
  =  
𝑀
𝐸 𝐼
 
 
Deformação Linear: 
𝑑 𝑦
𝑑𝑥
  =  
𝑀
𝐸 𝐼
 
 
 
 
5 
 
A maioria dos projetos serão tratados no regime elástico do material, sendo os casos 
mais sofisticados trabalhados em regime plástico (aprofundar mais nesse item 2 em 
Resistência dos Materiais). 
 
 
3. CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
Teorema dos trabalhos virtuais sobre corpos elásticos. 
Jean d’Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de deslocamento e 
trabalho virtual. 
 
 
 
 
 
“Seja um ponto material m em equilíbrio, isto é, submetida a um conjunto de forças 
Pi tais que sua resultante R é nula. Imaginemos que seja dado a este ponto um deslocamento 
δ sem introdução de nenhuma força no sistema, isto é, mantendo R = 0. Este deslocamento 
não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois para haver deslocamento real do 
ponto, seria necessária a introdução de uma nova força ao sistema, que possibilitasse este 
deslocamento (real) do ponto m. Então teremos, este deslocamento δ, dado nestas 
condições (R = 0), como uma entidade puramente matemática, à qual chamaremos de 
deslocamento virtual. 
O trabalho virtual W realizado pelo conjuntos de forças Pi (reais) que atuam sobre o 
ponto m quando ele sofre o deslocamento virtual δ vale W = δ . R = 0. Dizemos, então, 
que, “para um ponto material em equilíbrio (R = 0), o trabalho virtual realizado pelo sistema 
de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento 
virtual arbitrário qualquer, é nulo”, o que constitui o princípio de d’Alembert”. Sussekind, 
volume 2, capítulo 1. 
 
 
P1 P2 Pi 
m 
δ 
Pn m 1 
 
 
6 
 
3.1. Deformação linear – Principio dos trabalhos virtuais (PTV) 
Diz-se virtual algo que não é real, imaginário, portanto. Um deslocamento virtual ou 
uma força virtual são, respectivamente, um deslocamento imaginário ou uma força 
imaginária, arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural. 
O trabalho virtual pode ser considerado como o trabalho produzido em uma das duas 
situações abaixo relacionadas: 
• Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual; 
• Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real. 
Pode-se considerar aqui como deslocamento virtual um deslocamento provocado por 
alguma outra ação que não o sistema de carregamento em questão atuante na estrutura. 
Força virtual, da mesma forma, pode ser considerada uma outra força qualquer que não seja 
a que está provocando o deslocamento real.Portanto, na expressão do trabalho virtual, a força e o deslocamento envolvidos (virtual 
e real ou vice-versa) têm uma relação de correspondência, mas nunca de causalidade. 
Este princípio só permite calcular deslocamentos para o caso de solicitação de uma 
força concentrada, e o deslocamento calculado tem que ser no ponto de aplicação e na 
direção da força. Analogamente, também é possível calcular a rotação na direção de um 
momento concentrado aplicado. 
 
3.1.1. Princípio das forças virtuais (PFV) 
Em muitas situações é necessário impor condições de compatibilidade a uma 
configuração deformada. Por exemplo, quando se calcula uma componente de deslocamento 
em um ponto de uma estrutura, o que se deseja é o valor do deslocamento que é compatível 
com a configuração deformada da estrutura, que é provocada por alguma solicitação. Luiz 
Fernando Martha. 
O PFV utiliza um sistema auxiliar, chamado sistema virtual, que é completamente 
independente do sistema real, sendo este a estrutura da qual se quer calcular um 
deslocamento ou rotação (ou estabelecer uma condição de compatibilidade). O sistema 
virtual trabalha com a mesma estrutura, mas com cargas diferentes. As cargas do sistema 
virtual são compostas de uma força (ou momento) escolhida arbitrariamente na direção do 
deslocamento (ou rotação) que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de 
 
 
7 
 
apoio. As cargas do sistema virtual não existem na realidade (por isso, são ditas virtuais) e 
são meras abstrações para cálculo. Luiz Fernando Martha. 
A aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos em estruturas que trabalham à 
flexão resulta no cálculo de uma integral que combina diagramas de momentos fletores nos 
sistemas real e virtual. A Tabela Kurt Beyer mostra expressões para avaliar essa integral para 
diagramas usuais em uma barra. 
 
3.2. Método da Carga Unitária (MCU) 
A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qual se considera a 
força virtual (ou forças virtuais) com valor unitário é conhecida como Método da Carga 
Unitária (MCU). Também conhecido como Método do Trabalho Virtual, Método da Carga 
Substituta e Método de Maxwell Mohr. O Método da Carga Unitária pode ser utilizado para 
calcular deslocamentos (devidos a deformações reais causadas pelo carregamento) em 
estruturas isostáticas. Como o Método da Carga Unitária é uma sistematização do Princípio 
dos trabalhos virtuais (PTV), sua formulação geral pode ser utilizada em estruturas de 
comportamento elástico linear e não-linear. Seja calcular um determinado deslocamento ∆, 
por exemplo o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um 
sistema de cargas qualquer. (tirado da apostila. 
 http://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf ) 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Pelo Método da Carga Unitária, considera-se um outro sistema de carregamento 
atuando sobre a mesma estrutura constituído de uma carga virtual unitária P correspondente 
ao deslocamento provocado ∆. 
 
 
Tem-se, pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, δWext = δWint. O trabalho virtual neste 
caso é devido a forças virtuais e deslocamentos reais. 
O trabalho virtual externo será dado pela carga virtual unitária, aplicada no ponto em 
que se deseja obter o deslocamento: δ U= P Δ =1 × Δ = Δ 
 
 
 
Substituindo-se as expressões das deformações nos elementos de barra, dadas 
anteriormente, na equação geral do MCU acima, tem-se: 
 
 
Resumindo (MCU): 
1. Determinam-se os esforços solicitantes (N, M, V e T); 
2. Determinam-se os esforços solicitantes virtuais (n, m, v e t); 
3. Esforços reais e virtuais são substituídos na equação geral do MCU; 
4. Em alguns casos, são feitas simplificações, desprezando-se os esforços cortantes, 
em razão da contribuição do momento fletor ter uma contribuição maior nas deformações. 
 
 
 
9 
 
4. EXERCÍCIOS (exemplos) 
O estudo dos Princípios dos Trabalhos Virtuais (PTV) e Método da Carga Unitária (MCU) 
será explicado detalhadamente através dos exemplos de exercícios a seguir. 
 
 
Exemplo 1: Como determinar a deformação em uma viga isostática em qualquer 
trecho da viga, Figura 5. 
Dados: Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h) 
E = 3 x 107 kN/m2 
 
Figura 5 – Viga Isostática bi-apoiada de 4 metros de comprimento com 
carregamento distribuído de 20 kN/m. 
 
Esse exemplo será calculado a deformação no meio da viga (há 2 m do apoio). Logo, 
coloco uma carga de P = 1 kN no ponto onde quero achar a deformação. 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoios da viga. 
Como a viga é simples não precisamos determinar as reações de apoio para desenhar 
o diagrama de momento fletor (a viga é simétrica). 
Lembrando que para calcular a deformação por esse método, que é a multiplicação 
dos momentos fletores, tenho que desenhar momentos fletores para o caso real e virtual. 
 
2º Passo: Após achar as reações de apoio, desenhar o diagrama de momento fletor 
(nesta viga não precisei calcular as reações dos apoios). Sei que nos apoios o momento é 
zero e com uma carga distribuída de 20 kN/m, tenho um momento fletor de ql2/8, no meio 
da viga. Como pode ser visto na Figura 6. 
 
 
10 
 
 
 
Figura 6 – Diagrama de Momento Fletor. Sistema Real. 
 
 𝑀 =
𝑞 𝑙
8
=
20 × 4
8
= 40 𝑘𝑁𝑚 
 
3º Passo: Para calcular pelo Princípios dos trabalhos virtuais, na mesma viga (tirando 
a carga real) colocando uma força (virtual) de valor de P = 1 kN (método da carga unitária) 
no ponto onde quero saber a deformação linear (no exemplo será no meio da viga) e desenho 
o diagrama de momento fletor da viga (Figura 7). 
 
 
 
Figura 7 – Diagrama de Momento Fletor. Sistema virtual. 
 
𝑀 = 
𝑃 𝑎 𝑏
𝑙
=
1 × 2 × 2
4
= 1 𝑘𝑁𝑚 
 
4º Passo: Equações da Deformação. 
Para estruturas compostas por barras retas de inercias constantes a fórmula da 
deformação: 
 
 
11 
 
𝛿 =
𝑀 𝑀
𝐸 𝐼
 𝑑𝑥 
 
A deformação será a combinação dos diagramas de momentos fletores (real e virtual) 
ao longo do comprimento (x), dividido pelo produto de rigidez a flexão (E I). Se obterá por 
um simples uso da tabela de Kurt Beyer, que simplificará muito o trabalho numérico dos 
problemas a solucionar. 
 
5º Passo: Calcular a : 
𝛿 =
𝑀 𝑀
𝐸 𝐼
 𝑑𝑥 
Fazendo a multiplicação dos dois momentos fletores, o de carga distribuída com o de 
carga concentrada, lembrando que os dois momentos são positivos. 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 × 𝑑𝑥 
 
Usando a tabela de Kurt Beyer vejo a equação da multiplicação dos dois momentos. 
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação (Figura 8): 
1
3
𝐿 1 + 
∝ 𝛽
𝐿
𝑀𝑀 
 
 
 
12 
 
 
Figura 8 – Tabela de Kurt Beyer (quarta coluna com a décima linha) 
 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
 3
𝐿 1 + 
∝ 𝛽
𝐿
 𝑀𝑀 
 
Onde: 
L’ = 4 m (comprimento da viga) 
 = 2 m (comprimento do lado esquerdo da carga pontual) 
 = 2 m (comprimento do lado direito da carga pontual) 
M = 40 kNm 
M = 1 kNm 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
 3
 𝑥 4 𝑥 1 + 
 2 𝑥 2
4
 1 𝑥 40 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 𝑥 
200
3
 
Onde: 
I = bh3/12 = 0,0170667 m4 
 
 
13 
 
E = 3 x 107 kN/m2 
E I = 512000 kNm2 
Temos a deformação no meio da viga de: 
𝛿 = 0,0001302 𝑚 ↓ 
 
O resultado da deformação deu positivo, logo significa dizer que a deformação é para 
baixo, conforme está aplicada a força de 1kN. 
Na Figura 9 é o resultado da deformação dessa viga pelo programa Ftool (no meia na 
viga). Observa-se que o resultado deu Dy = -1,302 e-4m. 
 
 
Figura 9 – Resultado do Programa Ftool. Deformação Dy = -1,302 e-004m 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Na Figura 10 segui a tabela de Kurt Beyer. 
 
Figura 10 - https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
Exemplo 2: Calculara deformação horizontal no apoio D, devido a uma carga 
concentrada de 5 kN, no ponto B, para o pórtico abaixo, que tem E I= 1 x 108 kNm2 .Conforme 
a Figura 11. 
 
Figura 11 – Pórtico Plano com uma carga concentrada de 5 kN, no ponto B. 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoios e desenhar o diagrama de momento fletor 
do pórtico, Figura 12. 
 
 
Figura 12 – Diagrama de Momento Fletor, devido a carga aplicada de 5 kN no ponto B. 
 
 
 
 
16 
 
 
2º Passo: Para calcular pelo Princípios dos trabalhos virtuais, coloco uma força de 
valor de P = 1 kN (método da carga unitária) no ponto onde quero saber a deformação linear 
(no exemplo será no apoio D). Calcular as reações de apoios (colocando o pórtico em 
equilíbrio) para poder desenhar o diagrama de momento fletor. Figura 13. Na Figura 14 o 
resultado do diagrama de momento fletor. 
 
Figura 13 – Pórtico Plano com uma carga concentrada 
de P = 1 kN (carga virtual), na seção D. 
 
 
Figura 14 – Diagrama de Momento Fletor, devido a carga virtual aplicada de P = 1 kN 
 
3º Passo: Cálculo de : 
Fazendo a multiplicação dos dois momentos fletores para cada barra. 
Sendo E I constante, temos: 
 
 
 
17 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
𝑀 𝑀 𝑑𝑥 = 𝑀 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑀 𝑀 𝑑𝑥 + 
 
𝑀 𝑀 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
Barra 1: Na barra 1 os diagramas de momentos fletores são: 
 Dois triângulos, com valores de 15 kNm e o outro de -3 kNm. 
 
Usando a tabela de Kurt Beyer vejo a equação da multiplicação dos dois momentos. 
Na segunda coluna com a segunda linha encontraremos a equação: 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
 
Onde: 
L’ = 3 m (comprimento da barra 1) 
M = 15 kNm 
M = -3 kNm 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
 𝑥 3 𝑥 15 𝑥 (−3) = − 0,00000045 𝑚 
 
Barra 2: Na barra 2 os diagramas de momentos fletores são: 
 Um triângulo de valor 15 kNm com um retângulo de valor – 3 kNm. 
 
 
 
Usando a tabela de Kurt Beyer vejo a equação da multiplicação dos dois momentos. 
Na segunda coluna com a primeira linha encontraremos a equação: 
 
 
18 
 
1
2
 𝐿 𝑀 𝑀 
 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
2
 𝐿 𝑀 𝑀 
 
Onde: 
L’ = 5 m (comprimento da barra 2) 
M = 15 kNm 
M = -3 kNm 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
2
 𝑥 5 𝑥 15 𝑥 (−3) = −0,000001125 𝑚 
 
Barra 3: Na barra 3 os diagramas de momentos fletores são: 
 Um triângulo de valor 3 kNm com 0 kNm. Logo, a barra 3 é zero. 
 
Calculando as duas barras (barra 1 + barra 2), temos: 
Considerando  EI = 1 x 108 kNm2 
Temos a deformação no ponto D: 
𝛿 = − 0,000001575 𝑚 → 
 
Os sinais negativos se devem ao fato dos diagramas M e M tracionarem fibras opostas, 
nas barras 1 e 2. 
Sabemos que o valor  encontrado simboliza o trabalho virtual P  = 1 x . Sendo seu 
sinal negativo, indica que os sentidos de P e de  se opõem e o deslocamento vale, portanto 
0,0000001575 m para a direita de D. 
Na Figura 15 é o resultado desse portico pelo programa Ftool. Observa-se que o 
resultado deu Dx = 1,575 e+6m. 
 
 
19 
 
 
Figura 15 – Resultado do Programa Ftool. Deformação 
Dx = 1,575 e+006m na seção D. 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Exemplo 3: Calcular a deformação da viga isostática, na final do balanço (seção D). 
Na Figura 21 está a viga com seu carregamento real. 
Dados: Seção da viga: 0,30 m x 0,50 m (b x h) 
E = 2,0 x 107 kN/m2 
 
Figura 16 – Viga Isostática de 6,5 metros de comprimento com carregamento distribuído de 
30 kN/m (da Seção A até C) e uma carga pontual de 40kN na seção D. 
 
Já calculando o Momento de Inércia e o Módulo de Elasticidade (produto de rigidez a 
flexão), temo: 
Onde I = bh3/12 = 0,003125 m4 
EI = 62500 kNm2 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoios e desenhar o diagrama de momento fletor. 
Como pode ser visto na Figura 17. 
 
Figura 17 – Diagrama de momento fletor, devido ao seu carregamento real. 
 
2º Passo: Calcular a reação de apoio com uma carga de P = 1kN no ponto onde quero 
o valor da deformação (Método da carga Unitária). Nesse exemplo quero a saber o valor da 
deformação na seção D (final do balanço). Figura 18. 
 
 
21 
 
 
Figura 18 – A viga com a carga virtual de P = 1 kN na seção D. 
 
Figura 19 – Diagrama de momento fletor devido a carga virtual de P = 1 kN na seção D. 
 
3º Passo: Cálculo de : 
Fazendo a multiplicação dos dois momentos fletores para cada barra. 
 
Barra 1: Igual a zero (multiplicar parábola do 2º grau com zero = 0). 
 x 
 
Barra 2: Na barra 2 os diagramas de momentos fletores são: 
 
 
 x 
 
 
Na barra onde tem a carga distribuída, tem que decompor a figura, por não haver essa 
figura geométrica na tabela de Kurt Beyer. Decompondo a figura fica um trapézio menos uma 
parábola do 2º grau (q l2 / 8). 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicar o trapézio pelo triangulo e a parábola do 2º grau pelo triangulo, temo: 
Usando a tabela de Kurt Beyer vejo a equação da multiplicação dos dois momentos 
(trapézio com o triangulo). 
Na terceira coluna com a decima linha encontraremos a equação: 
1
6
 𝐿 𝑀 [𝑀 + 2𝑀 ] 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
6
 𝐿 𝑀 [𝑀 + 2𝑀 ] 
 
Onde: 
L’ = 4 m (comprimento da barra 2) 
M = -1 kNm (momento do triangulo) 
MA = -33,75 kNm (a parte mais baixa do trapézio) 
MB = -40,00 kNm (a parte mais alta do trapézio) 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
6
 𝑥 4 𝑥 (−1) [(−33,75) + 2(−40)] = 0,001213328 𝑚 
 
 
 
23 
 
Usando a tabela de Kurt Beyer vejo a equação da multiplicação dos dois momentos 
(parábola de 2º com o triangulo). 
Na quarta coluna com a decima linha encontraremos a equação: 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
 
Onde: 
L’ = 4 m (comprimento da barra 2) 
M = -1 kNm (momento do triangulo) 
M = 60,00 kNm (momento ql2/8) 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
𝑥 4 𝑥(−1 ) 𝑥 60 = −0,00128 𝑚 
Calculando a deformação para a barra 2, temos: 
𝛿 = 0,001213328 − 0,00128 = −0,000066672 𝑚 
 
Barra 3: Na barra 3 os diagramas de momentos fletores são: 
 
x 
 
Multiplicação de dois triângulos, temos: 
Usando a tabela de Kurt Beyer vejo a equação da multiplicação dos dois momentos 
(triângulo com triângulo). Observe que a maior altura de um triângulo tem que casar com a 
maior altura do outro triangulo. 
Na segunda coluna com a segunda linha encontraremos a equação: 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
 
 
 
 
24 
 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
 𝐿 𝑀𝑀 
 
Onde: 
L’ = 1 m (comprimento da barra 3) 
M = -1 kNm (momento do triangulo) 
M = 40,00 kNm (momento do triangulo) 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
𝑥 1 𝑥(−1 ) 𝑥 (−40) = 0,00021328 𝑚 
 
Temos a deformação no balaço da viga (seção D): 
 
𝛿 = 𝛿 + 𝛿 + 𝛿 
𝛿 = 0 − 0,000066672 + 0,00021328 
𝛿 = 0,000146608 𝑚 
 
Na Figura 20 é o resultado dessa viga pelo programa Ftool. Observa-se que o resultado 
deu Dy = -1,467 e-4m. 
 
 
 
Figura 20 – Resultado do Programa Ftool. Deformação 
Dy = 1,467 e-004m na seção D (final do balanço). 
 
 
 
 
25 
 
Exemplo 4: Calcular a deformação da viga isostática, no meio do vão central (seção 
C, 2m do apoio B). Na Figura 21 está a viga com seu carregamento real. 
Dados: Seção da viga: 0,30 m x 0,50 m (b x h) 
E = 2,0 x 107 kN/m2 
 
Figura 21 – Viga Isostática de 6,5 metros de comprimento com carregamento distribuído de 
30 kN/m (da Seção A até C)e uma carga pontual de 40kN na seção D. 
 
Já calculando o Momento de Inércia e o Módulo de Elasticidade (produto de rigidez a 
flexão), temo: 
Onde I = bh3/12 = 0,003125 m4 
EI = 62500 kNm2 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoios e desenhar o diagrama de momento fletor. 
Como pode ser visto na Figura 22. 
 
Figura 22 – Diagrama de momento fletor, devido ao seu carregamento real. 
 
2º Passo: Calcular a reação de apoio com uma carga de P = 1kN no ponto onde quero 
o valor da deformação (Método da carga Unitária). Nesse exemplo quero a saber o valor da 
deformação na seção C (meio da viga). Figura 23. 
 
 
26 
 
 
Figura 23 – A viga com a carga virtual de P = 1 kN na seção C. 
 
 
Figura 24 – Diagrama de momento fletor devido a carga virtual de P = 1 kN na seção C. 
 
3º Passo: Cálculo de : 
Fazendo a multiplicação dos dois momentos fletores para cada barra. 
 
Barra 1: Igual a zero (multiplicar parábola do 2º grau com zero = 0). 
 x 
 
Barra 2: Na barra 2 os diagramas de momentos fletores são: 
 
 
Na barra onde há carga distribuída, tem que decompor a figura geométrica, por não 
haver essa figura na tabela de Kurt Beyer. Decompondo a figura geométrica fica um retângulo 
+ triangulo com uma parábola do 2º grau (q l2 / 8), conforme a figura abaixo. 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
Multiplicar o retângulo com o triangulo + Multiplicar o triangulo com o triangulo + 
Multiplicar a parábola do 2º grau com o triangulo. 
Usando a tabela de Kurt Beyer vejo as equações das multiplicações dos momentos. 
Retângulo com triangulo: 
Na primeira coluna com a segunda linha encontraremos a equação: 
1
2
 𝐿 𝑀 𝑀 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
2
 𝐿 𝑀 𝑀 
 
Onde: 
L’ = 2 m (comprimento da barra 2) 
M = -1 kNm (momento do triangulo) 
M = -33,75 kNm (momento do retângulo) 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
 
 
28 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
2
 𝑥 2 𝑥 (1) [(−33,75)] = −0,00054 𝑚 
Triangulo com triangulo: 
Na segunda coluna com a segunda linha encontraremos a equação: 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
Onde: 
L’ = 2 m (comprimento da barra 2) 
M = -1 kNm (momento do triangulo) 
M = 56,88 kNm (momento do triangulo) 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
𝑥 2 𝑥 1 𝑥 56,88 = 0,00060672 𝑚 
 
Parábola do 2º com triangulo: 
Na segunda coluna com a quinta linha encontraremos a equação: 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
Onde: 
L’ = 2 m (comprimento da barra 2) 
M = -1 kNm (momento do triangulo) 
M = 15 kNm (momento ql2/8) 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
𝑥 2 𝑥 1 𝑥 15 = 0,00016 𝑚 
 
Calculando a deformação para a barra 2, temos: 
𝛿 = −0,00054 + 0,00060672 + 0,00016 = 0,00022672 𝑚 
 
 
 
29 
 
Barra 3: Na barra 3 os diagramas de momentos fletores são: 
 
 
Na barra onde há carga distribuída, a figura do momento fletor é uma parábola do 2º. 
Como não há essa figura na tabela Kurt Beyer, devemos decompor. Decompondo essa figura 
geométrica fica: 
 
Um retângulo + triangulo com uma parábola do 2º grau (q l2 / 8), conforme mostra a 
figura abaixo. Como foi feito na barra 2. 
 
 
 
 
Multiplicar o retângulo com o triangulo + Multiplicar o triangulo com o triangulo + 
Multiplicar a parábola do 2º grau com o triangulo. 
 
 
30 
 
Usando a tabela de Kurt Beyer vejo as equações das multiplicações dos momentos. 
Retângulo com triangulo: 
Na primeira coluna com a segunda linha encontraremos a equação: 
1
2
 𝐿 𝑀 𝑀 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
2
 𝐿 𝑀 𝑀 
 
Onde: 
L’ = 2 m (comprimento da barra 3) 
M = -1 kNm (momento do triangulo) 
M = -40 kNm (momento do retângulo) 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
2
 𝑥 2 𝑥 (1) [(−40,00)] = −0,00064 𝑚 
 
Triangulo com triangulo: 
Na segunda coluna com a segunda linha encontraremos a equação: 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
 
Onde: 
L’ = 2 m (comprimento da barra 3) 
M = -1 kNm (momento do triangulo) 
M = 63,13 kNm (momento do triangulo) 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
𝑥 2 𝑥 1 𝑥 63,13 = 0,000673386 𝑚 
 
Parábola do 2º com triangulo: 
 
 
31 
 
Na segunda coluna com a quinta linha encontraremos a equação: 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
 𝐿 𝑀 𝑀 
 
Onde: 
L’ = 2 m (comprimento da barra 3) 
M = -1 kNm (momento do triangulo) 
M = 15 kNm (momento ql2/8) 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
3
𝑥 2 𝑥 1 𝑥 15 = 0,00016 𝑚 
 
Calculando a deformação para a barra 2, temos: 
𝛿 = −0,00064 + 0,000673386 + 0,00016 = 0,000193386 𝑚 
 
Barra 4: Igual a zero (multiplicar triangulo com zero = 0). 
 x 
 
Temos a deformação no meio do vão da viga (seção C): 
𝛿 = 𝛿 + 𝛿 + 𝛿 + 𝛿 
𝛿 = 0 + 0,00022672 + 0,000193386 + 0 
𝛿 = 0,000420106 𝑚 
 
Na Figura 25 é o resultado dessa viga pelo programa Ftool. Observa-se que o resultado 
deu Dy = -4,200 e-4m. 
 
 
 
32 
 
 
 
Figura 25 – Resultado do Programa Ftool. Deformação 
Dy = 4,200 e-004m na seção C (veio da viga). 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Exemplo 5: Calcular a deformação no final da viga em balanço (seção B). Conforme 
mostra a Figura 26. 
Dados: 
Seção da viga: 0,40 m x 0,80 m (b x h) 
E = 2,3 x 106 kN/m2 
 
 
Figura 26 – Viga isostática em balanço. Com carregamento de 30kN e comprimento 5m. 
 
Já calculando o Momento de Inércia e o Módulo de Elasticidade (produto de rigidez a 
flexão), temo: 
Onde I = bh3/12 = 0,017067 m4 
EI = 39253,33 kNm2 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoios e desenhar o diagrama de momento fletor. 
Como pode ser visto na Figura 27. 
 
 
Figura 27 – Diagrama de momento fletor. 
 
2º Passo: Calcular a reação de apoio com uma carga de P = 1kN no ponto onde quero 
o valor da deformação (Método da carga Unitária). Nesse exemplo quero a saber o valor da 
deformação na seção B (final do balanço). Como mostra as Figuras 28 e 29. 
 
 
34 
 
 
Figura 28 – A viga com a carga virtual de P = 1 kN na seção B. 
 
 
Figura 29 – Diagrama de momento fletor devido a carga virtual de P = 1 kN na seção B. 
 
3º Passo: Cálculo de : 
Fazendo a multiplicação dos dois momentos fletores. 
 
 x 
 
Multiplicação de a parábola do 2º grau com o triângulos, temos: 
Usando a tabela de Kurt Beyer vejo a equação da multiplicação dos dois momentos. 
Observe que a maior altura de um triângulo tem que casar com a maior altura da parábola 
do 2º grau. 
Na segunda coluna com a oitava linha encontraremos a equação: 
1
4
 𝐿 𝑀 𝑀 
 
 
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos: 
 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
4
 𝐿 𝑀𝑀 
 
 
 
35 
 
Onde: 
L’ = 5 m (comprimento da barra) 
M = -5 kNm (momento do triangulo) 
M = -375 kNm (momento da parábola do 2º grau) 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez a flexão). 
𝛿 =
1
𝐸 𝐼
 
1
4
𝑥 1 𝑥(−5 ) 𝑥 (−375) = 0,059708 𝑚 
 
Na Figura 30 é o resultado dessa viga pelo programa Ftool. Observa-se que o resultado 
deu Dy = -5,971 e-2m. 
 
 
 
Figura 30 – Resultado do Programa Ftool. Deformação 
Dy = -5,971 e-002m na seção B (final do balanço). 
 
 
 
 
36 
 
Exemplo 6: Calcular o deslocamento vertical no meio do vão AB (seção S) da viga 
biapoiada. Conforme mostra a Figura 31. Calcular por integral(sem usar a tabela de Kurt 
Beyer). 
Dados: 
Seção da viga: 250 mm x 500 mm (b x h) 
E = 2,0 x 106 kN/m2 
 
 
Figura 31 – Viga isostática em balanço. Com carregamento de 30kN e comprimento 5m. 
 
Já calculando o Momento de Inércia e o Módulo de Elasticidade (produto de rigidez a 
flexão), temo: 
Onde I = bh3/12 = 0,25 x 0,503 / 12 = 0,002604167m4 
EI = 5208,333333 kNm2 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoios e desenhar o diagrama de momento fletor. 
Como pode ser visto na Figura 32. 
 
 
Figura 32 – Diagrama de momento fletor. 
 
 
 
37 
 
2º Passo: Calcular a reação de apoio com uma carga de P = 1kN no ponto onde quero 
o valor da deformação (Método da carga Unitária). Nesse exemplo quero a saber o valor da 
deformação na seção S (meio do vão). Como mostra as Figuras 33 e 34. 
 
Figura 33 – A viga com a carga virtual de P = 1 kN na seção S. 
 
 
Figura 34 – Diagrama de momento fletor devido a carga virtual de P = 1 kN na seção S. 
 
3º Passo: Cálculo de : 
Tomando a origem de x em A, a equação de esforços no trecho AB é: 
𝑀 (𝑥) = 𝑉 𝑥 − 7,5 (𝑥 + 1,5) 
𝑀 (𝑥) = 7,71 𝑥 − 7,5 (𝑥 + 1,5)  0 ≤ 𝑥 ≤ 4,4 𝑚 
 
Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações 
de esforços: 
𝑀 (𝑥) = 0,5 𝑥  0 ≤ 𝑥 ≤ 2,2 𝑚 
𝑀 (𝑥) = 0,5 𝑥 − 1(𝑥 − 2,2)  2,2 ≤ 𝑥 ≤ 4,4 𝑚 
 
Assim o descolamento no meio do vão é: 
𝐸𝐼 𝛿 = [(7,71 𝑥 − 7,5 (𝑥 + 1,5)]
,
 (0,5 𝑥 )𝑑𝑥 + [7,71 𝑥 − 7,5 (𝑥 + 1,5)](−0,5 + 2,2)𝑑𝑥
,
,
 
𝐸𝐼 𝛿 = −26,10696 
 𝛿 = 
−26,10696
5208,333333
= −0,00501 𝑚 
Deu negativo, o sentido do descolamento é para cima. 
O deslocamento vertical no meio do vão é de 0,00501 m para cima. 
 
 
38 
 
Na Figura 35 é o resultado dessa viga pelo programa Ftool. Observa-se que o resultado 
deu Dy = 5,016 mm. 
 
 
 
Figura 35 – Resultado do Programa Ftool. Deformação 
Dy = 5,016 mm na seção S (meio do vão). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Exercícios Propostos: 
 
1) Calcular a deformação na seção A. Considerar EI = 63800 kN/m2. 
 
 
Resposta: 
 
2) Calcular a deformação na seção C. Considerar E = 2.0e+07 kN/m2 e a seção da 
viga = 0,30 x 0,50 m. 
 
Resposta: 
 
3) Calcular a deformação no meio do pórtico (2,50m). Considerar EI = 1.0e+08 
kN/m2. 
 
 
Resposta: 
 
 
 
40 
 
 
4) Calcular o deslocamento vertical no meio do vão da viga biapoiada. 
Dados: 
Seção da viga: 250 mm x 500 mm (b x h) 
E = 2,0 x 106 kN/m2 
 
 
Resposta: 
 
 
5) Calcular a deformação no meio do vão da viga (seção S). Considerar 5208,33kNm2. 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
41 
 
REFERÊNCIAS 
Luiz Fernando Martha ., Análise de Estruturas - Cap. 7. 
 
Sussekind, J. C. Curso de Análise Estrutural - vol. 2. Cap. 1. 
 
Jack C. Mc Cormac. Análise Estrutural. Cap. 11 até 13.