Aritmética e Teoria dos Números 3

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1Ao calcular o MDC de dois números, encontramos como resultado 50. Utilizando o Algoritmo de Euclides para realizar o cálculo, os quocientes foram, 1, 2, 1 e 3 (em ordem). Determine os dois números desconhecidos e assinale a alternativa CORRETA:
A
650 e 950.
B
125 e 275.
C
750 e 550.
D
550 e 650.
2Um resultado interessante sobre a teoria das congruências é o Teorema do Resto Chinês, publicado pelo matemático chinês Sun Tsu. O teorema nos permite resolver sistemas de congruência, apesar de ser possível resolver por meio de várias substituições. Utilizando o teorema, determine qual o menor número x que é solução do sistema de congruências:
A
x = 190.
B
x = 211.
C
x = 126.
D
x = 311.
3Quando estamos representando números na base dez, temos dez algarismos. De forma análoga, na base cinco trabalhamos apenas com cinco algarismos (0, 1, 2, 3 e 4) e a mudança de base pode ser feita através da expansão (divisão euclidiana sucessiva). Portanto, a representação do número 549 na base cinco pode ser representada por:
A
4414.
B
4140.
C
4441.
D
4144.
4Um sistema completo de resíduos é um conjunto que apresenta por meio de números todos os possíveis restos da divisão por um certo número. Determine quais dos conjuntos são sistemas completos de restos módulo 4:
A
{-2, -1, 0, 1}.
B
{0, 4, 8, 12}.
C
{-5, 0, 6, 22}.
D
{-4, 0, 5, 22}.
5Considerando relação dividendo = divisor . quociente + resto, determine o quociente em uma divisão, com os seguintes critérios: aumentando 30 unidades ao dividendo e 3 unidades ao divisor, o quociente e o resto não se alteram. Qual o quociente procurado?
A
O quociente é o número 10.
B
Adicionando valores ao divisor sempre resultará em restos diferentes.
C
Adicionando valores ao dividendo sempre resultará em quocientes diferentes.
D
O quociente é o número 17.
6A potência do número inteiro é definida como um produto de n fatores iguais. O número recebe o nome de base e n é o expoente. Considerando a potenciação de números inteiros e suas propriedades, observe as informações da imagem e analise as sentenças a seguir. Depois, assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I e II estão corretas.
B
As sentenças I e III estão corretas.
C
As sentenças II e III estão corretas.
D
Somente a sentença I está correta.
7Para determinar o MMC de dois ou mais números, podemos realizar a fatoração simultânea, semelhante ao processo que realizamos na determinação do MDC. Porém, há outra forma de determinar o MMC, usando o MDC e o Algoritmo de Euclides. Seguindo a proposição que nos diz: "dados dois números naturais a e b não nulos, temos que MMC (a, b) existe e MMC (a, b) . mdc (a, b) = a.b".  Com base nessas informações, determine o MMC de 24 e 36 e analise as sentenças a seguir:
I- Utilizando o algoritmo de Euclides, teremos como quociente 1 e 4.
II- O MDC é 12.
III- O MMC (a, b) = 72.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças II e III estão corretas.
B
As sentenças I e II estão corretas.
C
Somente a sentença II está correta.
D
Somente a sentença I está correta.
8A noção de congruência foi desenvolvida por Gauss, cuja definição nos diz que "dois números inteiros a e b são congruentes módulo m (m > 0) se os restos de suas divisões euclidianas por m são iguais". Considerando uma incongruência módulo m, analise as sentenças a seguir:
A
As sentenças I e II estão corretas.
B
As sentenças II e IV estão corretas.
C
As sentenças I, III e IV estão corretas.
D
As sentenças II e III estão corretas.
9Pierre de Fermat foi um matemático francês que possuía como primeira formação o direito. Apesar disso, trouxe muitas contribuições para matemática e alguns enigmas, entre eles, temos o pequeno teorema de Fermat, em que, se p é um número primo e p não divide a, então, a elevado a p - 1 e congruente a 1 módulo p. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resto da divisão de 2 elevando a 2020 por 7:
A
O resto 7.
B
O resto 1.
C
O resto 2.
D
O resto 4.
10A identidade de Bézout é utilizada na resolução de equações diofantinas lineares. O teorema nos diz que podemos escrever o MDC de números como combinação linear desses números. Então, existem s e t inteiros, tais que d = s . a + t . b. Sendo assim, analise a equação diofantina 57x - 99y = 77 e assinale a alternativa CORRETA:
A
O MDC (57, 99) = 3, logo podemos simplificar os coeficientes do x e y por 3, e utilizando o Algoritmo de Euclides, calculamos s e t.
B
O MDC (57, 99) = 3, logo podemos simplificar cada membro da equação por 3.
C
A equação não possui solução, pois o MMC (57, 99) não divide 77.
D
A equação não possui solução, pois o MDC (57, 99) = 3, e 3 não divide 77.