ARITMÉTICA E TEORIA DOS NUMEROS AULA III

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1A potência do número inteiro é definida como um produto de n fatores iguais. O número recebe o nome de base e n é o expoente. Considerando a potenciação de números inteiros e suas propriedades, observe as informações da imagem e analise as sentenças a seguir. Depois, assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença I está correta.
B
As sentenças II e III estão corretas.
C
As sentenças I e II estão corretas.
D
As sentenças I e III estão corretas.
2A noção de congruência foi desenvolvida por Gauss, cuja definição nos diz que "dois números inteiros a e b são congruentes módulo m (m > 0) se os restos de suas divisões euclidianas por m são iguais". Considerando uma incongruência módulo m, analise as sentenças a seguir:
A
As sentenças II e III estão corretas.
B
As sentenças I e II estão corretas.
C
As sentenças I, III e IV estão corretas.
D
As sentenças II e IV estão corretas.
3Um sistema completo de resíduos é um conjunto que apresenta por meio de números todos os possíveis restos da divisão por um certo número. Determine quais dos conjuntos são sistemas completos de restos módulo 4:
A
{-4, 0, 5, 22}.
B
{-2, -1, 0, 1}.
C
{-5, 0, 6, 22}.
D
{0, 4, 8, 12}.
4Em um estacionamento, o valor pago pela diária de um automóvel é de R$ 18,00, já para a diária de uma moto, o valor cai para R$ 12,00. Se ao final do dia o proprietário contabilizou R$ 2652,00, qual foi a quantidade de veículos, entre carros e motos, que passou pelo estacionamento (considere que teve mais carros do que motos)?
A
O menor valor de t que satisfaz o problema é 𝑡 = -176, substituindo, encontramos 90 carros e 86 motos.
B
Passaram pelo estacionamento 176 veículos, o que corresponde a 86 carros e 90 motos.
C
A equação não admite solução geral, pois 18 e 12 não são primos entre si.
D
O menor valor de t que satisfaz o problema é 𝑡 = -175, substituindo, encontramos 92 carros e 86 motos.
5A união do conjunto dos números naturais com os números inteiros não positivos resulta no conjunto denominado de Conjunto dos Números Inteiros. Simbolicamente, escrevemos:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
De acordo com as definições e propriedades dos números inteiros, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O conjunto dos números inteiros não nulos é um subconjunto dos inteiros.
(    ) A operação de adição está bem definida, isto é, para cada par de números inteiros a e b existe um único inteiro c, denominado relação de ordem, que é representado por c = a + b.
(    ) Lei do Corte: se a + c = b + c, então a = b
(    ) O conjunto dos números inteiros não pode ser representado geometricamente.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - F - F.
B
F - V - V - V.
C
V - F - V - F.
D
F - F - V - V.
6Pierre de Fermat foi um matemático francês que possuía como primeira formação o direito. Apesar disso, trouxe muitas contribuições para matemática e alguns enigmas, entre eles, temos o pequeno teorema de Fermat, em que, se p é um número primo e p não divide a, então, a elevado a p - 1 e congruente a 1 módulo p. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resto da divisão de 2 elevando a 2002 por 101:
A
O resto 4.
B
O resto 2.
C
O resto 1.
D
O resto 6.
7O Teorema Chinês dos Restos é uma ferramenta muito útil na resolução de sistemas de congruências, que surgiu com o intuito de resolver alguns problemas relativos à astronomia. Determine qual o número x que deixa resto 3, 5 e 7, respectivamente, quando divididos por 5, 7, 11. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a menor solução possível:
A
x = 418.
B
x = 348.
C
x = 208.
D
x = 313.
8Os sistemas decimal, hexadecimal, octal e binário são os sistemas de numeração mais comuns, sob o ponto de vista computacional (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2018). Contudo o sistema octal deu lugar ao sistema hexadecimal, devido às atuais necessidades dos recursos computacionais. De acordo com as características do sistema octal, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Quantidade de símbolos admissíveis: 8.
(    ) Símbolos admissíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
(    ) A conversão do valor 5461 na base 8 para a base decimal resulta em 2863.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
FONTE: TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2018.
A
V - F - V.
B
F - F - V.
C
F - V - F.
D
V - F - F.
9Quando estamos utilizando o conceito de MDC, uma proposição bastante útil nos diz que, multiplicando os números a e b por um valor k, seu MDC também fica multiplicado por k. Sendo assim, determine todos os possíveis números naturais cujo produto é 2400 e MDC é 10.
A
10 e 240 ou 20 e 24.
B
20 e 24 ou 40 e 60.
C
10 e 240 ou 30 e 80.
D
20 e 24 ou 30 e 80.
10Considere a propriedade geral do MDC, conhecida por Teorema de Bézout: dados os inteiros a e b, existem inteiros x e y tais que MDC (a, b) = ax + by = m. Encontre pelo menos uma forma de escrever o MDC (325, 105) como combinação linear de outros dois números inteiros e assinale a alternativa CORRETA:
A
A combinação linear procurada é: MDC (325, 105) = 31 . 105 - 10 . 325 = 5.
B
A combinação linear procurada é: MDC (325, 105) = -10 . 325 - 31 . 105 = 5
C
A combinação linear procurada é: MDC (325, 105) = 10 . 325 - 31 . 105 = 5.
D
A combinação linear procurada é: MDC (325, 105) = 31 . 105 + 10 . 325 = 5.