AVALIAÇÃO 2 - Estruturas de Pontes

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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Câmpus Universitário de Sinop 
FACET – Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
CARINA TRAMONTIN 
DANIELLA NEIA DE FREITAS 
LUANA ELIZETE SOARES MEYER 
MARIMAR CAVALCANTE DUARTE 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO II – ESTRUTURAS DE PONTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SINOP – MT 
2021/2 
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Câmpus Universitário de Sinop 
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Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
Trechos 
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• Ações permanentes 
 
Defensas: 
𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 
𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = �(0,75 ∙ 0,15) + (0,65 ∙ 0,15) + �
0,15 ∙ 0,15
2 �
� ∙ 25 
𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 5,53125 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚 
 
Longarinas: 
𝑃𝑃𝑙𝑙𝑐𝑐𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑+𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑 = �𝐴𝐴𝑙𝑙𝑐𝑐𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐴𝐴𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑� ∙ 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 
𝑃𝑃𝑙𝑙𝑐𝑐𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑+𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑 = �(4,35 ∙ 0,25) + (1,75 ∙ 0,25) + 2 ∙ �
0,2 ∙ 1,15
2
� + 2 ∙ �(0,3 ∙ 0,1) + �
0,1 ∙ 0,1
2
��� ∙ 25 
𝑃𝑃𝑙𝑙𝑐𝑐𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑+𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑 = 45,625 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚 
 
Regularização da laje: espessura de 7 cm na pista de rolamento 
𝑃𝑃𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑟𝑟𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑟𝑟𝑑𝑑çã𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 ∙ 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐𝑙𝑙𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑠𝑠𝑠𝑠𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑 
𝑃𝑃𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑟𝑟𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑟𝑟𝑑𝑑çã𝑐𝑐 = [(4,35 − 0,75) ∙ 0,07] ∙ 24 
𝑃𝑃𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑟𝑟𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑟𝑟𝑑𝑑çã𝑐𝑐 = 6,048 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚 
 
Pavimentação: concreto simples, abaulamento de 2%, espessura de 5 cm 
 
Usando uma altura de 15 cm para garantir maior segurança: 
𝑃𝑃𝑠𝑠𝑑𝑑𝑝𝑝𝑙𝑙𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑çã𝑐𝑐 = ��
0,05 + 0,15
2 �
∙ (4,35 − 0,75)� ∙ 24 
𝑃𝑃𝑠𝑠𝑑𝑑𝑝𝑝𝑙𝑙𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑çã𝑐𝑐 = 8,64 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚 
Cargas distribuídas: 
 
𝑷𝑷𝑷𝑷𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒕𝒕 + 𝑷𝑷𝒕𝒕𝒕𝒕𝒅𝒅𝒍𝒍𝒕𝒕𝒍𝒍𝒍𝒍𝒅𝒅𝒕𝒕+𝒕𝒕𝒕𝒕𝒍𝒍𝒅𝒅 + 𝑷𝑷𝒍𝒍𝒅𝒅𝒍𝒍𝒓𝒓𝒕𝒕𝒕𝒕𝒍𝒍𝒍𝒍𝒓𝒓𝒕𝒕çã𝒕𝒕 + 𝑷𝑷𝒑𝒑𝒕𝒕𝒑𝒑𝒍𝒍𝒑𝒑𝒅𝒅𝒅𝒅𝒕𝒕𝒕𝒕çã𝒕𝒕 
𝑷𝑷𝑷𝑷𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 + 𝟒𝟒𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟓𝟓𝟓𝟓 + 𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟒𝟒𝟎𝟎 + 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟒𝟒 
𝑷𝑷𝑷𝑷𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 = 𝟔𝟔𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒑𝒑 
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Transversina de extremidade: 
𝑃𝑃𝑇𝑇𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 
𝑃𝑃𝑇𝑇𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = �(0,25 ∙ 1,75) + 2 ∙ �
1,15 ∙ 0,2
2 �
� ∙ 25 
𝑃𝑃𝑇𝑇𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 16,6875 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚 
𝑃𝑃𝑇𝑇𝐸𝐸 = 16,6875 ∙ 2,45 
𝑃𝑃𝑇𝑇𝐸𝐸 = 40,884375 𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
Transversina central: 
𝑃𝑃𝑇𝑇𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴𝑇𝑇𝐶𝐶 ∙ 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 
𝑃𝑃𝑇𝑇𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = �(0,25 ∙ 1,35) + 2 ∙ �
1,15 ∙ 0,2
2 �
� ∙ 25 
𝑃𝑃𝑇𝑇𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 14,1875 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚 
𝑃𝑃𝑇𝑇𝐶𝐶 = 14,1875 ∙ 2,45 
𝑃𝑃𝑇𝑇𝐶𝐶 = 34,759375 𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
Cortina: 
𝑃𝑃𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 
𝑃𝑃𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = �(0,6 ∙ 0,3) + (0,25 ∙ 1,45) + (0,35 ∙ 0,2) + �
0,2 ∙ 0,1
2 �
+ �
1,15 ∙ 0,2
2 �
� ∙ 25 
𝑃𝑃𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 18,4375 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚 
𝑃𝑃𝐶𝐶 = 18,4375 ∙ �
8,70 − 0,50
2 �
 
𝑃𝑃𝐶𝐶 = 75,59375 𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
Abas: 
𝑃𝑃𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 ∙ 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 
𝑃𝑃𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = �(1,2 ∙ 2,85) + (0,93 ∙ 1,6) + �
1,6 ∙ 1,92
2 �
� ∙ 25 
𝑃𝑃𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 161,10 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚 
𝑃𝑃𝐴𝐴 = 161,10 ∙ 0,25 
𝑃𝑃𝐴𝐴 = 40,275 𝑘𝑘𝑘𝑘 
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Cargas pontuais: 
 
Carga pontual das transversinas de apoio: 𝑷𝑷𝑻𝑻𝑻𝑻 = 𝟒𝟒𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟒𝟓𝟓𝟖𝟖𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 
Carga pontual da transversina central: 𝑷𝑷𝑻𝑻𝑻𝑻 = 𝟓𝟓𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟓𝟓𝟕𝟕𝟓𝟓𝟖𝟖𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 
Carga pontual da aba e da cortina (extremidades): 𝑷𝑷𝑨𝑨+𝑻𝑻 = 𝑷𝑷𝑨𝑨 + 𝑷𝑷𝑻𝑻 = 𝟒𝟒𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟖𝟖𝟓𝟓 +
𝟖𝟖𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟕𝟕𝟓𝟓𝟖𝟖𝟓𝟓 → 𝑷𝑷𝑨𝑨+𝑻𝑻 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟔𝟔𝟎𝟎𝟖𝟖𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 
 
Diagrama dos esforços solicitantes: 
 
𝑅𝑅𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝑅𝑅𝑉𝑉𝑉𝑉 =
(𝑃𝑃𝐴𝐴+𝐶𝐶 ∙ 2) + (𝑃𝑃𝑇𝑇𝐸𝐸 ∙ 2) + 𝑃𝑃𝑇𝑇𝐶𝐶 + (𝑃𝑃𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑙𝑙 ∙ 𝐿𝐿)
2
 
𝑅𝑅𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝑅𝑅𝑉𝑉𝑉𝑉 =
(115,87 ∙ 2) + (40,88 ∙ 2) + 34,76 + (65,84 ∙ 31,85)
2
 
𝑅𝑅𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝑅𝑅𝑉𝑉𝑉𝑉 = 1222,7 𝑘𝑘𝑘𝑘 (utilizando valores inteiros, sem aproximações) 
 
Diagrama de esforço cortante: 
 
 
Diagrama de esforço cortante – trecho a trecho: 
 
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Diagrama de momento fletor: 
 
 
Diagrama de momento fletor – trecho a trecho: 
 
 
• Ações variáveis 
 
Carga de veículo: 
 
 
1,0
5,15
=
𝑦𝑦1
6,15
→ 𝑦𝑦1 = 1,19 
1,0
5,15
=
𝑦𝑦1
4,15
→ 𝑦𝑦1 = 0,81 
𝑉𝑉𝑠𝑠 = (𝑃𝑃𝑙𝑙𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑦𝑦1) + (𝑃𝑃𝑙𝑙𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑 ∙ 𝑦𝑦2) 
𝑉𝑉𝑠𝑠 = (75 ∙ 1,19) + (75 ∙ 0,81) 
𝑉𝑉𝑠𝑠 = 150 𝑘𝑘𝑘𝑘 (usando valores inteiros, sem aproximações) 
 
 
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Carga de multidão na faixa do trem-tipo: 
 
 
1,0
5,15
=
𝑦𝑦3
3,65
→ 𝑦𝑦3 = 0,71 
𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑 ∙ 𝐴𝐴 
𝑉𝑉𝑠𝑠 = 5 ∙ �
0,7 ∙ 3,65
2 �
 
𝑉𝑉𝑠𝑠 = 6,46723301 𝑘𝑘𝑘𝑘 (usando valores inteiros, sem aproximações) 
 
Cargas de multidão fora da faixa do trem-tipo: 
 
 
Situação mais crítica: carregamento assimétrico 
 
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1,0
5,15
=
𝑦𝑦4
6,6
→ 𝑦𝑦4 = 1,28 
1,0
5,15
=
𝑦𝑦5
6,15
→ 𝑦𝑦5 = 1,19 
𝑉𝑉𝑑𝑑 = 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑙𝑙𝑑𝑑𝑐𝑐 ∙ 𝐴𝐴 
𝑉𝑉𝑑𝑑 = �3,0 ∙ ��
1,19 + 1,28
2 �
∙ 0,45�� + ��
1,19 ∙ 6,15
2 �
∙ 5,0� 
𝑉𝑉𝑑𝑑 = 20,0315534 𝑘𝑘𝑘𝑘 (usando valores inteiros, sem aproximações) 
 
Carregamentos do trem-tipo: 
 
 
 
• Linhas de influência – Esforço cortante 
 
 
𝑄𝑄0𝑠𝑠í𝑑𝑑 = −150 ∙ 1 
𝑸𝑸𝟎𝟎𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟓𝟓𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 
 
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𝑄𝑄1𝑠𝑠í𝑑𝑑 = [−150 ∙ (1 + 1)] + (−6,47 ∙ 2,2375) 
𝑸𝑸𝟓𝟓𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟓𝟓𝟓𝟓𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando valores inteiros) 
 
 
𝑄𝑄2𝐸𝐸𝑠𝑠í𝑑𝑑 = [−150 ∙ (1 + 1 + 1)] + (−6,47 ∙ 4,475) 
𝑸𝑸𝟓𝟓𝑻𝑻𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟒𝟒𝟖𝟖𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando valores inteiros) 
 
 
b1 c1 d1 
a2 b2 
a1 
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0,19
4,475
=
𝑎𝑎1
1,5
→ 𝑎𝑎1 ≈ 0,06 
1
22,9
=
𝑏𝑏1
21,4
→ 𝑏𝑏1 ≈ 0,93 
1
22,9
=
𝑐𝑐1
19,9
→ 𝑐𝑐1 ≈ 0,87 
1
22,9
=
𝑑𝑑1
18,4
→ 𝑑𝑑1 ≈ 0,80 
𝑄𝑄2𝐷𝐷𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ �
2,975 ∙ (0,06 + 0,19)
2
+
0,8 ∙ 18,4
2
��+ �6,47 ∙ �
1,5 ∙ 0,06
2
+
4,5 ∙ (1 + 0,80
2
�� + [150 ∙ (1 + 0,93 + 0,87)] 
𝑸𝑸𝟓𝟓𝟐𝟐𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟓𝟓,𝟕𝟕𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
0,19
4,475
=
𝑎𝑎2
1,5
→ 𝑎𝑎2 ≈ 0,06 
0,19
4,475
=
𝑏𝑏2
3,0
→ 𝑏𝑏2 ≈ 0,13 
𝑄𝑄2𝐷𝐷𝑠𝑠í𝑑𝑑 = �−6,47 ∙
4,475 ∙ 0,19
2 �
+ [−150 ∙ (0,19 + 0,06 + 0,13)] 
𝑸𝑸𝟓𝟓𝟐𝟐𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟔𝟔𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
 
0,9
20,61
= 𝑑𝑑1
19,11
→ 𝑎𝑎1 ≈ 0,83 
0,9
20,61=
𝑏𝑏1
17,61
→ 𝑏𝑏1 ≈ 0,77 
0,9
20,61
=
𝑐𝑐1
16,11
→ 𝑐𝑐1 ≈ 0,70 
a1 b1 c1 
a2 b2 
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𝑄𝑄3𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ �
4,475 ∙ 0,19
2
+
0,7 ∙ 16,11
2
�� + �6,47 ∙ �
4,5 ∙ (0,9 + 0,7
2
�� + [150 ∙ (0,9 + 0,83 + 0,77)] 
𝑸𝑸𝟓𝟓𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
0,19
4,475
=
𝑎𝑎2
1,5
→ 𝑎𝑎2 ≈ 0,06 
0,19
4,475
=
𝑏𝑏2
3,0
→ 𝑏𝑏2 ≈ 0,13 
𝑄𝑄3𝑠𝑠í𝑑𝑑 = �−6,47 ∙ �
4,475 ∙ 0,19
2 �� + �−20,03 ∙ �
0,1 ∙ 2,29
2 �
� + [−150 ∙ (0,19 + 0,06 + 0,13)] 
𝑸𝑸𝟓𝟓𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟔𝟔𝟓𝟓,𝟕𝟕𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
 
0,8
18,32
=
𝑎𝑎1
16,82
→ 𝑎𝑎1 ≈ 0,73 
0,8
18,32
=
𝑏𝑏1
15,32
→ 𝑏𝑏1 ≈ 0,67 
0,8
18,32
=
𝑐𝑐1
13,82
→ 𝑐𝑐1 ≈ 0,60 
𝑄𝑄4𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ �
4,475 ∙ 0,19
2
+
13,82 ∙ 0,6
2
�� + �6,47 ∙ �
4,5 ∙ (0,8 + 0,6)
2
�� + [150 ∙ (0,8 + 0,73 + 0,67)] 
𝑸𝑸𝟒𝟒𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
0,2
4,58
=
𝑎𝑎2
3,08
→ 𝑎𝑎2 ≈ 0,13 
b2 a2 
a1 b1 c1 
c2 
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0,2
4,58
=
𝑏𝑏2
1,58
→ 𝑏𝑏2 ≈ 0,07 
0,2
4,58
=
𝑐𝑐2
0,08
→ 𝑐𝑐2 ≈ 0,0035 
𝑄𝑄4𝑠𝑠í𝑑𝑑 = �−20,03 ∙ �
0,19 ∙ 4,475
2 +
0,0035 ∙ 0,08
2 �� + �−6,47 ∙
4,5 ∙ (0,2 + 0,0035)
2 � +
[−150 ∙ (0,2 + 0,13 + 0,07)] 
𝑸𝑸𝟒𝟒𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟖𝟖𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
 
0,7
16,03
=
𝑎𝑎1
14,53
→ 𝑎𝑎1 ≈ 0,63 
0,7
16,03
=
𝑏𝑏1
13,03
→ 𝑏𝑏1 ≈ 0,57 
0,7
16,03
=
𝑐𝑐1
11,53
→ 𝑐𝑐1 ≈ 0,50 
𝑄𝑄5𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ �
0,19 ∙ 4,475
2
+
0,5 ∙ 11,53
2
�� + �6,47 ∙ �
4,5 ∙ (0,7 + 0,5)
2 ��
+ [150 ∙ (0,7 + 0,63 + 0,57)] 
𝑸𝑸𝟓𝟓𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟔𝟔𝟕𝟕,𝟕𝟕𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
0,3
6,87
=
𝑎𝑎2
5,37
→ 𝑎𝑎2 ≈ 0,23 
0,3
6,87
=
𝑏𝑏2
3,87
→ 𝑏𝑏2 ≈ 0,17 
0,3
6,87
=
𝑐𝑐2
2,37
→ 𝑐𝑐2 ≈ 0,10 
𝑄𝑄5𝑠𝑠í𝑑𝑑 = �−20,03 ∙ �
0,1 ∙ 2,37
2
+
0,19 ∙ 4,475
2
�� + �−6,47 ∙ �
4,5 ∙ (0,3 + 0,1)
2 ��
+ [−150 ∙ (0,3 + 0,23 + 0,17)] 
a1 b1 c1 
a2 b2 c2 
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𝑸𝑸𝟓𝟓𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
 
0,6
13,74
=
𝑎𝑎1
12,24
→ 𝑎𝑎1 ≈ 0,53 
0,6
13,74
=
𝑏𝑏1
10,74
→ 𝑏𝑏1 ≈ 0,47 
0,6
13,74
=
𝑐𝑐1
9,24
→ 𝑐𝑐1 ≈ 0,40 
𝑄𝑄6𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ �
0,19 ∙ 4,475
2
+
0,4 ∙ 9,24
2
�� + �6,47 ∙ �
4,5 ∙ (0,6 + 0,4)
2 ��
+ [150 ∙ (0,6 + 0,53 + 0,47)] 
𝑸𝑸𝟔𝟔𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
0,4
9,16
=
𝑎𝑎2
7,66
→ 𝑎𝑎2 ≈ 0,33 
0,4
9,16
=
𝑏𝑏2
6,16
→ 𝑏𝑏2 ≈ 0,27 
0,4
9,16
=
𝑐𝑐2
4,66
→ 𝑐𝑐2 ≈ 0,20 
𝑄𝑄6𝑠𝑠í𝑑𝑑 = �−20,03 ∙ �
0,2 ∙ 4,66
2
+
0,19 ∙ 4,475
2
�� + �−6,47 ∙ �
4,5 ∙ (0,4 + 0,2)
2 ��
+ [−150 ∙ (0,4 + 0,33 + 0,27)] 
𝑸𝑸𝟔𝟔𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟓𝟓𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟓𝟓𝟔𝟔 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
a1 b1 c1 
a2 b2 c2 
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0,5
11,45
=
𝑎𝑎1
9,95
→ 𝑎𝑎1 ≈ 0,43 
0,5
11,45
=
𝑏𝑏1
8,45
→ 𝑏𝑏1 ≈ 0,37 
0,5
11,45
=
𝑐𝑐1
6,95
→ 𝑐𝑐1 ≈ 0,30 
𝑄𝑄7𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ �
0,19 ∙ 4,475
2
+
0,3 ∙ 6,95
2
�� + �6,47 ∙ �
4,5 ∙ (0,5 + 0,3)
2 ��
+ [150 ∙ (0,5 + 0,43 + 0,37)] 
𝑸𝑸𝟖𝟖𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟖𝟖,𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 (usando os valores inteiros) 
 
Como o ponto de 𝑄𝑄7 está localizado no centro da ponte, os carregamentos de trem-
tipo máximo e mínimo são simétricos, portanto: 𝑸𝑸𝟖𝟖𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝑸𝑸𝟖𝟖𝒑𝒑á𝒙𝒙 = −𝟓𝟓𝟓𝟓𝟖𝟖,𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 
 
Resumo - Esforço cortante: 
 
Seção Máximo (kN) Mínimo (kN) 
0 0 -150 
1 0 -314,47 
2E 0 -478,94 
2D 602,93 -61,62 
3 512,25 -63,91 
4 443,24 -72,25 
5 369,93 -122,61 
6 301,23 -177,56 
7 237,10 -237,10 
 
 
 
a1 b1 c1 
a2 b2 c2 
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Linhas de influência – Momento fletor 
 
 
𝑴𝑴𝟎𝟎𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝑴𝑴𝟎𝟎𝒑𝒑í𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 
 
 
2,2375
2,2375
=
𝑎𝑎1
0,7375
→ 𝑎𝑎1 = 0,7375 
𝑀𝑀1𝑠𝑠í𝑑𝑑 = [−150 ∙ (2,2375 + 0,7375)] + �−6,47 ∙ �
2,2375 ∙ 2,2375
2 �
� 
𝑴𝑴𝟓𝟓𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟒𝟒𝟔𝟔𝟓𝟓,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
 
 
a1 
b1 
a1 
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4,475
4,475
=
𝑎𝑎1
2,975
→ 𝑎𝑎1 = 2,975 
4,475
4,475
=
𝑏𝑏1
1,475
→ 𝑏𝑏1 = 1,475 
𝑀𝑀2𝑚𝑚í𝑛𝑛 = [−150 ∙ (4,475 + 1,475 + 2,975)] + �−6,47 ∙ �
4,475 ∙ 4,475
2 �
� 
𝑴𝑴𝟓𝟓𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟓𝟓𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
 
 
2,061
2,29
=
𝑎𝑎1
0,79
→ 𝑎𝑎1 = 0,711 
2,061
20,61
=
𝑏𝑏1
19,11
→ 𝑏𝑏2 = 1,911 
2,061
20,61
=
𝑐𝑐1
17,61
→ 𝑐𝑐1 = 1,761 
2,061
20,61
=
𝑑𝑑1
16,11
→ 𝑑𝑑1 = 1,611 
𝑀𝑀3𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ �
0,711 ∙ 0,79
2
+
1,611 ∙ 16,11
2 �� + �6,47 ∙ �
1,5 ∙ (2,061 + 0,711)
2 +
4,5 ∙ (2,061 + 1,611)
2 ��
+ [150 ∙ (2,061 + 1,911 + 1,761)] 
𝑴𝑴𝟓𝟓𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟕𝟕𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
 
4,0275
4,475
=
𝑎𝑎2
2,975
→ 𝑎𝑎2 = 2,6775 
4,0275
4,475
=
𝑏𝑏2
1,475
→ 𝑏𝑏2 = 1,3275 
𝑀𝑀3𝑠𝑠í𝑑𝑑 = �−20,03 ∙ �
0,4475 ∙ 4,475
2
�� + �−6,47 ∙ �
4,0275 ∙ 4,475
2
�� + (−150 ∙ (4,0275 + 2,6775 + 1,3275)] 
a2 
b2 
a1 b1 c1 d1 
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Câmpus Universitário de Sinop 
FACET – Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
 
𝑴𝑴𝟓𝟓𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟓𝟓𝟓𝟓𝟎𝟎𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
 
 
3,664
4,58
=
𝑎𝑎1
3,08
→ 𝑎𝑎1 = 2,464 
3,664
18,32
=
𝑏𝑏1
16,82
→ 𝑏𝑏1 = 3,364 
3,664
18,32
=
𝑐𝑐1
15,32
→ 𝑐𝑐1 = 3,064 
3,664
18,32
=
𝑑𝑑1
13,82
→ 𝑑𝑑1 = 2,764 
𝑀𝑀4𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ �
2,464 ∙ 3,08
2
+
2,764 ∙ 13,82
2
�� + �6,47 ∙ �
1,5 ∙ (3,664 + 2,464)
2
+
4,5 ∙ (3,664 + 2,764)
2
�� + [150 ∙ (3,664 + 3,364 + 3,064)] 
𝑴𝑴𝟒𝟒𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟕𝟕𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
 
3,58
4,475
=
𝑎𝑎2
2,975
→ 𝑎𝑎2 = 2,38 
3,58
4,475
=
𝑏𝑏2
1,475
→ 𝑏𝑏2 = 1,18 
𝑀𝑀4𝑠𝑠í𝑑𝑑 = �−20,03 ∙ �
0,895 ∙ 4,475
2
�� + �−6,47 ∙ �
3,58 ∙ 4,475
2
�� + [−150 ∙ (3,58 + 2,38 + 1,18)] 
𝑴𝑴𝟒𝟒𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟓𝟓𝟓𝟓𝟔𝟔𝟓𝟓,𝟕𝟕𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
 
b1 c1 a1 
a2 b2 
d1 
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Câmpus Universitário de Sinop 
FACET – Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
4,809
6,87
=
𝑎𝑎1
5,37
→ 𝑎𝑎1 = 3,759 
4,809
16,03
=
𝑏𝑏1
14,53
→ 𝑏𝑏1 = 4,359 
4,809
16,03
=
𝑐𝑐1
13,03
→ 𝑐𝑐1 = 3,909 
4,809
16,03
=
𝑑𝑑1
11,53
→ 𝑑𝑑1 = 3,459 
𝑀𝑀5𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ �
3,759 ∙ 5,37
2
+
3,459 ∙ 11,53
2
�� + [6,47 ∙ �
1,5 ∙ (4,809 + 3,759)
2
+
4,5 ∙ (4,809 + 3,459)
2
� + [150 ∙ (4,809 + 4,359 + 3,909)] 
𝑴𝑴𝟓𝟓𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟖𝟖𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
 
3,1325
4,475
=
𝑎𝑎2
2,975
→ 𝑎𝑎2 = 2,0825 
3,1325
4,475
=
𝑏𝑏
1,475
→ 𝑎𝑎2 = 1,0325 
𝑀𝑀5𝑠𝑠í𝑑𝑑 = �−20,03 ∙ �
1,3425 ∙ 4,475
2
�� + �−6,47 ∙ �
3,1325 ∙ 4,475
2
�� + [−150 ∙ (3,1325 + 2,0825 + 1,0325)] 
𝑴𝑴𝟓𝟓𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟓𝟓𝟎𝟎𝟒𝟒𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
b1 c1 a1 a2 b2 d1 
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Câmpus Universitário de Sinop 
FACET – Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
5,496
9,16
=
𝑎𝑎1
6,16
→ 𝑎𝑎1 = 3,696 
5,496
9,16
=
𝑏𝑏1
7,66
→ 𝑏𝑏1= 4,596 
5,496
13,74
=
𝑐𝑐1
12,24
→ 𝑐𝑐1 = 4,896 
5,496
13,74
=
𝑑𝑑1
10,74
→ 𝑑𝑑1 = 4,296 
𝑀𝑀6𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ �
3,696 ∙ 6,16
2
+
4,296 ∙ 10,74
2
�� + �6,47 ∙ �
3 ∙ (5,496 + 3,696)
2
+
3 ∙ (5,496 + 4,296)
2
�� + [150 ∙ (5,496 + 4,596 + 4,896)] 
𝑴𝑴𝟔𝟔𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
 
2,685
4,475
=
𝑎𝑎2
2,975
→ 𝑎𝑎2 = 1,785 
2,685
4,475
=
𝑏𝑏2
1,475
→ 𝑏𝑏2 = 0,885 
𝑀𝑀6𝑠𝑠í𝑑𝑑 = �−20,03 ∙ �
1,79 ∙ 4,475
2
�� + �−6,47 ∙ �
2,685 ∙ 4,475
2
�� + [−150 ∙ (2,685 + 1,785 + 0,885)] 
𝑴𝑴𝟔𝟔𝒑𝒑í𝒅𝒅 = −𝟕𝟕𝟓𝟓𝟓𝟓,𝟓𝟓𝟓𝟓 
 
b1 c1 a1 
a2 b2 
d1 
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Câmpus Universitário de Sinop 
FACET – Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
5,725
11,45
=
𝑎𝑎1
8,45
→ 𝑎𝑎1 = 4,225 
5,725
11,45
=
𝑏𝑏1
9,95
→ 𝑏𝑏1 = 4,975 
5,725
11,45
=
𝑐𝑐1
9,95
→ 𝑎𝑎1 = 4,975 
5,725
11,45
=
𝑑𝑑1
8,45
→ 𝑑𝑑1 = 4,225 
𝑀𝑀7𝑠𝑠á𝑥𝑥 = �20,03 ∙ 2 ∙ �
4,225 ∙ 8,45
2
�� + �6,47 ∙ 2 ∙ �
3 ∙ (5,725 + 4,225)
2
�� + [150 ∙ (5,725 + 4,975 ∙ 2)] 
𝑴𝑴𝟖𝟖𝒑𝒑á𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟎𝟎𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟖𝟖 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
 
2,2375
4,475
=
𝑎𝑎2
1,475
→ 𝑎𝑎2 = 0,7375 
2,2375
4,475
=
𝑏𝑏2
2,975
→ 𝑏𝑏2 = 1,4875 
𝑀𝑀7𝑠𝑠í𝑑𝑑 = �−20,03 ∙ �
2,2375 ∙ 4,475
2
�� + �−6,47 ∙ �
2,2375 ∙ 4,475
2
�� + [−150 ∙ (2,2375 + 0,7375 + 1,4875)] 
𝑴𝑴𝟖𝟖𝒑𝒑í𝒅𝒅 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓,𝟎𝟎𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒑𝒑 (usando os valores inteiros) 
 
 
 
 
b1 c1 a1 d1 
a2 b2 
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso 
Câmpus Universitário de Sinop 
FACET – Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Curso de Engenharia Civil 
 
Resumo – Momento fletor: 
 
Seção Máximo (kN) Mínimo (kN) 
0 0 0 
1 0 -462,44 
2 0 -1403,5 
3 1192,39 -1283,21 
4 2095,66 -1162,92 
5 2725,05 -1042,62 
6 3122,51 -922,33 
7 2901,87 802,04