Cálculo II - INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO E POR PARTES

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Leila Rodrigues 
 RESUMO SOBRE INTEGRAIS 
 INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO E POR PARTES 
 1. Introdução 
 O conceito da integral surgiu a partir da necessidade de calcular a área de uma região 
 curva não simétrica. Como por exemplo, calcular uma velocidade não constante, do qual não 
 se é possível calcular a distância percorrida de uma maneira tão simples. 
 Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a 
 integração, todas elas visando resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, 
 continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições 
 diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas 
 não podem segundo outra. 
 O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. A integral 
 indefinida também é conhecida como antiderivada ou primitiva. 
 2. Integrais por substituição 
 Existem algumas funções que não são possíveis integrar usando as propriedades e a 
 tabela de integrais, devido a isso necessitam outro método. 
 A ideia básica da integração por substituição é fazer uma troca de uma parte da função(x) 
 por uma variável simples(u), possibilitando a integração. Após a equação ser integrada 
 substitui a variável simples pela parte substituída. 
 Esse método funciona sempre que tem uma integral que possa ser escrita na forma, onde 
 u=g(x) 
∫ 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥 )) 𝑔 ' ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 ( 𝑢 ) 𝑑𝑢 
 A Regra da Substituição é substituir uma integral relativamente complicada por uma 
 mais simples. Seguindo essa lógica, mudando-se da variável original para uma nova 𝑥 
 variável que é uma função de obtemos uma solução mais simples . O objetivo principal na 𝑢 𝑥 
 utilização da Regra da Substituição é encontrar uma substituição apropriada. Dependendo da 
 integral pode não funcionar a escolha na substituição, portanto encontrar a substituição 
 correta tem algo de artístico. 
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 PASSO A PASSO: 
 ● Passo 1. Considerar u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em geral, "a função 
 interna” da função composta f (g(x)). 
 ● Passo 2. Calcular du = g’(x) dx. 
 ● Passo 3. Usar a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter a integral em uma 
 outra envolvendo apenas u. 
 ● Passo 4. Calcular a integral resultante na ordem u. 
 ● Passo 5. Substituir u por g(x) para obter a solução final como função de x. 
 Exemplo 1: 
∫ 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 
 Resolução 
∫ 𝑢 1 2 𝑑𝑢 =
 1 
 2 ∫ 𝑢 
 1/2 𝑑𝑢 
= 1 2 
 𝑢 1/2 + 1 
 1/2 + 1 + 𝑐 =
 1 
 2 
 𝑢 3/2 
 3/2 + 𝑐 
= 𝑢 
 3/2 
 3 + 𝑐 =
( 2 𝑥 + 1 ) 3/2 
 3 + 𝑐 
 Exemplo 2 
∫ 𝑒 5 𝑥 𝑑𝑥 
 Resolução 
∫ 𝑒 𝑢 1 5 𝑑𝑢 =
 1 
 5 ∫ 𝑒 
 𝑢 𝑑𝑢 
= 1 5 𝑒 
 𝑢 + 𝑐 = 𝑒 
 5 𝑥 
 5 + 𝑐 
 As integrais definidas tem dois métodos de substituição. Um dos métodos se calcula 
 primeiro a integral indefinida e depois usa o Teorema Fundamental. Outro método, consiste 
 em mudar os limites da integração ao mudar a variável 
 A regra da substituição para as integrais definidas o se for contínua em e for 𝑔 ' [ 𝑎 , 𝑏 ] 𝑓 
 contínua de , então 𝑢 = 𝑔 ( 𝑥 )
 𝑎 
 𝑏 
∫ 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥 )) 𝑔 ' ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 =
 𝑔 ( 𝑎 )
 𝑔 ( 𝑏 )
∫ 𝑓 ( 𝑢 ) 𝑑 ( 𝑢 )
 Se F é uma primitiva de f . Então F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x))g’(x), logo, pela 
 Parte 2 do Teorema Fundamental, temos 
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 𝑎 
 𝑏 
∫ 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥 )) 𝑔 ' ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝐹 ( 𝑔 ( 𝑥 ))]
 𝑎 
 𝑏 = 𝐹 ( 𝑔 ( 𝑏 )) − 𝐹 ( 𝑔 ( 𝑎 ))
 Entretanto aplicando a 2 parte do Teorema Fundamental uma segunda vez, é possível obter a 
 seguinte resolução 
 𝑔 ( 𝑎 ) 
 𝑔 ( 𝑏 )
∫ 𝑓 ( 𝑢 ) 𝑑𝑢 = 𝐹 ( 𝑢 )]
 𝑔 ( 𝑎 )
 𝑔 ( 𝑏 ) = 𝐹 ( 𝑔 ( 𝑏 )) − 𝐹 ( 𝑔 ( 𝑎 ))
 A aplicação do teorema não é necessário voltar a variável original x após a integração, 
 mas é necessário alterar os extremos da integração, onde e 𝑎 → 𝑔 ( 𝑎 ) 𝑏 → 𝑔 ( 𝑏 )
 Exemplo 3: 
 0 
 4 
∫ 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 
 Resolução 
 𝑥 = 0 𝑢 = 2 ( 0 ) + 1 = 1 
 𝑥 = 4 𝑢 = 2 ( 4 ) + 1 = 9 
 0 
 4 
∫ 2 𝑥 + 1 𝑑𝑥 =
 1 
 9 
∫ 1 2 𝑢 𝑑𝑢 
= 1 2 ·
 2 
 3 𝑢 
 3/2 ]
 1 
 9 
= 1 3 ( 9 
 3/2 − 1 3/2 ) = 26 3 
 3. Integrais por partes 
 Integração por partes é usada para simplificar integrais de forma: 
∫ 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 .
 Correspondendo a regra da derivada do produto. Assim, sendo f e g funções 
 diferenciáveis, temos a fórmula de integração por partes definida por: 
∫ 𝑓 ( 𝑥 ) · 𝑔 ' ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑓 ( 𝑥 ) · 𝑔 ( 𝑥 ) − ∫ 𝑓 ' ( 𝑥 ) · 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 .
 A fórmula também pode ser representada por: 
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 , ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
 onde: 
 , , = e = . 𝑢 = 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑣 = 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑑𝑢 𝑓 ' ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑔 ' ( 𝑥 ) 𝑑𝑥 
 Desta forma, o objetivo da integração por partes é passar o cálculo de uma integral 
 para uma integral . ∫ 𝑢 · 𝑑𝑣 ∫ 𝑣 · 𝑑𝑢 
 É preciso escolher bem as funções e , para ajudar existe o anagrama, LIATE: 𝑢 𝑣 
 ( L ogarítmica, I nversas de trigonométricas, A lgébricas, T rigonométricas e E xponenciais) que 
 representa as iniciais dos tipos de funções. Desta maneira, como função a letra 𝑢 
 correspondente ao tipo de função se posiciona mais do lado esquerdo do anagrama e como 
 diferencial se posiciona mais do lado direito. 𝑑𝑣 
 Para aplicação da fórmula de integração por partes importante saber que: 
 1. É preciso dividir o integrando em e . 𝑢 𝑑𝑣 
 2. É preciso integrar para ter . ∫ 𝑑𝑣 𝑣 
 3. A nova integral, , tem que ser simples em comparação com . ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ∫ 𝑢 𝑑𝑣 
 Exemplo 1: 
 ∫(x³ + 4x + 2)e² x dx 
 Logo: 
 e 𝑢 = 𝑥 ³ + 4 𝑥 + 2 𝑑𝑢 = ( 3 𝑥 ² + 4 ) 𝑑𝑥 
 e² x e e² x 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣 = 1/2 
 Aplicando a técnica de integrais por partes, tem-se: 
 ∫ 𝑢 . 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 − ∫ 𝑣 . 𝑑𝑢 
 Substituindo: 
 u.v - v.du = ½ (x³ + 4x + 2)e² x - ½ (3x² + 4).e² x ∫ ∫ 
 Leila Rodrigues 
 Exemplo 2: 
 ∫ 𝑥 ² . 𝑙𝑛𝑥 . 𝑑𝑥 
 Logo: 
 e 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢 = 1/ 𝑥 𝑑𝑥 
 e 𝑑𝑣 = 𝑥 ² . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥 3 /3 
 Aplicando a técnica de integrais por partes, temos: 
 ∫ 𝑢 . 𝑑𝑣 = 𝑢 . 𝑣 − ∫ 𝑣 . 𝑑𝑢 
 Substituindo: 
 𝑢 . 𝑣 − ∫ 𝑣 . 𝑑𝑢 = ( 𝑥 3 𝑙𝑛𝑥 ) /3 − ∫ 𝑥 3 /3 . 1/ 𝑥 . 𝑑𝑥 
 Logo, tem-se: 
 𝑢 . 𝑣 − ∫ 𝑣 . 𝑑𝑢 ( 𝑥 3 𝑙𝑛𝑥 ) /3 − 𝑥 3 /9 + 𝐶 
 4. Conclusão . 
 Conclui-se, então, que existem algumas variações em relação aos métodos de 
 integração. Assim, a partir desse trabalho foi possível desenvolver um aprendizado sobre 
 integração por substituição e integração por partes. 
 Desta forma, ficou entendido que o método de integração por substituição consiste em 
 fazer uma troca de uma parte da função(x) por uma variável simples(u), possibilitando a 
 integração, sendo possível resolver integrais que não são calculadas por outras técnicas. E o 
 método de integração por partes tem o mesmo objetivo de facilitar e simplificar a integral 
 para que possa chegar a corresponder com a derivada do produto, sendo assim possível fazera resolução desta integral. 
 Leila Rodrigues 
 REFERÊNCIAS 
 BATISTA, E., et al . Cálculo II . 2. ed. Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2012. 308 p. 
 DA SILVA, G. S. Integrais . Todo Estudo. 2020. Disponível em: 
 https://www.todoestudo.com.br/matematica/integrais/amp. Acesso em: 25 jun. 2021. 
 Integrais. Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998. Disponível em: 
 https://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php. Acesso em: 25 
 jun. 2021. 
 THOMAS, G. B. Cálculo . Tradução de Thelma Guimarães e Leila Maria Vasconcellos 
 Figueiredo. 11. ed. Pearson Education do Brasil, v. 1, 2009. 778 p. (Addison Wesley). 
 Tradução de: Calculus. 
 WEBER, O. A. Cálculo Diferencial e Integral : Integrais de funções reais (II) . 
 Matemática Essencial. Londrina, 2020. Disponível em: 
 http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/int02.html. Acesso em: 25 
 jun. 2021.