IAL_-_I_-_01_Prof_Flavio_aula_4[1]

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1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
59
Exemplo 22 Sejam o polinômio e a matriz
432)(
2  xxxp 
 21A
Exemplo 22 – Sejam o polinômio                                         e a matriz    
então:
432)(  xxxp  30A



 014213212432)(
2
2
IAAAp







29046382
10
4
30
3
30
2432)( IAAAp





1304090180
               
Método para encontrar  A-1 – Operações elementares
I Coloque a matriz A e a matriz identidade em uma mesma matrizI. Coloque a matriz A e a matriz identidade em uma mesma matriz, 
particionada da seguinte maneira IAM 
II. Aplique operações elementares reduzindo por linhas  a matriz M à forma PI
III. A inversa da matriz A é a matriz P
 
PA  1    
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
60

011
Exemplo 23 – Determine a inversa da matriz                                   utilizando 
operações elementares.  





320
132B


010132
001011
M

012110
001011
122
2LLL






100320
010132M





  
100320
012110
122
2LLL




 



   136010
001011
012110
001011
322233
2 LLLLLL


 



  124100124100












   136
137
136010
137001
1
211
B
LLL


 



  124124100
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
61

461
Exemplo 24 – Determine a inversa da matriz                                      utilizando 
operações elementares.  





521
142A


010142
001461
M
 
012980
001461
133
122
2
LLL
LLL






100521
010142M





  
101980
012980
133
LLL




   012980
001461
233
LLL


  111000
‐ Observe que foi obtida uma linha de zeros no lado esquerdo da partição de M. 
Portanto A é singular.
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
6 – Matrizes e operações matriciais
62
Solução de um Sistema Linear usando A
-1
Solução de um Sistema Linear usando A
bxbxbx
111   AAAAA                           
 321
‐ O sistema só terá solução se a matriz dos coeficientes  A for invertível (não singular).
Exemplo 25 – Determine a solução do sistema linear 






4
3
31
21
2
1
x
x
  
‐Cálculo da inversa da matriz dos coeficientes
 
01210121
122
LLL
M
  
 
 

 232301
11101031
1
2
122
LLL
A
M






 

111110
1
2
211
-
LLL
A                  
 11323
‐ Solução:












1
1
1
1
4
3
11
23
2
1
x
x
            x
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
63
 578
Exercício 6 – Ache uma matriz triangular superior A tal que 
Solução:


 
270
578
3
A

Considere uma matriz A 2x2 na forma 


z
yx
A
0


 




2
2
2
0
00
z
yzxyx
z
yx
z
yx
A
     

 

 



 
270
578
0
)(
0
0
3
23
2
2
3
z
yzxyzyxx
z
yx
z
yzxyx
A





327
28
3
3
zz
xx




35719)32(3457)(
327
2
 yyyyyyzxyzyx
zz
           
 32
Então:  

 
30
32
A
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
64
 32  33
Exercício 7 – Dada as matrizes                            e                                e o polinômio


57
32
A 




47
33
B
2233
)( BA
. Calcule                .  
Solução:
)(3),(
2233
xyyxyxyxp  ),( BAp
32233
)()(3),( yxxyyxyxyxp 
Observe que o polinômio p(x,y) é um produto notável
Então: 
)()(3),( yxxyyxyxyxp 
 )()( 3BABAp














 



10
01
),(
10
01
47
33
57
32
)(),(
33
BAp
BABAp
                
    10104757
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
65
 21
Exercício 8 – Seja                        . Calcule


10
21
A
n
A







10
41
10
21
10
21
2
A
Solução:








10
61
10
21
10
41
3
A
A
Observando os resultados das potências de  







10
81
10
21
10
61
4
A







10
101
10
21
10
81
5
A
                      
 21 


10
21 n
A
n
Pode‐se concluir por indução matemática que:
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
66
E í i 9 E t t i i d 
 sincos
A
Exercício 9 – Encontre a matriz inversa de 
Solução:

  cossinA
  
  


 








 
cos0cossin.cos
0sinsinsin.cos
10cossin
01sincos
2
2
sin
cos
11
22
LL
LL
 
    


 



cossinsincos0
0sinsinsin.cos
22
2
122
LLL     
  

   
 
i10
01sincos
0sinsinsin.cos
11
sin
1
2
LL
  cossin10cossin10
     cossinsin10cos
2
sin
211
LLL
     cossin10
211
    sincos01i0 12 LL  

  

  



 
cossin10
sincos01
cossin10
cossincos0cos
11
cos
1
LL
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
67
E í i 10 E l d i i 
1 m
M
Exercício 10 – Encontre os valores de m, para os quais a matriz
seja singular.


2m
M
Solução:
Utilizaremos as operações elementares.



 

 
120
011
102
011
2
122
mm
m
m
m
mLLL
Se na 2ª linha da matriz                              o elemento da 2ª coluna for nulo,  estará 


 220
1
m
m
garantido que a matriz  M é singular.
 20 m
Então:     202 2  mm
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
68
E í i 11 S j D i i X
43
A 
 25
B
Exercício 11 – Sejam                             e                            .  Determine a matriz  X, 
tal  que


12
A 

30
B
 
BXA 1
Solução:
Utilizaremos propriedades da aritmética matricial.
 
p p
    1111111   ABXABXABXAABXABXA --                          
  6152543 







 7103012AB‐Produto :
  0161501615 10LLL‐Inversa de AB: 

 




11510151650
01615
10710
01615
122
15
LLL
  165901651050150161515 LL 

 

  
165151651010
16590165105015
165151651010
01615
211
22
6
165
LLL
LL
 67
1
1656165701
1


 

   
1510
67
165
1
165151651010
1656165701
11
15
1
X
LL
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
69
Exercício 12 – Considerando o plano cartesiano
apresentado ao lado, os eixos x e y estão igual‐
mente espaçados em uma unidade.  Determine
a localização do ponto de interseção entre as
duas retas.
l ã
r
2
Solução:
r
1
2
‐ Obter a equação de cada reta na forma 
baxy 
43)3,4(
3)3,1(




ba
ba
    reta
1
r
5
2
510
201
314
311







 




b
a
                    selementare  operações
52  xy                     
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
70
42)2,4(  ba
10810801214
2)2,1(
42)2,4(
2
  




a
ba
ba
   reta r
2180
1012
108
101210
10801
211
214





 


xy
b
a
                   selementare operações
2,18,0  xy                   
‐ Para encontrar o ponto em comum entre as duas retas, basta resolver o sistema de
equações lineares




2,18,0
52
yx
yx
                

 

  

 
570
21,2
57010
21,201
21180
512 x
selementareoperações
   57,057,0102,118,0 y
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
71
Exercício 13 – Considere a matrizExercício 13 Considere a matriz




a
a


00
00
11
onde                                   .  Mostre que A não é singular.






a
a
A



00
00
22  ,, , 0
2211

nn
aaa 
 nna00
Exercício 14 – Sejam A, B e 0matrizes 2x2. Supondo que A é invertível, encontre
uma matriz C tal que                           é a inversa da matriz particionada .




1
1
0
AC
A 


AB
A 0
Resposta: C = - A
-1
BA
-1

1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
72
Exercício 15 Seja uma matriz qualquer A mxn O número de linhas não nulas daExercício 15 – Seja uma matriz qualquer A mxn. O número de linhas não nulas da 
forma  escalonada de A é denominado posto e indicado por pos(A) . O número de 
li h l d f l d d A é d i d d lid d ilinhas nulas da forma escalonada de A é denominado de nulidade e possui a 
seguinte notação nul(A) . Determine o posto e a nulidade das matrizes abaixo

a) b)


84
52
A









1042
152
431
B  1042
Resposta: a) pos(A)=2, nul(A)=0; b) pos(B)=2, nul(B)=1
Exercício 16 – Resolva o sistema




yzx
zyx
9333
8222
9
Exercício 16 Resolva o sistema
Dica: 


 zx 51255
9333
baba
XXX

Resposta: x=1, y=-2, z=4
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
73
Exercício 17– Considere um sistema linear onde a matriz dos coeficientes e a 
matriz aumentada são dadas respectivamente por
 n
aaa 
11211  n
baaa 
111211
e 






 n
aaa
aaa
A



22221






 n
n
baaa
baaa
B



222221
111211
Mostre que 
a) se pos(A) = pos(B) = n o sistema é possível e determinado
 mnmm aaa 21  mmnmm baaa 21
a)   se  pos(A) = pos(B) = n o sistema é possível e determinado  
b)  se pos(A) = pos(B) < n o sistema é possível e indeterminado   
Exercício 18 – Resolva a equação matricial 








95
75
22
13
dc
ba
Resposta: a=3, b=2, c=1 e d=4
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
74
Exercício 19 – Considere duas matrizes A e B de mesmo tamanho tal que AB=BAExercício 19 Considere duas matrizes A e B de mesmo tamanho tal que AB BA. 
Neste caso, dizemos que as matrizes A e B comutam.  Encontre todas as matrizes 
 11 ba
na forma                         que comutam com                          .


03
A


dc
ba
B
Resposta: 


 bab
ba
B
3
Exercício 20 – Considere as matrizes
I. A=[a
ij
]
4x7
,  definida por  a
ij
=i-j[
ij
]
4x7
, p
ij
j
II. B=[b
ij
]
7x9
,  definida por  b
ij
=i
III. C=[c
ij
], C=AB
Determine o elemento c
36
Resposta:  c
36
= -56
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
75
   0zyxk
Exercício 21 – Analise o conjunto solução do sistema 
em função do parâmetro k
 
 
 





0
0
0
yxzk
xzyk
zyxk
em função do parâmetro k    0yxzk
  odeterminadpossívelsistemae
1
1 kk
Resposta:




adoindetermin  possível  sistema     e  
odeterminad possível sistema   e  
2
1
1
2
1
kk
kk

  0zyx
Exercício 22 – Analise o conjunto solução do sistema 
em função do parâmetro m




12
2
zymx
mzyx
  odeterminad  possível  sistema     e    10 mm
Resposta:




 impossível  sistema   
adoindetermin  possível  sistema   
0
1
m
m
1 – Sistemas de equações lineares e matrizes
7 – Exercícios
76
Exercício 23 – Considere A e Bmatrizes não singulares de mesmo tamanho.  
Resolva as equações abaixo em xResolva as equações abaixo em x.
IAxB
BAx


b)
   a)
 
ABAx
BAx
IAxB




d)
    c)
   b)
1
 
  BxA
BAx
ABAx
T
T



f)
    e)
   d)
Resposta:    a) x=A-1B, b) x=A-1B-1 , c) x=A-1B-1, d) x=A-1B-1A , e) x=A-1BT , f) x=BT-A
  BxA    f)
p ) ) , ) , ) , ) , )