Capitulo_4-Conducao_Bidimensional_em_Regime_Estacionario2

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CAPÍTULO 4 – CONDUÇÃO BIDIMENSIONAL EM REGIME 
ESTACIONÁRIO 
 
DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 1 
 
PROF. DR. SANTIAGO DEL RIO OLIVEIRA 
 
 
 
4.1 ABORDAGENS ALTERNATIVAS 
 
• 1o objetivo: determinar a distribuição de temperaturas no meio. 
 
• 2o objetivo: determinar o fluxo térmico em pontos de interesse. 
 
• Para condução bidimensional em yx, em regime estacionário, 
sem geração de energia e com k constante obtém-se: 
 
02
2
2
2
=∂
∂
+∂
∂
y
T
x
T
 (equação de Laplace) 
 
• A solução da equação anterior fornece ( )yxT , em qualquer ponto 
no interior do meio e é uma tarefa fácil determinar "xq e 
"
yq . 
• Podem ser utilizados: 
 
1.Abordagens analíticas 
2.Soluções gráficas 
3.Métodos numéricos (elementos finitos, diferenças finitas, 
elementos de contorno, volumes finitos) 
 
 
4.2 O MÉTODO DA SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS 
 
• Seja uma placa retangular delgada ou um longo bastão retangular: 
 
 
02
2
2
2
=∂
∂
+∂
∂
y
T
x
T
 
 
( ) 10, TxT = 
 
( ) 2, TWxT = 
 
( ) 1,0 TyT = 
 
( ) 1, TyLT = 
• Introduzindo a transformação ( ) ( )121 TTTT −−=θ , as equações 
do problema são reescritas como: 
 
 
02
2
2
2
=∂
∂
+∂
∂
yx
θθ
 
 
( ) 00, =xθ 
 
( ) 1, =Wxθ 
 
( ) 0,0 =yθ 
 
( ) 0, =yLθ 
 
• Com a transformação de variáveis, três das quatro condições de 
contorno são agora homogêneas e 10 ≤≤θ . 
 
• O método da separação de variáveis indica que a solução 
pretendida pode ser escrita como o produto de duas funções, uma 
dependente de x e outra dependente de y . 
 
( ) ( ) ( )yYxXyx =,θ 
 
• Utilizando a solução ( )yx,θ pode-se obter 22 x∂∂ θ e 22 y∂∂ θ : 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2
2
2
2
2
2
dx
XdY
x
xXyY
x
x
xXyY
xx
xXyY
x
yYxX
x
=∂
∂
=∂




∂
∂∂
=∂
∂
⇒∂
∂
=∂
∂
=∂
∂ θθ
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2
2
2
2
2
2
dy
YdX
y
yY
xX
y
y
yY
xX
yy
yY
xX
y
yYxX
y
=∂
∂
=∂






∂
∂∂
=∂
∂
⇒∂
∂
=∂
∂
=∂
∂ θθ
 
 
• Substituindo na equação diferencial e dividindo por XY : 
 
32143421
xy
dy
Yd
Ydx
Xd
Xdy
YdX
dx
XdY
 de função é não
2
2
 de função é não
2
2
2
2
2
2 110 =−⇒=+ 
 
• A única forma pela qual a equação anterior seja satisfeita para 
quaisquer valores de x e y é que ela seja constante. 
 
 
2
2
2
2
2 11 λ==−
dy
Yd
Ydx
Xd
X
 
• 1a Equação diferencial ordinária: 022
2
=+ X
dx
Xd λ 
 
• 2a Equação diferencial ordinária: 022
2
=− Y
dy
Yd λ 
 
• Deve ser notado que a equação diferencial parcial foi reduzida a 
duas equações diferenciais ordinárias. 
 
• As soluções para as duas E.D.Os são mostradas num curso básico 
de equações diferenciais e tem a seguinte forma: 
 
( ) xCxCxX λλ sencos 21 += ( ) yy eCeCyY λλ 43 += − 
 
• A solução geral bidimensional tem a seguinte forma: 
 
( ) ( )( )yy eCeCxCxCyx λλλλθ 4321 sencos, ++= − 
 
• Aplicando a condição ( ) 0,0 =yθ obtém-se: 
 
( ) ( )( ) ⇒=++= − 00sen0cos,0 4321 yy eCeCCCy λλλλθ 01 =C 
 
• Aplicando a condição ( ) 00, =xθ obtém-se: 
 
( ) ( )( ) ⇒=+= − 0sen0, 04032 λλλθ eCeCxCx ( ) 0sen 432 =+CCxC λ 
 
• Se 02 =C obtém-se que ( ) 0, =yxθ , o que não satisfaz a exigência 
que ( ) 1, =Wxθ . 
• Dessa forma tem-se que 43 CC −= . 
 
• Aplicando a condição ( ) 0, =yLθ e fazendo 43 CC −= obtém-se: 
 
( ) ( )( ) ⇒=+−= − 0sen, 442 yy eCeCLCyL λλλθ ( ) 0sen42 =− − yy eeLCC λλλ 
 
• A equação anterior é satisfeita quando: 
 
( ) ⇒=⇒= piλλ nLL 0sen ,...3,2,1 == n
L
npiλ 
 
• O valor 0=n foi descartado pois implica em ( ) 0, =yxθ . 
 
• A solução agora é expressa como: 
( ) ( )LynLyn ee
L
xnCCyx pipipiθ −−





= sen, 24 
 
• Sabendo que ( ) ( )Lynhee LynLyn pipipi sen2=− − , combinando as 
constantes e admitindo que a nova constante possa depender de n: 
 
( ) ⇒











=
L
ynh
L
xnCCyx pipiθ sen2sen, 24 ( ) L
ynh
L
xnCyx n
pipiθ sensen, = 
 
• Como o problema é linear, a solução pode ser escrita por 
superposição, ou seja: 
 
( ) ∑
∞
=
=
1
sensen,
n
n L
ynh
L
xnCyx pipiθ 
• Para determinar nC utiliza-se a condição de contorno ( ) 1, =Wxθ : 
 
( ) 1sensen,
1
==∑
∞
=n
n L
Wnh
L
xnCWx pipiθ 
 
• A determinação de nC é feita pela expansão da unidade em série 
de Fourier, ou seja: 
 
( )
L
xn
nn
n pi
pi
sen
1121
1
1
∑
∞
=
+ +−
= 
 
• Comparando as expressões anteriores obtém-se: 
 
( )
( ) ,...3,2,1 senh
]11[2 1
=
+−
=
+
n
LWnn
C
n
n pipi
 
 
• Substituindo nC na solução geral obtemos a solução final para θ : 
 
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
+ +−
=
−
−
=
1
1
12
1
senh
sen
sen
112
,
n
n
LWn
Lynh
L
xn
nTT
TTyx
pi
pipi
pi
θ 
 
• O fluxo de calor em cada posição yx, é determinado por: 
 
""
" yx jqiqq += 
 
( )dxdTkqx −=" ( )dydTkqy −=" 
ISOTERMAS E LINHAS DE FLUXO DE CALOR PARA A 
CONDUÇÃO BIDIMENSIONAL EM PLACA RETANGULAR 
 
 
x (m)
y
 
(
m
)
 
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
 
 
4.3 O FATOR DE FORMA DA CONDUÇÃO E A TAXA DE 
CONDUÇÃO DE CALOR ADIMENSIONAL 
 
• Alguns problemas bidimensionais e tridimensionais de 
transferência de calor em regime estacionário podem ser 
analisados rapidamente através do fator de forma S . Nesses 
casos, a taxa de transferência de calor é representada por: 
 
21−∆= TSkq 
 
• Uma resistência térmica condutiva bidimensional pode ser 
representada como: 
 
Sk
R Dcondt
1
)2(, = 
FATORES DE FORMA DA CONDUÇÃO E TAXAS DE 
CONDUÇÃO DE CALOR (11 casos) 
 
 
 
 
 
 
• Para casos que envolvem meio infinito resultados úteis podem ser 
obtidos com a definição de um comprimento característico: 
 
21
4 




=
pi
s
c
AL 
 
• A taxa de transferência de calor é calculada em termos de uma 
taxa de condução adimensional: 
 
( )21* TTkAqLq scre −= 
 
• Dessa forma a taxa de condução é: 
 
( ) csre LTTkAqq 21* −= 
FATORES DE FORMA DA CONDUÇÃO E TAXAS DE 
CONDUÇÃO DE CALOR ADIMENSIONAIS (11 casos) 
 
• Para geometrias unidimensionais fatores de forma também podem 
ser definidos: 
 
Parede plana: 
L
AS = 
 
Parede cilíndrica: ( )12ln
2
rr
LS pi= 
 
Parede esférica: ( )12
214
rr
rrS
−
=
pi