Lista 4 2012

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EAE0207 - Matemática Aplicada à Economia
4a Lista de Exercícios
2o semestre de 2012
1. Resolva as seguintes equações diferenciais.
a) y0(t) + 4y = 12; y(0) = 2:
b) 2y0(t) + 4y = 6; y(0) = 3
2
:
c) 3y0(t) + 6y = 5; y(0) = 0:
d) y0(t) + 2ty = t; y(0) = 3
2
e) y0(t) + 6y + et = 0; y(0) = 6
7
2. Veri…que se cada uma das seguintes equações diferenciais é exata e
resolva pelo procedimento em quatro etapas:
a) 2yt3dy + 3y2t2dt = 0
b) 4y3tdy + (2y4 + 3t)dt = 0
3. Construa o diagrama de fase e analise as propriedades do(s) equi-
líbrio(s) da seguinte equação diferencial:
dy
dt
= y2 � 8y + 15
4. Considere a variável y(t) cuja trajetória temporal é governada pela
seguinte equação diferencial de primeira ordem:
dy
dt
+ (y2 � 1)(y � 3) = 0
a) Encontre o(s) valor(es) de equilíbrio de y.
b) Veri…que se estes valores são estáveis ou instáveis.
5. Sejam a demanda e a oferta:
Qd = �� �P + �dP
dt
Qs = �P
com �, �, �, � > 0.
1
a) Supondo que o mercado esteja equilibrado em todos os instantes de
tempo, encontre a trajetória temporal de P (t).
b) Esse mercado tem um preço de equilíbrio intertemporal dinamica-
mente estável?
c) Esquematize o diagrama de fase e encontre as propriedades do equi-
líbrio.
6. Resolva as equações diferenciais abaixo e analise suas trajetórias (tra-
jetória, equilíbrio, estabilidade, etc):
a) y00(t) + 3y0(t)� 4y = 12
b) y00(t) + 8y0(t) + 16y = 0
c) y00(t)� 4y0(t) + 8y = 0, com y(0) = 3 e y0(0) = 7
d) y00(t)� 2y0(t) + 10y = 5, com y(0) = 6 e y0(0) = 17
2
7. Resolva a equação diferencial abaixo e analise as propriedades de sua
trajetória (trajetória, equilíbrio, estabilidade, etc):
d2y
dt2
� 2dy
dt
+ 10y = 5
com y(0) = 6 e y0(0) = 17
2
.
8. Encontre a solução dos seguintes sistemas de equações diferenciais lin-
eares:
a)
�
x = 4x� 3y
�
y = 5x� 4y
b)
�
x = �5x
�
y = �5y
c)
�
x = x+ y
�
y = �x+ 3y
2